Карандаш Лефшеца - Lefschetz pencil

В математика, а Карандаш Лефшеца это конструкция в алгебраическая геометрия рассматривается Соломон Лефшец, используется для анализа алгебраическая топология из алгебраическое многообразие V.

Описание

А карандаш это особый вид линейная система делителей на V, а именно однопараметрическое семейство, параметризованное проективная линия. Это означает, что в случае комплексное алгебраическое многообразие V, карандаш Лефшеца - это что-то вроде расслоение над Сфера Римана; но с двумя оговорками о сингулярности.

Первый момент возникает, если мы предположим, что V дается как проективное разнообразие, а делители на V находятся сечения гиперплоскости. Предположим, что заданы гиперплоскости ЧАС и ЧАС′, Натягивая карандаш - иными словами, ЧАС дан кем-то L = 0 и ЧАС' от L′ = 0 для линейных форм L и L′, А общее гиперплоское сечение равно V пересекается с

${ displaystyle lambda L + mu L ^ { prime} = 0. }$

Тогда перекресток J из ЧАС с участием ЧАС'Имеет коразмерность два. Существует рациональное отображение

${ Displaystyle V rightarrow P ^ {1} }$

который на самом деле хорошо определен только вне точек на пересечении J с участием V. Чтобы составить четкое отображение, некоторые взрыв должен применяться к V.

Второй момент заключается в том, что волокна сами могут «дегенерировать» и приобретать особые точки (где Лемма Бертини применяется, Общее сечение гиперплоскости будет гладким). Пучок Лефшеца ограничивает природу приобретенных особенностей, так что топология может быть проанализирована с помощью исчезающий цикл метод. Слои с особенностями должны иметь только единственную квадратичную особенность.^[1]

Было показано, что карандаши Лефшеца существуют в характеристика ноль. Они применяются способами, аналогичными, но более сложными, чем Функции Морса на гладкие многообразия. Также было показано, что карандаши Лефшеца существуют в характеристика p для этальной топологии.

Саймон Дональдсон нашел роль карандашей Лефшеца в симплектическая топология, что привело к более позднему исследованию интереса к ним.

Смотрите также

• Теория Пикара – Лефшеца

использованная литература

• Дональдсон, Саймон К. (1998). «Расслоения Лефшеца в симплектической геометрии». Documenta Mathematica (Труды Международного конгресса математиков, том II (Берлин, 1998)). Дополнительный том II: 309–314. Г-Н  1648081.
• Гриффитс, Филипп; Харрис, Джо (1994). Принципы алгебраической геометрии. Библиотека Wiley Classics. Wiley Interscience. п. 509. ISBN  0-471-05059-8.

Заметки

внешние ссылки

• Гомпф, Роберт (2005). "Что такое карандаш Лефшеца?" (PDF). Уведомления Американского математического общества. 52 (8).
• Гомпф, Роберт (2001). «Топология симплектических многообразий» (PDF). Турецкий математический журнал. 25: 43–59. Г-Н  1829078.