Точка на бесконечность - Point at infinity

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: «Точка на бесконечность»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Июль 2017 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Реальная линия с точкой в ​​бесконечности; это называется реальная проективная линия.

В геометрия, а точка в бесконечности или же идеальная точка идеализированная ограничивающая точка в «конце» каждой строки.

В случае аффинная плоскость (в том числе Евклидова плоскость ) существует одна идеальная точка для каждого карандаш параллельных линий плоскости. Присоединение к этим точкам дает проективная плоскость, в котором нельзя выделить ни одной точки, если мы «забываем», какие точки были добавлены. Это верно для геометрии над любым поле, и вообще по любому делительное кольцо.^[1]

В реальном случае бесконечно удаленная точка превращает прямую в топологически замкнутую кривую. В более высоких измерениях все бесконечно удаленные точки образуют проективное подпространство на одно измерение меньше, чем у всего проективного пространства, которому они принадлежат. Точку на бесконечности также можно добавить к сложная линия (которую можно рассматривать как комплексную плоскость), тем самым превращая ее в замкнутую поверхность, известную как комплексная проективная линия, Cп¹, также называемый Сфера Римана (когда комплексные числа сопоставлены каждой точке).

В случае гиперболическое пространство, в каждой строке есть два разных идеальные точки. Здесь множество идеальных точек имеет вид квадрика.

Аффинная геометрия

В аффинный или же Евклидово пространство более высокого измерения, указывает на бесконечность - это точки, которые добавляются к пространству, чтобы получить проективное завершение. Набор бесконечно удаленных точек называется, в зависимости от размерности пространства, линия на бесконечности, то самолет в бесконечности или гиперплоскость в бесконечности, во всех случаях проективное пространство на одно измерение меньше.

Поскольку проективное пространство над полем есть гладкое алгебраическое многообразие, то же самое верно и для множества бесконечно удаленных точек. Точно так же, если основное поле является действительным или комплексным полем, множество бесконечно удаленных точек будет многообразие.

Перспектива

В художественном рисовании и технической перспективе проекция на плоскость изображения бесконечно удаленной точки класса параллельных линий называется их точка схода.

Гиперболическая геометрия

В гиперболическая геометрия, указывает на бесконечность обычно называются идеальные точки. В отличие от Евклидово и эллиптический геометрии, каждая линия имеет две бесконечно удаленные точки: заданная линия л и точка п не на л, правый и левыйпредельные параллели сходиться асимптотически в разные точки на бесконечности.

Все бесконечно удаленные точки вместе образуют Кейли абсолют или граница гиперболическая плоскость.

Проективная геометрия

В проективной плоскости возникает симметрия точек и прямых: как пара точек определяет линию, так пара прямых определяет точку. Существование параллельных линий приводит к установлению бесконечно удаленной точки, которая представляет собой пересечение этих параллелей. Эта аксиоматическая симметрия выросла из исследования графическая перспектива где параллельная проекция возникает как центральная проекция где центр C бесконечно удаленная точка, или образная точка.^[2] Аксиоматическая симметрия точек и прямых называется двойственность.

Хотя бесконечно удаленная точка рассматривается наравне с любой другой точкой проективный диапазон, в представлении точек с проективные координаты, отмечается различие: конечные точки представлены с 1 в конечной координате, а точка на бесконечности имеет там 0. Необходимость представления бесконечно удаленных точек требует наличия одной дополнительной координаты за пределами пространства конечных точек.

Другие обобщения

Эту конструкцию можно обобщить на топологические пространства. Для данного пространства могут существовать разные компактификации, но любое топологическое пространство допускает Александров расширение, также называемый один пункт компактификация когда исходное пространство не само по себе компактный. Проективная линия (над произвольным полем) - это Александровское расширение соответствующего поля. Таким образом, круг представляет собой одноточечную компактификацию реальная линия, а сфера - одноточечная компактификация плоскости. Проективные пространства п^п за п > 1 не один пункт компактификации соответствующих аффинных пространств по причине, упомянутой выше в § Аффинная геометрия, и пополнения гиперболических пространств идеальными точками также не являются одноточечными компактификациями.

Смотрите также

• Деление на ноль
• сфера как сфера на бесконечности: граница замкнутого шара
• Середина § Обобщения
• Асимптота § Алгебраические кривые

Рекомендации