Асимптота - Asymptote

График функции с горизонтальной (у = 0), вертикальный (Икс = 0) и наклонной асимптоты (фиолетовая линия, заданная у = 2Икс).

Кривая, бесконечно много раз пересекающая асимптоту.

В аналитическая геометрия, асимптота (/ˈæsɪмптoʊт/) из изгиб - это такая линия, что расстояние между кривой и линией приближается к нулю как один или оба Икс или же у координаты стремится к бесконечности. В проективная геометрия и связанных контекстах, асимптота кривой - это линия, которая касательная к кривой на точка в бесконечности.^[1]^[2]

Слово асимптота происходит от Греческий ἀσύμπτωτος (Asumptōtos), что означает «не падают вместе», от ἀ приват. + σύν «вместе» + πτωτ-ός «упавший».^[3] Термин был введен Аполлоний Пергский в своей работе над конические секции, но, в отличие от современного значения, он использовал его для обозначения любой линии, которая не пересекает данную кривую.^[4]

Асимптоты бывают трех видов: горизонтальный, вертикальный и косой. Для кривых, представленных графиком функции у = ƒ(Икс), горизонтальные асимптоты - это горизонтальные линии, к которым график функции приближается как Икс как правило + ∞ или −∞. Вертикальные асимптоты - это вертикальные линии, вблизи которых функция неограниченно растет. Наклон наклонной асимптоты отличен от нуля, но конечен, так что график функции приближается к нему как Икс как правило + ∞ или −∞.

В более общем смысле, одна кривая - это криволинейная асимптота другого (в отличие от линейная асимптота), если расстояние между двумя кривыми стремится к нулю, поскольку они стремятся к бесконечности, хотя член асимптота само по себе обычно зарезервировано для линейных асимптот.

Асимптоты передают информацию о поведении кривых в большом, и определение асимптот функции - важный шаг в построении ее графика.^[5] Изучение асимптот функций, понимаемых в широком смысле, составляет часть предмета асимптотический анализ.

Вступление

{displaystyle f (x) = {гидроразрыв {1} {x}}}

нарисованный на Декартовы координаты. В Икс и у-оси - асимптоты.

Идея о том, что кривая может произвольно приближаться к линии, не становясь на самом деле такой же, может показаться противоречащей повседневному опыту. Представления линии и кривой в виде отметок на листе бумаги или пикселей на экране компьютера имеют положительную ширину. Так что, если бы они были расширены достаточно далеко, они бы слились, по крайней мере, насколько мог различить глаз. Но это физические представления соответствующих математических сущностей; линия и кривая - идеализированные понятия, ширина которых равна 0 (см. Линия ). Следовательно, для понимания идеи асимптоты требуется усилие разума, а не опыта.

Рассмотрим график функции ${displaystyle f (x) = {гидроразрыв {1} {x}}}$ показано в этом разделе. Координаты точек на кривой имеют вид ${displaystyle left (x, {frac {1} {x}} ight)}$ где x - число, отличное от 0. Например, график содержит точки (1, 1), (2, 0,5), (5, 0,2), (10, 0,1), ... как значения ${displaystyle x}$ становятся все больше и больше, скажем, 100, 1000, 10000 ..., поместив их далеко справа от иллюстрации, соответствующие значения ${displaystyle y}$ , .01, .001, .0001, ..., становятся бесконечно малыми относительно показанного масштаба. Но как бы большой ${displaystyle x}$ становится, его взаимное ${displaystyle {frac {1} {x}}}$ никогда не равен 0, поэтому кривая никогда не касается Икс-ось. Аналогично, как и значения ${displaystyle x}$ становятся все меньше и меньше, скажем 0,01, 0,001, 0,0001, ..., делая их бесконечно малыми относительно показанного масштаба, соответствующие значения ${displaystyle y}$ , 100, 1,000, 10,000 ... становятся все больше и больше. Таким образом, кривая тянется все дальше и дальше вверх по мере приближения к у-ось. Таким образом, как Икс и у-оси - асимптоты кривой. Эти идеи являются частью основы концепции предел в математике, и эта связь объясняется более подробно ниже.^[6]

Асимптоты функций

Асимптоты, наиболее часто встречающиеся при изучении исчисление имеют кривые формы у = ƒ(Икс). Их можно вычислить, используя пределы и подразделяется на горизонтальный, вертикальный и косой асимптоты в зависимости от их ориентации. Горизонтальные асимптоты - это горизонтальные линии, к которым график функции приближается как Икс стремится к + ∞ или −∞. Как видно из названия, они параллельны Икс-ось. Вертикальные асимптоты - это вертикальные линии (перпендикулярные Икс-axis), вблизи которого функция неограниченно растет. Наклонные асимптоты - это диагональные линии, такие, что разница между кривой и линией приближается к 0 при Икс стремится к + ∞ или −∞.

Вертикальные асимптоты

Линия Икс = а это вертикальная асимптота графика функции у = ƒ(Икс) если верно хотя бы одно из следующих утверждений:

${displaystyle lim _ {x o a ^ {-}} f (x) = pm infty,}$
${displaystyle lim _ {x o a ^ {+}} f (x) = pm infty,}$

куда ${displaystyle lim _ {x o a ^ {-}}}$ это предел как Икс приближается к стоимости а слева (от меньших значений) и ${displaystyle lim _ {x o a ^ {+}}}$ это предел как Икс подходы а справа.

Например, если ƒ (Икс) = Икс/(Икс–1) числитель стремится к 1, а знаменатель - к 0, поскольку Икс подходы 1. Итак

{displaystyle lim _ {x o 1 ^ {+}} {frac {x} {x-1}} = + infty}

{displaystyle lim _ {x o 1 ^ {-}} {frac {x} {x-1}} = - infty}

а кривая имеет вертикальную асимптоту Икс=1.

Функция ƒ(Икс) может или не может быть определено в а, и его точное значение в точке Икс = а не влияет на асимптоту. Например, для функции

{displaystyle f (x) = {egin {case} {frac {1} {x}} & {ext {if}} x> 0, 5 & {ext {if}} xleq 0.end {cases}}}

имеет предел + ∞ при Икс → 0⁺, ƒ(Икс) имеет вертикальную асимптоту Икс = 0, хотя ƒ(0) = 5. График этой функции действительно пересекает вертикальную асимптоту один раз в точке (0,5). График функции не может пересекать вертикальную асимптоту (или вертикальная линия в целом ) более чем в одной точке. Более того, если функция непрерывный в каждой точке, где он определен, его график не может пересекаться с какой-либо вертикальной асимптотой.

Типичный пример вертикальной асимптоты - это случай рациональной функции в точке x, такой, что знаменатель равен нулю, а числитель отличен от нуля.

Если функция имеет вертикальную асимптоту, то не обязательно, чтобы производная функции имела вертикальную асимптоту в том же месте. Примером является

{displaystyle f (x) = {frac {1} {x}} + sin ({frac {1} {x}}) quad}

в

{displaystyle quad x = 0}

.

Эта функция имеет вертикальную асимптоту при ${displaystyle x = 0,}$ потому что

{displaystyle lim _ {x o 0 ^ {+}} f (x) = lim _ {x o 0 ^ {+}} left ({frac {1} {x}} + sin left ({frac {1} { x}} ight) ight) = + infty,}

и

{displaystyle lim _ {x o 0 ^ {-}} f (x) = lim _ {x o 0 ^ {-}} left ({frac {1} {x}} + sin left ({frac {1} { x}} ight) ight) = - infty}

.

Производная от ${displaystyle f}$ это функция

{displaystyle f '(x) = {гидроразрыв {- (cos ({гидроразрыв {1} {x}}) + 1)} {x ^ {2}}}}

.

Для последовательности точек

{displaystyle x_ {n} = {frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 1) pi}}, quad}

за

{displaystyle quad n = 0,1,2, ldots}

это приближается ${displaystyle x = 0}$ как слева, так и справа значения ${displaystyle f '(x_ {n})}$ постоянно ${displaystyle 0}$ . Следовательно, оба односторонние ограничения из ${displaystyle f '}$ в ${displaystyle 0}$ не может быть ни ${displaystyle + infty}$ ни ${displaystyle -infty}$ . Следовательно ${displaystyle f '(x)}$ не имеет вертикальной асимптоты на ${displaystyle x = 0}$ .

Горизонтальные асимптоты

График функции может иметь две горизонтальные асимптоты. Примером такой функции может быть

{displaystyle y = arctan (x).}

Горизонтальные асимптоты - горизонтальные линии, к которым график функции приближается как Икс → ±∞. Горизонтальная линия у = c - горизонтальная асимптота функции у = ƒ(Икс) если

{displaystyle lim _ {xightarrow -infty} f (x) = c}

или же

{displaystyle lim _ {xightarrow + infty} f (x) = c}

.

В первом случае ƒ(Икс) имеет у = c как асимптота, когда Икс стремится к −∞, а во втором ƒ(Икс) имеет у = c как асимптота при Икс стремится к + ∞

Например, функция арктангенса удовлетворяет

{displaystyle lim _ {xightarrow -infty} arctan (x) = - {frac {pi} {2}}}

и

{displaystyle lim _ {xightarrow + infty} arctan (x) = {frac {pi} {2}}.}

Итак, линия у = −π / 2 - горизонтальная асимптота для арктангенса, когда Икс стремится к −∞, а у = π / 2 - горизонтальная асимптота для арктангенса, когда Икс стремится к + ∞.

У функций могут отсутствовать горизонтальные асимптоты с одной или обеих сторон, либо может быть одна горизонтальная асимптота, одинаковая в обоих направлениях. Например, функция ƒ (Икс) = 1/(Икс²+1) имеет горизонтальную асимптоту при у = 0, когда Икс стремится как к −∞, так и к + ∞, поскольку, соответственно,

{displaystyle lim _ {x o -infty} {frac {1} {x ^ {2} +1}} = lim _ {x o + infty} {frac {1} {x ^ {2} +1}} = 0.}

Наклонные асимптоты

На графике

{displaystyle f (x) = x + {гидроразрыв {1} {x}}}

, то у-ось (Икс = 0) и прямая у = Икс обе являются асимптотами.

Когда линейная асимптота не параллельна Икс- или же уось, она называется наклонная асимптота или же наклонная асимптота. Функция ж(Икс) асимптотична прямой у = mx + п (м ≠ 0) если

{displaystyle lim _ {x o + infty} left [f (x) - (mx + n) ight] = 0, {mbox {or}} lim _ {x o -infty} left [f (x) - (mx + n) ight] = 0.}

В первом случае строка у = mx + п наклонная асимптота ƒ(Икс) когда Икс стремится к + ∞, и во втором случае прямая у = mx + п наклонная асимптота ƒ (х) когда Икс стремится к −∞.

Пример: ƒ (Икс) = Икс + 1/Икс, имеющий наклонную асимптоту у = Икс (то есть м = 1, п = 0), как видно из пределов

{displaystyle lim _ {x o pm infty} left [f (x) -xight]}

{displaystyle = lim _ {x o pm infty} left [left (x + {frac {1} {x}} ight) -xight]}

{displaystyle = lim _ {x o pm infty} {frac {1} {x}} = 0.}

Элементарные методы определения асимптот

Асимптоты многих элементарных функций можно найти без явного использования пределов (хотя при выводе таких методов обычно используются пределы).

Общее вычисление наклонных асимптот для функций

Наклонная асимптота для функции ж(Икс), будет задаваться уравнением у=mx+п. Значение для м вычисляется первым и определяется как

{displaystyle m {stackrel {ext {def}} {=}} lim _ {xightarrow a} f (x) / x}

куда а либо ${displaystyle -infty}$ или же ${displaystyle + infty}$ в зависимости от изучаемого дела. Рекомендуется рассматривать эти два случая отдельно. Если этот предел не существует, то в этом направлении нет наклонной асимптоты.

Имея м тогда значение для п можно вычислить

{displaystyle n {stackrel {ext {def}} {=}} lim _ {xightarrow a} (f (x) -mx)}

куда а должно быть то же значение, что и раньше. Если этот предел не существует, то в этом направлении нет наклонной асимптоты, даже если предел, определяющий м существовать. Иначе у = mx + п наклонная асимптота ƒ(Икс) в качестве Икс как правило а.

Например, функция ƒ(Икс) = (2Икс² + 3Икс + 1)/Икс имеет

{displaystyle m = lim _ {xightarrow + infty} f (x) / x = lim _ {xightarrow + infty} {frac {2x ^ {2} + 3x + 1} {x ^ {2}}} = 2}

а потом

{displaystyle n = lim _ {xightarrow + infty} (f (x) -mx) = lim _ {xightarrow + infty} left ({frac {2x ^ {2} + 3x + 1} {x}} - 2xight) = 3}

так что у = 2Икс + 3 асимптота ƒ(Икс) когда Икс стремится к + ∞.

Функция ƒ(Икс) = ln Икс имеет

{displaystyle m = lim _ {xightarrow + infty} f (x) / x = lim _ {xightarrow + infty} {frac {ln x} {x}} = 0}

а потом

{displaystyle n = lim _ {xightarrow + infty} (f (x) -mx) = lim _ {xightarrow + infty} ln x}

, которого не существует.

Так у = ln Икс не имеет асимптоты, когда Икс стремится к + ∞.

Асимптоты для рациональных функций

А рациональная функция имеет не более одной горизонтальной асимптоты или наклонной (наклонной) асимптоты и, возможно, много вертикальных асимптот.

В степень числителя и степени знаменателя определяют, существуют ли горизонтальные или наклонные асимптоты. Случаи перечислены ниже в таблице, где deg (числитель) - это степень числителя, а deg (знаменатель) - степень знаменателя.

Случаи горизонтальных и наклонных асимптот рациональных функций
deg (числитель) −deg (знаменатель)	Асимптоты в целом	Пример	Асимптота например
< 0	${displaystyle y = 0}$	${displaystyle f (x) = {гидроразрыв {1} {x ^ {2} +1}}}$	${displaystyle y = 0}$
= 0	у = отношение ведущих коэффициентов	${displaystyle f (x) = {гидроразрыв {2x ^ {2} +7} {3x ^ {2} + x + 12}}}$	${displaystyle y = {frac {2} {3}}}$
= 1	у = частное Евклидово деление числителя на знаменатель	${displaystyle f (x) = {frac {2x ^ {2} + 3x + 5} {x}} = 2x + 3 + {frac {5} {x}}}$	${displaystyle y = 2x + 3}$
> 1	никто	${displaystyle f (x) = {гидроразрыв {2x ^ {4}} {3x ^ {2} +1}}}$	нет линейной асимптоты, но криволинейная асимптота существуют

Вертикальные асимптоты возникают только тогда, когда знаменатель равен нулю (если и числитель, и знаменатель равны нулю, сравниваются кратности нуля). Например, следующая функция имеет вертикальные асимптоты в Икс = 0 и Икс = 1, но не при Икс = 2.

{displaystyle f (x) = {frac {x ^ {2} -5x + 6} {x ^ {3} -3x ^ {2} + 2x}} = {frac {(x-2) (x-3) } {х (х-1) (х-2)}}}

Наклонные асимптоты рациональных функций

Черный: график

{displaystyle f (x) = (x ^ {2} + x + 1) / (x + 1)}

. Красный: асимптота

{displaystyle y = x}

. Зеленый: разница между графиком и его асимптотой для

{displaystyle x = 1,2,3,4,5,6}

Когда числитель рациональной функции имеет степень ровно на единицу больше знаменателя, функция имеет наклонную (наклонную) асимптоту. Асимптота - это полиномиальный член после разделение числитель и знаменатель. Это явление происходит потому, что при делении дроби будет линейный член и остаток. Например, рассмотрим функцию

{displaystyle f (x) = {гидроразрыв {x ^ {2} + x + 1} {x + 1}} = x + {гидроразрыв {1} {x + 1}}}

показано справа. В качестве значения Икс увеличивается, ж приближается к асимптоте у = Икс. Это потому, что другой член, 1 / (Икс+1), приближается к 0.

Если степень числителя более чем на 1 больше степени знаменателя, а знаменатель не делит числитель, будет ненулевой остаток, который стремится к нулю как Икс увеличивается, но частное не будет линейным, и функция не имеет наклонной асимптоты.

Преобразования известных функций

Если известная функция имеет асимптоту (например, у= 0 для ж(х) =е^Икс), то его переводы также имеют асимптоту.

Если Икс=а является вертикальной асимптотой ж(Икс), тогда Икс=а+час является вертикальной асимптотой ж(Икс-час)
Если у=c является горизонтальной асимптотой ж(Икс), тогда у=c+k является горизонтальной асимптотой ж(Икс)+k

Если известная функция имеет асимптоту, то масштабирование функции также имеют асимптоту.

Если у=топор+б является асимптотой ж(Икс), тогда у=cax+cb является асимптотой ср(Икс)

Например, ж(Икс)=е^Икс-1+2 имеет горизонтальную асимптоту у= 0 + 2 = 2, и никаких вертикальных или наклонных асимптот.

Общее определение

(sec (t), cosec (t)) или x² + y² = (ху)², с двумя горизонтальными и двумя вертикальными асимптотами.

Позволять А : (а,б) → р² быть параметрический плоская кривая в координатах А(т) = (Икс(т),у(т)). Предположим, что кривая стремится к бесконечности, то есть:

{displaystyle lim _ {tightarrow b} (x ^ {2} (t) + y ^ {2} (t)) = infty.}

Прямая - асимптота А если расстояние от точки А(т) к ℓ стремится к нулю при т → б.^[7] По определению асимптоту могут иметь только открытые кривые, имеющие некоторую бесконечную ветвь. Никакая замкнутая кривая не может иметь асимптоты.

Например, правая верхняя ветвь кривой у = 1/Икс можно определить параметрически как Икс = т, у = 1/т (куда т > 0). Первый, Икс → ∞ при т → ∞ и расстояние от кривой до Икс- ось 1 /т который приближается к 0 при т → ∞. Следовательно Икс-ось - это асимптота кривой. Также, у → ∞ при т → 0 справа, а расстояние между кривой и уось т который приближается к 0 при т → 0. Итак, у-axis также является асимптотой. Аналогичный аргумент показывает, что нижняя левая ветвь кривой также имеет те же две линии, что и асимптоты.

Хотя определение здесь использует параметризацию кривой, понятие асимптоты не зависит от параметризации. Фактически, если уравнение линии имеет вид ${displaystyle ax + by + c = 0}$ затем расстояние от точки А(т) = (Икс(т),у(т)) к строке дается выражением

{displaystyle {frac {| ax (t) + by (t) + c |} {sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}}

если γ (т) является изменением параметризации, то расстояние становится равным

{displaystyle {frac {| ax (gamma (t)) + by (gamma (t)) + c |} {sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}}

которое стремится к нулю одновременно с предыдущим выражением.

Важный случай - это когда кривая график из реальная функция (функция одной реальной переменной и возвращающая реальные значения). График функции у = ƒ(Икс) - множество точек плоскости с координатами (Икс,ƒ(Икс)). Для этого параметризация

{displaystyle tmapsto (t, f (t)).}

Эту параметризацию следует рассматривать на открытых интервалах (а,б), куда а может быть −∞ и б может быть + ∞.

Асимптота может быть вертикальной или невертикальной (наклонной или горизонтальной). В первом случае его уравнение имеет вид Икс = c, для некоторого реального числа c. Невертикальный случай имеет уравнение у = mx + п, куда м и ${displaystyle n}$ настоящие числа. Все три типа асимптоты могут присутствовать одновременно в конкретных примерах. В отличие от асимптот для кривых, которые представляют собой графики функций, общая кривая может иметь более двух невертикальных асимптот и может пересекать свои вертикальные асимптоты более одного раза.

Криволинейные асимптоты

Икс²+2Икс+3 - параболическая асимптота к (Икс³+2Икс²+3Икс+4)/Икс

Позволять А : (а,б) → р² - параметрическая плоская кривая в координатах А(т) = (Икс(т),у(т)), и B - другая (без параметров) кривая. Предположим, как и раньше, что кривая А стремится к бесконечности. Кривая B криволинейная асимптота А если кратчайшее расстояние от точки А(т) до точки на B стремится к нулю как т → б. Иногда B просто называется асимптотой А, когда нет риска путаницы с линейными асимптотами.^[8]

Например, функция

{displaystyle y = {frac {x ^ {3} + 2x ^ {2} + 3x + 4} {x}}}

имеет криволинейную асимптоту у = Икс² + 2Икс + 3, который известен как параболическая асимптота потому что это парабола а не прямая линия.^[9]

Асимптоты и построение кривых

Асимптоты используются в процедурах построение кривых. Асимптота служит ориентиром, показывающим поведение кривой к бесконечности.^[10] Для лучшего приближения кривой также использовались криволинейные асимптоты. ^[11] хотя термин асимптотическая кривая кажется предпочтительным.^[12]

Алгебраические кривые

А кубическая кривая, лист Декарта (сплошная) с единственной действительной асимптотой (штриховая).

Асимптоты алгебраическая кривая в аффинная плоскость являются касательными к проекционная кривая через точка в бесконечности.^[13] Например, можно идентифицировать асимптоты к единичной гиперболе таким образом. Асимптоты часто рассматриваются только для реальных кривых,^[14] хотя они также имеют смысл при таком определении для кривых над произвольным поле.^[15]

Плоская кривая степени п пересекает свою асимптоту не более чем в точке п−2 другие точки на Теорема Безу, так как пересечение на бесконечности имеет кратность не менее двух. Для конический, есть пара прямых, не пересекающих конику ни в одной комплексной точке: это две асимптоты коники.

Плоская алгебраическая кривая определяется уравнением вида п(Икс,у) = 0 где п является многочленом степени п

{displaystyle P (x, y) = P_ {n} (x, y) + P_ {n-1} (x, y) + cdots + P_ {1} (x, y) + P_ {0}}

куда п_k является однородный степени k. Исчезновение линейных множителей члена высшей степени п_п определяет асимптоты кривой: установка $Q = п п$ , если $п п (Икс, у) = (топор - к) Q п -1 (Икс, у)$ , то строка

{displaystyle Q '_ {x} (b, a) x + Q' _ {y} (b, a) y + P_ {n-1} (b, a) = 0}

является асимптотой, если ${displaystyle Q '_ {x} (b, a)}$ и ${displaystyle Q '_ {y} (b, a)}$ оба не равны нулю. Если ${displaystyle Q '_ {x} (b, a) = Q' _ {y} (b, a) = 0}$ и ${displaystyle P_ {n-1} (b, a) eq 0}$ , асимптоты нет, но у кривой есть ветвь, похожая на ветвь параболы. Такая ветка называется параболическая ветвь, даже если у него нет параболы, являющейся криволинейной асимптотой. Если ${displaystyle Q '_ {x} (b, a) = Q' _ {y} (b, a) = P_ {n-1} (b, a) = 0,}$ кривая имеет особую точку на бесконечности, которая может иметь несколько асимптот или параболических ветвей.

Над комплексными числами п_п разбивается на линейные факторы, каждый из которых определяет асимптоту (или несколько для нескольких факторов). 0 над реалами, п_п делится на факторы, которые являются линейными или квадратичными. Только линейные множители соответствуют бесконечным (действительным) ветвям кривой, но если линейный множитель имеет кратность больше единицы, кривая может иметь несколько асимптот или параболических ветвей. Может также случиться, что такой кратный линейный множитель соответствует двум комплексно сопряженным ветвям и не соответствует какой-либо бесконечной ветви реальной кривой. Например, кривая Икс⁴ + у² - 1 = 0 не имеет реальных точек вне квадрата ${displaystyle | x | leq 1, | y | leq 1}$ , но его член высшего порядка дает линейный множитель Икс с кратностью 4, что приводит к единственной асимптоте Икс=0.

Асимптотический конус

Гиперболы, полученные разрезанием одного и того же правого кругового конуса плоскостью, и их асимптоты.

В гипербола

{displaystyle {frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - {frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}

имеет две асимптоты

{displaystyle y = pm {frac {b} {a}} x.}

Уравнение для объединения этих двух прямых имеет вид

{displaystyle {frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - {frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 0.}

Точно так же гиперболоид

{displaystyle {frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - {frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} - {frac {z ^ {2}} {c ^ {2}}} = 1}

говорят, что имеет асимптотический конус^[16]^[17]

{displaystyle {frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - {frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} - {frac {z ^ {2}} {c ^ {2}}} = 0.}

Расстояние между гиперболоидом и конусом приближается к 0, когда расстояние от начала координат приближается к бесконечности.

В более общем плане рассмотрим поверхность, которая имеет неявное уравнение ${displaystyle P_ {d} (x, y, z) + P_ {d-2} (x, y, z) + cdots P_ {0} = 0,}$ где ${displaystyle P_ {i}}$ находятся однородные многочлены степени ${displaystyle i}$ и ${displaystyle P_ {d-1} = 0}$ . Тогда уравнение ${displaystyle P_ {d} (x, y, z) = 0}$ определяет конус с центром в начале координат. Это называется асимптотический конус, потому что расстояние до конуса точки поверхности стремится к нулю, когда точка на поверхности стремится к бесконечности.

Смотрите также

Обозначение Big O

внешняя ссылка

[1] Уильямсон, Бенджамин (1899), «Асимптоты», Элементарный трактат по дифференциальному исчислению

[2] Нунемахер, Джеффри (1999), «Асимптоты, кубические кривые и проективная плоскость», Математический журнал, 72 (3): 183–192, CiteSeerX 10.1.1.502.72, Дои:10.2307/2690881, JSTOR 2690881

[3] Оксфордский словарь английского языка, издание второе, 1989.

[4] D.E. Смит, История математики, том 2 Dover (1958), стр. 318

[5] Апостол, Том М. (1967), Исчисление, Vol. 1: Исчисление одной переменной с введением в линейную алгебру (2-е изд.), Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья, ISBN 978-0-471-00005-1, §4.18.

[6] Ссылка на раздел: «Асимптота» Пенни Циклопедия т. 2, Общество распространения полезных знаний (1841 г.) Чарльз Найт и компания, Лондон, стр. 541

[7] Погорелов, А. В. (1959), Дифференциальная геометрия, Перевод с первого русского изд. Л. Ф. Борон, Гронинген: П. Нордхофф Н. В., МИСТЕР 0114163, §8.

[8] Фаулер, Р. Х. (1920), Элементарная дифференциальная геометрия плоских кривых, Кембридж, University Press, HDL:2027 / uc1.b4073882, ISBN 0-486-44277-2, п. 89ff.

[9] Уильям Николсон, Британская энциклопедия, или словарь искусств и наук; содержащий точный и популярный взгляд на нынешнее улучшенное состояние человеческих знаний, Vol. 5, 1809

[10] Мороз, П. Элементарный трактат по отслеживанию кривых (1918) онлайн

[11] Фаулер, Р. Х. Элементарная дифференциальная геометрия плоских кривых Cambridge, University Press, 1920, стр 89 и далее (онлайн на archive.org )

[12] Мороз, П. Элементарный трактат по трассировке кривых, 1918, стр.5

[13] К.Г. Гибсон (1998) Элементарная геометрия алгебраических кривых, § 12.6 Асимптоты, Издательство Кембриджского университета ISBN 0-521-64140-3,

[14] Кулидж, Джулиан Лоуэлл (1959), Трактат об алгебраических плоских кривых, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 0-486-49576-0, МИСТЕР 0120551С. 40–44.

[15] Кунц, Эрнст (2005), Введение в плоские алгебраические кривые, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-4381-2, МИСТЕР 2156630, п. 121.

[16] L.P. Siceloff, G. Wentworth, D.E. Смит Аналитическая геометрия (1922) стр. 271

[17] П. Фрост Твердая геометрия (1875) Это более общий подход к асимптотическим поверхностям.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]