Алгебра над полем - Algebra over a field

В математика, алгебра над полем (часто называют просто алгебра) это векторное пространство оснащен билинейный товар. Таким образом, алгебра - это алгебраическая структура состоящий из набор вместе с операциями умножения и сложения и скалярное умножение элементами поле и удовлетворение аксиомам "векторного пространства" и "билинейности".^[1]

Операция умножения в алгебре может быть или не быть ассоциативный, что приводит к представлениям о ассоциативные алгебры и неассоциативные алгебры. Учитывая целое число п, то звенеть из настоящий квадратные матрицы порядка п является примером ассоциативной алгебры над полем действительные числа под матрица сложения и матричное умножение так как умножение матриц ассоциативно. Трехмерный Евклидово пространство с умножением на векторное произведение является примером неассоциативной алгебры над полем действительных чисел, поскольку векторное векторное произведение неассоциативно и удовлетворяет условию Личность Якоби вместо.

Алгебра - это единый или унитарный если у него есть элемент идентичности относительно умножения. Кольцо вещественных квадратных матриц порядка п образует унитальную алгебру, поскольку единичная матрица порядка п является единицей относительно умножения матриц. Это пример единственной ассоциативной алгебры, (единичное) кольцо это тоже векторное пространство.

Многие авторы используют термин алгебра означать ассоциативная алгебра, или же унитальная ассоциативная алгебра, или в некоторых предметах, таких как алгебраическая геометрия, унитальная ассоциативная коммутативная алгебра.

Замена поля скаляров на коммутативное кольцо приводит к более общему понятию алгебра над кольцом. Алгебры не следует путать с векторными пространствами, снабженными билинейная форма, подобно внутренние пространства продукта, поскольку для такого пространства результат продукта находится не в пространстве, а в поле коэффициентов.

Определение и мотивация

Первый пример: комплексные числа

Любой комплексное число может быть написано а + би, где а и б находятся действительные числа и я это мнимая единица. Другими словами, комплексное число представлено вектор (а, б) над полем действительных чисел. Таким образом, комплексные числа образуют двумерное вещественное векторное пространство, в котором сложение задается формулой (а, б) + (c, d) = (а + c, б + d), а скалярное умножение дается формулой c(а, б) = (ок, cb), где все а, б, c и d настоящие числа. Мы используем символ ·, чтобы умножить два вектора вместе, что мы используем комплексное умножение для определения: (а, б) · (c, d) = (ac − bd, объявление + до н.э).

Следующие утверждения являются основными свойствами комплексных чисел. Если Икс, у, z комплексные числа и а, б настоящие числа, тогда

(Икс + у) · z = (Икс · z) + (у · z). Другими словами, умножение комплексного числа на сумму двух других комплексных чисел аналогично умножению на каждое число в сумме с последующим сложением.
(аИкс) · (бу) = (ab) (Икс · у). Это показывает, что комплексное умножение совместимо со скалярным умножением на действительные числа.

Этот пример вписывается в следующее определение, взяв поле K быть действительными числами, а векторное пространство А быть комплексными числами.

Определение

Позволять $K$ быть полем, и пусть $А$ быть векторное пространство над $K$ оснащен дополнительным бинарная операция из $А \times А$ к А, обозначаемый здесь $\cdot$ (т.е. если Икс и у любые два элемента А, $Икс \cdot у$ это товар из Икс и у). потом $А$ является алгебра над $K$ если для всех элементов выполняются следующие тождества $Икс, у, z \in А$ , и все элементы (часто называемые скаляры ) а и б из K:

Правильно распределенность: $(Икс + у) \cdot z = Икс \cdot z + у \cdot z$
Левая дистрибутивность: $z \cdot (Икс + у) = z \cdot Икс + z \cdot у$
Совместимость со скалярами: $(а Икс) \cdot (б у) = (ab) (Икс \cdot у)$ .

Эти три аксиомы - еще один способ сказать, что двоичная операция билинейный. Алгебра над $K$ иногда также называют $K$ -алгебра, и $K$ называется базовое поле из $А$ . Бинарная операция часто упоминается как умножение в $А$ . В этой статье принято соглашение о том, что умножение элементов алгебры не обязательно ассоциативный, хотя некоторые авторы используют термин алгебра сослаться на ассоциативная алгебра.

Обратите внимание, что когда двоичная операция в векторном пространстве коммутативный, как и в приведенном выше примере комплексных чисел, он является распределительным слева точно тогда, когда он является распределительным справа. Но в целом для некоммутативных операций (таких как следующий пример кватернионов) они не эквивалентны и, следовательно, требуют отдельных аксиом.

Хороший пример: кватернионы

В действительные числа можно рассматривать как один-мерное векторное пространство с согласованным умножением и, следовательно, одномерная алгебра над собой. Точно так же, как мы видели выше, комплексные числа образуют два-мерное векторное пространство над полем действительных чисел и, следовательно, образуют двумерную алгебру над действительными числами. В обоих этих примерах каждый ненулевой вектор имеет обратный, делая их обоих алгебры с делением. Хотя трёхмерных алгебр с делением не существует, в 1843 г. кватернионы были определены и предоставлены теперь знаменитый 4-мерный пример алгебры над действительными числами, где можно не только умножать векторы, но и делить. Любой кватернион можно записать как (а, б, c, d) = а + бя + cj + dk. В отличие от комплексных чисел, кватернионы являются примером некоммутативный алгебра: например, (0,1,0,0) · (0,0,1,0) = (0,0,0,1), но (0,0,1,0) · (0,1, 0,0) = (0,0,0, −1).

За кватернионами вскоре последовали еще несколько гиперкомплексное число системы, которые были ранними примерами алгебр над полем.

Еще один мотивирующий пример: перекрестный продукт

Предыдущие примеры - ассоциативные алгебры. Пример неассоциативная алгебра трехмерное векторное пространство, снабженное перекрестное произведение. Это простой пример класса неассоциативных алгебр, который широко используется в математика и физика, то Алгебры Ли.

Базовые концепты

Гомоморфизмы алгебры

Данный K-алгебры А и B, а K-алгебра гомоморфизм это K-линейная карта ж: А → B такой, что ж(ху) = ж(Икс) ж(у) для всех Икс, у в А. Пространство всего K-алгебр гомоморфизмов между А и B часто пишется как

{ displaystyle mathbf {Hom} _ {K { text {-alg}}} (A, B).}

А K-алгебра изоморфизм это биективный KГомоморфизм -алгебр. Для всех практических целей изоморфные алгебры различаются только обозначениями.

Подалгебры и идеалы

А подалгебра алгебры над полем K это линейное подпространство который обладает тем свойством, что произведение любых двух его элементов снова находится в подпространстве. Другими словами, подалгебра алгебры - это непустое подмножество элементов, замкнутое относительно сложения, умножения и скалярного умножения. В символах мы говорим, что подмножество L из K-алгебра А является подалгеброй, если для каждого Икс, у в L и c в Kу нас есть это Икс · у, Икс + у, и сх все в L.

В приведенном выше примере комплексных чисел, рассматриваемых как двумерная алгебра над действительными числами, одномерная реальная прямая является подалгеброй.

А левый идеал из K-алгебра - это линейное подпространство, обладающее тем свойством, что любой элемент подпространства, умноженный слева на любой элемент алгебры, дает элемент подпространства. В символах мы говорим, что подмножество L из K-алгебра А является левым идеалом, если для каждого Икс и у в L, z в А и c в K, имеем следующие три утверждения.

Икс + у в L (L закрывается при добавлении),
сх в L (L замкнуто относительно скалярного умножения),
z · Икс в L (L замкнуто относительно умножения слева на произвольные элементы).

Если (3) заменить на Икс · z в L, то это определило бы правильный идеал. А двусторонний идеал - подмножество, которое является как левым, так и правым идеалом. Период, термин идеальный сам по себе обычно означает двусторонний идеал. Конечно, когда алгебра коммутативна, все эти понятия идеала эквивалентны. Обратите внимание, что условия (1) и (2) вместе эквивалентны L будучи линейным подпространством А. Из условия (3) следует, что любой левый или правый идеал является подалгеброй.

Важно отметить, что это определение отличается от определения идеал кольца, в том, что здесь требуется условие (2). Конечно, если алгебра унитальна, то из условия (3) следует условие (2).

Расширение скаляров

Если у нас есть расширение поля F/K, то есть большее поле F который содержит K, то есть естественный способ построить алгебру над F из любой алгебры над K. Это та же конструкция, которую используют для создания векторного пространства над большим полем, а именно тензорное произведение ${ displaystyle V_ {F}: = V otimes _ {K} F}$ . Так что если А является алгеброй над K, тогда ${ displaystyle A_ {F}}$ является алгеброй над F.

Виды алгебр и примеры

Алгебры над полями бывают разных типов. Эти типы уточняются, настаивая на некоторых дополнительных аксиомах, таких как коммутативность или ассоциативность операции умножения, которые не требуются в широком определении алгебры. Теории, соответствующие различным типам алгебр, часто очень разные.

Унитальная алгебра

Алгебра - это единый или унитарный если у него есть единица измерения или элемент идентичности я с Ix = Икс = xI для всех Икс в алгебре.

Нулевая алгебра

Алгебра называется нулевая алгебра если УФ = 0 для всех ты, v в алгебре,^[2] не путать с алгеброй с одним элементом. Он по своей природе неунитален (за исключением случая только одного элемента), ассоциативен и коммутативен.

Можно определить унитальная нулевая алгебра взяв прямая сумма модулей поля (или, в более общем смысле, кольца) K и K-векторное пространство (или модуль) V, и определение произведения каждой пары элементов V быть нулевым. То есть, если λ, μ ∈ K и ты, v ∈ V, тогда (λ + ты) (μ + v) = λμ + (λv + μu). Если е₁, ... е_d является основой V, нулевая алгебра с единицей является фактором кольца многочленов K[E₁, ..., E_п] посредством идеальный генерируется E_яE_j для каждой пары (я, j).

Примером унитальной нулевой алгебры является алгебра двойные числа, единичный ноль р-алгебра, построенная из одномерного реального векторного пространства.

Эти нулевые алгебры с единицей могут быть более полезными, поскольку они позволяют переводить любое общее свойство алгебр в свойства векторных пространств или модули. Например, теория Базы Грёбнера был представлен Бруно Бухбергер за идеалы в кольце многочленов р = K[Икс₁, ..., Икс_п] над полем. Построение унитальной нулевой алгебры над свободным р-модуль позволяет расширить эту теорию как базисную теорию Грёбнера для подмодулей свободного модуля. Это расширение позволяет для вычисления базиса Гребнера подмодуля использовать, без каких-либо изменений, любой алгоритм и любое программное обеспечение для вычисления базисов идеалов Гребнера.

Ассоциативная алгебра

Примеры ассоциативных алгебр включают

алгебра всего п-от-п матрицы над полем (или коммутативным кольцом) K. Здесь умножение обычное матричное умножение.
групповые алгебры, где группа служит основой векторного пространства, а алгебра умножения расширяет групповое умножение.
коммутативная алгебра K[Икс] из всех многочлены над K (увидеть кольцо многочленов ).
алгебры функции, такой как р-алгебра всех действительных значений непрерывный функции, определенные на интервал [0,1], или C-алгебра всего голоморфные функции определено на некотором фиксированном открытом множестве в комплексная плоскость. Они также коммутативны.
Алгебры инцидентности построены на определенных частично упорядоченные наборы.
алгебры линейные операторы, например на Гильбертово пространство. Здесь умножение алгебры задается сочинение операторов. Эти алгебры также несут топология; многие из них определены на основе Банахово пространство, что превращает их в Банаховы алгебры. Если указана и инволюция, получаем B * -алгебры и C * -алгебры. Они изучаются в функциональный анализ.

Неассоциативная алгебра

А неассоциативная алгебра^[3] (или же дистрибутивная алгебра) над полем K это K-векторное пространство А оснащен K-билинейная карта ${ displaystyle A times A rightarrow A}$ . Использование термина «неассоциативный» здесь означает, что ассоциативность не предполагается, но не означает, что она запрещена. То есть означает «не обязательно ассоциативный».

Примеры, подробно описанные в основной статье, включают:

Алгебры и кольца

Определение ассоциативного K-алгебра с единицей также часто дается альтернативным способом. В этом случае алгебра над полем K это звенеть А вместе с кольцевой гомоморфизм

{ Displaystyle eta двоеточие K до Z (A),}

где Z(А) это центр из А. С η является гомоморфизмом колец, то должно быть либо, что А это нулевое кольцо, или это η является инъективный. Это определение эквивалентно приведенному выше со скалярным умножением

{ Displaystyle К раз от А до А}

данный

{ Displaystyle (к, а) mapsto eta (к) а.}

Учитывая две такие ассоциативные единицы K-алгебры А и B, единый K-алгебр гомоморфизм ж: А → B - гомоморфизм колец, который коммутирует со скалярным умножением, определенным формулой η, который можно записать как

{ Displaystyle f (ка) = kf (а)}

для всех ${ displaystyle k in K}$ и ${ displaystyle a in A}$ . Другими словами, следующая диаграмма коммутирует:

{ displaystyle { begin {matrix} && K && & eta _ {A} swarrow & , & eta _ {B} searchrow & A && { begin {matrix} f longrightarrow end {матрица}} && B end {matrix}}}

Коэффициенты структуры

Для алгебр над полем билинейное умножение из А × А к А полностью определяется умножением основа элементы А. И наоборот, когда-то основа для А было выбрано, произведения базисных элементов могут быть заданы произвольно, а затем уникальным образом расширены до билинейного оператора на А, т.е., получившееся умножение удовлетворяет законам алгебры.

Таким образом, учитывая поле K, любая конечномерная алгебра может быть указана вплоть до изоморфизм давая измерение (сказать п) и указав п³ структурные коэффициенты c_я,j,k, которые скаляры Эти структурные коэффициенты определяют умножение в А по следующему правилу:

{ displaystyle mathbf {e} _ {i} mathbf {e} _ {j} = sum _ {k = 1} ^ {n} c_ {i, j, k} mathbf {e} _ {k }}

где е₁,...,е_п составляют основу А.

Однако заметьте, что несколько различных наборов структурных коэффициентов могут привести к изоморфным алгебрам.

В математическая физика, структурные коэффициенты обычно записываются с верхним и нижним индексами, чтобы различать их свойства преобразования при преобразованиях координат. В частности, более низкие показатели ковариантный индексы и преобразовать через откаты, а верхние индексы равны контравариантный, трансформируясь под продвигать. Таким образом, структурные коэффициенты часто записываются c_я,j^k, и их определяющее правило записывается с использованием Обозначения Эйнштейна так как

е_яе_j = c_я,j^kе_k.

Если вы примените это к векторам, написанным на индексное обозначение, тогда это становится

(ху)^k = c_я,j^kИкс^яу^j.

Если K только коммутативное кольцо, а не поле, то тот же процесс работает, если А это бесплатный модуль над K. Если это не так, то умножение по-прежнему полностью определяется его действием на множество, которое охватывает А; однако структурные константы не могут быть указаны произвольно в этом случае, и знание только структурных констант не определяет алгебру с точностью до изоморфизма.

Классификация ассоциативных алгебр с единицей малой размерности над комплексными числами

Двумерные, трехмерные и четырехмерные унитальные ассоциативные алгебры над полем комплексных чисел были полностью классифицированы с точностью до изоморфизма Эдуард Этюд.^[4]

Существуют две двумерные алгебры. Каждая алгебра состоит из линейных комбинаций (с комплексными коэффициентами) двух базисных элементов, 1 (единичный элемент) и а. Согласно определению элемента идентичности,

{ Displaystyle Textstyle 1 CDOT 1 = 1 ,, четырехъядерный 1 CDOT а = а ,, четырехъядерный а CDOT 1 = а ,.}

Осталось уточнить

{ displaystyle textstyle aa = 1}

для первой алгебры,

{ displaystyle textstyle aa = 0}

для второй алгебры.

Всего существует пять трехмерных алгебр. Каждая алгебра состоит из линейных комбинаций трех базисных элементов: 1 (единичный элемент), а и б. Принимая во внимание определение элемента идентичности, достаточно указать

{ displaystyle textstyle aa = a ,, quad bb = b ,, quad ab = ba = 0}

для первой алгебры,

{ displaystyle textstyle aa = a ,, quad bb = 0 ,, quad ab = ba = 0}

для второй алгебры,

{ displaystyle textstyle aa = b ,, quad bb = 0 ,, quad ab = ba = 0}

для третьей алгебры,

{ displaystyle textstyle aa = 1 ,, quad bb = 0 ,, quad ab = -ba = b}

для четвертой алгебры,

{ displaystyle textstyle aa = 0 ,, quad bb = 0 ,, quad ab = ba = 0}

для пятой алгебры.

Четвертая алгебра некоммутативна, а остальные коммутативны.

Обобщение: алгебра над кольцом

В некоторых областях математики, таких как коммутативная алгебра, принято рассматривать более общую концепцию алгебра над кольцом, где коммутативное кольцо с единицей р заменяет поле K. Единственная часть определения, которая изменяется, - это то, что А считается р-модуль (вместо векторного пространства над K).

Ассоциативные алгебры над кольцами

А звенеть А всегда является ассоциативной алгеброй над своим центр, и более целые числа. Классическим примером алгебры над ее центром является алгебра расщепленных бикватернионов, который изоморфен ${ Displaystyle mathbb {H} times mathbb {H}}$ , прямое произведение двух кватернионные алгебры. Центр этого кольца ${ Displaystyle mathbb {R} times mathbb {R}}$ , и, следовательно, он имеет структуру алгебры над своим центром, которая не является полем. Обратите внимание, что алгебра расщепленных бикватернионов также естественно является 8-мерной ${ Displaystyle mathbb {R}}$ -алгебра.

В коммутативной алгебре, если А это коммутативное кольцо, то любой гомоморфизм колец с единицей ${ displaystyle R to A}$ определяет р-модульная структура на А, и это то, что известно как р-алгебра структура.^[5] Итак, кольцо идет с натуральным ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ -модуля, так как можно взять единственный гомоморфизм ${ displaystyle mathbb {Z} to A}$ .^[6] С другой стороны, не всем кольцам может быть дана структура алгебры над полем (например, целые числа). Увидеть поле с одним элементом для попытки дать каждому кольцу структуру, которая ведет себя как алгебра над полем.

Смотрите также

Примечания

^ Смотрите также Хазевинкель, Губарени и Кириченко 2004, п.3 Предложение 1.1.1.
^ Пролла, Жоао Б. (2011) [1977]. "Лемма 4.10". Аппроксимация векторных функций.. Эльзевир. п. 65. ISBN 978-0-08-087136-3.
^ Шафер, Ричард Д. (1996). Введение в неассоциативные алгебры. ISBN 0-486-68813-5.
^ Этюд, Э. (1890 г.), "Комплексная сверхсистема Zahlen und ihre Anwendungen in der Theorie der Transformationsgruppen", Monatshefte für Mathematik, 1 (1): 283–354, Дои:10.1007 / BF01692479
^ Мацумура, Х. (1989). Теория коммутативных колец. Кембриджские исследования в области высшей математики. 8. Перевод Рида, М. (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-36764-6.
^ Кунц, Эрнст (1985). Введение в коммутативную алгебру и алгебраическую геометрию. Бирхаузер. ISBN 0-8176-3065-1.