Александр Гротендик - Alexander Grothendieck

Александр Гротендик
Александр Гротендик.jpg
Александр Гротендик в Монреале, 1970 год.
Родившийся(1928-03-28)28 марта 1928 г.
Берлин, Пруссия, Германия
Умер13 ноября 2014 г.(2014-11-13) (86 лет)
Сен-Лизье, Франция
Национальность
Альма-матер
ИзвестенОбновление алгебраическая геометрия и синтез между ним и теория чисел и топология
Список вещей, названных в честь Александра Гротендика
Награды
Научная карьера
ПоляМатематика - функциональный анализ, алгебраическая геометрия, гомологическая алгебра
Учреждения
ТезисПроизводит тензорные топологические и космические ядерные объекты.  (1953)
Докторанты
Докторанты

Александр Гротендик (/ˈɡрoʊтəndяk/; Немецкий: [ˈꞬroːtn̩diːk]; Французский:[ɡʁɔtɛndik]; 28 марта 1928 г. - 13 ноября 2014 г.) математик кто стал ведущей фигурой в создании современной алгебраическая геометрия.[7][8] Его исследования расширили рамки области и добавили элементы коммутативная алгебра, гомологическая алгебра, теория связок и теория категорий к его основам, а его так называемые "относительная" перспектива привели к революционным достижениям во многих областях чистая математика.[7][9] Многие считают его величайшим математиком 20 века.[10]

Гротендик родился в Германии, вырос и жил в основном во Франции, и он и его семья подвергались преследованиям со стороны Нацистский режим. Однако большую часть своей трудовой жизни он, по сути, был без гражданства.[3] Поскольку он постоянно писал свое имя «Александр», а не «Александр»[11] а его фамилия, взятая у его матери, была голландской Нижненемецкий «Гротендик», его иногда ошибочно считали голландцем.[12]

Гротендик начал свою продуктивную и общественную карьеру математика в 1949 году. В 1958 году он был назначен профессором-исследователем в Institut des hautes études scientifiques (IHÉS) и оставался там до 1970 года, когда, движимый личными и политическими убеждениями, он ушел после спора о военном финансировании. Он получил свою медаль Филдса в 1966 году за успехи в алгебраическая геометрия, гомологическая алгебра, и K-теория.[13] Позже он стал профессором Университет Монпелье[5] и, по-прежнему создавая соответствующие математические работы, он вышел из математического сообщества и посвятил себя политическим и религиозным занятиям (сначала буддизм, а затем более христианское видение).[14] В 1991 году он переехал во французскую деревню Лассер в Пиренеи, где он жил уединенно, все еще неустанно работая над математикой до своей смерти в 2014 году.[15]

Жизнь

Семья и детство

Гротендик родился в Берлин к анархист родители. Его отец, Александр "Саша" Шапиро (также известный как Александр Танаров), имел Хасидские евреи корни и был заключен в тюрьму в России до переезда в Германию в 1922 году, а его мать, Йоханна «Ганка» Гротендик, происходила из Протестантский семья в Гамбург и работал журналистом. Оба оторвались от своего раннего прошлого в подростковом возрасте.[16] На момент его рождения мать Гротендика была замужем за журналистом Иоганнесом Раддацем, и его имя при рождении первоначально было записано как «Александр Раддац». Брак был расторгнут в 1929 году, и Шапиро / Танаров признал свое отцовство, но так и не женился на Ханке.[16]

Гротендик жил с родителями в Берлине до конца 1933 года, когда его отец переехал в Париж уклоняться нацизм, а вскоре и его мать. Они оставили Гротендик на попечение Вильгельма Гейдорна, Лютеранский пастор и учитель[17][18] в Гамбург. За это время его родители приняли участие в гражданская война в Испании, в соответствии с Винфрид Шарлау, как нестроевые вспомогательные подразделения,[19] хотя другие утверждают, что Саша воевал в анархистской милиции.[20]

Вторая Мировая Война

В мае 1939 года Гротендика посадили на поезд в Гамбурге во Францию. Вскоре после этого его отец был интернирован в Le Vernet.[21] Затем он и его мать были помещены в различные лагеря с 1940 по 1942 год как «нежелательные опасные иностранцы».[22] Первый был Лагерь Рьёкро, где его мать заболела туберкулезом, что в конечном итоге привело к ее смерти, и где Александру удалось посещать местную школу, в Mende. Однажды Александру удалось сбежать из лагеря, намереваясь убить Гитлера.[21] Позже его мать Ганка перевели в Лагерь для интернированных Гурс на оставшуюся часть Вторая Мировая Война.[21] Александру разрешили жить отдельно от матери,[23] в деревне Ле Шамбон-сюр-Линьон, укрытые и спрятанные в местных пансионатах или пенсии, хотя ему иногда приходилось искать убежище в лесу во время нацистов, иногда выживая без еды и воды в течение нескольких дней.[21][23] Его отец был арестован Антиеврейское законодательство Виши, и отправлен в Дранси, а затем передал Французское правительство Виши к немцам, чтобы их отправили убивать в Концентрационный лагерь Освенцим в 1942 г.[8][24] В Шамбоне Гротендик посещал Колледж Севеноль (ныне известный как Le Collège-Lycée Cévenol International ), уникальная средняя школа, основанная в 1938 году местными протестантскими пацифистами и антивоенными активистами. Многие дети-беженцы, спрятанные в Шамбоне, посещали Севеноль, и именно в этой школе Гротендик, по-видимому, впервые увлекся математикой.[25]

Исследования и контакты с исследовательской математикой

После войны молодой Гротендик изучал математику во Франции, сначала в Университет Монпелье где он изначально не успел, провалив такие занятия, как астрономия.[26] Работая самостоятельно, он заново открыл Мера Лебега. После трех лет самостоятельной учебы в 1948 году он продолжил учебу в Париже.[27]

Первоначально Гротендик посещал Анри Картан семинар в École Normale Supérieure, но у него не было необходимой подготовки, чтобы следить за мощным семинаром. По совету Картана и Андре Вайль, он переехал в Университет Нанси где он написал свою диссертацию под Лоран Шварц и Жан Дьедонне на функциональный анализ, с 1950 по 1953 гг.[28] В это время он был ведущим специалистом по теории топологические векторные пространства.[29] С 1953 по 1955 год переехал в Университет Сан-Паулу в Бразилию, куда он иммигрировал через Паспорт Нансена, учитывая, что он отказался принимать французское гражданство. К 1957 году он отложил эту тему, чтобы заняться алгебраической геометрией и гомологическая алгебра.[28] В том же году он был приглашен в Гарвард Оскар Зариски, но предложение провалилось, когда он отказался подписать клятву, пообещав не работать над свержением правительства Соединенных Штатов, что, как его предупредили, могло привести его в тюрьму. Перспектива не беспокоила его, пока у него был доступ к книгам.[30]

Сравнивая Гротендика в годы его жизни в Нэнси с École Normale Supérieure обученные студенты в то время: Пьер Самуэль, Роджер Годеман, Рене Том, Жак Диксмье, Жан Серф, Ивонн Брюа, Жан-Пьер Серр, Бернар Мальгранж, Лейла Шнепс говорит:

Он был настолько неизвестен этой группе и их профессорам, происходил из такой неблагополучной и хаотичной среды и был по сравнению с ними таким невежественным в начале своей исследовательской карьеры, что его стремительное восхождение к внезапной славе тем более невероятный; совершенно уникальное явление в истории математики.[31]

Его первые работы о топологических векторных пространствах в 1953 г. были успешно применены в физике и информатике, достигнув высшей точки в связи между Неравенство Гротендика и Парадокс Эйнштейна-Подольского-Розена в квантовой физике.[32]

IHÉS лет

В 1958 году Гротендик был установлен в Institut des hautes études scientifiques (IHÉS), новый научно-исследовательский институт, финансируемый из частных источников, который, по сути, был создан для Жан Дьедонне и Гротендик.[1] Гротендик привлек внимание интенсивной и высокопродуктивной деятельностью семинаров (де-факто рабочие группы, включившие в фундаментальную работу некоторых из самых способных французских и других математиков молодого поколения).[17] Сам Гротендик практически прекратил публикацию статей в общепринятом, выученный журнал маршрут. Тем не менее он смог играть ведущую роль в математике около десяти лет, собрав сильную школу.[33]

За это время он официально как студент Мишель Демазюр (кто работал над SGA3, на групповые схемы ), Люк Иллюзи (котангенс комплекс), Мишель Рейно, Жан-Луи Вердье (соучредитель производная категория теория) и Пьер Делинь. Соавторы проектов SGA также включали Майкл Артин (этальные когомологии ) и Ник Кац (теория монодромии и Карандаши Lefschetz ). Жан Жиро сработало торсор теория расширения неабелевы когомологии. Многим другим нравится Дэвид Мамфорд, Робин Хартшорн, Барри Мазур и C.P. Рамануджам также были задействованы.

"Золотой век"

Работа Александра Гротендика в период «Золотого века» в IHÉS определила несколько объединяющих тем в алгебраическая геометрия, теория чисел, топология, теория категорий и комплексный анализ.[28] Его первым (до IHÉS) открытием в алгебраической геометрии было Теорема Гротендика – Хирцебруха – Римана – Роха., обобщение Теорема Хирцебруха – Римана – Роха. доказано алгебраически; в этом контексте он также представил K-теория. Затем, следуя программе, которую он изложил в своем выступлении на конференции 1958 г. Международный конгресс математиков, он ввел теорию схемы, подробно развивая его в своем Éléments de géométrie algébrique (EGA) и обеспечивает новые более гибкие и общие основы алгебраической геометрии, которые были приняты в этой области с того времени.[17] Далее он представил этальные когомологии теория схем, предоставляющая ключевые инструменты для доказательства Гипотезы Вейля, а также кристаллические когомологии и алгебраические когомологии де Рама чтобы дополнить его. Тесно связанный с этими теориями когомологий, он создал топос теория как обобщение топологии (актуально также в категориальная логика ). Он также дал алгебраическое определение фундаментальные группы схем и в целом основных структур категориального Теория Галуа. В качестве основы для его когерентная двойственность теорию он также представил производные категории, которые были развиты Вердье.[34]

Результаты работы по этим и другим темам опубликованы в EGA и в менее отполированной форме в нотах Séminaire de géométrie algébrique (SGA), которую он направил в IHÉS.[17]

Политическая активность

Политические взгляды Гротендика были радикальный и пацифист, и он решительно выступал против как Соединенных Штатов интервенция во Вьетнам и Советский военный экспансионизм. Он читал лекции по теория категорий в окружающих лесах Ханой пока город бомбили, в знак протеста против война во Вьетнаме.[35] Он ушел из научной жизни примерно в 1970 году, узнав, что IHÉS частично финансировался военными.[36] Через несколько лет он вернулся в академию в качестве профессора Университет Монпелье.

Хотя вопрос военного финансирования был, пожалуй, самым очевидным объяснением ухода Гротендика из IHÉS, те, кто его знал, говорят, что причины разрыва лежат глубже. Пьер Картье, а visiteur de longue durée («постоянный гость») в IHÉS, написал статью о Гротендике для специального тома, опубликованного по случаю Сорокалетие IHÉS. В Grothendieck Festschrift, опубликованный в 1990 году, представлял собой трехтомный сборник научных статей, посвященный его шестидесятилетию в 1988 году.[37]

В нем Картье отмечает, что как сын анархиста-анархиста, выросшего среди бесправных, Гротендик всегда испытывал глубокое сострадание к бедным и угнетенным. По словам Картье, Гротендик пришел к Bures-sur-Yvette "Une Cage Dorée"(" позолоченная клетка "). Пока Гротендик был в IHÉS, оппозиция война во Вьетнаме накалялся, и Картье предполагает, что это также усилило отвращение Гротендика к тому, чтобы стать мандарином научного мира.[1] Кроме того, после нескольких лет в IHÉS Гротендик, казалось, занялся новыми интеллектуальными интересами. К концу 1960-х он начал интересоваться научными областями за пределами математики. Дэвид Рюэлль физик, поступивший на факультет IHÉS в 1964 году, сказал, что Гротендик приходил к нему несколько раз поговорить о физика.[n 1] Биология Гротендика интересовала гораздо больше, чем физика, и он организовал несколько семинаров на биологические темы.[38]

В 1970 году Гротендик с двумя другими математиками Клод Шевалле и Пьер Самуэль, создал политическую группу под названием Выживший- название позже было изменено на Survivre et vivre. Группа опубликовала бюллетень, посвященный антивоенным и экологическим вопросам, а также резко критиковал неизбирательное использование науки и технологий.[39] Гротендик посвятил этой группе следующие три года и был главным редактором ее бюллетеня.[5]

Хотя Гротендик продолжал заниматься математическими исследованиями, его стандартная математическая карьера по большей части закончилась, когда он покинул IHÉS.[8] После ухода из IHÉS Гротендик стал временный профессор в Коллеж де Франс два года.[39] Затем он стал профессором Университета Монпелье, где все больше отдалялся от математического сообщества. Он официально ушел на пенсию в 1988 году, через несколько лет после того, как принял должность исследователя в CNRS.[5]

Рукописи 1980-х гг.

Не публикуя математические исследования традиционными способами в течение 1980-х годов, он создал несколько влиятельных рукописей с ограниченным распространением как с математическим, так и с биографическим содержанием.

Производился в 1980 и 1981 годах, La Longue Marche à travers la théorie de Galois (Долгий путь по теории Галуа) представляет собой рукописную рукопись объемом 1600 страниц, содержащую многие идеи, которые привели к Программа Esquisse d'un.[40] Он также включает исследование Теория Тейхмюллера.

В 1983 г. стимулировал переписку с Рональд Браун и Тим Портер в Бангорский университет, Гротендик написал 600-страничную рукопись под названием Погоня за стеками, начиная с письма на имя Дэниел Квиллен. Это письмо и последующие части были распространены из Бангора (см. внешняя ссылка ниже). В них в неформальной, как дневник манере, Гротендик объяснил и развил свои идеи о взаимосвязи между алгебраическая теория гомотопий и алгебраическая геометрия и перспективы некоммутативной теории стеки. Рукопись, редактируемая к публикации Дж. Мальциниотисом, впоследствии стала основой для другого его монументального произведения: Les Dérivateurs. Написанный в 1991 году, этот последний опус объемом около 2000 страниц развил гомотопические идеи, начатые в Погоня за стеками.[7] Большая часть этой работы предвосхитила последующее развитие теории мотивационной гомотопии Фабьен Морель и Владимир Воеводский в середине 1990-х гг.

В 1984 году Гротендик написал предложение Программа Esquisse d'un[40] («Набросок программы») на должность в Национальный центр научных исследований (CNRS). В нем описаны новые идеи для изучения пространство модулей сложных кривых. Хотя сам Гротендик никогда не публиковал свои работы в этой области, это предложение вдохновило других математиков на работы, став источником детская одежда теория и Анабелева геометрия. Позже он был опубликован в двухтомнике. Геометрические действия Галуа (Издательство Кембриджского университета, 1997).

В этот период Гротендик также дал согласие на публикацию некоторых своих проектов для EGA на Теоремы типа Бертини (EGA V, опубликованный в Ulam Quarterly в 1992–1993 гг., А затем размещенный на Grothendieck Circle веб-сайт в 2004 году).

В автобиографической рукописи на 1000 страницах Récoltes et semailles (1986) Гротендик описывает свой подход к математике и свой опыт в математическом сообществе, сообществе, которое первоначально принимало его открыто и гостеприимно, но которое, как он постепенно осознавал, руководствуется конкуренцией и статусом. Он жалуется на то, что он считал «захоронением» своей работы, и на предательство со стороны своих бывших студентов и коллег после того, как он покинул общину.[17] Récoltes et semailles работа теперь доступна в Интернете во французском оригинале,[41] и английский перевод находится в стадии реализации. Части Récoltes et semailles были переведены на испанский[42] и на русский язык и издано в Москве.[43]

В 1988 году Гротендик отклонил Приз Крафорда с открытым письмом в СМИ. Он писал, что такие авторитетные математики, как он сам, не нуждались в дополнительной финансовой поддержке, и критиковал то, что он считал упадком этики научного сообщества, характеризуемым откровенным научным воровством, которое, по его словам, стало обычным явлением и допускалось. В письме также выражалась уверенность в том, что совершенно непредвиденные события до конца века приведут к беспрецедентному краху цивилизации. Гротендик добавил, однако, что его взгляды «никоим образом не предназначены для критики целей Королевской академии в управлении ее фондами», и добавил: «Я сожалею о неудобствах, которые мой отказ принять премию Крафорда мог причинить вам и Королевской академии. . "[44]

La Clef des Songes315-страничная рукопись, написанная в 1987 году, представляет собой отчет Гротендика о том, как его рассмотрение источника снов привело его к выводу, что Бог существует.[45] В примечаниях к этой рукописи Гротендик описал жизнь и работу 18 «мутантов», людей, которых он восхищался как провидцы, далеко опередившие свое время и знаменующие новую эру.[46] Единственным математиком в его списке был Бернхард Риманн.[47] Под влиянием католического мистика Марта Робин который, как утверждалось, выжил только благодаря Святой Евхаристии, Гротендик чуть не умер от голода в 1988 году.[5] Его растущая озабоченность духовными вопросами также была очевидна в письме под названием Lettre de la Bonne Nouvelle был отправлен 250 друзьям в январе 1990 года. В нем он описал свои встречи с божеством и объявил, что «Нью Эйдж» начнется 14 октября 1996 года.[7]

Более 20 000 страниц математических и других работ Гротендика, хранящихся в Университете Монпелье, остаются неопубликованными.[48] Они были оцифрованы для сохранения и находятся в свободном доступе в открытом доступе на портале Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck.[49][50]

Отставка в затворничество и смерть

В 1991 году Гротендик переехал на новый адрес, который он не сообщил своим предыдущим контактам в математическом сообществе.[5] После этого к нему приходили очень немногие. Местные жители помогли ему придерживаться более разнообразной диеты после того, как он попытался жить на одном из основных продуктов питания. суп из одуванчиков.[51] В какой-то момент, Лейла Шнепс и Пьер Лочак нашел его, а затем завел короткую переписку. Таким образом, они стали одними из «последних членов математического истеблишмента, которые вступили с ним в контакт».[52] После его смерти выяснилось, что он жил один в доме в Лассер, Арьеж, небольшая деревня у подножия Пиренеи.[53]

В январе 2010 года Гротендик написал письмо «Déclaration d'intention de non-publishing» в адрес Люк Иллюзи, утверждая, что все материалы, опубликованные в его отсутствие, были опубликованы без его разрешения. Он просит, чтобы ни одна из его работ не воспроизводилась полностью или частично, а копии этой работы были удалены из библиотек.[54] Сайт, посвященный его творчеству, был назван «мерзостью».[55] Этот порядок мог быть отменен позже в 2010 году.[56]

13 ноября 2014 г. в возрасте 86 лет Гротендик скончался в больнице г. Сен-Жирон, Арьеж.[25][57]

Гражданство

Гротендик родился в Веймарская Германия. В 1938 году в возрасте десяти лет он переехал во Францию ​​как беженец. Записи о его гражданстве были уничтожены при падении Германии в 1945 году, и после войны он не подавал заявление о предоставлении французского гражданства. Таким образом, он стал лицом без гражданства, по крайней мере, на большую часть своей трудовой жизни, путешествуя Паспорт Нансена.[3][4][2] Частично это нежелание иметь французское гражданство объясняется нежеланием служить во французских вооруженных силах, особенно из-за Алжирская война (1954–62).[58][1][4] В конце концов, он подал заявление на получение французского гражданства в начале 1980-х годов, намного старше возраста, освобождавшего его от военной службы.[1]

Семья

Гротендик был очень близок со своей матерью, которой он посвятил свою диссертацию. Она умерла в 1957 году от туберкулез что она заключила контракт в лагерях для перемещенных лиц.[39] У него было пятеро детей: сын от домовладелицы во время его пребывания в Нанси,[1] трое детей, Джоанна (1959), Александр (1961) и Матьё (1965) с женой Мирей Дюфур,[59][5] и один ребенок от Жюстин Скалба, с которой он жил в коммуне в начале 1970-х.[5]

Математическая работа

Ранние математические работы Гротендика были в функциональный анализ. С 1949 по 1953 год он работал над докторской диссертацией по этому предмету в Нэнси, под руководством Жан Дьедонне и Лоран Шварц. Его ключевые вклады включают топологические тензорные произведения из топологические векторные пространства, теория ядерные пространства как основа для Распределения Шварца, и применение Lп пробелы при изучении линейных отображений между топологическими векторными пространствами. За несколько лет он превратился в ведущего авторитета в этой области функционального анализа - до такой степени, что Дьедонне сравнивает свое влияние в этой области с влиянием Банах.[60]

Однако в алгебраическая геометрия и смежные области, в которых Гротендик проделал свою самую важную и влиятельную работу. Примерно с 1955 года он начал работать над пучок теория и гомологическая алгебра, производя влиятельные "Бумага Тохоку " (Sur quelques points d'algèbre homologique, опубликовано в Математический журнал Тохоку в 1957 г.), где он представил абелевы категории и применили свою теорию, чтобы показать, что когомологии пучков можно определить как определенные производные функторы в контексте.[17]

Гомологические методы и теория пучков были введены в алгебраическую геометрию еще Жан-Пьер Серр и другие, после того, как связки были определены Жан Лере. Гротендик поднял их на более высокий уровень абстракции и превратил их в ключевой организационный принцип своей теории. Он переключил внимание с изучения отдельных разновидностей на относительная точка зрения (пары разновидностей, связанные морфизм ), позволяющий широко обобщить многие классические теоремы.[39] Первым крупным приложением была относительная версия теоремы Серра, показывающая, что когомологии связный пучок на полном многообразии конечномерна; Теорема Гротендика показывает, что более высокие прямые изображения когерентных пучков при правильном отображении когерентны; это сводится к теореме Серра над одноточечным пространством.

В 1956 году он применил то же мышление к Теорема Римана – Роха, которые уже недавно были обобщены на любые измерения Hirzebruch. В Теорема Гротендика – Римана – Роха. было объявлено Гротендиком на первом Mathematische Arbeitstagung в Бонн, в 1957 г.[39] Он появился в печати в статье, написанной Арман Борель с Серром. Этот результат был его первой работой по алгебраической геометрии. Он продолжил планировать и выполнять программу восстановления основ алгебраической геометрии, которые тогда находились в состоянии постоянного изменения и обсуждались в Клод Шевалле семинар; он изложил свою программу в своем выступлении на конференции 1958 г. Международный конгресс математиков.

Его фундаментальная работа по алгебраической геометрии находится на более высоком уровне абстракции, чем все предыдущие версии. Он адаптировал использование незамкнутых общие точки, что привело к теории схемы. Он также был пионером в систематическом использовании нильпотенты. В качестве «функций» они могут принимать только значение 0, но они несут бесконечно малый информация в чисто алгебраической постановке. Его теория схем зарекомендовала себя как лучшая универсальная основа для этой области благодаря своей выразительности и технической глубине. В этой настройке можно использовать бирациональная геометрия, техники из теория чисел, Теория Галуа и коммутативная алгебра, и близкие аналоги методов алгебраическая топология, и все это комплексно.[17][61][62]

Он также известен своим мастерством абстрактных подходов к математике и перфекционизмом в вопросах формулировки и представления.[33] Относительно немного его работ после 1960 г. было опубликовано обычным путем. выученный журнал, распространяемые первоначально в двух экземплярах семинара; его влияние было в значительной степени личным. Его влияние распространилось на многие другие разделы математики, например, на современную теорию математики. D-модули. (Это также вызвало негативную реакцию, и многие математики искали более конкретные области и проблемы.)[63][64]

EGA, SGA, FGA

Основная часть опубликованных работ Гротендика собрана в монументальных, но неполных, Éléments de géométrie algébrique (EGA) и Séminaire de géométrie algébrique (SGA). Коллекция Fondements de la Géometrie Algébrique (FGA), который объединяет доклады, данные в Séminaire Bourbaki, также содержит важный материал.[17]

Работа Гротендика включает изобретение эталь и l-адические когомологии теории, которые объясняют наблюдение Андре Вайль Дело в том, что существует связь между топологическими характеристиками многообразия и его диофантовыми (теоретико-числовыми) свойствами.[39] Например, количество решений уравнения над конечное поле отражает топологическую природу его решений над сложные числа. Вейль понял, что для доказательства такой связи нужна новая теория когомологий, но ни он, ни другие эксперты не видели, как это сделать, пока такая теория не была найдена Гротендиком.

Эта программа завершилась доказательством Гипотезы Вейля, последний из которых заселил ученик Гротендика Пьер Делинь в начале 1970-х после того, как Гротендик в значительной степени ушел из математики.[17]

Основные математические вклады

В ретроспективе Гротендика Récoltes et Semailles, он выделил двенадцать своих работ, которые, по его мнению, были квалифицированы как «великие идеи».[65] В хронологическом порядке это:

  1. Топологические тензорные произведения и ядерные пространства.
  2. «Непрерывный» и «дискретный» двойственность (производные категории, "шесть операций ").
  3. Йога Теорема Гротендика – Римана – Роха. (K-теория, связь с теория пересечений ).
  4. Схемы.
  5. Topoi.
  6. Этальные когомологии и l-адические когомологии.
  7. Мотивы и мотивационная группа Галуа (-Категории Гротендика).
  8. Кристаллы и кристаллические когомологии, йога "коэффициентов де Рама", "коэффициентов Ходжа", ...
  9. «Топологическая алгебра»: ∞-стеки, производные; когомологический формализм топоев как вдохновение для нового гомотопическая алгебра.
  10. Ручная топология.
  11. Йога анабелева алгебраическая геометрия, Теория Галуа – Тайхмюллера.
  12. "Схематическая" или "арифметическая" точка зрения на правильные многогранники и обычные конфигурации всех видов.

Здесь термин йога обозначает своего рода «метатеорию», которую можно использовать эвристически; Мишель Рейно называет другие термины «нить Ариадны» и «философия» эффективными эквивалентами.[66]

Гротендик писал, что из этих тем самой большой по объему были топои, поскольку они синтезировали алгебраическую геометрию, топологию и арифметику. Тема, получившая наибольшее развитие, - схемы, составляющие основу »по преимуществу«для восьми других тем (всех, кроме 1, 5 и 12). Гротендик писал, что первая и последняя темы, топологические тензорные произведения и регулярные конфигурации, имели более скромный размер, чем другие. Топологические тензорные произведения сыграли роль инструмент, а не источник вдохновения для дальнейших разработок; но он ожидал, что обычные конфигурации не могут быть исчерпаны в течение жизни математика, посвятившего себя этому. Он полагал, что самыми глубокими темами были мотивы, анабелева геометрия и Галуа… Теория Тейхмюллера.[67]

Влияние

Многие считают Гротендика величайшим математиком 20 века.[10] В некрологе Дэвид Мамфорд и Джон Тейт написал:

Хотя в течение 20 века математика становилась все более абстрактной и общей, именно Александр Гротендик был величайшим мастером этого направления. Его уникальное умение заключалось в том, чтобы исключить все ненужные гипотезы и закопаться в области так глубоко, что ее внутренние паттерны на самом абстрактном уровне проявили себя - а затем, как фокусник, показать, как решение старых проблем выпало прямым путем теперь, когда раскрылась настоящая природа.[10]

К 1970-м годам работы Гротендика стали влиятельными не только в алгебраической геометрии, но и в смежных областях теории пучков и гомологической алгебры,[68] но повлиял на логику, в области категориальной логики.[69]

Геометрия

Гротендик подошел к алгебраической геометрии, прояснив основы этой области, и разработав математические инструменты, предназначенные для доказательства ряда известных гипотез. Алгебраическая геометрия традиционно означала понимание геометрических объектов, таких как алгебраические кривые и поверхностей, путем изучения алгебраических уравнений для этих объектов. Свойства алгебраических уравнений, в свою очередь, изучаются с использованием техники теория колец. В этом подходе свойства геометрического объекта связаны со свойствами связанного кольца. Пространство (например, реальное, сложное или проективное), в котором определяется объект, является внешним по отношению к объекту, в то время как кольцо является внутренним.

Гротендик заложил новую основу алгебраической геометрии, сделав внутренние пространства («спектры») и связанные с ними кольца первоочередными объектами исследования. С этой целью он разработал теорию схемы, который неформально можно представить как топологические пространства на котором коммутативное кольцо связан с каждым открытым подмножеством пространства. Схемы стали основным объектом изучения практиков современной алгебраической геометрии. Их использование в качестве основы позволило геометрии впитать технические достижения из других областей.[70]

Его обобщение классического Теорема Римана-Роха связанные топологические свойства комплекса алгебраические кривые к их алгебраической структуре. Инструменты, которые он разработал для доказательства этой теоремы, положили начало изучению алгебраический и топологическая K-теория, которые изучают топологические свойства объектов, связывая их с кольцами.[71] Топологическая K-теория была основана Майкл Атья и Фридрих Хирцебрух, после прямого контакта с идеями Гротендика в Bonn Arbeitstagung.[72]

Теории когомологий

Строительство Гротендика нового когомология теории, использующие алгебраические методы для изучения топологических объектов, повлияли на развитие алгебраическая теория чисел, алгебраическая топология, и теория представлений. В рамках этого проекта его создание теория топоса, теоретико-категориальное обобщение точечная топология, повлиял на области теория множеств и математическая логика.[68]

В Гипотезы Вейля были сформулированы в конце 1940-х годов как набор математических задач в арифметическая геометрия. Они описывают свойства аналитических инвариантов, называемых локальные дзета-функции, числа точек на алгебраической кривой или многообразии более высокой размерности. Открытие Гротендиком ℓ-адические этальные когомологии, первый пример Когомологии Вейля теория, открыла путь к доказательству гипотез Вейля, в конечном итоге завершенной в 1970-х годах его учеником. Пьер Делинь.[71] Масштабный подход Гротендика получил название «дальновидной программы».[73] Затем ℓ-адические когомологии стали фундаментальным инструментом для теоретиков чисел с приложениями к Программа Langlands.[74]

Предполагаемая теория Гротендика мотивы задумывался как «ℓ-адическая» теория, но без выбора «ℓ», простого числа. Он не предоставил предполагаемый путь к гипотезам Вейля, но был позади современных разработок в алгебраическая K-теория, теория мотивационной гомотопии, и мотивационная интеграция.[75] Эта теория, Дэниел Квиллен работы, и теория Гротендика Классы Черна, считаются основой теории алгебраический кобордизм, еще один алгебраический аналог топологических идей.[76]

Теория категорий

Гротендик делает акцент на роли универсальные свойства через различные математические структуры теория категорий в мейнстрим как организационный принцип математики в целом. Среди его применений теория категорий создает общий язык для описания подобных структур и методов, встречающихся во многих различных математических системах.[77] Его представление о абелева категория в настоящее время является основным объектом изучения в гомологическая алгебра.[78] Возникновение отдельной математической дисциплины теории категорий было приписано влиянию Гротендика, хотя и непреднамеренно.[79]

В популярной культуре

Роман Полковник Лагримас (Полковник слезы на английском языке, доступен через Restless Books) пуэрториканца - костариканского писателя Карлоса Фонсека - полубиографический роман о Гротендике.[80]

Публикации

  • Гротендик, Александр (1955). "Produits Tensoriels Topologiques et Espaces Nucléaires" [Топологические тензорные продукты и ядерные пространства]. Мемуары из серии Американского математического общества (На французском). Провиденс: Американское математическое общество. 16. ISBN  978-0-8218-1216-7. МИСТЕР  0075539. OCLC  1315788.
  • Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства. Перевод Чалджуба, Орландо. Нью-Йорк: издательство Gordon and Breach Science. ISBN  978-0-677-30020-7. OCLC  886098.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Рюэль изобрел концепцию странный аттрактор в динамическая система и с голландским математиком Флорис Такенс, выпустили новую модель для турбулентность в течение 1970-х гг.

Рекомендации

  1. ^ а б c d е ж Картье 2004.
  2. ^ а б c Дуру 2012.
  3. ^ а б c Картье 2004, п. 10, сноска 12.
  4. ^ а б c Кляйнерт 2007.
  5. ^ а б c d е ж грамм час Шарлау 2008.
  6. ^ Пьер Картье; Люк Иллюзи; Николас М. Кац, ред. (2006). Grothendieck Festschrift, Том I: Сборник статей, написанных в честь 60-летия Александра Гротендика. Springer. п. 7. ISBN  978-0-8176-4566-3.
  7. ^ а б c d Джексон, Аллин (2004), "Comme Appelé du Néant - Как будто вызванный из пустоты: жизнь Александра Гротендика II" (PDF), Уведомления Американского математического общества, 51 (10)
  8. ^ а б c Брюс Вебер; Джули Рехмейер (14 ноября 2014 г.). "Александр Гротендик, Math Enigma, умер в возрасте 86 лет". Нью-Йорк Таймс.
  9. ^ Мамфорд, Дэвид; Тейт, Джон (2015). «Александр Гротендик (1928–2014) Математик, перестроивший алгебраическую геометрию». Природа. 517 (7534): 272. Bibcode:2015Натура.517..272M. Дои:10.1038 / 517272a. ISSN  0028-0836. PMID  25592527.
  10. ^ а б c Некролог Александру Гротендику Дэвидом Мамфордом и Джоном Тейтом Дэвид Мамфорд из Университета Брауна и Гарварда: Архив для перепечаток: Можно ли объяснить схемы биологам, 14 декабря 2014 г.
  11. ^ Картье 2004, п. 9.
  12. ^ Картье 2001, п. 391, сноска 3.
  13. ^ https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Fields/1966/index.html.
  14. ^ )Шарлау, Винфрид. «Кто такой Александр Гротендик? Анархия, математика, духовность, одиночество» (PDF).
  15. ^ Ruelle 2007, п. 40.
  16. ^ а б "Ранние истоки гения". Архивировано из оригинал 15 июня 2011 г.. Получено 15 июн 2011.
  17. ^ а б c d е ж грамм час я Джексон, Аллин (2004), "Comme Appelé du Néant - Как будто вызванный из пустоты: жизнь Александра Гротендика I" (PDF), Уведомления Американского математического общества, 51 (4)
  18. ^ Le Monde
  19. ^ Шарлау (2008), стр. 931: Винфрид Шарлау, «Wer ist Александр Гротендик»? п.2 .:«Beide beteiligten sich am Spanischen Bürgerkrieg, nicht aktiv kämpfend, aber unterstützend».
  20. ^ Рубен Херш, Вера Джон-Штайнер, Любить и ненавидеть математику: бросая вызов мифам математической жизни, Princeton University Press, 2011, стр.109.
  21. ^ а б c d Амир Д. Акзель,Художник и математик, Основные книги, 2009, стр. 8ff.pp. 8-15.
  22. ^ Петр Прагач, «Заметки о жизни и творчестве Александра Гротендика», в Петр Прагач (ред.), Темы когомологических исследований алгебраических многообразий: конспекты лекций Impanga, Springer Science & Business Media, 2006, стр-xi-xxviii, стр. Xii.
  23. ^ а б Лука Барбьери Виале, «Александр Гротендик: entusiasmo e creatività», у К. Барточчи, Р. Бетти, А. Герраджио, Р. Луккетти (ред.) Vite matematiche: Protagonisti del '900, da Hilbert a Wiles, Springer Science & Business Media, 2007, стр. 237–249, стр. 237.
  24. ^ Дэвид Рюэлль, Мозг математика, Издательство Принстонского университета, 2007, стр.35.
  25. ^ а б "Александр Гротендик, ou la mort d'un génie qui voulait se faire oublier". Libération Sciences (На французском). 13 ноября 2014 г.. Получено 14 ноября 2014.
  26. ^ http://images.math.cnrs.fr/Alexandre-Grothendieck.html#nh14
  27. ^ См. Джексон (2004: 1).
  28. ^ а б c Пьер Картье; Люк Иллюзи; Николас М. Кац; Жерар Лаумон; Юрий Иванович Манин (2007). «Предисловие». Grothendieck Festschrift, Том I: Сборник статей, написанных в честь 60-летия Александра Гротендика.
  29. ^ "Book Reviews : Topological vector spaces, by A. Grothendieck" (PDF). Бюллетень Американского математического общества (4). Июль 1976 г. Дои:10.1090/S0002-9904-1976-14076-1.
  30. ^ Reuben Hersh, Vera John-Steiner, Loving and Hating Mathematics: Challenging the Myths of Mathematical Life, Princeton University Press, 2011 p.113.
  31. ^ Who Is Alexandre Grothendieck: Anarchy, Mathematics, Spirituality A three-volume biography of Alexandre Grothendieck, Volume 2, Chapter 3: From student to celebrity (1949-1952)
  32. ^ "CNRS".
  33. ^ а б Amir D. Aczel (2009). The Artist and the Mathematician. Основные книги.
  34. ^ Липман, Джозеф (2009). "Notes on derived categories and Grothendieck duality" (PDF). Foundations of Grothendieck Duality for Diagrams of Schemes. Конспект лекций по математике. 1960. Нью-Йорк: Springer-Verlag. pp. 1–259. Дои:10.1007/978-3-540-85420-3. ISBN  978-3-540-85419-7. МИСТЕР  2490557.
  35. ^ The Life and Work of Alexander Grothendieck, Американский математический ежемесячный журнал, т. 113, no. 9, footnote 6.
  36. ^ SGA1, Springer Lecture Notes 224, p. xii, xiii
  37. ^ Редакторы были Pierre Cartier, Люк Иллюзи, Ник Кац, Жерар Лаумон, Юрий Манин, и Кен Рибет. A second edition has been printed (2007) by Birkhauser.
  38. ^ Allyn Jackson, The IHÉS at Forty, Notices of the AMS, March 1999, pp. 329–337.
  39. ^ а б c d е ж Pragacz 2005.
  40. ^ а б Alexandre Grothendieck, Программа Esquisse d'un, английский перевод
  41. ^ (На французском) Alexander Grothendieck, "Récoltes et sémailles, Réflexions et témoignage sur un passé de mathématicien." В архиве 18 августа 2017 г. Wayback Machine
  42. ^ "Récoltes et Semailles; La Clef des Songes" (на испанском).
  43. ^ "Free books: Récoltes et semailles". www.mccme.ru. Получено 12 сентября 2017.
  44. ^ "Crafoord Prize letter, English translation" (PDF). Archived from the original on 6 January 2006. Получено 2005-06-17.CS1 maint: BOT: статус исходного URL-адреса неизвестен (связь)
  45. ^ Scharlau 2008, p. 940.
  46. ^ Scharlau, Winfried. "Who Is Alexander Grothendieck?" (PDF). Уведомления AMS. 55: 930–941.
  47. ^ Scharlau, Winfried, Die Mutanten – Les Mutants – eine Meditation von Alexander Grothendieck (PDF) (на немецком)
  48. ^ (На французском) Le trésor oublié du génie des maths
  49. ^ (На французском) Les «gribouillis» d'Alexandre Grothendieck enfin sauvegardés
  50. ^ "ACCUEIL". Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck (На французском). Получено 26 декабря 2019.
  51. ^ John Derbyshire, Unknown Quantity: A Real and Imaginary History of Algebra, National Academies Press, 2006 p.314.
  52. ^ Leith, Sam (20 March 2004), "The Einstein of maths", Зритель, получено 26 декабря 2019
  53. ^ Stéphane Foucart; Philippe Pajot (14 November 2014). "Alexandre Grothendieck, le plus grand mathématicien du XXe siècle, est mort". Le Monde.
  54. ^ "Grothendieck's letter". Секретный семинар по ведению блогов. 9 февраля 2010 г.. Получено 12 сентября 2017.
  55. ^ "Grothendieck Circle". Archived from the original on 29 September 2014. Получено 13 октября 2015.CS1 maint: BOT: статус исходного URL-адреса неизвестен (связь)
  56. ^ "Réédition des SGA". Archived from the original on 29 June 2016. Получено 12 ноября 2013.CS1 maint: BOT: статус исходного URL-адреса неизвестен (связь)
  57. ^ Alexander Grothendieck - obituary
  58. ^ Cartier 2001.
  59. ^ Hersh, John-Steiner, p.113.
  60. ^ (Dieudonné 1990 )
  61. ^ See, for example, (Deligne 1998 ).
  62. ^ Mclarty, Colin. "The Rising Sea: Grothendieck on simplicity and generality I" (PDF). Получено 29 апреля 2020.
  63. ^ Peck, Morgen, Equality of Mathematicians, Alexandre Grothendieck is arguably the most important mathematician of the 20th century...
  64. ^ Leith, Sam (20 March 2004), "The Einstein of maths", Зритель, [A] mathematician of staggering accomplishment ... a legendary figure in the mathematical world.
  65. ^ Grothendieck 1986, п. 21.
  66. ^ на стр. 2.
  67. ^ Grothendieck 1986, п. 22.
  68. ^ а б Saunders Mac Lane; Ieke Moerdijk (1992). Sheaves in Geometry and Logic: a First Introduction to Topos Theory. Springer-Verlag New York Inc. ISBN  0-387-97710-4.
  69. ^ Dov M. Gabbay; Akihiro Kanamori; John Woods, Jr. (2012). Sets and Extensions in the Twentieth Century. Эльзевир. п. 733. ISBN  978-0-444-51621-3.
  70. ^ Miles Reid (15 December 1988). Undergraduate Algebraic Geometry. Издательство Кембриджского университета. п.115. ISBN  978-0-521-35662-6.
  71. ^ а б Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия, Тексты для выпускников по математике, 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90244-9, МИСТЕР  0463157
  72. ^ Michael Atiyah (3 April 2014). Michael Atiyah Collected Works: Volume 7: 2002-2013. Издательство Оксфордского университета. pp. 383–. ISBN  978-0-19-968926-2.
  73. ^ M. Ram Murty; V. Kumar Murty (6 October 2012). The Mathematical Legacy of Srinivasa Ramanujan. Springer Science & Business Media. pp. 156–. ISBN  978-81-322-0769-6.
  74. ^ R. P. Langlands, Modular forms and l-adic representations, Lecture Notes in Math. 349. (1973), 361—500
  75. ^ J.S. Milne (1980). Этальные когомологии. Издательство Принстонского университета.
  76. ^ Marc Levine; Fabien Morel (23 February 2007). Algebraic Cobordism. Springer Science & Business Media. п. viii. ISBN  978-3-540-36824-3.
  77. ^ Marquis, Jean-Pierre (2015). Залта, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии (Winter 2015 ed.). Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета.
  78. ^ S. Gelfand; Yuri Manin (1988). Methods of homological algebra. Springer.
  79. ^ Ralph Krömer (25 June 2007). Tool and Object: A History and Philosophy of Category Theory. Springer Science & Business Media. С. 158–. ISBN  978-3-7643-7524-9.
  80. ^ "Colonel Lágrimas". Restless Books. Получено 12 сентября 2017.

Источники и дальнейшее чтение

внешняя ссылка