Волоконное пространство Зейферта - Seifert fiber space

А Волоконное пространство Зейферта это 3-х коллекторный вместе с разложением как несвязное объединение окружностей. Другими словами, это ${ Displaystyle S ^ {1}}$-бандл (связка кругов ) над двумерным орбифолд. Многие 3-многообразия являются расслоениями Зейферта, и они составляют все компактные ориентированные многообразия в 6 из 8 Геометрии Терстона из гипотеза геометризации.

Определение

Стандартный расслоенный тор, соответствующий (5,2), получается приклеиванием вершины цилиндра к основанию с поворотом на 2/5 против часовой стрелки.

А Многообразие Зейферта представляет собой замкнутое 3-многообразие вместе с разложением на несвязное объединение окружностей (называемых слоями), так что каждый слой имеет трубчатую окрестность, образующую стандартный расслоенный тор.

А стандартный расслоенный тор соответствующая паре взаимно простых целых чисел (а,б) с участием а> 0 - это поверхностный пучок автоморфизма диска, заданного поворотом на угол 2πб/а (с естественным расслоением кружками). Если а = 1 средний слой называется обычный, а если а> 1 среднее волокно называется исключительный. Компактное расслоение Зейферта имеет лишь конечное число исключительных слоев.

Набор волокон образует двумерный орбифолд, обозначаемый B и называется базой - также называется поверхность орбиты- расслоения. Он имеет нижележащую двумерную поверхность B₀, но могут быть особые орбифолд точки соответствующие исключительным слоям.

Определение расслоения Зейферта можно обобщить несколькими способами. Многообразие Зейферта часто может иметь границу (также расслоенную окружностями, так что это объединение торов). При изучении неориентируемых многообразий иногда полезно позволить волокнам иметь окрестности, которые выглядят как поверхностное расслоение отражения (а не вращения) диска, так что некоторые волокна имеют окрестности, похожие на расслоенные бутылки Клейна, в которых В этом случае могут быть однопараметрические семейства исключительных кривых. В обоих случаях базовый B расслоения обычно имеет непустую границу.

Классификация

Герберт Зайферт классифицировал все замкнутые расслоения Зейферта в терминах следующих инвариантов. Многообразия Зейферта обозначаются символами

${ displaystyle {b, ( varepsilon, g); (a_ {1}, b_ {1}), dots, (a_ {r}, b_ {r}) } ,}$

где:${ displaystyle varepsilon}$ это один из 6 символов: ${ displaystyle o_ {1}, o_ {2}, n_ {1}, n_ {2}, n_ {3}, n_ {4} ,}$, (или Oo, No, NnI, On, NnII, NnIII в исходной записи Зейферта), что означает:

• ${ displaystyle o_ {1}}$ если B является ориентируемый и M ориентируемый.
• ${ displaystyle o_ {2}}$ если B ориентируемый и M не ориентируется.
• ${ displaystyle n_ {1}}$ если B не ориентируется и M неориентируема и все образующие ${ Displaystyle pi _ {1} (В)}$ сохранить ориентацию волокна.
• ${ displaystyle n_ {2}}$ если B не ориентируется и M ориентируема, поэтому все образующие ${ Displaystyle pi _ {1} (В)}$ обратная ориентация волокна.
• ${ displaystyle n_ {3}}$ если B не ориентируется и M не ориентируется и ${ displaystyle g geq 2}$ и ровно один генератор ${ Displaystyle pi _ {1} (В)}$ сохраняет ориентацию волокна.
• ${ displaystyle n_ {4}}$ если B не ориентируется и M не ориентируется и ${ displaystyle g geq 3}$ и ровно два генератора ${ Displaystyle pi _ {1} (В)}$ сохранить ориентацию волокна.

Вот

• г - род нижележащего двумерного многообразия поверхности орбиты.
• б целое число, нормализованное до 0 или 1, если M неориентируема и нормализована до 0, если дополнительно ${ displaystyle a_ {i}}$ равно 2.
• ${ displaystyle (a_ {1}, b_ {1}), ldots, (a_ {r}, b_ {r})}$ пары чисел, определяющие тип каждого из р исключительные орбиты. Они нормализованы так, чтобы ${ displaystyle 0$ когда M ориентируемый, и ${ displaystyle 0$ когда M не ориентируется.

Расслоение Зейферта символа

${ displaystyle {b, ( epsilon, g); (a_ {1}, b_ {1}), ldots, (a_ {r}, b_ {r}) }}$

может быть построено из символа

${ displaystyle {0, ( epsilon, g); }}$

с помощью хирургического вмешательства для добавления волокон типов б и ${ displaystyle b_ {i} / a_ {i}}$.

Если отбросить условия нормализации, то символ можно будет изменить следующим образом:

• Меняя знак обоих ${ displaystyle a_ {i}}$ и ${ displaystyle b_ {i}}$ не имеет никакого эффекта.
• Добавление 1 к б и вычитая ${ displaystyle a_ {i}}$ от ${ displaystyle b_ {i}}$ не имеет никакого эффекта. (Другими словами, мы можем добавлять целые числа к каждому из рациональных чисел ${ displaystyle (b, b_ {1} / a_ {1}, ldots, b_ {r} / a_ {r}})$ при условии, что их сумма остается постоянной.)
• Если коллектор неориентируемый, изменение знака ${ displaystyle b_ {i}}$ не имеет никакого эффекта.
• Добавление волокна типа (1,0) не имеет никакого эффекта. Каждый символ при выполнении этих операций эквивалентен уникальному нормализованному символу. При работе с ненормализованными символами целое число б можно установить в ноль, добавив волокно типа ${ displaystyle (1, b)}$.

Два замкнутых ориентированных или неориентируемых расслоения Зейферта изоморфны как ориентированные или неориентируемые расслоения тогда и только тогда, когда они имеют один и тот же нормализованный символ. Однако иногда два многообразия Зейферта могут быть гомеоморфными, даже если они имеют разные нормализованные символы, потому что некоторые многообразия (например, линзовые пространства) могут иметь более одного вида расслоений Зейферта. Также ориентированное расслоение при изменении ориентации становится расслоением Зейферта, символ которого имеет знак всех бs изменен, что после нормализации дает ему символ

${ displaystyle {- br, ( epsilon, g); (a_ {1}, a_ {1} -b_ {1}), ldots, (a_ {r}, a_ {r} -b_ {r}) ) }}$

и оно гомеоморфно этому как неориентированное многообразие.

Сумма ${ displaystyle b + sum b_ {i} / a_ {i}}$ является инвариантом ориентированных расслоений, который равен нулю тогда и только тогда, когда расслоение становится тривиальным после конечного покрытия B.

В орбифолд Эйлерова характеристика ${ Displaystyle чи (В)}$ орбифолда B дан кем-то

${ Displaystyle чи (В) = чи (В_ {0}) - сумма (1-1 / а_ {я})}$,

где ${ displaystyle chi (B_ {0})}$ - обычная эйлерова характеристика подстилающей топологической поверхности ${ displaystyle B_ {0}}$ орбифолда B. Поведение M во многом зависит от знака орбифолда эйлеровой характеристики B.

Фундаментальная группа

Основная группа M вписывается в точную последовательность

${ Displaystyle pi _ {1} (S ^ {1}) rightarrow pi _ {1} (M) rightarrow pi _ {1} (B) rightarrow 1}$

где π₁(B) это орбифолд фундаментальная группа B (что не то же самое, что фундаментальная группа основного топологического многообразия). Образ группы π₁(S¹) является циклическим, нормальным и порождается элементом час представлен любым регулярным слоем, но отображение из π₁(S¹) в π₁(M) не всегда инъективен.

Основная группа M имеет следующие презентация по генераторам и отношениям:

B ориентируемый:

${ displaystyle langle u_ {1}, v_ {1}, ... u_ {g}, v_ {g}, q_ {1}, ... q_ {r}, h | u_ {i} h = h ^ { epsilon} u_ {i}, v_ {i} h = h ^ { epsilon} v_ {i}, q_ {i} h = hq_ {i}, q_ {j} ^ {a_ {j}} h ^ {b_ {j}} = 1, q_ {1} ... q_ {r} [u_ {1}, v_ {1}] ... [u_ {g}, v_ {g}] = h ^ { б} rangle}$

где ε равно 1 для типа о₁, и -1 для типа о₂.

B неориентируемый:

${ displaystyle langle v_ {1}, ..., v_ {g}, q_ {1}, ... q_ {r}, h | v_ {i} h = h ^ { epsilon _ {i}} v_ {i}, q_ {i} h = hq_ {i}, q_ {j} ^ {a_ {j}} h ^ {b_ {j}} = 1, q_ {1} ... q_ {r} v_ {1} ^ {2} ... v_ {g} ^ {2} = h ^ {b} rangle}$

где ε_я равно 1 или -1 в зависимости от того, соответствует ли соответствующий генератор v_я сохраняет или меняет ориентацию волокна. (Итак, ε_я все 1 для типа п₁, все −1 для типа п₂, только первый для типа п₃, и только первые два - один для типа п₄.)

Положительная орбифолдная эйлерова характеристика

Нормализованные символы расслоений Зейферта с положительной орбифолдной эйлеровой характеристикой приведены в списке ниже. Эти многообразия Зейферта часто имеют много различных расслоений Зейферта. У них сферическая Геометрия терстона если фундаментальная группа конечна, и S²×р Геометрия Терстона, если фундаментальная группа бесконечна. Эквивалентно геометрия S²×р если многообразие неориентируемо или если б + Σб_я/а_я= 0 и сферическая геометрия в противном случае.

{б; (о₁, 0);} (б интеграл) является S²×S¹ для б= 0, иначе a пространство объектива L(б, 1). В частности, {1; (о₁, 0);} =L(1,1) - 3-сфера.

{б; (о₁, 0);(а₁, б₁)} (б интеграл) пространство линзы L(ба₁+б₁,а₁).

{б; (о₁, 0);(а₁, б₁), (а₂, б₂)} (б интеграл)является S²×S¹ если ба₁а₂+а₁б₂+а₂б₁ = 0, иначе линзовое пространство L(ба₁а₂+а₁б₂+а₂б₁, ма₂+nb₂) где ма₁ − п(ба₁ +б₁) = 1.

{б; (о₁, 0);(2, 1), (2, 1), (а₃, б₃)} (б интеграл)Это призменный коллектор с фундаментальной группой порядка 4а₃|(б+1)а₃+б₃| и первая группа гомологий порядка 4 | (б+1)а₃+б₃|.

{б; (о₁, 0);(2, 1), (3, б₂), (3, б₃)} (б интеграл)Фундаментальная группа является центральным расширением группы тетраэдра порядка 12 с помощью циклической группы.

{б; (о₁, 0);(2, 1), (3, б₂), (4, б₃)} (б интеграл)Фундаментальная группа - это произведение циклической группы порядка | 12б+6+4б₂ + 3б₃| и двойная крышка порядка 48 октаэдрическая группа порядка 24.

{б; (о₁, 0);(2, 1), (3, б₂), (5, б₃)} (б интеграл)Фундаментальная группа - это произведение циклической группы порядка м=|30б+15+10б₂ +6б₃| и совершенное двойное покрытие порядка 120 для группы икосаэдров. Многообразия являются частными от Сфера гомологии Пуанкаре циклическими группами порядка м. В частности, {−1; (о₁, 0); (2, 1), (3, 1), (5, 1)} - сфера Пуанкаре.

{б; (п₁, 1);} (б равно 0 или 1.)Это неориентируемые трехмерные многообразия с S²×р геометрия. б даже это гомеоморфно проективной плоскости, умноженной на окружность, в противном случае оно гомеоморфно поверхностному расслоению, ассоциированному с обращающим ориентацию автоморфизмом 2-сферы.

{б; (п₁, 1);(а₁, б₁)} (б равно 0 или 1.)Это неориентируемые трехмерные многообразия с S²×р геометрия. ба₁+б₁ даже это гомеоморфно проективной плоскости, умноженной на окружность, в противном случае оно гомеоморфно поверхностному расслоению, ассоциированному с обращающим ориентацию автоморфизмом 2-сферы.

{б; (п₂, 1);} (б интеграл.)Это призматическое многообразие с фундаментальной группой порядка 4 |б| и первая группа гомологий порядка 4, кроме б= 0, когда это сумма двух копий реального проективного пространства, и |б| = 1, когда это линзовое пространство с фундаментальной группой порядка 4.

{б; (п₂, 1);(а₁, б₁)} (б интеграл.)Это (единственное) призматическое многообразие с фундаментальной группой порядка 4а₁|ба₁ + б₁| и первая группа гомологий порядка 4а₁.

Нулевая орбифолдная эйлерова характеристика

Нормализованные символы расслоений Зейферта с нулевой орбифолдной эйлеровой характеристикой приведены в списке ниже. Многообразия имеют евклидовы Геометрия терстона если они неориентируемы или если б + Σб_я/а_я= 0, в противном случае - nil-геометрия. Эквивалентно, многообразие имеет евклидову геометрию тогда и только тогда, когда его фундаментальная группа имеет абелеву группу конечного индекса. Существует 10 евклидовых многообразий, но четыре из них имеют два разных расслоения Зейферта. Все поверхностные расслоения, ассоциированные с автоморфизмами 2-тора следа 2, 1, 0, −1 или −2, являются расслоениями Зейферта с нулевой орбифолдной эйлеровой характеристикой (для остальных (Аносов ) автоморфизмы не являются расслоениями Зейферта, но имеют геометрия золя ). Все многообразия с ниль-геометрией имеют единственное расслоение Зейферта и характеризуются своими фундаментальными группами. Все пространства ацикличны.

{б; (о₁, 0); (3, б₁), (3, б₂), (3, б₃)}    (б интеграл, б_я 1 или 2) Для б + Σб_я/а_я= 0, это ориентированное евклидово 2-торическое расслоение над окружностью и поверхностное расслоение, связанное с вращением 2-тора порядка 3 (след −1).

{б; (о₁, 0); (2,1), (4, б₂), (4, б₃)}    (б интеграл, б_я 1 или 3) Для б + Σб_я/а_я= 0 это ориентированное евклидово 2-торическое расслоение над окружностью и поверхностное расслоение, связанное с вращением 2-тора порядка 4 (след 0).

{б; (о₁, 0); (2, 1), (3, б₂), (6, б₃)}    (б интеграл, б₂ 1 или 2, б₃ 1 или 5) Для б + Σб_я/а_я= 0 это ориентированное евклидово 2-торическое расслоение над окружностью и поверхностное расслоение, связанное с вращением 2-тора порядка 6 (след 1).

{б; (о₁, 0); (2, 1), (2, 1), (2, 1), (2, 1)}    (б интеграл) Это ориентированные 2-торические расслоения для автоморфизмов 2-тора со следом −2. Для б= −2 это ориентированное евклидово 2-торическое расслоение над окружностью (поверхностное расслоение, связанное с вращением 2-тора порядка 2) и гомеоморфно {0; (п₂, 2);}.

{б; (о₁, 1); }   (б интеграл) Это ориентированное расслоение с 2-торами над окружностью, заданное как расслоение поверхностей, ассоциированное с автоморфизмом 2-тора со следом 2. Для б= 0 это евклидово, и это 3-тор (поверхностное расслоение, связанное с тождественным отображением 2-тора).

{б; (о₂, 1); }   (б 0 или 1) Два неориентируемых евклидова Бутылка Клейна связки по кругу. Первая гомология Z+Z+Z/2Z если б= 0 и Z+Z если б= 1. Первое время бутылки Клейна S¹ а другой - поверхностный пучок, связанный с Ден твист из Бутылка Клейна.Они гомеоморфны торовым расслоениям {б; (п₁, 2);}.

{0; (п₁, 1); (2, 1), (2, 1)}   Гомеоморфно неориентируемому евклидову пучку бутылок Клейна {1; (п₃, 2);}, с первыми гомологиями Z + Z/4Z.

{б; (п₁, 2); }   (б 0 или 1) Это неориентируемые евклидовы поверхностные расслоения, связанные с обращающими ориентацию автоморфизмами 2-го порядка без неподвижных точек. Первая гомология Z+Z+Z/2Z если б= 0 и Z+Z если б= 1, они гомеоморфны пучкам бутылок Клейна {б; (о₂, 1);}.

{б; (п₂, 1); (2, 1), (2, 1)}   (б интеграл) Для б= −1 это ориентировано евклидово.

{б; (п₂, 2); }   (б интеграл) Для б= 0 это ориентированное евклидово многообразие, гомеоморфное 2-торовому расслоению {−2; (о₁, 0); (2, 1), (2, 1), (2, 1), (2, 1)} над циклом, связанным с вращением 2-го порядка 2-тора.

{б; (п₃, 2); }   (б 0 или 1) Два других неориентируемых пучка бутылок Евклида Клейна. Тот, у кого б = 1 гомеоморфно {0; (п₁, 1); (2, 1), (2, 1)}. Первая гомология Z+Z/2Z+Z/2Z если б= 0 и Z+Z/4Z если б= 1. Эти две связки бутылок Клейна представляют собой поверхностные связки, связанные с у-гомеоморфизм и продукт этого и поворота.

Отрицательная орбифолдная эйлерова характеристика

Это общий случай. Все такие расслоения Зейферта с точностью до изоморфизма определяются своей фундаментальной группой. Тотальные пространства асферичны (другими словами, все высшие гомотопические группы обращаются в нуль). Они имеют Геометрии Терстона типа универсальная крышка SL₂(р), если какое-то конечное покрытие не распадается как произведение, и в этом случае они имеют геометрию Терстона типа ЧАС₂×рЭто происходит, если многообразие неориентируемо или б + Σб_я/а_я= 0.

использованная литература

• СРЕДНИЙ. Чернавский (2001) [1994], «Расслоение Зейферта», Энциклопедия математики, EMS Press
• Герберт Зайферт, Topologie dreidimensionaler gefaserter Räume, Acta Mathematica 60 (1933) 147–238 (Есть перевод W. Heil, опубликованный Университетом штата Флорида в 1976 г. и найденный в: Герберт Зайферт, Уильям Трелфолл, Зайферт и Треллфолл: учебник топологии, Чистая и прикладная математика, Academic Press Inc (1980), т. 89.)
• Питер Орлик, Многообразия Зейферта, Конспект лекций по математике 291, Springer (1972).
• Фрэнк Раймонд, Классификация действий окружности на трехмерных многообразиях., Труды Американского математического общества 31, (1968) 51–87.
• Уильям Х. Жако, Лекции по топологии 3-многообразий ISBN  0-8218-1693-4
• Уильям Х. Жако, Питер Б. Шален, Волокнистые пространства Зейферта в трех многообразиях: Серия воспоминаний № 220 (Мемуары Американского математического общества; v. 21, no. 220) ISBN  0-8218-2220-9
• Мэтью Г. Брин (2007). «Волокнистые пространства Зейферта: заметки для курса, прочитанного весной 1993 года». arXiv:0711.1346.
• Джон Хемпель, 3-х коллектор, Американское математическое общество, ISBN  0-8218-3695-1
• Питер Скотт, Геометрии трехмерных многообразий. (опечатка ), Бык. Лондонская математика. Soc. 15 (1983), нет. 5, 401–487.