Кольцо Якобсона - Википедия - Jacobson ring

Не путать с Полупростое кольцо Якобсона.

В алгебре Кольцо гильберта или Кольцо Jacobson кольцо такое, что каждое главный идеал это пересечение примитивные идеалы. Для коммутативных колец примитивные идеалы такие же, как максимальные идеалы так что в этом случае кольцо Джекобсона - это кольцо, в котором каждый первичный идеал является пересечением максимальных идеалов.

Кольца Якобсона были введены независимо Вольфганг Круль  (1951, 1952 ), который назвал их в честь Натан Джейкобсон из-за их отношения к радикалам Якобсона и Оскар Гольдман  (1951 ), который назвал их кольцами Гильберта в честь Дэвид Гильберт из-за их отношения к Nullstellensatz Гильберта.

Кольца Якобсона и Nullstellensatz

Nullstellensatz Гильберта алгебраическая геометрия является частным случаем утверждения, что кольцо многочленов от конечного числа переменных над полем является гильбертовым кольцом. Общая форма Nullstellensatz утверждает, что если р является кольцом Джекобсона, то любая конечно порожденная р-алгебра S. Более того, откат любого максимального идеала J из S это максимальный идеал я из р, и S / J является конечным расширением поля R / I.

В частности, морфизм конечного типа колец Джекобсона индуцирует морфизм максимальных спектров колец. Это объясняет, почему для алгебраических многообразий над полями часто бывает достаточно работать с максимальными идеалами, а не со всеми простыми идеалами, как это было сделано до введения схем. Для более общих колец, таких как локальные кольца, уже неверно, что морфизмы колец индуцируют морфизмы максимальных спектров, и использование простых идеалов, а не максимальных идеалов дает более чистую теорию.

Примеры

  • Любое поле является кольцом Якобсона.
  • Любой основной идеальный домен или дедекиндовский домен с Радикал Якобсона ноль - кольцо Джекобсона. В областях главных идеалов и областях Дедекинда ненулевые простые идеалы уже максимальны, поэтому единственное, что нужно проверить, это то, является ли нулевой идеал пересечением максимальных идеалов. Требование равенства нулю радикала Джекобсона гарантирует это. В областях главных идеалов и областях Дедекинда радикал Джекобсона обращается в нуль тогда и только тогда, когда существует бесконечно много простых идеалов.
  • Любая конечно порожденная алгебра над кольцом Джекобсона является кольцом Джекобсона. В частности, любая конечно порожденная алгебра над полем или целыми числами, такая как координатное кольцо любого аффинного алгебраического множества, является кольцом Джекобсона.
  • Локальное кольцо имеет ровно один максимальный идеал, поэтому оно является кольцом Джекобсона именно тогда, когда этот максимальный идеал является единственным первичным идеалом. Таким образом, любое коммутативное локальное кольцо с Измерение Крулля ноль - это Якобсон, но если размерность Крулля равна 1 или больше, кольцо не может быть Якобсоном.
  • (Амицур 1956 г. ) показал, что любая счетно порожденная алгебра над несчетным полем является кольцом Джекобсона.
  • Алгебры Тейта над неархимедовы поля кольца Якобсона.
  • Коммутативное кольцо р является кольцом Якобсона тогда и только тогда, когда R [x], кольцо многочленов над р, является кольцом Якобсона.[1]

Характеристики

Следующие условия на коммутативное кольцо р эквивалентны:

  • р кольцо Якобсона
  • Каждый главный идеал р является пересечением максимальных идеалов.
  • Каждый радикальный идеал является пересечением максимальных идеалов.
  • Каждый Идеал Гольдмана максимально.
  • Каждое факторкольцо р по простому идеалу имеет нуль Радикал Якобсона.
  • В каждом кольце частных нильрадикал равен радикалу Джекобсона.
  • Каждая конечно порожденная алгебра над р то есть поле конечно порождено как р-модуль. (Лемма Зарисского )
  • Каждый главный идеал п из р такой, что р/п имеет элемент Икс с (р/п)[Икс−1] поле является максимальным простым идеалом.
  • Спектр р это Пространство Якобсона, что означает, что каждое замкнутое подмножество является замыканием множества замкнутых точек в нем.
  • (Для нётеровых колец р): р не имеет главных идеалов п такой, что р/п - одномерное полулокальное кольцо.

Примечания

  1. ^ Капланский, теорема 31

Рекомендации