Гипотеза геометризации - Geometrization conjecture

В математике Гипотеза терстона о геометризации заявляет, что каждый из определенных трехмерных топологические пространства имеет уникальную геометрическую структуру, которая может быть с ней связана. Это аналог теорема униформизации для двумерных поверхности, в котором говорится, что каждый односвязный Риманова поверхность можно задать одну из трех геометрий (Евклидово, сферический, или же гиперболический В трех измерениях не всегда возможно назначить одну геометрию целому топологическому пространству. Вместо этого гипотеза геометризации утверждает, что каждый замкнутый 3-х коллекторный может быть разложен каноническим образом на части, каждая из которых имеет один из восьми типов геометрической структуры. Гипотеза была предложена Уильям Терстон  (1982 ), и предполагает несколько других гипотез, таких как Гипотеза Пуанкаре и Терстона гипотеза эллиптизации.

Терстона теорема гиперболизации подразумевает, что Многообразия Хакена удовлетворяют гипотезе геометризации. Терстон объявил о доказательстве в 1980-х годах, и с тех пор в печати появилось несколько полных доказательств.

Григорий Перельман набросал доказательство гипотезы о полной геометризации в 2003 г., используя Риччи поток с хирургия.В настоящее время существует несколько различных рукописей (см. Ниже) с подробностями доказательства. Гипотеза Пуанкаре и гипотеза о сферической пространственной форме являются следствиями гипотезы геометризации, хотя есть более короткие доказательства первой, которые не приводят к гипотезе геометризации.

Гипотеза

Трехмерное многообразие называется закрыто если это компактный и не имеет граница.

Каждое замкнутое трехмерное многообразие имеет разложение на простые числа: это означает, что это связанная сумма из простые 3-многообразия (это разложение по сути уникально, за исключением небольшой проблемы в случае неориентируемые многообразия ). Это сводит большую часть изучения трехмерных многообразий к случаю простых трехмерных многообразий: тех, которые не могут быть записаны в виде нетривиальной связной суммы.

Вот утверждение гипотезы Терстона:

Все ориентированные простые числа закрыты 3-х коллекторный можно разрезать по торам, так что внутренность каждого из полученных многообразий имеет геометрическую структуру с конечным объемом.

Существует 8 возможных геометрических структур в 3-х измерениях, описанных в следующем разделе. Существует единственный минимальный способ разрезать неприводимое ориентированное трехмерное многообразие вдоль торов на части, Многообразия Зейферта или же аториоидальный называется Разложение JSJ, что не совсем то же самое, что разложение в гипотезе геометризации, потому что некоторые из частей в разложении JSJ могут не иметь геометрических структур конечного объема. (Например, отображающий тор Карта Аносова тора имеет решаемую структуру конечного объема, но его JSJ-разложение разрезает его вдоль одного тора, чтобы произвести произведение тора и единичного интервала, а внутренняя часть этого не имеет геометрической структуры конечного объема.)

Для неориентированных многообразий самый простой способ сформулировать гипотезу геометризации - это сначала взять ориентированная двойная крышка. Также можно работать напрямую с неориентируемыми многообразиями, но это создает некоторые дополнительные сложности: может потребоваться разрезать по проективным плоскостям и бутылкам Клейна, а также по сферам и торам, а многообразия с проекционной плоской граничной компонентой обычно не имеют геометрическая структура.

В двух измерениях аналогичное утверждение говорит, что каждая поверхность (без границы) имеет геометрическую структуру, состоящую из метрики с постоянной кривизной; нет необходимости предварительно разрезать коллектор.

Восемь геометрий Терстона

А геометрия модели является односвязным гладким многообразием Икс вместе с переходным действием Группа Ли грамм на Икс с компактными стабилизаторами.

Геометрия модели называется максимальный если грамм максимальна среди групп, действующих гладко и транзитивно на Икс с компактными стабилизаторами. Иногда это условие включается в определение геометрии модели.

А геометрическая структура на коллекторе M является диффеоморфизмом из M к Икс/ Γ для некоторой геометрии модели Икс, где Γ - дискретная подгруппа группы грамм действовать свободно на Икс ; это частный случай полного (G, X) -структура. Если данное многообразие допускает геометрическую структуру, то оно допускает такое, модель которого максимальна.

Геометрия трехмерной модели Икс имеет отношение к гипотезе геометризации, если она максимальна и если существует хотя бы одно компактное многообразие с геометрической структурой, моделируемой на Икс. Терстон классифицировал 8 геометрических моделей, удовлетворяющих этим условиям; они перечислены ниже и иногда называются Геометрии Терстона. (Существует также несчетное количество геометрий моделей без компактных частных.)

Есть некоторая связь с Группы Бьянки: трехмерные группы Ли. Большинство геометрий Терстона могут быть реализованы как левоинвариантная метрика на группе Бианки. тем не мение S² × р не может быть, евклидово пространство соответствует двум различным группам Бианки, и существует несчетное количество разрешимых неунимодулярных групп Бьянки, большинство из которых дают модельные геометрии без компактных представителей.

Сферическая геометрия S³

Стабилизатор точки - O (3, р), а группа грамм является 6-мерной группой Ли O (4, р), с 2 компонентами. Соответствующие многообразия - это в точности замкнутые трехмерные многообразия с конечной фундаментальной группой. Примеры включают 3-сфера, то Сфера гомологии Пуанкаре, Объективы. Эту геометрию можно смоделировать как левоинвариантную метрику на Группа Бианки IX типа. Все многообразия этой геометрии компактны, ориентируемы и имеют структуру Волоконное пространство Зейферта (часто несколькими способами). Полный список таких многообразий приведен в статье на Сферические 3-многообразия. Под потоком Риччи многообразия с такой геометрией схлопываются в точку за конечное время.

Евклидова геометрия E³

Стабилизатор точки - O (3, р), а группа грамм 6-мерная группа Ли р³ × O (3, р), с 2 компонентами. Примерами являются 3-тор, и в более общем плане отображение тор автоморфизма конечного порядка 2-тора; видеть расслоение торов. Имеется ровно 10 конечных замкнутых трехмерных многообразий с этой геометрией: 6 ориентируемых и 4 неориентируемых. Эту геометрию можно смоделировать как левоинвариантную метрику на Группы Бьянки типа I или VII₀. Все многообразия конечного объема с такой геометрией компактны и имеют структуру Волоконное пространство Зейферта (иногда двумя способами). Полный список таких многообразий приведен в статье на Расслоения Зейферта. При потоке Риччи многообразия с евклидовой геометрией остаются инвариантными.

Гиперболическая геометрия H³

Стабилизатор точки - O (3, р), а группа грамм - шестимерная группа Ли O⁺(1, 3, р), с 2 компонентами. Таких примеров огромное количество, и их классификация до конца не изучена. Пример с наименьшим объемом - Множество недель. Другие примеры приведены Пространство Зейферта – Вебера, или "достаточно сложный" Операции Дена по ссылкам или в большинстве Многообразия Хакена. Из гипотезы геометризации следует, что замкнутое трехмерное многообразие гиперболично тогда и только тогда, когда оно неприводимо, аториоидальный, и имеет бесконечную фундаментальную группу. Эту геометрию можно смоделировать как левоинвариантную метрику на Группа Бьянки типа V. Под действием потока Риччи расширяются многообразия с гиперболической геометрией.

Геометрия S² × R

Стабилизатор точки - O (2, р) × Z/2Z, а группа грамм равно O (3, р) × р × Z/2Z, с 4 компонентами. Четыре многообразия конечного объема с такой геометрией: S² × S¹, отображающий тор отображения антиподов S², связная сумма двух копий трехмерного проективного пространства и произведение S¹ с двумерным проективным пространством. Первые два являются отображающими торами тождественного отображения и отображением антиподов 2-сферы и являются единственными примерами 3-многообразий, которые являются простыми, но не неприводимыми. Третий - единственный пример нетривиальной связной суммы с геометрической структурой. Это единственная модельная геометрия, которая не может быть реализована как левоинвариантная метрика на трехмерной группе Ли. Все многообразия конечного объема с такой геометрией компактны и имеют структуру Волоконное пространство Зейферта (часто несколькими способами). При нормированном потоке Риччи многообразия с такой геометрией сходятся к одномерному многообразию.

Геометрия H² × R

Стабилизатор точки - O (2, р) × Z/2Z, а группа грамм это O⁺(1, 2, р) × р × Z/2Z, с 4 компонентами. Примеры включают продукт гиперболическая поверхность с окружностью или, в более общем смысле, отображающим тором изометрии гиперболической поверхности. Многообразия конечного объема с такой геометрией имеют структуру Волоконное пространство Зейферта если они ориентируемые. (Если они не ориентируемы, естественное расслоение на окружности не обязательно является расслоением Зейферта: проблема в том, что некоторые слои могут «переориентировать»; другими словами, их окрестности выглядят как расслоенные сплошные бутылки Клейна, а не как сплошные торы.^[1]) Классификация таких (ориентированных) многообразий приведена в статье о Расслоения Зейферта. Эту геометрию можно смоделировать как левоинвариантную метрику на Группа Бьянки III типа. При нормированном потоке Риччи многообразия с такой геометрией сходятся к двумерному многообразию.

Геометрия универсальной крышки SL (2, «R»)

В универсальный чехол из SL (2, р) обозначается ${ Displaystyle { widetilde { rm {SL}}} (2, mathbf {R})}$. Это волокна над ЧАС². Группа грамм имеет 2 компонента. Его идентификационная составляющая имеет структуру ${ Displaystyle ( mathbf {R} times { widetilde { rm {SL}}} _ {2} ( mathbf {R})) / mathbf {Z}}$. Стабилизатор точки - O (2,р).

Примеры этих многообразий включают: многообразие единичных векторов касательного расслоения гиперболической поверхности и, в более общем смысле, Гомологические сферы Брискорна (за исключением 3-сферы и Додекаэдральное пространство Пуанкаре ). Эту геометрию можно смоделировать как левоинвариантную метрику на Группа Бьянки VIII типа. Многообразия конечного объема с такой геометрией ориентируемы и имеют структуру Волоконное пространство Зейферта. Классификация таких многообразий приведена в статье о Расслоения Зейферта. При нормированном потоке Риччи многообразия с такой геометрией сходятся к двумерному многообразию.

Нулевая геометрия

Это волокна над E², а - геометрия Группа Гейзенберга. Стабилизатор точки - O (2, р). Группа грамм имеет 2 компоненты и является полупрямым произведением трехмерной группы Гейзенберга на группу O (2, р) изометрий окружности. Компактные многообразия с такой геометрией включают отображающий тор Ден твист 2-тора, или фактор группы Гейзенберга по «целочисленной группе Гейзенберга». Эту геометрию можно смоделировать как левоинвариантную метрику на Группа Бьянки II типа. Многообразия конечного объема с такой геометрией компактны, ориентируемы и имеют структуру Волоконное пространство Зейферта. Классификация таких многообразий приведена в статье о Расслоения Зейферта. При нормированном потоке Риччи компактные многообразия с такой геометрией сходятся к р² с плоской метрикой.

Геометрия Солнца

Эта геометрия (также называемая Геометрия решения) расслоения на прямой с расслоением на плоскость, - геометрия единичной компоненты группы грамм. Стабилизатором точки является группа диэдра порядка 8. Группа грамм имеет 8 компонентов и представляет собой группу отображений из 2-мерного пространства Минковского в себя, которые либо являются изометриями, либо умножают метрику на −1. Компонент идентичности имеет нормальную подгруппу р² с частным р, куда р действует на р² с двумя (действительными) собственными подпространствами, с различными действительными собственными значениями продукта 1. Это Группа Бьянки типа VI₀ и геометрия может быть смоделирована как левоинвариантная метрика на этой группе. Все многообразия конечного объема с решаемой геометрией компактны. Компактные многообразия с решаемой геометрией являются либо отображение тор из Карта Аносова 2-тора (автоморфизм 2-тора, заданный обратимой матрицей 2 на 2, собственные значения которой вещественны и различны, например ${ displaystyle left ({ begin {array} {* {20} c} 2 & 1 1 & 1 end {array}} right)}$, или их частные по группам порядка не выше 8. Собственные значения автоморфизма тора порождают порядок вещественного квадратичного поля, и решаемые многообразия в принципе можно классифицировать в терминах единиц и идеальных классов этого порядка , хотя подробности вроде нигде не прописаны. При нормированном потоке Риччи компактные многообразия с такой геометрией сходятся (довольно медленно) к р¹.

Уникальность

Замкнутое трехмерное многообразие имеет геометрическую структуру не более одного из 8 типов, указанных выше, но некомпактные трехмерные многообразия конечного объема иногда могут иметь более одного типа геометрической структуры. (Тем не менее, многообразие может иметь множество различных геометрических структур одного и того же типа; например, поверхность рода не меньше 2 имеет континуум различных гиперболических метрик.) Точнее, если M является многообразием с геометрической структурой конечного объема, то тип геометрической структуры почти определяется следующим образом в терминах фундаментальной группы π₁(M):

• Если π₁(M) конечна, то геометрическая структура на M сферическая, и M компактный.
• Если π₁(M) практически циклический, но не конечный, то геометрическая структура на M является S²×р, и M компактный.
• Если π₁(M) практически абелева, но не циклична, то геометрическая структура на M евклидово, и M компактный.
• Если π₁(M) практически нильпотентна, но не абелева, то геометрическая структура на M - нулевая геометрия, и M компактный.
• Если π₁(M) виртуально разрешима, но не нильпотентна, то геометрическая структура на M является решаемой геометрией, и M компактный.
• Если π₁(M) имеет бесконечную нормальную циклическую подгруппу, но не является виртуально разрешимой, то геометрическая структура на M либо ЧАС²×р или универсальный чехол SL (2, р). Коллектор M может быть как компактным, так и некомпактным. Если он компактный, то две геометрии можно различить по тому, есть ли π₁(M) имеет конечную индекс подгруппа, которая распадается как полупрямое произведение нормальной циклической подгруппы и чего-то еще. Если многообразие некомпактно, то фундаментальная группа не может различать две геометрии, и есть примеры (например, дополнение к узлу-трилистнику), где многообразие может иметь геометрическую структуру конечного объема любого типа.
• Если π₁(M) не имеет бесконечной нормальной циклической подгруппы и не является виртуально разрешимой, то геометрическая структура на M гиперболический, и M может быть как компактным, так и некомпактным.

Многообразия бесконечного объема могут иметь много различных типов геометрической структуры: например, р³ может иметь 6 различных геометрических структур, перечисленных выше, поскольку 6 из 8 геометрий модели гомеоморфны ему. Более того, если объем не должен быть конечным, возникает бесконечное количество новых геометрических структур без компактных моделей; например, геометрия почти любой неунимодулярной 3-мерной группы Ли.

Существует несколько способов разложить замкнутое 3-многообразие на части с геометрическими структурами. Например:

• Взяв связанные суммы с несколькими копиями S³ не меняет коллектор.
• Связная сумма двух проективных 3-пространств имеет S²×р геометрии, а также является связной суммой двух частей с S³ геометрия.
• Продукт поверхности отрицательной кривизны и круга имеет геометрическую структуру, но также может быть разрезан по торам для получения более мелких деталей, которые также имеют геометрическую структуру. Есть много подобных примеров для расслоенных пространств Зейферта.

Можно выбрать «каноническое» разложение на части с геометрической структурой, например, сначала разрезав многообразие на простые части минимальным образом, а затем разрезав их, используя минимально возможное количество торов. Однако это минимальное разложение не обязательно является результатом потока Риччи; фактически, поток Риччи может разрезать многообразие на геометрические части многими неэквивалентными способами, в зависимости от выбора начальной метрики.

История

В Медаль Филдса был награжден Терстон в 1982 году частично за доказательство гипотезы геометризации для Многообразия Хакена.

Случай 3-коллекторов, которые должны быть сферическими, был медленнее, но обеспечивал искру, необходимую для Ричард С. Гамильтон развивать его Риччи поток. В 1982 году Гамильтон показал, что для замкнутого трехмерного многообразия с метрикой положительной Кривизна Риччи, поток Риччи схлопнул бы многообразие в точку за конечное время, что доказывает гипотезу геометризации для этого случая, поскольку метрика становится «почти круглой» непосредственно перед коллапсом. Позже он разработал программу, чтобы доказать гипотезу геометризации. Риччи Флоу с хирургией. Идея состоит в том, что поток Риччи, как правило, порождает сингулярности, но можно продолжить поток Риччи мимо сингулярности, используя операцию по изменению топологии многообразия. Грубо говоря, поток Риччи сжимает области положительной кривизны и расширяет области отрицательной кривизны, поэтому он должен убивать части многообразия с геометрией "положительной кривизны". S³ и S² × р, а то, что осталось на больших временах, должно иметь толсто-тонкий разложение в «толстый» кусок с гиперболической геометрией и «тонкий» графовое многообразие.

В 2003 г. Григорий Перельман набросал доказательство гипотезы о геометризации, показав, что поток Риччи действительно может продолжаться за сингулярностями и имеет поведение, описанное выше. Основная трудность в проверке доказательства Перельманом гипотезы о геометризации заключалась в критическом использовании его теоремы 7.4 в препринте «Поток Риччи с перестройками на трехмерных многообразиях». Эта теорема была сформулирована Перельманом без доказательства. В настоящее время имеется несколько различных доказательств теоремы Перельмана 7.4 или ее вариантов, которых достаточно для доказательства геометризации. Есть работа Шиоя и Ямагучи, в которой используются теорема Перельмана об устойчивости и теорема о расслоении для пространств Александрова.^[2][3][4] Этот метод с подробностями, ведущими к доказательству геометризации, можно найти в изложении автора Брюс Кляйнер и Джон Лотт.^[5]

Второй путь к последней части доказательства геометризации Перельмана - это метод Бессьер и другие.,^[6][7] который использует теорему Терстона о гиперболизации для многообразий Хакена и норму Громова для 3-многообразий.^[8][9] Европейское математическое общество опубликовало книгу тех же авторов с полными деталями их версии доказательства.^[10]

Там же есть доказательства теоремы Перельмана 7.4. Морган и Тиан,^[11] еще одна статья Клейнера и Лотта,^[12] и статья Цзяньго Цао и Цзянь Ге.^[13]

Примечания

Рекомендации

• Л. Бессьер, Г. Бессон, М. Буало, С. Майо, Дж. Порти, «Геометризация трехмерных многообразий», EMS Tracts in Mathematics, volume 13. Европейское математическое общество, Цюрих, 2010. [1]
• М. Буало Геометризация трехмерных многообразий с симметриями
• Ф. Бонахон Геометрические структуры на 3-многообразиях Справочник по геометрической топологии (2002) Elsevier.
• Аллен Хэтчер: Примечания по базовой топологии с тремя многообразиями 2000
• Дж. Изенберг, М. Джексон, Поток Риччи локально однородных геометрий на римановом многообразии, J. Diff. Геом. 35 (1992) нет. 3 723–741.
• Г. Перельман, Формула энтропии для потока Риччи и ее геометрические приложения, 2002
• Г. Перельман, Поток Риччи с хирургией на трехмерных многообразиях, 2003
• Г. Перельман, Конечное время угасания решений потока Риччи на некоторых трехмерных многообразиях, 2003
• Брюс Кляйнер и Джон Лотт, Примечания к статьям Перельмана (Май 2006 г.) (дополняет детали доказательства Перельмана гипотезы геометризации).
• Цао, Хуай-Донг; Чжу, Си-Пин (июнь 2006 г.). "Полное доказательство гипотез Пуанкаре и геометризации: применение теории Гамильтона-Перельмана потока Риччи" (PDF ). Азиатский математический журнал. 10 (2): 165–498. Дои:10.4310 / AJM.2006.v10.n2.a2. Получено 2006-07-31.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт) Доработанная версия (декабрь 2006 г.): Доказательство Гамильтона-Перельмана гипотезы Пуанкаре и гипотезы геометризации
• Джон В. Морган. Недавний прогресс в гипотезе Пуанкаре и классификации трехмерных многообразий. Вестник амер. Математика. Soc. 42 (2005) нет. 1, 57–78 (пояснительная статья кратко объясняет восемь геометрий и гипотезу геометризации и дает набросок доказательства Перельмана гипотезы Пуанкаре)
• Морган, Джон В .; Фонг, Фредерик Цз-Хо (2010). Поток Риччи и геометризация 3-многообразий. Серия университетских лекций. ISBN  978-0-8218-4963-7. Получено 2010-09-26.
• Морган, Джон В .; Тиан, Банда (2014), Гипотеза о геометризации, Монографии по математике из глины, 5, Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-5201-9
• Скотт, Питер Геометрии трехмерных многообразий. (опечатка ) Бык. Лондонская математика. Soc. 15 (1983), нет. 5, 401–487.
• Терстон, Уильям П. (1982). «Трехмерные многообразия, клейновы группы и гиперболическая геометрия». Американское математическое общество. Бюллетень. Новая серия. 6 (3): 357–381. Дои:10.1090 / S0273-0979-1982-15003-0. ISSN  0002-9904. МИСТЕР  0648524.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт) Это дает исходную формулировку гипотезы.
• Уильям Терстон. Трехмерная геометрия и топология. Vol. 1. Под редакцией Сильвио Леви. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997. x + 311 pp.ISBN  0-691-08304-5 (подробное объяснение восьми геометрий и доказательство того, что их всего восемь)
• Уильям Терстон. Геометрия и топология трехмерных многообразий., 1980 Принстонский доклад о геометрических структурах на трехмерных многообразиях.

внешняя ссылка

• «Геометрия 3-многообразий (видео)». Архивировано из оригинал 27 января 2010 г.. Получено 20 января, 2010. Публичная лекция по гипотезам Пуанкаре и геометризации, прочитанная К. Макмаллен в Гарварде в 2006 году.