Критическая точка (математика) - Critical point (mathematics)

В абсциссы («x-координаты») красных кружков - стационарные точки; синие квадраты точки перегиба.

Критическая точка это широкий термин, используемый во многих отраслях математика.

При работе с функции действительной переменной, а критическая точка - точка в области определения функции, в которой функция либо не дифференцируемый либо производная равна нулю.^[1] При работе с комплексные переменные, а критическая точка аналогично, точка в области определения функции, где она либо не голоморфный либо производная равна нулю.^[2]^[3] Точно так же для функция нескольких действительных переменных, а критическая точка является значением в своей области, где градиент не определено или равно нулю.^[4]

Значение функции в критической точке равно критическое значение.

Такое определение распространяется на дифференцируемые карты между р^м и р^п, а критическая точка в данном случае точка, где классифицировать из Матрица якобиана не является максимальным. Он распространяется дальше на дифференцируемые карты между дифференцируемые многообразия, как точки уменьшения ранга матрицы Якоби. В этом случае критические точки также называют точки бифуркации.

В частности, если C это плоская кривая, определенный неявное уравнение ж(Икс,у) = 0 критические точки проекции на Икс-ось, параллельная у-оси - это точки касательной к C параллельны у-оси, то есть точки, в которых ${ displaystyle { frac { partial f} { partial y}} (x, y) = 0}$ . Другими словами, критические точки - это те, в которых теорема о неявной функции не применяется.

Понятие о критическая точка позволяет математическое описание астрономический явление, которое было необъяснимо до времен Коперник. А стационарная точка на орбите планеты - точка траектории планеты на небесная сфера, где движение планеты, кажется, останавливается, прежде чем возобновиться в другом направлении. Это происходит из-за критической точки проекции орбиты в эклиптический круг.

Критическая точка функции одной переменной

А критическая точка функции единого реальная переменная, ж(Икс), является значением Икс₀ в домен из ж где это не дифференцируемый или его производная равно 0 (ж ′(Икс₀) = 0).^[1] А критическое значение изображение под ж критической точки. Эти концепции могут быть визуализированы через график из ж: в критической точке график имеет горизонтальную касательная если вы вообще можете его назначить.

Обратите внимание, как для дифференцируемая функция, критическая точка такой же как стационарная точка.

Хотя это легко визуализировать на графике (который представляет собой кривую), понятие критической точки функции не следует путать с понятием критической точки в некотором направлении изгиб (видеть ниже для подробного определения). Если грамм(Икс,у) является дифференцируемым функция двух переменных, то грамм(Икс,у) = 0 - это неявное уравнение кривой. А критическая точка такой кривой для проекции, параллельной у-ось (карта (Икс, у) → Икс), - точка кривой, в которой ${ displaystyle { frac { partial g} { partial y}} (x, y) = 0}$ . Это означает, что касательная к кривой параллельна у-axis, и в этот момент грамм не определяет неявную функцию из Икс к у (видеть теорема о неявной функции ). Если (Икс₀, у₀) является такой критической точкой, то Икс₀ соответствующий критическое значение. Такая критическая точка также называется точка бифуркации, как обычно, когда Икс изменяется, есть две ветви кривой по бокам Икс₀ и ноль с другой стороны.

Из этих определений следует, что a дифференцируемая функция ж(Икс) имеет критическую точку Икс₀ с критическим значением у₀, если и только если (Икс₀, у₀) является критической точкой его графика для проекции, параллельной Иксось, с тем же критическим значением у₀. Если ж не дифференцируема в x₀ из-за того, что касательная становится параллельной оси y, то x₀ снова является критической точкой ж, но теперь (x₀, y₀) является критической точкой его графика для проекции, параллельной у-ось.

Например, критические точки единичный круг уравнения Икс² + у² - 1 = 0 - это (0, 1) и (0, -1) для проекции, параллельной Икс-оси и (1, 0) и (-1, 0) для направления, параллельного у-ось. Если рассматривать верхний полукруг как график функции ${ displaystyle f (x) = { sqrt {1-x ^ {2}}}}$ , тогда Икс = 0 является критической точкой с критическим значением 1 из-за того, что производная равна 0, а x = -1 и x = 1 являются критическими точками с критическим значением 0 из-за того, что производная не определена.

Примеры

Функция ж(Икс) = Икс² + 2Икс + 3 всюду дифференцируема с производной ж ′(Икс) = 2Икс + 2. Эта функция имеет единственную критическую точку −1, поскольку это единственное число Икс₀ для которых 2Икс₀ + 2 = 0. Эта точка является глобальный минимум из ж. Соответствующее критическое значение ж(−1) = 2. График ж вогнутая парабола, критическая точка - это абсцисса вершины, где касательная линия горизонтальна, а критическое значение - ордината вершины и может быть представлена пересечением этой касательной линии и у-ось.
Функция ж(Икс) = Икс^2/3 определено для всех Икс и дифференцируемый для Икс ≠ 0, с производной ж ′(Икс) = 2Икс^−1/3/ 3. С ж не дифференцируема при x = 0 и f '(x) ≠ 0 в противном случае это единственная критическая точка. График функции ж имеет куспид в этой точке с вертикальной касательной. Соответствующее критическое значение ж(0) = 0.
В функция абсолютного значения f (x) = | x | дифференцируема всюду, кроме критической точки x = 0, где она имеет точку глобального минимума с критическим значением 0.
Функция ж(Икс) = 1/Икс не имеет критических точек. Точка x = 0 не является критической, потому что она не входит в область определения функции.

Расположение критических точек

Посредством Теорема Гаусса-Лукаса, все критические точки полиномиальной функции в комплексная плоскость находятся в пределах выпуклый корпус из корни функции. Таким образом, для полиномиальной функции только с действительными корнями все критические точки действительны и находятся между наибольшим и наименьшим корнями.

Гипотеза Сендова утверждает, что если все корни функции лежат в единичный диск в комплексной плоскости, то есть по крайней мере одна критическая точка в пределах единицы расстояния от любого заданного корня.

Критические точки неявной кривой

Критические точки играют важную роль в изучении плоские кривые определяется неявные уравнения, в частности для зарисовка их и определения их топология. Понятие критической точки, которое используется в этом разделе, может показаться отличным от того, что использовалось в предыдущем разделе. Фактически, это специализация простого случая общего понятия критической точки, заданного ниже.

Итак, мы рассматриваем кривую $C$ определяется неявным уравнением ${ displaystyle f (x, y) = 0}$ , куда $ж$ это дифференцируемая функция двух переменных, обычно двумерный многочлен. Точки кривой - это точки Евклидова плоскость чей Декартовы координаты удовлетворяют уравнению. Есть два стандартных прогнозы ${ displaystyle pi _ {y}}$ и ${ displaystyle pi _ {x}}$ , определяется ${ Displaystyle пи _ {у} ((х, у)) = х}$ и ${ Displaystyle пи _ {х} ((х, у)) = у,}$ которые отображают кривую на оси координат. Их называют проекция параллельно оси y и проекция параллельно оси x, соответственно.

Точка $C$ является критично для ${ displaystyle pi _ {y}}$ , если касательная к $C$ существует и параллельно у-ось. В этом случае изображений к ${ displaystyle pi _ {y}}$ критической точки и касательной - это одна и та же точка Иксось, называемая критическое значение. Таким образом, точка имеет решающее значение для ${ displaystyle pi _ {y}}$ если его координаты являются решением система уравнений:

{ displaystyle f (x, y) = { frac { partial f} { partial y}} (x, y) = 0}

Отсюда следует, что данное определение является частным случаем общего определения критической точки, которое дается ниже.

Определение критической точки для ${ displaystyle pi _ {x}}$ похож. Если $C$ это график функции ${ Displaystyle у = г (х)}$ , тогда $(Икс, у)$ имеет решающее значение для ${ displaystyle pi _ {x}}$ если и только если $Икс$ критическая точка $грамм$ , и что критические значения совпадают.

Некоторые авторы определяют критические точки из $C$ как точки, которые являются критическими для любого ${ displaystyle pi _ {x}}$ или же ${ displaystyle pi _ {y}}$ , хотя они зависят не только от $C$ , но и от выбора осей координат. Также от авторов зависит, будет ли особые точки считаются критическими точками. Фактически особые точки - это точки, удовлетворяющие

{ displaystyle f (x, y) = { frac { partial f} { partial x}} (x, y) = { frac { partial f} { partial y}} (x, y) = 0}

,

и, таким образом, являются решениями любой системы уравнений, характеризующих критические точки. В этом более общем определении критические точки для ${ displaystyle pi _ {y}}$ это именно те точки, где теорема о неявной функции не применяется.

Использование дискриминанта

Когда кривая $C$ является алгебраическим, то есть когда он определяется двумерным полиномом $ж$ , то дискриминант - полезный инструмент для вычисления критических точек.

Здесь мы рассматриваем только проекцию ${ displaystyle pi _ {y}}$ ; Подобные результаты относятся к ${ displaystyle pi _ {x}}$ путем обмена $Икс$ и $у$ .

Позволять ${ displaystyle operatorname {Disc} _ {y} (f)}$ быть дискриминант из $ж$ рассматривается как многочлен от $у$ с коэффициентами, которые являются полиномами от $Икс$ . Таким образом, этот дискриминант является полиномом от $Икс$ который имеет критические значения ${ displaystyle pi _ {y}}$ среди его корней.

Точнее, простой корень ${ displaystyle operatorname {Disc} _ {y} (f)}$ является либо критическим значением ${ displaystyle pi _ {y}}$ такой соответствующей критической точкой является точка, которая не является особой, ни точкой перегиба, ни точкой $Икс$ -координата асимптота что параллельно $у$ -оси и касается "на бесконечности" к точка перегиба (асимптота перегиба).

Множественный корень дискриминанта соответствует либо нескольким критическим точкам, либо асимптотам перегиба, имеющим одно и то же критическое значение, либо критической точке, которая также является точкой перегиба, либо особой точке.

Несколько переменных

Для функция нескольких действительных переменных, точка п (это набор значений для входных переменных, который рассматривается как точка в р^п) является критический если это точка, в которой градиент не определен, или градиент равно нулю.^[4] Критические значения - это значения функции в критических точках.

Критическая точка может быть либо локальный максимум, а местный минимум или точка перевала. Если функция хотя бы дважды непрерывно дифференцируема, разные случаи можно выделить, рассматривая собственные значения из Матрица Гессе вторых производных.

Критическая точка, в которой матрица Гессе равна неособый как говорят невырожденный, и признаки собственные значения гессиана определяют локальное поведение функции. В случае функции одной переменной гессиан - это просто вторая производная, рассматриваемая как 1 × 1-матрица, которая является невырожденной тогда и только тогда, когда она не равна нулю. В этом случае невырожденная критическая точка - это локальный максимум или локальный минимум, в зависимости от знака второй производной, которая положительна для локального минимума и отрицательна для локального максимума. Если вторая производная равна нулю, критической точкой обычно является точка перегиба, но также может быть точка волнистости, который может быть локальным минимумом или локальным максимумом.

Для функции п переменных, количество отрицательных собственных значений матрицы Гессе в критической точке называется индекс критической точки. Невырожденная критическая точка является локальным максимумом тогда и только тогда, когда индекс равен п, или, что то же самое, если матрица Гессе имеет вид отрицательно определенный; это локальный минимум, если индекс равен нулю или, что то же самое, если матрица Гессе равна положительно определенный. Для других значений индекса невырожденная критическая точка является точка перевала, то есть точка, которая является максимумом в одних направлениях и минимумом в других.

Приложение к оптимизации

К Теорема Ферма, все местные максимумы и минимумы непрерывной функции происходят в критических точках. Следовательно, чтобы найти локальные максимумы и минимумы дифференцируемой функции, теоретически достаточно вычислить нули градиента и собственные значения матрицы Гессе в этих нулях. На практике это не работает, потому что требует решения нелинейная система из одновременные уравнения, что является сложной задачей. Обычный численные алгоритмы гораздо более эффективны для поиска локальных экстремумов, но не могут подтвердить, что все экстремумы были найдены. глобальная оптимизация, эти методы не могут подтвердить, что результат действительно является глобальным оптимумом.

Когда минимизируемая функция является многомерный полином, критические точки и критические значения являются решениями система полиномиальных уравнений, а современные алгоритмы решения таких систем предоставляют конкурентоспособные сертифицированные методы поиска глобального минимума.

Критическая точка дифференцируемой карты

Учитывая дифференцируемую карту ж из р^м в р^п, то критические точки из ж точки р^м, где ранг Матрица якобиана из ж не является максимальным.^[5] Изображение критической точки под ж называется критическое значение. Точка в дополнении множества критических значений называется обычное значение. Теорема Сарда утверждает, что множество критических значений гладкой карты имеет измерять ноль. В частности, если п = 1, в каждом ограниченном интервале имеется конечное число критических значений.

Некоторые авторы^[6] дать несколько иное определение: критическая точка из ж это точка р^м где ранг Матрица якобиана из ж меньше чем п. В соответствии с этим соглашением все моменты имеют решающее значение, когда м < п.

Эти определения распространяются на дифференциальные карты между дифференцируемые многообразия следующим образом. Позволять ${ displaystyle f: V rightarrow W}$ быть дифференциальным отображением между двумя многообразиями $V$ и $W$ соответствующих размеров м и п. Вблизи точки $п$ из $V$ и из $ж (п)$ , графики находятся диффеоморфизмы ${ displaystyle varphi: V rightarrow mathbf {R} ^ {m}}$ и ${ displaystyle psi: W rightarrow mathbf {R} ^ {n}.}$ Смысл $п$ является критический за $ж$ если ${ displaystyle varphi (p)}$ имеет решающее значение для ${ displaystyle psi circ f circ varphi ^ {- 1}.}$ Это определение не зависит от выбора карт, поскольку отображения переходов являются диффеоморфизмами, их матрицы Якоби обратимы, и умножение на них не изменяет ранг матрицы Якоби ${ displaystyle psi circ f circ varphi ^ {- 1}.}$ Если M является гильбертовым многообразием (не обязательно конечномерным) и ж является вещественной функцией, то мы говорим, что п критическая точка ж если ж является нет а погружение в п.^[7]

Приложение к топологии

Критические моменты имеют фундаментальное значение для изучения топология из коллекторы и вещественные алгебраические многообразия. В частности, они являются основным инструментом для Теория Морса и теория катастроф.

Связь между критическими точками и топологией появляется уже на более низком уровне абстракции. Например, пусть ${ displaystyle V}$ быть подмногообразием ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n},}$ и $п$ быть точкой за пределами ${ displaystyle V.}$ Квадрат расстояния до $п$ точки ${ displaystyle V}$ - такое дифференциальное отображение, что каждая связная компонента ${ displaystyle V}$ содержит хотя бы критическую точку, где расстояние минимально. Отсюда следует, что количество компонент связности ${ displaystyle V}$ ограничено сверху числом критических точек.

В случае вещественных алгебраических многообразий это наблюдение связано с Теорема Безу позволяет нам ограничить количество компонентов связности функцией степеней многочленов, определяющих многообразие.