Простая функция - Simple function
в математический поле реальный анализ, а простая функция это настоящий (или же сложный ) -значная функция над подмножеством реальная линия, аналогично ступенчатая функция. Простые функции достаточно «хороши», поэтому их использование упрощает математические рассуждения, теорию и доказательство. Например, простые функции принимают только конечное число значений. Некоторые авторы также требуют, чтобы простые функции были измеримый; на практике они всегда так и есть.
Базовым примером простой функции является функция пола на полуоткрытом интервале [1, 9), единственными значениями которого являются {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Более продвинутый пример - Функция Дирихле над реальной линией, которая принимает значение 1, если Икс рационально и 0 в противном случае. (Таким образом, «простая» или «простая функция» имеет техническое значение, несколько расходящееся с общепринятым языком.) Все пошаговые функции просты.
Простые функции используются в качестве первого этапа в развитии теорий интеграция, такой как Интеграл Лебега, потому что легко определить интегрирование для простой функции, а также легко аппроксимировать более общие функции последовательностями простых функций.
Определение
Формально простая функция - это конечный линейная комбинация из индикаторные функции из измеримые множества. Точнее, пусть (Икс, Σ) быть измеримое пространство. Позволять А1, ..., Ап ∈ Σ - последовательность непересекающихся измеримых множеств, и пусть а1, ..., ап быть последовательностью настоящий или же сложные числа. А простая функция это функция формы
куда это индикаторная функция из набора А.
Свойства простых функций
Сумма, разность и произведение двух простых функций снова являются простыми функциями, а умножение на константу делает простую функцию простой; отсюда следует, что совокупность всех простых функций на данном измеримом пространстве образует коммутативная алгебра над .
Интеграция простых функций
Если мера μ определена на пространстве (Икс, Σ), интеграл из ж относительно μ является
если все слагаемые конечны.
Связь с интеграцией Лебега
Любые неотрицательные измеримый функция это точечно предел монотонно возрастающей последовательности неотрицательных простых функций. Действительно, пусть - неотрицательная измеримая функция, определенная над мерным пространством как прежде. Для каждого , разделить диапазон в интервалы, из которых имеют длину . Для каждого , набор
- за , и .
(Обратите внимание, что для фиксированного , наборы не пересекаются и покрывают неотрицательную вещественную прямую.)
Теперь определим измеримые множества
- за .
Тогда возрастающая последовательность простых функций
поточечно сходится к в качестве . Обратите внимание, что когда ограничена, сходимость равномерная. Это приближение простыми функциями (которые легко интегрируются) позволяет определить интеграл сам; см. статью о Интеграция Лебега Больше подробностей.