Лемма Заришкиса - Википедия - Zariskis lemma

В алгебра, Лемма Зарисского, доказано Оскар Зариски  (1947 ), утверждает, что если поле K является конечно порожденный как ассоциативная алгебра над другим полем k, тогда K это конечное расширение поля из k (то есть он также конечно порожден как векторное пространство ).

Важное приложение леммы - доказательство слабой формы Nullstellensatz Гильберта:^[1] если я это правильный идеальный из ${ Displaystyle к [т_ {1}, ..., т_ {п}]}$ (k алгебраически замкнутое поле ), тогда я имеет ноль; т.е. есть точка Икс в ${ Displaystyle к ^ {п}}$ такой, что ${ displaystyle f (x) = 0}$ для всех ж в я. (Доказательство: замена я по максимальный идеал ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$, можно предположить ${ displaystyle I = { mathfrak {m}}}$ максимально. Позволять ${ Displaystyle А = К [т_ {1}, ..., т_ {п}]}$ и ${ displaystyle phi: от А до А / { mathfrak {m}}}$ быть естественным сюрпризом. С k алгебраически замкнуто, по лемме ${ displaystyle A / { mathfrak {m}} = k}$ а потом для любого ${ displaystyle f in { mathfrak {m}}}$,

${ Displaystyle е ( фи (т_ {1}), cdots, фи (т_ {п})) = фи (е (т_ {1}, cdots, т_ {п})) = 0}$;

то есть, ${ Displaystyle х = ( фи (т_ {1}), cdots, фи (т_ {п}))}$ это ноль ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$.)

Лемму также можно понять со следующей точки зрения. В общем, кольцо р это Кольцо Jacobson тогда и только тогда, когда каждый конечно порожденный р-алгебра, являющаяся полем, конечна над р.^[2] Таким образом, лемма следует из того, что поле является кольцом Джекобсона.

Доказательство

Два прямых доказательства, одно из которых принадлежит Зарисскому, даны в Атье – Макдональде.^[3][4] Оригинальное доказательство Зарисского см. В исходной статье.^[5] Еще одно прямое доказательство на языке Кольца Якобсона приведен ниже. Лемма также является следствием Лемма Нётер о нормализации. Действительно, по лемме о нормализации K это конечный модуль над кольцом многочленов ${ Displaystyle к [x_ {1}, ldots, x_ {d}]}$ куда ${ Displaystyle x_ {1}, ldots, x_ {d}}$ являются элементами K которые алгебраически независимы над k. Но с тех пор K имеет нулевую размерность Крулля, и поскольку интегральное кольцевое удлинение (например, конечное расширение кольца) сохраняет размерность Крулля, кольцо многочленов должно иметь размерность ноль; т.е. ${ displaystyle d = 0}$.

Следующая характеризация кольца Джекобсона содержит лемму Зарисского как частный случай. Напомним, что кольцо является кольцом Джекобсона, если каждый первичный идеал является пересечением максимальных идеалов. (Когда А это поле, А является кольцом Джекобсона, и следующая теорема является в точности леммой Зарисского.)

Доказательство: 2. ${ displaystyle Rightarrow}$ 1 .: Пусть ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ быть главным идеалом А и установить ${ displaystyle B = A / { mathfrak {p}}}$. Нам нужно показать Радикал Якобсона из B равно нулю. Для этого пусть ж быть ненулевым элементом B. Позволять ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ быть максимальным идеалом локализации ${ displaystyle B [е ^ {- 1}]}$. потом ${ Displaystyle Б [е ^ {- 1}] / { mathfrak {m}}}$ - поле, которое является конечно порожденным А-алгебра и поэтому конечна над А по предположению; таким образом, он конечен над ${ displaystyle B = A / { mathfrak {p}}}$ и поэтому конечно над подкольцом ${ displaystyle B / { mathfrak {q}}}$ куда ${ displaystyle { mathfrak {q}} = { mathfrak {m}} cap B}$. По целостности ${ displaystyle { mathfrak {q}}}$ - максимальный идеал, не содержащий ж.

1. ${ displaystyle Rightarrow}$ 2 .: Поскольку фактор-кольцо кольца Джекобсона является кольцом Джекобсона, мы можем считать B содержит А как подкольцо. Тогда утверждение является следствием следующего алгебраического факта:

(*) Позволять ${ Displaystyle B supset A}$ - области целостности такие, что B конечно порожден как А-алгебра. Тогда существует ненулевое а в А такой, что каждый гомоморфизм колец ${ displaystyle phi: от A до K}$, K алгебраически замкнутое поле с ${ Displaystyle фи (а) neq 0}$ распространяется на ${ displaystyle { widetilde { phi}}: от B до K}$.

Действительно, выберите максимальный идеал ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ из А не содержащий а. Письмо K для некоторого алгебраического замыкания ${ displaystyle A / { mathfrak {m}}}$, каноническое отображение ${ Displaystyle phi: от А до А / { mathfrak {m}} hookrightarrow K}$ распространяется на ${ displaystyle { widetilde { phi}}: от B до K}$. С B это поле, ${ displaystyle { widetilde { phi}}}$ инъективен и поэтому B является алгебраическим (следовательно, конечным алгебраическим) над ${ displaystyle A / { mathfrak {m}}}$. Теперь докажем (*). Если B содержит элемент, который трансцендентален над А, то он содержит кольцо многочленов над А которому φ расширяется (без требования на а), поэтому можно считать B алгебраичен над А (скажем, по лемме Цорна). Позволять ${ displaystyle x_ {1}, dots, x_ {r}}$ быть генераторами B в качестве А-алгебра. Тогда каждый ${ displaystyle x_ {i}}$ удовлетворяет соотношению

${ displaystyle a_ {i0} x_ {i} ^ {n} + a_ {i1} x_ {i} ^ {n-1} + dots + a_ {in} = 0, , , a_ {ij} в}$

куда п зависит от я и ${ displaystyle a_ {i0} neq 0}$. Набор ${ displaystyle a = a_ {10} a_ {20} dots a_ {r0}}$. потом ${ Displaystyle Б [а ^ {- 1}]}$ является целым над ${ Displaystyle А [а ^ {- 1}]}$. Теперь учитывая ${ displaystyle phi: от A до K}$, мы сначала расширим его до ${ displaystyle { widetilde { phi}}: от A [a ^ {- 1}] до K}$ установив ${ Displaystyle { widetilde { phi}} (а ^ {- 1}) = phi (а) ^ {- 1}}$. Далее пусть ${ displaystyle { mathfrak {m}} = operatorname {ker} { widetilde { phi}}}$. По целостности ${ displaystyle { mathfrak {m}} = { mathfrak {n}} cap A [a ^ {- 1}]}$ для некоторого максимального идеала ${ displaystyle { mathfrak {n}}}$ из ${ Displaystyle Б [а ^ {- 1}]}$. потом ${ displaystyle { widetilde { phi}}: от A [a ^ {- 1}] до A [a ^ {- 1}] / { mathfrak {m}} до K}$ распространяется на ${ displaystyle B [a ^ {- 1}] to B [a ^ {- 1}] / { mathfrak {n}} to K}$. Ограничить последнюю карту B чтобы закончить доказательство. ${ displaystyle square}$

Примечания

Рекомендации

• М. Атия, I.G. Макдональд, Введение в коммутативную алгебру, Эддисон – Уэсли, 1994. ISBN  0-201-40751-5
• Джеймс Милн, Алгебраическая геометрия
• Зарисский, Оскар (1947), "Новое доказательство Nullstellensatz Гильберта", Бык. Амер. Математика. Soc., 53: 362–368, Дои:10.1090 / с0002-9904-1947-08801-7, МИСТЕР  0020075