Неправильный интеграл - Improper integral

Несобственный интеграл первого рода. Может потребоваться определение интеграла в неограниченной области.

Несобственный интеграл Римана второго рода. Интеграл может не существовать из-за вертикальная асимптота в функции.

В математический анализ, несобственный интеграл это предел из определенный интеграл как конечная точка интервала (ов) интеграции приближается либо к указанному настоящий номер, ${ displaystyle infty}$, ${ displaystyle - infty}$, или в некоторых случаях, когда обе конечные точки приближаются к пределам. Такой интеграл часто записывается символически, как стандартный определенный интеграл, в некоторых случаях с бесконечность как предел интеграции.

В частности, несобственный интеграл - это предел вида:

${ displaystyle lim _ {b to infty} int _ {a} ^ {b} f (x) , dx, qquad lim _ {a to - infty} int _ {a} ^ {b} f (x) , dx,}$

или же

${ displaystyle lim _ {c to b ^ {-}} int _ {a} ^ {c} f (x) , dx, quad lim _ {c to a ^ {+}} int _ {c} ^ {b} f (x) , dx,}$

в котором принимается ограничение в одной или другой (или иногда в обеих) конечных точках (Апостол 1967, §10.23).

К злоупотребление обозначениями, несобственные интегралы часто записываются символически, как стандартные определенные интегралы, возможно, с бесконечность среди пределов интеграции. Когда существует определенный интеграл (в смысле Интеграл Римана или более продвинутый Интеграл Лебега ), эта неоднозначность устраняется, поскольку и собственный, и несобственный интеграл будут совпадать по значению.

Часто можно вычислить значения для несобственных интегралов, даже если функция не интегрируема в общепринятом смысле (как Интеграл Римана, например) из-за необычность в функции или потому, что одна из границ интегрирования бесконечна.

Примеры

Исходное определение Интеграл Римана не применяется к такой функции, как ${ displaystyle 1 / {х ^ {2}}}$ на отрезке [1, ∞), поскольку в этом случае область интегрирования неограниченный. Однако интеграл Римана часто можно расширить на непрерывность, определив вместо этого несобственный интеграл как предел

${ displaystyle int _ {1} ^ { infty} { frac {1} {x ^ {2}}} , dx = lim _ {b to infty} int _ {1} ^ { b} { frac {1} {x ^ {2}}} , dx = lim _ {b to infty} left (- { frac {1} {b}} + { frac {1 } {1}} right) = 1.}$

Узкое определение интеграла Римана также не охватывает функцию ${ displaystyle 1 / { sqrt {x}}}$ на интервале [0, 1]. Проблема здесь в том, что подынтегральное выражение неограниченный в области интегрирования (определение требует, чтобы и область интегрирования, и подынтегральное выражение были ограничены). Однако несобственный интеграл существует, если понимать его как предел

${ displaystyle int _ {0} ^ {1} { frac {1} { sqrt {x}}} , dx = lim _ {a to 0 ^ {+}} int _ {a} ^ {1} { frac {1} { sqrt {x}}} , dx = lim _ {a to 0 ^ {+}} (2-2 { sqrt {a}}) = 2. }$

Несобственный интеграл
${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {dx} {(x + 1) { sqrt {x}}}} = pi}$
имеет неограниченные интервалы как для домена, так и для диапазона.

Иногда интегралы могут иметь две несобственные особенности. Рассмотрим, например, функцию 1/((Икс + 1)√Икс) интегрировано от 0 до ∞ (показано справа). На нижней границе, поскольку Икс переходит в 0 функция переходит к ∞, а сама верхняя оценка ∞, хотя функция переходит в 0. Таким образом, это вдвойне несобственный интеграл. Проинтегрировав, скажем, от 1 до 3, обычную сумму Римана достаточно, чтобы получить результат π/ 6. Интегрировать от 1 до ∞, сумма Римана невозможна. Однако любая конечная верхняя граница, скажем, т (с т > 1), дает четко определенный результат, 2 арктана (√т) − π/2. Это имеет конечный предел как т уходит в бесконечность, а именно π/ 2. Точно так же интеграл от 1/3 до 1 также допускает сумму Римана, которая по совпадению снова дает π/ 6. Замена 1/3 произвольным положительным значением s (с s < 1) одинаково безопасен, давая π/ 2 - 2 арктана (√s). Это тоже имеет конечный предел, поскольку s стремится к нулю, а именно π/ 2. Объединяя пределы двух фрагментов, результат этого несобственного интеграла

${ displaystyle { begin {align} int _ {0} ^ { infty} { frac {dx} {(x + 1) { sqrt {x}}}} & {} = lim _ {s to 0 ^ {+}} int _ {s} ^ {1} { frac {dx} {(x + 1) { sqrt {x}}}} + lim _ {t to infty} int _ {1} ^ {t} { frac {dx} {(x + 1) { sqrt {x}}}} & {} = lim _ {s to 0 ^ {+}} left ({ frac { pi} {2}} - 2 arctan { sqrt {s}} right) + lim _ {t to infty} left (2 arctan { sqrt {t }} - { frac { pi} {2}} right) & {} = { frac { pi} {2}} + left ( pi - { frac { pi} {2 }} right) & {} = pi. end {align}}}$

Этот процесс не гарантирует успеха; предел может не существовать или быть бесконечным. Например, в ограниченном интервале от 0 до 1 интеграл от 1 /Икс не сходится; и на неограниченном интервале от 1 до ∞ интеграл от 1 /√Икс не сходится.

Несобственный интеграл
${ displaystyle int _ {- 1} ^ {1} { frac {dx} { sqrt [{3}] {x ^ {2}}}} = 6}$
сходится, поскольку существуют и левый, и правый пределы, хотя подынтегральное выражение неограничено вблизи внутренней точки.

Также может случиться так, что подынтегральное выражение не ограничено вблизи внутренней точки, и в этом случае интеграл должен быть разбит в этой точке. Чтобы интеграл в целом сходился, предельные интегралы с обеих сторон должны существовать и быть ограниченными. Например:

${ displaystyle { begin {align} int _ {- 1} ^ {1} { frac {dx} { sqrt [{3}] {x ^ {2}}}} & {} = lim _ {s to 0} int _ {- 1} ^ {- s} { frac {dx} { sqrt [{3}] {x ^ {2}}}} + lim _ {t to 0 } int _ {t} ^ {1} { frac {dx} { sqrt [{3}] {x ^ {2}}}} & {} = lim _ {s to 0} 3 (1 - { sqrt [{3}] {s}}) + lim _ {t to 0} 3 (1 - { sqrt [{3}] {t}}) & {} = 3 +3 & {} = 6. end {align}}}$

Но подобный интеграл

${ displaystyle int _ {- 1} ^ {1} { frac {dx} {x}}}$

не может быть присвоено значение таким образом, поскольку интегралы выше и ниже нуля не сходятся независимо. (Однако см. Главное значение Коши.)

Сходимость интеграла

Несобственный интеграл сходится, если существует определяющий его предел. Так, например, говорят, что несобственный интеграл

${ Displaystyle lim _ {т к infty} int _ {a} ^ {t} е (х) , dx}$

существует и равно L если интегралы в пределе существуют для всех достаточно больших т, а значение лимита равно L.

Несобственный интеграл также может уйти в бесконечность. В этом случае интегралу можно присвоить значение ∞ (или -∞). Например

${ displaystyle lim _ {b to infty} int _ {1} ^ {b} { frac {1} {x}} , dx = infty.}$

Однако другие несобственные интегралы могут просто не расходиться ни в каком направлении, например

${ displaystyle lim _ {b to infty} int _ {1} ^ {b} x sin (x) , dx,}$

которого не существует, даже как расширенное действительное число. Это называется расхождением по колебаниям.

Ограничение метода неправильной интеграции состоит в том, что предел должен приниматься по одной конечной точке за раз. Так, например, несобственный интеграл вида

${ Displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} е (х) , dx}$

можно определить, взяв два отдельных предела; остроумие

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} f (x) , dx = lim _ {a to - infty} lim _ {b to infty} int _ {a } ^ {b} f (x) , dx}$

при условии, что двойной предел конечен. Его также можно определить как пару различных несобственных интегралов первого рода:

${ displaystyle lim _ {a to - infty} int _ {a} ^ {c} f (x) , dx + lim _ {b to infty} int _ {c} ^ {b } f (x) , dx}$

куда c любая удобная точка, с которой можно начать интеграцию. Это определение также применимо, когда один из этих интегралов бесконечен или оба имеют одинаковый знак.

Примером несобственного интеграла, в котором оба конца бесконечны, является Гауссов интеграл ${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- x ^ {2}} , dx = { sqrt { pi}}}$. Пример, который оценивается до бесконечности: ${ Displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} е ^ {х} , dx}$. Но нельзя даже однозначно определить другие интегралы такого рода, например ${ Displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} х , dx}$, поскольку двойной предел бесконечен и метод двух интегралов

${ displaystyle lim _ {a to - infty} int _ {a} ^ {c} x , dx + lim _ {b to infty} int _ {c} ^ {b} x , dx}$

дает ${ displaystyle infty - infty}$. Однако в этом случае можно определить несобственный интеграл в смысле Главное значение Коши:

${ displaystyle operatorname {pv} int _ {- infty} ^ { infty} x , dx = lim _ {b to infty} int _ {- b} ^ {b} x , dx = 0.}$

При определении несобственного интеграла необходимо ответить на следующие вопросы:

• Есть ли предел?
• Можно ли рассчитать предел?

Первый вопрос - это проблема математический анализ. Вторая проблема может быть решена методами исчисления, но в некоторых случаях также контурная интеграция, Преобразования Фурье и другие более продвинутые методы.

Типы интегралов

Существует несколько теорий интеграция. С точки зрения исчисления Интеграл Римана Теория обычно рассматривается как теория по умолчанию. При использовании несобственных интегралов может иметь значение, какая теория интегрирования используется.

• Для интеграла Римана (или Интеграл Дарбу, что эквивалентно ему), необходимо неправильное интегрирование обе для неограниченных интервалов (поскольку нельзя разделить интервал на конечное число подынтервалов конечной длины) и для неограниченных функций с конечным интегралом (поскольку, если предположить, что он неограничен сверху, то верхний интеграл будет бесконечным, а нижний интеграл будет конечным).
• В Интеграл Лебега по-разному работает с неограниченными областями и неограниченными функциями, поэтому часто интеграл, который существует только как несобственный интеграл Римана, будет существовать как (собственный) интеграл Лебега, например ${ displaystyle int _ {1} ^ { infty} { frac {1} {x ^ {2}}} , dx}$. С другой стороны, есть также интегралы, которые имеют несобственный интеграл Римана, но не имеют (собственного) интеграла Лебега, например ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { sin x} {x}} , dx}$. Теория Лебега не видит в этом недостатка: с точки зрения теория меры, ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { sin x} {x}} , dx = infty - infty}$ и не может быть определен удовлетворительно. Однако в некоторых ситуациях может быть удобно использовать несобственные интегралы Лебега, как, например, при определении Главное значение Коши. Интеграл Лебега более или менее важен для теоретического рассмотрения преобразование Фурье, с повсеместным использованием интегралов по всей действительной прямой.
• Для Интеграл Хенстока – Курцвейла, неправильная интеграция не обязательно, и это считается сильной стороной теории: она охватывает все интегрируемые по Лебегу и несобственные функции, интегрируемые по Риману.

Несобственные интегралы Римана и интегралы Лебега

Рисунок 1

фигура 2

В некоторых случаях интеграл

${ displaystyle int _ {a} ^ {c} f (x) , dx}$

можно определить как интеграл (a Интеграл Лебега, например) без привязки к пределу

${ displaystyle lim _ {b to c ^ {-}} int _ {a} ^ {b} f (x) , dx}$

но иначе не может быть удобно вычислено. Это часто случается, когда функция ж интегрируется из а к c имеет вертикальная асимптота в c, или если c = ∞ (см. Рисунки 1 и 2). В таких случаях несобственный интеграл Римана позволяет вычислить интеграл Лебега функции. В частности, справедлива следующая теорема (Апостол 1974, Теорема 10.33):

• Если функция ж интегрируема по Риману на [а,б] для каждого б ≥ а, а частные интегралы

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} | f (x) | , dx}$

ограничены как б → ∞, то несобственные интегралы Римана

${ Displaystyle int _ {a} ^ { infty} е (х) , dx, quad { mbox {и}} int _ {a} ^ { infty} | f (x) | , dx}$

оба существуют. Более того, ж интегрируем по Лебегу на [а, ∞), а его интеграл Лебега равен его несобственному интегралу Римана.

Например, интеграл

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {dx} {1 + x ^ {2}}}}$

альтернативно можно интерпретировать как несобственный интеграл

${ displaystyle lim _ {b to infty} int _ {0} ^ {b} { frac {dx} {1 + x ^ {2}}} = lim _ {b to infty} arctan {b} = { frac { pi} {2}},}$

или это может быть интерпретировано вместо этого как Интеграл Лебега по множеству (0, ∞). Поскольку оба этих вида интеграла согласуются, можно выбрать первый метод для вычисления значения интеграла, даже если в конечном итоге он желает рассматривать его как интеграл Лебега. Таким образом, несобственные интегралы, несомненно, являются полезными инструментами для получения фактических значений интегралов.

В других случаях, однако, интеграл Лебега между конечными точками может даже не быть определен, потому что интегралы от положительной и отрицательной частей ж оба бесконечны, но несобственный интеграл Римана все еще может существовать. Такие случаи являются «собственно несобственными» интегралами, т. Е. Их значения не могут быть определены иначе, как такие пределы. Например,

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { sin (x)} {x}} , dx}$

нельзя интерпретировать как интеграл Лебега, поскольку

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} left | { frac { sin (x)} {x}} right | , dx = infty.}$

Но ${ displaystyle f (x) = { frac { sin (x)} {x}}}$ тем не менее интегрируем между любыми двумя конечными точками, и его интеграл между 0 и ∞ обычно понимается как предел интеграла:

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { sin (x)} {x}} , dx = lim _ {b to infty} int _ {0} ^ { b} { frac { sin (x)} {x}} , dx = { frac { pi} {2}}.}$

Особенности

Можно говорить о особенности несобственного интеграла, имея в виду те точки расширенная строка действительных чисел в каких пределах используются.

Главное значение Коши

Рассмотрим разницу в значениях двух пределов:

${ displaystyle lim _ {a to 0 ^ {+}} left ( int _ {- 1} ^ {- a} { frac {dx} {x}} + int _ {a} ^ { 1} { frac {dx} {x}} right) = 0,}$

${ displaystyle lim _ {a to 0 ^ {+}} left ( int _ {- 1} ^ {- a} { frac {dx} {x}} + int _ {2a} ^ { 1} { frac {dx} {x}} right) = - ln 2.}$

Первое - это главное значение Коши для иначе неопределенного выражения

${ displaystyle int _ {- 1} ^ {1} { frac {dx} {x}} {} left ({ mbox {which}} { mbox {дает}} - infty + infty right).}$

Аналогично имеем

${ displaystyle lim _ {a to infty} int _ {- a} ^ {a} { frac {2x , dx} {x ^ {2} +1}} = 0,}$

но

${ displaystyle lim _ {a to infty} int _ {- 2a} ^ {a} { frac {2x , dx} {x ^ {2} +1}} = - ln 4.}$

Первое - главное значение иначе неопределенного выражения

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} { frac {2x , dx} {x ^ {2} +1}} {} left ({ mbox {which}} { mbox {дает}} - infty + infty right).}$

Все вышеперечисленные ограничения являются случаями неопределенная форма ∞ − ∞.

Эти патологии не влияют на «интегрируемые по Лебегу» функции, т. е. функции, интегралы от которых абсолютные значения конечны.

Суммируемость

Несобственный интеграл может расходиться в том смысле, что определяющий его предел может не существовать. В этом случае существуют более сложные определения предела, которые могут дать сходящееся значение для неправильного интеграла. Они называются суммируемость методы.

Один метод суммирования, популярный в Анализ Фурье, это из Чезаро суммирование. Интегральный

${ Displaystyle int _ {0} ^ { infty} е (х) , dx}$

суммируем по Чезаро (C, α), если

${ displaystyle lim _ { lambda to infty} int _ {0} ^ { lambda} left (1 - { frac {x} { lambda}} right) ^ { alpha} f (х) , dx}$

существует и конечно (Титчмарш 1948, §1.15). Значение этого предела, если оно существует, представляет собой (C, α) сумму интеграла.

Интеграл является (C, 0) суммируемым именно тогда, когда он существует как несобственный интеграл. Однако есть интегралы, суммируемые (C, α) при α> 0, которые не сходятся как несобственные интегралы (в смысле Римана или Лебега). Одним из примеров является интеграл

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} sin x , dx}$

который не может существовать как несобственный интеграл, но является (C, α) суммируемым для любого α> 0. Это интегральная версия Серия Гранди.

Несобственные интегралы с несколькими переменными

Несобственный интеграл можно также определить для функций нескольких переменных. Определение немного отличается, в зависимости от того, требуется ли интегрирование в неограниченной области, например ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$, или интегрирует функцию с особенностями, например ${ Displaystyle е (х, у) = журнал (х ^ {2} + у ^ {2})}$.

Несобственные интегралы по произвольным областям

Если ${ displaystyle f: mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R}}$ неотрицательная функция, интегрируемая по Риману над любым компактным кубом вида ${ displaystyle [-a, a] ^ {n}}$, за ${ displaystyle a> 0}$, то несобственный интеграл от ж над ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ определяется как предел

${ Displaystyle lim _ {а к infty} int _ {[- а, а] ^ {п}} е,}$

при условии, что он существует.

Функция в произвольной области А в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ расширяется до функции ${ displaystyle { tilde {f}}}$ на ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ на ноль за пределами А:

${ Displaystyle { тильда {f}} (х) = { begin {case} f (x) & x in A 0 & x not in A end {cases}}}$

Интеграл Римана функции в ограниченной области А тогда определяется как интеграл от расширенной функции ${ displaystyle { tilde {f}}}$ над кубом ${ displaystyle [-a, a] ^ {n}}$ содержащий А:

${ displaystyle int _ {A} f = int _ {[- a, a] ^ {n}} { tilde {f}}.}$

В более общем смысле, если А неограничен, то несобственный интеграл Римана по произвольной области в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ определяется как предел:

${ displaystyle int _ {A} f = lim _ {a to infty} int _ {A cap [-a, a] ^ {n}} f = lim _ {a to infty } int _ {[- a, a] ^ {n}} { tilde {f}}.}$

Несобственные интегралы с особенностями

Если ж неотрицательная функция, неограниченная в области А, то несобственный интеграл от ж определяется усечением ж в какой-то момент M, интегрируя полученную функцию, а затем переходя к пределу как M стремится к бесконечности. Это для ${ displaystyle M> 0}$, набор ${ displaystyle f_ {M} = min {f, M }}$. Затем определите

${ displaystyle int _ {A} е = lim _ {M to infty} int _ {A} f_ {M}}$

при условии, что этот предел существует.

Функции с положительными и отрицательными значениями

Эти определения применимы к неотрицательным функциям. Более общая функция ж можно разложить как разность положительной части ${ displaystyle f _ {+} = max {f, 0 }}$ и отрицательная часть ${ displaystyle f _ {-} = max {- f, 0 }}$, так

${ displaystyle f = f _ {+} - f _ {-}}$

с ${ displaystyle f _ {+}}$ и ${ displaystyle f _ {-}}$ обе неотрицательные функции. Функция ж имеет несобственный интеграл Римана, если каждый из ${ displaystyle f _ {+}}$ и ${ displaystyle f _ {-}}$ имеет один, и в этом случае значение этого несобственного интеграла определяется

${ displaystyle int _ {A} f = int _ {A} f _ {+} - int _ {A} f _ {-}.}$

Для того чтобы существовать в этом смысле, несобственный интеграл обязательно сходится абсолютно, поскольку

${ displaystyle int _ {A} | f | = int _ {A} f _ {+} + int _ {A} f _ {-}.}$^[1][2]

Примечания

Библиография

• Апостол, Т (1974), Математический анализ, Эддисон-Уэсли, ISBN  978-0-201-00288-1.
• Апостол, Т (1967), Исчисление, Vol. 1 (2-е изд.), Jon Wiley & Sons.
• Аутар Кау, Эгву Калу (2008), Численные методы с приложениями (1-е изд.), Autarkaw.com
• Титчмарш, Э (1948), Введение в теорию интегралов Фурье (2-е изд.), Нью-Йорк, Нью-Йорк: Chelsea Pub. Co. (опубликовано в 1986 г.), ISBN  978-0-8284-0324-5.
• Купер, Джеффри (2005), Рабочий анализ, Gulf Professional
• Горпаде, Судхир; Лимай, Балмохан (2010), Курс многомерного исчисления и анализа, Springer

внешняя ссылка

• Численные методы решения несобственных интегралов в Институте холистических численных методов