Гиперболическая геометрия - Hyperbolic geometry

Линии через заданную точку п и асимптотика к прямой р

Геометрия
Проектирование а сфера к самолет
Контур История
ветви Евклидово Неевклидово Эллиптический Сферический Гиперболический Неархимедова геометрия Проективный Аффинный Синтетический Аналитический Алгебраический Арифметика Диофантин Дифференциальный Риманов Симплектический Дискретный дифференциал Сложный Конечный Дискретный / Комбинаторный Цифровой Выпуклый Вычислительная Фрактал Заболеваемость
Концепции Функции Измерение Конструкции линейки и компаса Угол Изгиб Диагональ Ортогональность (Перпендикуляр ) Параллельный Вершина Конгруэнтность Сходство Симметрия
Нульмерный Точка
Одномерный Линия сегмент луч Длина
Двумерный Самолет Площадь Многоугольник Треугольник Высота Гипотенуза теорема Пифагора Параллелограмм Квадрат Прямоугольник Ромб Ромбовидный Четырехугольник Трапеция летающий змей Круг Диаметр Длина окружности Площадь
Трехмерный Объем Куб кубовид Цилиндр Пирамида Сфера
Четыре - / другое измерение Тессеракт Гиперсфера
Геометры
по имени Аида Арьябхата Ахмес Альхазен Аполлоний Архимед Атья Баудхаяна Бойяи Брахмагупта Картан Coxeter Декарт Евклид Эйлер Гаусс Громов Гильберта Джиешхадева Катьяяна Хайям Кляйн Лобачевский Манава Минковский Минггату Паскаль Пифагор Парамешвара Пуанкаре Риман Сакабэ Sijzi ат-Туси Веблен Вирасена Ян Хуэй аль-Ясамин Чжан Список геометров
по периоду До н.э. Ахмес Баудхаяна Манава Пифагор Евклид Архимед Аполлоний 1–1400 Чжан Катьяяна Арьябхата Брахмагупта Вирасена Альхазен Sijzi Хайям аль-Ясамин ат-Туси Ян Хуэй Парамешвара 1400–1700 гг. Джиешхадева Декарт Паскаль Минггату Эйлер Сакабэ Аида 1700–1900-е гг. Гаусс Лобачевский Бойяи Риман Кляйн Пуанкаре Гильберта Минковский Картан Веблен Coxeter Сегодняшний день Атья Громов

Треугольник, погруженный в седловидную плоскость (a гиперболический параболоид ) вместе с двумя расходящимися ультрапараллельными линиями

В математика, гиперболическая геометрия (также называемый Геометрия Лобачевского или же Бойяи –Лобачевский геометрия) это неевклидова геометрия. В параллельный постулат из Евклидова геометрия заменяется на:

Для любой данной строки р и указать п не на р, в плоскости, содержащей обе прямые р и указать п есть как минимум две четкие линии через п которые не пересекаются р.

(сравните это с Аксиома Playfair, современная версия Евклид с параллельный постулат )

Гиперболическая плоскость геометрия также геометрия седловые поверхности и псевдосферические поверхности, поверхности с постоянным отрицательным Гауссова кривизна.

Современное использование гиперболической геометрии находится в теории специальная теория относительности, особенно Пространство-время Минковского и гировекторное пространство.

Когда геометры впервые осознали, что работают с чем-то другим, кроме стандартной евклидовой геометрии, они описали свою геометрию под разными именами; Феликс Кляйн наконец дал предмету имя гиперболическая геометрия включить его в уже редко используемую последовательность эллиптическая геометрия (сферическая геометрия ), параболическая геометрия (Евклидова геометрия ) и гиперболической геометрии. бывший Советский Союз, ее обычно называют геометрией Лобачевского в честь одного из ее первооткрывателей, русского геометра. Николай Лобачевский.

Эта страница в основном посвящена двумерной (плоской) гиперболической геометрии, а также различиям и сходству между евклидовой и гиперболической геометрией.

Гиперболическая геометрия может быть расширена до трех и более измерений; видеть гиперболическое пространство для получения дополнительной информации о трехмерных и более высоких случаях.

Характеристики

Связь с евклидовой геометрией

Сравнение эллиптической, евклидовой и гиперболической геометрий в двух измерениях

Гиперболическая геометрия более тесно связана с евклидовой геометрией, чем кажется: единственная аксиоматический разница в параллельный постулат Когда постулат параллельности удаляется из евклидовой геометрии, результирующая геометрия абсолютная геометрия.Существует два вида абсолютной геометрии: евклидова и гиперболическая. Все теоремы абсолютной геометрии, включая первые 28 предложений первой книги Евклида Элементы, справедливы в евклидовой и гиперболической геометрии. Предложения 27 и 28 первой книги Евклида Элементы доказать существование параллельных / непересекающихся прямых.

Это различие также имеет множество последствий: концепции, эквивалентные в евклидовой геометрии, не эквивалентны в гиперболической геометрии; необходимо вводить новые концепции. угол параллельности, гиперболическая геометрия имеет абсолютная шкала, соотношение между измерениями расстояния и угла.

Линии

Одиночные прямые в гиперболической геометрии имеют точно такие же свойства, что и одиночные прямые в евклидовой геометрии. Например, две точки однозначно определяют линию, а отрезки линии могут быть бесконечно удлинены.

Две пересекающиеся прямые имеют те же свойства, что и две пересекающиеся линии в евклидовой геометрии. Например, две различные линии могут пересекаться не более чем в одной точке, пересекающиеся линии образуют равные противоположные углы, а смежные углы пересекающихся линий равны дополнительный.

Когда вводится третья линия, могут быть свойства пересекающихся линий, которые отличаются от пересекающихся линий в евклидовой геометрии. Например, для данных двух пересекающихся прямых существует бесконечно много прямых, которые не пересекают ни одну из данных прямых.

Все эти свойства не зависят от модель используется, даже если линии могут выглядеть радикально иначе.

Непересекающиеся / параллельные линии

Линии через заданную точку п и асимптотика к прямой р.

Непересекающиеся прямые в гиперболической геометрии также обладают свойствами, которые отличаются от непересекающихся прямых в Евклидова геометрия:

Для любой линии р и любой момент п который не лежит на р, в плоскости, содержащей линию р и указать п есть как минимум две четкие линии через п которые не пересекаются р.

Это означает, что есть п бесконечное количество копланарных линий, которые не пересекаются р.

Эти непересекающиеся линии делятся на два класса:

• Две строки (Икс и у на схеме) являются предельные параллели (иногда называемые критически параллельными, горизонтально параллельными или просто параллельными): есть по одному в направлении каждого из идеальные точки на "концах" р, асимптотически приближающийся р, всегда приближаясь к р, но никогда не встречал этого.
• Все другие непересекающиеся линии имеют точку минимального расстояния и расходятся с обеих сторон от этой точки и называются ультрапараллельный, расходящаяся параллель или иногда непересекающиеся.

Некоторые геометры просто используют параллельно линии вместо предельная параллель линии, с ультрапараллельный линии просто непересекающийся.

Эти предельные параллели сделать угол θ с PB; этот угол зависит только от Гауссова кривизна плоскости и расстояние PB и называется угол параллельности.

Для ультрапараллельных линий ультрапараллельная теорема утверждает, что существует уникальная линия в гиперболической плоскости, которая перпендикулярна каждой паре ультрапараллельных прямых.

Круги и диски

В гиперболической геометрии длина окружности радиуса р больше, чем ${ displaystyle 2 pi r}$.

Позволять ${ displaystyle R = { frac {1} { sqrt {-K}}}}$, куда ${ displaystyle K}$ это Гауссова кривизна самолета. В гиперболической геометрии ${ displaystyle K}$ отрицательно, поэтому квадратный корень имеет положительное число.

Тогда длина окружности радиуса р равно:

${ displaystyle 2 pi R sinh { frac {r} {R}} ,.}$

А площадь прилагаемого диска составляет:

${ Displaystyle 4 pi R ^ {2} sinh ^ {2} { frac {r} {2R}} = 2 pi R ^ {2} left ( cosh { frac {r} {R} } -1 right) ,.}$

Следовательно, в гиперболической геометрии отношение длины окружности к ее радиусу всегда строго больше, чем ${ displaystyle 2 pi}$, хотя его можно сделать сколь угодно близким, выбрав достаточно маленький круг.

Если гауссова кривизна плоскости равна −1, то геодезическая кривизна круга радиуса р является: ${ displaystyle { frac {1} { tanh (r)}}}$^[1]

Гиперциклы и орициклы

Гиперцикл и псевдогон в Модель диска Пуанкаре

В гиперболической геометрии нет линии, которая осталась бы на одинаковом расстоянии от другой. Вместо этого точки, которые все имеют одинаковое ортогональное расстояние от данной линии, лежат на кривой, называемой гиперцикл.

Еще одна особая кривая - это орицикл, кривая, нормальный радиусы (перпендикуляр линии) все предельная параллель друг к другу (все асимптотически сходятся в одном направлении к одному и тому же идеальная точка, центр орицикла).

Через каждую пару точек проходит по два орицикла. Центры орициклов - это идеальные точки из серединный перпендикуляр отрезка между ними.

Для любых трех различных точек все они лежат на одной прямой, гиперцикл, орицикл, или круг.

В длина отрезка - это кратчайшая длина между двумя точками. Длина дуги гиперцикла, соединяющего две точки, больше, чем у отрезка прямой, и короче, чем у орицикла, соединяющего те же две точки. Длины дуги обоих орициклов, соединяющих две точки, равны. Длина дуги окружности между двумя точками больше, чем длина дуги орицикла, соединяющего две точки.

Если гауссова кривизна плоскости равна −1, то геодезическая кривизна орицикла - 1, а гиперцикла - от 0 до 1.^[1]

Треугольники

В отличие от евклидовых треугольников, где сумма углов всегда равна π радианы (180 °, а прямой угол ), в гиперболической геометрии сумма углов гиперболического треугольника всегда строго меньше π радианы (180 °, а прямой угол ). Разница называется дефект.

Площадь гиперболического треугольника определяется его дефектом в радианах, умноженным на р². Как следствие, все гиперболические треугольники имеют площадь, которая меньше или равна р²π. Площадь гиперболического идеальный треугольник в котором все три угла равны 0 °, равняется этому максимуму.

Как в Евклидова геометрия, каждый гиперболический треугольник имеет окружать. В гиперболической геометрии, если все три ее вершины лежат на орицикл или же гиперцикл, то в треугольнике нет описанный круг.

Как в сферический и эллиптическая геометрия, в гиперболической геометрии, если два треугольника подобны, они должны быть конгруэнтными.

Обычный апейрогон

ан апейрогон и ограниченный орицикл в Модель диска Пуанкаре

Особый многоугольник в гиперболической геометрии - это правильный апейрогон, а равномерный многоугольник с бесконечным количеством сторон.

В Евклидова геометрия, единственный способ построить такой многоугольник - это сделать так, чтобы длины сторон стремились к нулю и апейрогон был неотличим от круга, или сделать внутренние углы стремящимися к 180 градусам и апейрогон приближался к прямой.

Однако в гиперболической геометрии у правильного апейрогона стороны любой длины (т.е. он остается многоугольником).

Сторона и угол биссектрисы будет, в зависимости от длины стороны и угла между сторонами, ограничивать или расходиться параллельно (см. строки выше Если биссектрисы являются предельной параллелью, то апейрогон можно вписать и описать концентрическими орициклы.

Если биссектрисы расходятся параллельно, то псевдогон (явно отличный от апейрогона) может быть вписан в гиперциклы (все вершины находятся на одинаковом расстоянии от линии, ось, а также середина боковых сегментов все равноудалены от одной оси.)

Мозаики

Ромбитригептагональная черепица гиперболической плоскости, видимой на Модель диска Пуанкаре

Как и в случае с евклидовой плоскостью, гиперболическую плоскость можно разбить на мозаику с помощью правильные многоугольники в качестве лица.

Существует бесконечное количество однородных мозаик, основанных на Треугольники Шварца (п q р) где 1 /п + 1/q + 1/р <1, где п, q, р - порядки симметрии отражения в трех точках фундаментальный доменный треугольник группа симметрии является гиперболической группа треугольников. Существует также бесконечно много однородных мозаик, которые не могут быть созданы из треугольников Шварца, для некоторых из них, например, требуются четырехугольники в качестве фундаментальных областей.^[2]

Стандартизированная гауссова кривизна

Хотя гиперболическая геометрия применима к любой поверхности с постоянным отрицательным Гауссова кривизна, принято считать масштаб, в котором кривизна K равно -1.

Это приводит к упрощению некоторых формул. Вот несколько примеров:

• Площадь треугольника равна его угловому дефекту в радианы.
• Площадь орициклического сектора равна длине его орициклической дуги.
• Дуга орицикл так что касательная линия в одной конечной точке предельная параллель к радиусу через другую конечную точку имеет длину 1.^[3]
• Отношение длин дуги между двумя радиусами двух концентрических орициклы где орициклы находятся на расстоянии 1 друг от друга е  : 1.^[3]

Декартовы системы координат

В гиперболической геометрии сумма углов четырехугольник всегда меньше 360 градусов, а гиперболические прямоугольники сильно отличаются от евклидовых прямоугольников, так как здесь нет эквидистантных линий, поэтому правильный евклидов прямоугольник должен быть окружен двумя линиями и двумя гиперциклами. Все это усложняет системы координат.

Однако существуют разные системы координат для геометрии гиперболической плоскости. Все они основаны на выборе точки (начала координат) на выбранной направленной линии ( Икс-axis), и после этого существует множество вариантов.

Координаты Лобачевского Икс и у находятся путем падения перпендикуляра на Икс-ось. Икс будет меткой основания перпендикуляра. у будет расстояние по перпендикуляру данной точки от ее основания (положительное с одной стороны и отрицательное с другой).

Другая система координат измеряет расстояние от точки до орицикл через происхождение, сосредоточенное вокруг ${ displaystyle (0, + infty)}$ и длина по этому орициклу.^[4]

Другие системы координат используют модель Клейна или модель диска Пуанкаре, описанную ниже, и принимают евклидовы координаты как гиперболические.

Расстояние

Постройте декартову систему координат следующим образом. Выберите строку ( Икс-ось) на гиперболической плоскости (со стандартизированной кривизной −1) и пометить точки на ней по их расстоянию от начала координат (Икс= 0) точки на Икс- ось (положительная с одной стороны и отрицательная с другой). Для любой точки на плоскости можно определить координаты Икс и у сбросив перпендикуляр на Икс-ось. Икс будет меткой основания перпендикуляра. у будет расстояние по перпендикуляру данной точки от ее основания (положительное с одной стороны и отрицательное с другой). Тогда расстояние между двумя такими точками будет^{[нужна цитата ]}

${ displaystyle operatorname {dist} ( langle x_ {1}, y_ {1} rangle, langle x_ {2}, y_ {2} rangle) = operatorname {arcosh} left ( cosh y_ { 1} cosh (x_ {2} -x_ {1}) cosh y_ {2} - sinh y_ {1} sinh y_ {2} right) ,.}$

Эта формула может быть получена из формул о гиперболические треугольники.

Соответствующий метрический тензор: ${ displaystyle ( mathrm {d} s) ^ {2} = cosh ^ {2} y , ( mathrm {d} x) ^ {2} + ( mathrm {d} y) ^ {2} }$.

В этой системе координат прямые линии либо перпендикулярны Икс-ось (с уравнением Икс = константа) или описывается уравнениями вида

${ displaystyle tanh y = A cosh x + B sinh x quad { text {when}} quad A ^ {2} <1 + B ^ {2}}$

куда А и B - реальные параметры, характеризующие прямую.

История

С момента публикации Элементы Евклида около 300 г. до н.э., многие геометры сделал попытки доказать параллельный постулат. Некоторые пытались доказать это предполагая его отрицание и пытаясь вывести противоречие. Главными из них были Прокл, Ибн аль-Хайсам (Альхасен), Омар Хайям,^[5] Насир ад-Дин ат-Туси, Witelo, Герсонид, Альфонсо, и позже Джованни Джероламо Саккери, Джон Уоллис, Иоганн Генрих Ламберт, и Legendre.^[6]Их попытки были обречены на провал (как мы теперь знаем, постулат параллельности нельзя доказать на основании других постулатов), но их усилия привели к открытию гиперболической геометрии.

Теоремы Альхасена, Хайяма и ат-Туси о четырехугольники, в том числе Четырехугольник Ибн аль-Хайтама – Ламберта и Четырехугольник Хайяма – Саккери, были первыми теоремами по гиперболической геометрии. Их работы по гиперболической геометрии оказали значительное влияние на ее развитие среди более поздних европейских геометров, включая Витело, Герсонидеса, Альфонсо, Джона Уоллиса и Саккери.^[7]

В 18 веке Иоганн Генрих Ламберт представил гиперболические функции^[8] и вычислил площадь гиперболический треугольник.^[9]

Разработки 19 века

В 19 веке гиперболическая геометрия широко исследовалась Николай Иванович Лобачевский, Янош Бойяи, Карл Фридрих Гаусс и Франц Тауринус. В отличие от своих предшественников, которые просто хотели исключить параллельный постулат из аксиом евклидовой геометрии, эти авторы осознали, что открыли новую геометрию.^[10][11]Гаусс писал в письме 1824 г. Франц Тауринус что он построил это, но Гаусс не опубликовал свою работу. Гаусс назвал это "неевклидова геометрия "^[12] заставляя некоторых современных авторов продолжать рассматривать «неевклидову геометрию» и «гиперболическую геометрию» как синонимы. Таурин опубликовал результаты по гиперболической тригонометрии в 1826 году, утверждал, что гиперболическая геометрия самосогласован, но все же верил в особую роль евклидовой геометрии. Полная система гиперболической геометрии была опубликована Лобачевским в 1829/1830 годах, а Бойяи открыл ее независимо и опубликовал в 1832 году.

В 1868 г. Эухенио Бельтрами при условии модели (см. ниже) гиперболической геометрии, и использовал это, чтобы доказать, что гиперболическая геометрия если и только если Евклидова геометрия была.

Термин «гиперболическая геометрия» был введен Феликс Кляйн в 1871 г.^[13] Кляйн последовал инициативе Артур Кэли использовать преобразования проективная геометрия производить изометрии. Идея использовала коническая секция или же квадрика для определения региона и использовал перекрестное соотношение определить метрика. Проективные преобразования, покидающие коническое сечение или квадрику стабильный изометрии. "Кляйн показал, что если Кейли абсолют является действительной кривой, то часть проективной плоскости внутри нее изометрична гиперболической плоскости ... "^[14]

Подробнее об истории читайте в статье о неевклидова геометрия, а ссылки Coxeter^[15] и Милнор.^[16]

Философские следствия

Открытие гиперболической геометрии имело важное философский последствия. До его открытия многие философы (например, Гоббс и Спиноза ) рассматривал философскую строгость с точки зрения "геометрического метода", имея в виду метод рассуждения, используемый в Элементы Евклида.

Кант в Критика чистого разума пришли к выводу, что пространство (в Евклидова геометрия ) и время не открываются людьми как объективные характеристики мира, но являются частью неизбежной систематической основы для организации нашего опыта.^[17]

Он сказал, что Гаусс не публиковал ничего о гиперболической геометрии из-за страха перед "шумом" Беотийцы ", что разрушило бы его статус как princeps mathematicorum (Лат. «Князь математиков»).^[18]«Волнения беотийцев» пришли и утихли и дали толчок к большим улучшениям в математическая строгость, аналитическая философия и логика. Наконец, была доказана непротиворечивость гиперболической геометрии, поэтому она является еще одной допустимой геометрией.

Геометрия Вселенной (только пространственные измерения)

Поскольку евклидова, гиперболическая и эллиптическая геометрия согласованы друг с другом, возникает вопрос: какова реальная геометрия пространства, и если она гиперболическая или эллиптическая, какова ее кривизна?

Лобачевский уже пытался измерить кривизну Вселенной, измеряя параллакс из Сириус и рассматривая Сириус как идеальную точку угол параллельности. Он понял, что его измерения были недостаточно точно чтобы дать определенный ответ, но он пришел к выводу, что если геометрия Вселенной гиперболическая, то абсолютная длина как минимум в миллион раз больше диаметра земная орбита (2000000 Австралия, 10 парсек ).^[19]Некоторые утверждают, что его измерения были методологически ошибочными.^[20]

Анри Пуанкаре, с его сфера-мир мысленный эксперимент, пришли к выводу, что повседневный опыт не обязательно исключает другие геометрии.

В гипотеза геометризации дает полный список из восьми возможностей фундаментальной геометрии нашего пространства. Проблема в том, чтобы определить, какой из них применим, заключается в том, что для получения окончательного ответа нам нужно иметь возможность смотреть на чрезвычайно большие формы - намного больше, чем что-либо на Земле или, возможно, даже в нашей галактике.^[21]

Геометрия Вселенной (специальная теория относительности)

Специальная теория относительности ставит пространство и время на равные, так что можно рассматривать геометрию единого пространство-время вместо того, чтобы рассматривать пространство и время по отдельности.^[22][23] Геометрия Минковского заменяет Галилея геометрия (которое представляет собой трехмерное евклидово пространство со временем Галилея относительность ).^[24]

В теории относительности, вместо того, чтобы рассматривать евклидову, эллиптическую и гиперболическую геометрии, подходящими геометриями для рассмотрения являются Пространство Минковского, пространство де Ситтера и пространство анти-де Ситтера,^[25][26] соответствующие нулевой, положительной и отрицательной кривизне соответственно.

Гиперболическая геометрия входит в специальную теорию относительности через быстрота, который заменяет скорость, и выражается гиперболический угол. Изучение этой скоростной геометрии было названо кинематическая геометрия. Пространство релятивистских скоростей имеет трехмерную гиперболическую геометрию, где функция расстояния определяется из относительных скоростей «близких» точек (скоростей).^[27]

Физические реализации гиперболической плоскости

Гиперболическая плоскость - это плоскость, в которой каждая точка является точка перевала. Существуют различные псевдосферы в евклидовом пространстве, которые имеют конечную область постоянной отрицательной гауссовой кривизны.

К Теорема гильберта, невозможно изометрически погружать полная гиперболическая плоскость (полная регулярная поверхность постоянного отрицательного Гауссова кривизна ) в трехмерном евклидовом пространстве.

Другое полезное модели гиперболической геометрии существуют в евклидовом пространстве, в котором метрика не сохраняется. Особенно известная бумажная модель, основанная на псевдосфера связано с Уильям Терстон.

Коллекция связанных крючком гиперболических плоскостей, имитирующих коралловый риф, авторства Институт Рисования

Коралл с похожей геометрией на Большой Барьерный риф

Искусство вязание крючком был использован (см. Математика и искусство волокна § Вязание и вязание крючком ) для демонстрации гиперболических плоскостей, первая из которых выполнена Дайна Тайминя.^[28]

В 2000 году Кейт Хендерсон продемонстрировал бумажную модель, которую можно быстро изготовить, получившую название "гиперболический футбольный мяч "(точнее, усеченная треугольная мозаика порядка 7 ).^[29][30]

Инструкции по изготовлению гиперболического квилта, разработанные Геламан Фергюсон,^[31] были предоставлены Джефф Уикс.^[32]

Модели гиперболической плоскости

Они разные псевдосферические поверхности которые для большой площади имеют постоянную отрицательную гауссову кривизну, псевдосфера будучи самым известным из них.

Но проще делать гиперболическую геометрию на других моделях.

Модель диска Пуанкаре с усеченная трехгептагональная черепица

Линии, проходящие через заданную точку и параллельные заданной линии, проиллюстрированные в модели диска Пуанкаре

Есть четыре модели обычно используется для гиперболической геометрии: Модель Кляйна, то Модель диска Пуанкаре, то Модель полуплоскости Пуанкаре, а Лоренц или модель гиперболоида. Эти модели определяют гиперболическую плоскость, которая удовлетворяет аксиомам гиперболической геометрии. Несмотря на их названия, первые три упомянутые выше были введены как модели гиперболического пространства Бельтрами, а не Пуанкаре или же Кляйн. Все эти модели могут быть расширены до других размеров.

Модель Бельтрами – Клейна.

В Модель Бельтрами – Клейна, также известная как проективная модель диска, модель диска Клейна и Модель Кляйна, назван в честь Эухенио Бельтрами и Феликс Кляйн.

Для двух измерений эта модель использует внутреннюю часть единичный круг для полного гиперболического самолет, а аккорды этого круга - гиперболические прямые.

Для больших размеров эта модель использует внутреннюю часть единичный мяч, а аккорды этого п-бол - это гиперболические линии.

• Эта модель имеет преимущество в том, что линии прямые, но недостаток в том, что углы искажены (отображение не конформный ), а также круги не отображаются как круги.
• Расстояние в этой модели составляет половину логарифма перекрестное соотношение, который был введен Артур Кэли в проективная геометрия.

Модель диска Пуанкаре

В Модель диска Пуанкаре, также известная как модель конформного диска, также использует внутреннюю часть единичный круг, но прямые представлены дугами окружностей, которые ортогональный к граничной окружности плюс диаметры граничной окружности.

• Эта модель сохраняет углы и тем самым конформный. Следовательно, все изометрии в этой модели Преобразования Мебиуса.
• Круги полностью внутри диска остаются кругами, хотя евклидов центр круга ближе к центру диска, чем гиперболический центр круга.
• Ороциклы круги внутри диска, которые касательная к граничному кругу без точки соприкосновения.
• Гиперциклы - это хорды с открытым концом и дуги окружности внутри диска, которые заканчиваются на граничной окружности под неортогональными углами.

Модель полуплоскости Пуанкаре

В Модель полуплоскости Пуанкаре занимает половину евклидовой плоскости, ограниченную линией B плоскости, чтобы быть моделью гиперболической плоскости. Линия B не входит в модель.

Евклидову плоскость можно принять за плоскость с Декартова система координат и ось абсцисс принимается за линию B а полуплоскость - это верхняя половина (у > 0) этой плоскости.

• Тогда гиперболические прямые будут либо полукругами, ортогональными к B или лучи, перпендикулярные к B.
• Длина интервала на луче определяется выражением логарифмическая мера поэтому он инвариантен относительно гомотетическая трансформация ${ displaystyle (x, y) mapsto (x, lambda y), quad lambda> 0.}$
• Как и модель диска Пуанкаре, эта модель сохраняет углы, и поэтому конформный. Следовательно, все изометрии в этой модели Преобразования Мебиуса самолета.
• Модель полуплоскости - это предел модели диска Пуанкаре, граница которого касается B в той же точке, а радиус модели диска уходит в бесконечность.

Модель гиперболоида

В модель гиперболоида или модель Лоренца использует двумерную гиперболоид вращения (двух листов, но использующих один), вложенных в 3-х мерный Пространство Минковского. Эту модель обычно приписывают Пуанкаре, но Рейнольдс^[33] Говорит, что Вильгельм Киллинг использовал эту модель в 1885 г.

• Эта модель имеет прямое применение специальная теория относительности, поскольку 3-пространство Минковского является моделью для пространство-время, подавляя одно пространственное измерение. Можно взять гиперболоид для представления событий, которых различные движущиеся наблюдатели, излучающие наружу в пространственной плоскости из одной точки, достигнут в фиксированной точке. подходящее время.
• Гиперболическое расстояние между двумя точками на гиперболоиде затем можно определить с помощью относительного быстрота между двумя соответствующими наблюдателями.
• Модель непосредственно обобщается на дополнительное измерение, где трехмерная гиперболическая геометрия относится к 4-пространству Минковского.

Модель полушария

В полушарие Модель не часто используется как модель сама по себе, но она функционирует как полезный инструмент для визуализации преобразований между другими моделями.

Модель полушария использует верхнюю половину единичная сфера:${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 1, z> 0.}$

Гиперболические линии представляют собой полукруги, ортогональные границе полушария.

Модель полушария является частью Сфера Римана, а разные проекции дают разные модели гиперболической плоскости:

• Стереографическая проекция из ${ displaystyle (0,0, -1)}$ на самолет ${ displaystyle z = 0}$ проекты соответствующие точки на Модель диска Пуанкаре
• Стереографическая проекция из ${ displaystyle (0,0, -1)}$ на поверхность ${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -z ^ {2} = - 1, z> 0}$ проекты соответствующие точки на модель гиперболоида
• Стереографическая проекция из ${ displaystyle (-1,0,0)}$ на самолет ${ displaystyle x = 1}$ проекты соответствующие точки на Модель полуплоскости Пуанкаре
• Ортографическая проекция на самолет ${ displaystyle z = C}$ проекты соответствующие точки на Модель Бельтрами – Клейна.
• Центральная проекция из центра сферы на плоскость ${ displaystyle z = 1}$ проекты соответствующие точки на Модель Ганса

Смотрите далее: Связь между моделями (ниже)

Модель Ганса

В 1966 году Дэвид Ганс предложил модель плоского гиперболоида в журнале Американский математический ежемесячный журнал.^[34] Это орфографическая проекция модели гиперболоида на плоскость xy. Эта модель не так широко используется, как другие модели, но, тем не менее, весьма полезна для понимания гиперболической геометрии.

• В отличие от моделей Клейна или Пуанкаре, эта модель использует все Евклидова плоскость.
• Линии в этой модели представлены как ветви гипербола.^[35]

Модель группы

В ленточной модели используется часть евклидовой плоскости между двумя параллельными линиями.^[36] Расстояние сохраняется по одной линии через середину полосы. Предполагая, что полоса задана как ${ displaystyle {z in mathbb {C}: | operatorname {Im} z | < pi / 2 }}$, метрика определяется выражением ${ displaystyle | dz | sec ( operatorname {Im} z)}$.

Связь между моделями

Диск Пуанкаре, полусферические и гиперболоидные модели связаны соотношением стереографическая проекция от −1. Модель Бельтрами – Клейна является орфографическая проекция от полусферической модели. Модель полуплоскости Пуанкаре здесь проецируется из полусферической модели лучами из левого конца модели диска Пуанкаре.

По сути, все модели описывают одну и ту же структуру. Разница между ними в том, что они представляют разные карты координат положено на то же метрическое пространство, а именно гиперболическая плоскость. Характерной особенностью самой гиперболической плоскости является то, что она имеет постоянную отрицательную Гауссова кривизна, который не зависит от используемой координатной карты. В геодезические аналогичным образом инвариантны: то есть геодезические отображаются в геодезические при преобразовании координат. Гиперболическая геометрия обычно вводится в терминах геодезических и их пересечений на гиперболической плоскости.^[37]

Выбрав координатную диаграмму (одну из «моделей»), мы всегда можем вставлять это в евклидовом пространстве той же размерности, но вложение явно не изометрично (поскольку кривизна евклидова пространства равна 0). Гиперболическое пространство может быть представлено бесконечным множеством различных карт; но вложения в евклидово пространство из-за этих четырех конкретных диаграмм демонстрируют некоторые интересные характеристики.

Поскольку четыре модели описывают одно и то же метрическое пространство, каждая может быть преобразована в другую.

См. Например:

• связь модели Бельтрами – Клейна с моделью гиперболоида,
• связь модели Бельтрами – Клейна с моделью диска Пуанкаре,
• и связь модели диска Пуанкаре с моделью гиперболоида.

Изометрии гиперболической плоскости

Каждый изометрия (трансформация или же движение ) гиперболической плоскости к себе может быть реализована как композиция не более трех размышления. В п-мерное гиперболическое пространство, до п+1 может потребоваться отражение. (Это также верно для евклидовой и сферической геометрий, но приведенная ниже классификация отличается.)

Все изометрии гиперболической плоскости можно разделить на эти классы:

• Сохранение ориентации
  • в изометрия идентичности - ничего не двигается; нулевые отражения; нуль степени свободы.
  • инверсия через точку (пол-оборота) - два отражения через взаимно перпендикулярные линии, проходящие через данную точку, т. Е. Поворот на 180 градусов вокруг точки; два степени свободы.
  • вращение вокруг нормальной точки - два отражения через линии, проходящие через данную точку (включая инверсию как частный случай); точки перемещаются по кругам вокруг центра; три степени свободы.
  • "вращение" вокруг идеальная точка (ороляция) - два отражения через линии, ведущие к идеальной точке; точки движутся по орициклам с центром в идеальной точке; две степени свободы.
  • перевод по прямой - два отражения по линиям, перпендикулярным данной линии; точки от заданной линии перемещаются по гиперциклам; три степени свободы.
• Изменение ориентации
  • отражение через линию - одно отражение; две степени свободы.
  • совместное отражение через линию и перенос по той же линии - отражение и перенос коммутируют; требуется три отражения; три степени свободы.^{[нужна цитата ]}

Гиперболическая геометрия в искусстве

М. К. Эшер знаменитые гравюры Предел круга III и Предел круга IVиллюстрируют модель конформного диска (Модель диска Пуанкаре ) достаточно хорошо. Белые линии в III не совсем геодезические (они гиперциклы ), но близки к ним. Также можно довольно ясно увидеть негатив кривизна гиперболической плоскости, через ее влияние на сумму углов в треугольниках и квадратах.

Например, в Предел круга III каждая вершина принадлежит трем треугольникам и трем квадратам. В евклидовой плоскости их углы в сумме составляют 450 °; т.е. круг и четверть. Отсюда мы видим, что сумма углов треугольника в гиперболической плоскости должна быть меньше 180 °. Еще одно видимое свойство экспоненциальный рост. В Предел круга III, например, видно, что количество рыб на расстоянии п от центра растет по экспоненте. У рыб равная гиперболическая площадь, поэтому площадь шара радиуса п должен расти экспоненциально в п.

Искусство вязание крючком имеет был использован чтобы продемонстрировать гиперболические плоскости (на фото выше), первая из которых сделана Дайна Тайминя,^[28] чья книга Связанные крючком приключения с гиперболическими плоскостями выиграл 2009 Премия Книготорговца / Диаграммы за самое странное название года.^[38]

HyperRogue это рогалик игра, основанная на различных мозаиках гиперболическая плоскость.

Высшие измерения

Гиперболическая геометрия не ограничивается двумя измерениями; гиперболическая геометрия существует для каждого большего числа измерений.

Однородная структура

Гиперболическое пространство измерения п является частным случаем римановой симметричное пространство некомпактного типа, как есть изоморфный к частному

${ displaystyle mathrm {O} (1, n) / ( mathrm {O} (1) times mathrm {O} (n)).}$

В ортогональная группа O (1, п) действует сохраняющими норму преобразованиями на Пространство Минковского р^1,п, и он действует переходно на двухлистном гиперболоиде векторов нормы 1. Времяподобные прямые (т. Е. Линии с касательными положительной нормы), проходящие через начало координат, проходят через противоположные точки в гиперболоиде, поэтому пространство таких прямых дает модель гиперболического п-Космос. В стабилизатор любой конкретной прямой изоморфна товар ортогональных групп O (п) и O (1), где O (п) действует в касательном пространстве точки гиперболоида, а O (1) отражает прямую, проходящую через начало координат. Многие элементарные понятия гиперболической геометрии можно описать в линейная алгебраическая термины: геодезические пути описываются пересечениями с плоскостями через начало координат, двугранные углы между гиперплоскостями могут быть описаны внутренними произведениями нормальных векторов, а гиперболические группы отражений могут иметь явные матричные реализации.

В малых размерностях существуют исключительные изоморфизмы групп Ли, которые дают дополнительные способы рассмотрения симметрий гиперболических пространств. Например, в размерности 2 изоморфизмы ТАК⁺(1, 2) ≅ PSL (2, р) ≅ БП (1, 1) позволяют интерпретировать модель верхней полуплоскости как частное SL (2, р) / SO (2) и модель диска Пуанкаре как фактор СУ (1, 1) / U (1). В обоих случаях группы симметрии действуют дробно-линейными преобразованиями, поскольку обе группы являются стабилизаторами, сохраняющими ориентацию в PGL (2, C) соответствующих подпространств сферы Римана. Преобразование Кэли не только переводит одну модель гиперболической плоскости в другую, но и реализует изоморфизм групп симметрии как сопряжение в большей группе. В размерности 3 дробно-линейное действие PGL (2, C) на сфере Римана отождествляется с действием на конформной границе гиперболического 3-пространства, индуцированным изоморфизмом О⁺(1, 3) ≅ PGL (2, C). Это позволяет изучать изометрии гиперболического 3-пространства, рассматривая спектральные свойства репрезентативных комплексных матриц. Например, параболические преобразования сопряжены с жесткими переводами в модели верхнего полупространства, и это именно те преобразования, которые могут быть представлены как всесильный верхний треугольный матрицы.

Смотрите также

Примечания

Рекомендации

• А'Кампо, Норберт и Пападопулос, Атанас, (2012) Замечания по гиперболической геометрии, в: Страсбургский мастер-класс по геометрии, стр. 1–182, Лекции ИРМА по математике и теоретической физике, Том. 18, Цюрих: Европейское математическое общество (EMS), 461 страница, SBN ISBN  978-3-03719-105-7, DOI 10.4171 / 105.
• Кокстер, Х. С. М., (1942) Неевклидова геометрия, Университет Торонто Пресс, Торонто
• Фенчел, Вернер (1989). Элементарная геометрия в гиперболическом пространстве. Де Грюйтер Исследования по математике. 11. Берлин-Нью-Йорк: Walter de Gruyter & Co.
• Фенчел, Вернер; Нильсен, Якоб (2003). Асмус Л. Шмидт (ред.). Разрывные группы изометрий в гиперболической плоскости. Де Грюйтер Исследования по математике. 29. Берлин: Walter de Gruyter & Co.
• Лобачевский, Николай Иванович, (2010) Пангеометрия, Отредактировано и переведено Атанасом Пападопулосом, Наследие европейской математики, Vol. 4. Цюрих: Европейское математическое общество (EMS). xii, 310 ~ p, ISBN  978-3-03719-087-6/ hbk
• Милнор, Джон В., (1982) Гиперболическая геометрия: первые 150 лет, Бык. Амер. Математика. Soc. (N.S.) Том 6, номер 1, стр. 9–24.
• Рейнольдс, Уильям Ф. (1993) Гиперболическая геометрия на гиперболоиде, Американский математический ежемесячный журнал 100:442–455.
• Стиллвелл, Джон (1996). Источники гиперболической геометрии. История математики. 10. Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-0529-9. МИСТЕР  1402697.
• Сэмюэлс, Дэвид (март 2006 г.) Теория вязания Журнал Discover, том 27, номер 3.
• Джеймс В. Андерсон, Гиперболическая геометрия, Springer 2005, ISBN  1-85233-934-9
• Джеймс В. Кэннон, Уильям Дж. Флойд, Ричард Кеньон и Уолтер Р. Парри (1997) Гиперболическая геометрия, Публикации ИИГС, том 31.

внешняя ссылка

• Бесплатное программное обеспечение Javascript для создания эскизов в модели диска Пуанкаре гиперболической геометрии Университет Нью-Мексико
• "Песня о гиперболической геометрии" Короткое музыкальное видео об основах гиперболической геометрии доступно на YouTube.
• "Геометрия Лобачевского", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Пространство Гаусса – Бояи – Лобачевского». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. «Гиперболическая геометрия». MathWorld.
• Подробнее о гиперболической геометрии, включая фильмы и уравнения для преобразования между различными моделями Иллинойсский университет в Урбана-Шампейн
• Гиперболические диаграммы Вороного стали проще, Фрэнк Нильсен
• Стотерс, Уилсон (2000). «Гиперболическая геометрия». Университет Глазго. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь), интерактивный обучающий сайт.
• Гиперболические плоские мозаики
• Модели гиперболической плоскости.