Теория Пикара – Лефшеца - Picard–Lefschetz theory

В математике Теория Пикара – Лефшеца изучает топологию комплексное многообразие глядя на критические точки из голоморфная функция на коллекторе. Он был представлен Эмиль Пикар для сложных поверхностей в его книге Пикард и Симарт (1897), и расширен до более высоких измерений Соломон Лефшец (1924 ). Это сложный аналог Теория Морса который изучает топологию реального многообразие глядя на критические точки реальной функции. Пьер Делинь и Николас Кац (1973 ) распространил теорию Пикара – Лефшеца на многообразия над более общими полями, и Делинь использовал это обобщение в своем доказательстве Гипотезы Вейля.

Формула Пикара – Лефшеца

В Формула Пикара – Лефшеца описывает монодромия в критический момент.

Предположим, что ж является голоморфным отображением из (к + 1)-мерное проективное комплексное многообразие к проективной прямой п¹. Предположим также, что все критические точки невырождены, лежат в разных слоях и имеют образы Икс₁,...,Икс_п в п¹. Выберите любую другую точку Икс в п¹. В фундаментальная группа π₁(п¹ – {Икс₁, ..., Икс_п}, Икс) порождается петлями ш_я обойти точки Икс_я, и в каждую точку Икс_я Существует исчезающий цикл в гомологии ЧАС_k(Y_Икс) волокна наИкс. Обратите внимание, что это средняя гомология, поскольку слой имеет комплексную размерность k, следовательно, реальное измерение 2kДействие монодромии π₁(п¹ – {Икс₁, ..., Икс_п}, Икс) на ЧАС_k(Y_Икс) описывается формулой Пикара – Лефшеца. (Действие монодромии на другие группы гомологий тривиально.) Действие монодромии генератора ш_я фундаментальной группы на ${ displaystyle gamma}$ ∈ ЧАС_k(Y_Икс) дан кем-то

{ displaystyle w_ {i} ( gamma) = gamma + (- 1) ^ {(k + 1) (k + 2) / 2} langle gamma, delta _ {i} rangle delta _ {я}}

где δ_я это исчезающий цикл Икс_я. Эта формула неявно появляется для k = 2 (без явных коэффициентов исчезающих циклов δ_я) в Пикард и Симарт (1897, стр.95). Лефшец (1924 г., главы II, V) дали явную формулу во всех измерениях.

Пример

Рассмотрим проективное семейство гиперэллиптических кривых рода ${ displaystyle g}$ определяется

{ Displaystyle у ^ {2} = (х-т) (х-а_ {1}) cdots (х-а_ {к})}

куда ${ Displaystyle т ин mathbb {A} ^ {1}}$ параметр и ${ Displaystyle к = 2g + 1}$ . Тогда это семейство имеет двухточечные вырождения всякий раз, когда ${ displaystyle t = a_ {i}}$ . Поскольку кривая представляет собой связную сумму ${ displaystyle g}$ торов, форма пересечения на ${ displaystyle H_ {1}}$ кривой общего положения - это матрица

{ displaystyle { begin {bmatrix} 0 & 1 1 & 0 end {bmatrix}} ^ { oplus g} = { begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & cdots & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 & cdots & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & cdots & 0 0 & 0 & 1 & 0 & cdots & 0 & 0 vdots & vdots & vdots & vdots & cdots & vdots & vdots 0 & 0 & 0 & 0 & cdots & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & cdots & 1 & 0 end {bmatrix}}

мы можем легко вычислить формулу Пикара-Лефшеца вокруг вырождения на ${ Displaystyle mathbb {А} _ {т} ^ {1}}$ . Предположим, что ${ displaystyle gamma, delta}$ являются ${ displaystyle 1}$ -циклы из ${ displaystyle j}$ -й тор. Тогда формула Пикара-Лефшеца имеет вид

{ displaystyle w_ {j} ( gamma) = gamma - delta}

если ${ displaystyle j}$ -й тор содержит исчезающий цикл. В противном случае это карта идентичности.

Теория Пикара – Лефшеца - Picard–Lefschetz theory

Формула Пикара – Лефшеца

Пример

Рекомендации