Дериватор - Википедия - Derivator

В математика, производные предлагаемые новые рамки^{[1][2]стр.190-195} за гомологическая алгебра дающий основу для неабелевой гомологической алгебры и различных ее обобщений. Они были введены для устранения недостатков производные категории (например, нефункториальность конструкции конуса) и в то же время предоставляют язык для гомотопическая алгебра.

Дериваторы были впервые представлены Александр Гротендик в его длинной неопубликованной рукописи 1983 г. Погоня за стеками. Затем они были развиты им в огромной неопубликованной рукописи 1991 года. Les Dérivateurs почти 2000 страниц.

Рукопись была отредактирована для онлайн-публикации Жоржем Мальциниотисом. Теория получила дальнейшее развитие несколькими другими людьми, включая Хеллера, Franke, Келлер и Грот.

Мотивации

Одной из мотивирующих причин для рассмотрения производных является отсутствие функториальности конструкции конуса с триангулированные категории. Дериваторы могут решить эту проблему и решить проблему включения общих гомотопические копределы, отслеживая все возможные диаграммы в категории с слабые эквиваленты и их отношения друг с другом. Эвристически, учитывая диаграмму

${ displaystyle bullet to bullet}$

который представляет собой категорию с двумя объектами, одной стрелкой, не являющейся тождественной, и функтором

${ displaystyle F: ( bullet to bullet) to A}$

в категорию ${ displaystyle A}$ с классом слабых эквивалентностей ${ displaystyle W}$, и удовлетворяющий правильным гипотезам, должен иметь связанный функтор

${ Displaystyle С (F): пуля к А [W ^ {- 1}]}$

где целевой объект уникален с точностью до слабой эквивалентности в ${ displaystyle { mathcal {C}} [W ^ {- 1}]}$. Производные могут кодировать такую ​​информацию и предоставлять исчисление диаграмм для использования в производные категории и теория гомотопии.

Определение

Предериваторы

Формально предшественник ${ Displaystyle mathbb {D}}$ является 2-функтором

${ displaystyle mathbb {D}: { text {Ind}} ^ {op} to { text {CAT}}}$

из подходящей 2-й категории индексы в категорию категорий. Обычно такие 2-функторы возникают при рассмотрении категорий ${ displaystyle { underline { text {Hom}}} (I ^ {op}, A)}$ куда ${ displaystyle A}$ называется категория коэффициентов. Например, ${ displaystyle { text {Ind}}}$ может быть категорией фильтруемых небольших категорий, объекты которых можно рассматривать как наборы индексации для фильтрованный копредел. Тогда, учитывая морфизм диаграмм

${ displaystyle f: I to J}$

обозначать ${ displaystyle f ^ {*}}$ к

${ displaystyle f ^ {*}: mathbb {D} (J) to mathbb {D} (I)}$

Это называется обратное изображение функтор. В мотивирующем примере это просто предварительная композиция, поэтому с учетом функтора ${ displaystyle F_ {I} in { underline { text {Hom}}} (I ^ {op}, A)}$ есть связанный функтор ${ Displaystyle F_ {J} = F_ {I} circ f}$. Обратите внимание, что эти 2-функторы можно считать

${ displaystyle { underline { text {Hom}}} (-, A [W ^ {- 1}])}$

куда ${ displaystyle W}$ - подходящий класс слабых эквивалентностей в категории ${ displaystyle A}$.

Категории индексации

Есть несколько примеров категорий индексации, используемых в этой конструкции.

• 2 категории ${ displaystyle { text {FinCat}}}$ конечных категорий, поэтому объекты являются категориями, совокупность объектов которых является конечным множеством.
• Порядковая категория ${ displaystyle Delta}$ можно разделить на две категории, где объекты представляют собой категории с одним объектом, а функторы образуют стрелки в порядковой категории.
• Другой вариант - просто использовать категорию небольших категорий.
• Кроме того, связанный с любым топологическим пространством ${ displaystyle X}$ это категория ${ displaystyle { text {Open}} (X)}$ который можно использовать в качестве категории индексации.
• Это можно обобщить на любые топосы. ${ displaystyle T}$, поэтому категория индексации - это базовый сайт.

Дериваторы

Тогда производные являются аксиоматизацией предшественников, которые снабжены присоединенными функторами

${ displaystyle { begin {matrix} f ^ {?} & f _ {!} & f ^ {*} & f _ {*} & f ^ {!} end {matrix}}}$

куда ${ displaystyle f_ {!}}$ слева примыкает к ${ displaystyle f ^ {*}}$ и так далее. Эвристически, ${ displaystyle f _ {*}}$ должны соответствовать обратным пределам, ${ displaystyle f_ {!}}$ до копределов.

Рекомендации

• Les Dérivateurs: Texte d'Alexandre Grothendieck. Издание М. Кюнцера, Дж. Мальгуара, Г. Мальциниотиса
• Производные, точечные производные и стабильные производные (Мориц Грот)

внешняя ссылка

• производная в nLab
• Подтопы, открытые подтопы и закрытые подтопы
• https://golem.ph.utexas.edu/category/2018/03/stabilization_of_derivators.html

Этот алгебра -связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.