Интеграл Бохнера - Bochner integral

В математика, то Интеграл Бохнера, названный в честь Саломон Бохнер, расширяет определение Интеграл Лебега к функциям, которые принимают значения в Банахово пространство, как предел интегралов от простые функции.

Определение

Позволять (Икс, Σ, μ) - измерить пространство и B банахово пространство. Интеграл Бохнера определяется почти так же, как интеграл Лебега. Во-первых, простая функция - это любая конечная сумма вида

${displaystyle s (x) = sum _ {i = 1} ^ {n} chi _ {E_ {i}} (x) b_ {i}}$

где E_я являются непересекающимися членами σ-алгебры Σ, б_я являются отдельными элементами B, и χ_E это характеристическая функция из E. Если μ(E_я) конечно, когда б_я ≠ 0, то простая функция интегрируемый, и тогда интеграл определяется как

${displaystyle int _ {X} left [sum _ {i = 1} ^ {n} chi _ {E_ {i}} (x) b_ {i} ight], dmu = sum _ {i = 1} ^ {n } mu (E_ {i}) b_ {i}}$

точно так же, как и для обычного интеграла Лебега.

Измеримая функция ƒ: Икс → B является Интегрируемый по Бохнеру если существует последовательность интегрируемых простых функций s_п такой, что

${displaystyle lim _ {n o infty} int _ {X} | f-s_ {n} | _ {B}, dmu = 0,}$

где интеграл в левой части - обычный интеграл Лебега.

В этом случае Интеграл Бохнера определяется

${displaystyle int _ {X} f, dmu = lim _ {n o infty} int _ {X} s_ {n}, dmu.}$

Можно показать, что функция интегрируема по Бохнеру тогда и только тогда, когда она лежит в Пространство Бохнера ${displaystyle L ^ {1}}$.

Характеристики

Многие из известных свойств интеграла Лебега сохраняются и для интеграла Бохнера. Особенно полезен критерий Бохнера интегрируемости, который гласит, что если (Икс, Σ, μ) - пространство с мерой, то измеримая по Бохнеру функция ƒ : Икс → B интегрируема по Бохнеру тогда и только тогда, когда

${displaystyle int _ {X} | f | _ {B}, dmu$

Функция ƒ : Икс → B называется измеримой по Бохнеру, если она μ-почти всюду равна функции грамм принимая значения в сепарабельном подпространстве B₀ из B, и такой, что прообраз грамм⁻¹(U) каждого открытого множества U в B принадлежит Σ. Эквивалентно, ƒ является предельным µ-почти всюду последовательности простых функций.

Если ${displaystyle T}$ - линейный непрерывный оператор, а ${displaystyle f}$ интегрируем по Бохнеру, то ${displaystyle Tf}$ интегрируется по Бохнеру и интегрирует ${displaystyle T}$ можно поменять местами:

${displaystyle int _ {X} Tfdmu = Tint _ {X} fdmu.}$

Это верно и для замкнутых операторов, если ${displaystyle Tf}$ быть интегрируемым (что по упомянутому выше критерию тривиально верно для ограниченного ${displaystyle T}$).

Версия теорема о доминируемой сходимости справедливо и для интеграла Бохнера. В частности, если ƒ_п : Икс → B представляет собой последовательность измеримых функций на полном пространстве с мерой, почти всюду стремящуюся к предельной функции ƒ, и если

${displaystyle | f_ {n} (x) | _ {B} leq g (x)}$

почти для каждого Икс ∈ Икс, и грамм ∈ L¹(μ), тогда

${displaystyle int _ {X} | f-f_ {n} | _ {B}, dmu o 0}$

в качестве п → ∞ и

${displaystyle int _ {E} f_ {n}, dmu o int _ {E} f, dmu}$

для всех E ∈ Σ.

Если ƒ интегрируема по Бохнеру, то неравенство

${displaystyle left | int _ {E} f, dmu ight | _ {B} leq int _ {E} | f | _ {B}, dmu}$

относится ко всем E ∈ Σ. В частности, заданная функция

${displaystyle Emapsto int _ {E} f, dmu}$

определяет счетно-аддитивную B-значен векторная мера на Икс который абсолютно непрерывный по μ.

Радон – Никодим свойство

Важный факт об интеграле Бохнера заключается в том, что Теорема Радона – Никодима терпит неудачу держать в общем. Это приводит к важному свойству банаховых пространств, известному как свойство Радона – Никодима. В частности, если μ - мера на (Икс, Σ), то B обладает свойством Радона – Никодима относительно μ, если для каждого счетно-аддитивного векторная мера ${displaystyle gamma}$ на (Икс, Σ) со значениями в B у которого есть ограниченная вариация и абсолютно непрерывна по μ, существует μ-интегрируемая функция грамм : Икс → B такой, что

${displaystyle gamma (E) = int _ {E} g, dmu}$

для каждого измеримого множества E ∈ Σ.^[1]

Банахово пространство B имеет Радон – Никодим свойство если B обладает свойством Радона – Никодима относительно любой конечной меры. Известно, что космос ${displaystyle l_ {1}}$ обладает свойством Радона – Никодима, но ${displaystyle c_ {0}}$ и пространства ${displaystyle L ^ {infty} (Омега)}$, ${displaystyle L ^ {1} (Омега)}$, за ${displaystyle Omega}$ открытое ограниченное подмножество ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$, и ${displaystyle C (K)}$, за K бесконечное компактное пространство, не надо. Пространства со свойством Радона – Никодима включают сепарабельные сопряженные пространства (это Теорема Данфорда – Петтиса ) и рефлексивные пространства, которые включают, в частности, Гильбертовы пространства.

Смотрите также

• Пространство Бохнера
• Интеграл Петтиса
• Векторная мера

Рекомендации

• Бохнер, Саломон (1933), "Integration von Funktionen, deren Werte die Elemente eines Vektorraumes sind" (PDF), Fundamenta Mathematicae, 20: 262–276
• Кон, Дональд (2013), Теория измерения, Birkhäuser Advanced Texts Basler Lehrbücher, Springer, Дои:10.1007/978-1-4614-6956-8, ISBN  978-1-4614-6955-1
• Ёсида, Косаку (1980), Функциональный анализ, Классика по математике, 123, Спрингер, Дои:10.1007/978-3-642-61859-8, ISBN  978-3-540-58654-8
• Дистель, Джозеф (1984), Последовательности и серии в банаховых пространствах, Тексты для выпускников по математике, 92, Спрингер, Дои:10.1007/978-1-4612-5200-9, ISBN  978-0-387-90859-5
• Дистель; Уль (1977), Векторные меры, Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-1515-1
• Хилле, Эйнар; Филлипс, Ральф (1957), Функциональный анализ и полугруппы, Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-1031-6
• Ланг, Серж (1993), Реальный и функциональный анализ (3-е изд.), Springer, ISBN  978-0387940014
• Соболев, В. И. (2001) [1994], «Интеграл Бохнера», Энциклопедия математики, EMS Press
• ван Дулст, Д. (2001) [1994], «Векторные меры», Энциклопедия математики, EMS Press