Теорема Гильберта (дифференциальная геометрия) - Википедия - Hilberts theorem (differential geometry)

В дифференциальная геометрия, Теорема гильберта (1901) утверждает, что не существует полного регулярная поверхность ${ displaystyle S}$ постоянного отрицательного гауссова кривизна ${ displaystyle K}$ погруженный в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$. Эта теорема отвечает на вопрос, в отрицательном случае какие поверхности в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ может быть получен изометрическим погружением полные коллекторы с постоянная кривизна.

История

• Теорема Гильберта впервые была рассмотрена Дэвид Гильберт in, "Über Flächen von konstanter Krümmung" (Пер. Амер. Математика. Soc. 2 (1901), 87-99).
• Другое доказательство было дано вскоре после того, как Э. Холмгрен, «Sur les поверхности à Courbure constante négative» (1902).
• Дальнейшее обобщение было получено Николай Ефимов в 1975 г.^[1]

Доказательство

В доказательство теоремы Гильберта сложна и требует нескольких леммы. Идея состоит в том, чтобы показать отсутствие изометрического погружение

${ displaystyle varphi = psi circ exp _ {p}: S ' longrightarrow mathbb {R} ^ {3}}$

самолета ${ displaystyle S '}$ в реальное пространство ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$. Это доказательство в основном такое же, как и в статье Гильберта, хотя и основано на книгах Ду Карму и Спивак.

Наблюдения: Чтобы лечение было более управляемым, но не теряя общий смысл, то кривизна можно считать равным минус единице, ${ displaystyle K = -1}$. Без потери общности, поскольку речь идет о постоянной кривизне и сходстве ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ умножать ${ displaystyle K}$ на константу. В экспоненциальная карта ${ displaystyle exp _ {p}: T_ {p} (S) longrightarrow S}$ это локальный диффеоморфизм (фактически накрывающее отображение по теореме Картана-Адамара), поэтому оно индуцирует внутренний продукт в касательное пространство из ${ displaystyle S}$ в ${ displaystyle p}$: ${ displaystyle T_ {p} (S)}$. Более того, ${ displaystyle S '}$ обозначает геометрическую поверхность ${ displaystyle T_ {p} (S)}$ с этим внутренним продуктом. Если ${ displaystyle psi: S longrightarrow mathbb {R} ^ {3}}$ изометрическое погружение, то же верно и для

${ displaystyle varphi = psi circ exp _ {o}: S ' longrightarrow mathbb {R} ^ {3}}$.

Первая лемма не зависит от других и будет использована в конце в качестве встречного утверждения, чтобы отклонить результаты из других лемм.

Лемма 1.: Площадь ${ displaystyle S '}$ бесконечно.
Набросок доказательства:
Идея доказательства состоит в том, чтобы создать глобальная изометрия между ${ displaystyle H}$ и ${ displaystyle S '}$. Тогда, поскольку ${ displaystyle H}$ имеет бесконечную площадь, ${ displaystyle S '}$ тоже будет.
Тот факт, что гиперболическая плоскость ${ displaystyle H}$ имеет бесконечную площадь, вычисляя поверхностный интеграл с соответствующими коэффициенты из Первая фундаментальная форма. Чтобы получить их, гиперболическая плоскость может быть определена как плоскость со следующим внутренним произведением вокруг точки ${ displaystyle q in mathbb {R} ^ {2}}$ с координатами ${ Displaystyle (и, v)}$

${ displaystyle E = left langle { frac { partial} { partial u}}, { frac { partial} { partial u}} right rangle = 1 qquad F = left langle { frac { partial} { partial u}}, { frac { partial} { partial v}} right rangle = left langle { frac { partial} { partial v}}, { frac { partial} { partial u}} right rangle = 0 qquad G = left langle { frac { partial} { partial v}}, { frac { partial} { частичный v}} right rangle = e ^ {u}}$

Поскольку гиперболическая плоскость неограничена, пределы интеграла равны бесконечный, а площадь можно рассчитать через

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {u} dudv = infty}$

Далее необходимо создать карту, которая покажет, что глобальная информация из гиперболической плоскости может быть перенесена на поверхность. ${ displaystyle S '}$, т.е. глобальная изометрия. ${ displaystyle varphi: H rightarrow S '}$ будет отображением, областью определения которого является гиперболическая плоскость и будет отображать 2-мерное многообразие ${ displaystyle S '}$, который несет внутренний продукт с поверхности ${ displaystyle S}$ с отрицательной кривизной. ${ displaystyle varphi}$ будут определены через экспоненциальное отображение, обратное ему отображение и линейную изометрию между их касательными пространствами,

${ displaystyle psi: T_ {p} (H) rightarrow T_ {p '} (S')}$.

То есть

${ displaystyle varphi = exp _ {p '} circ psi circ exp _ {p} ^ {- 1}}$,

куда ${ displaystyle p in H, p ' in S'}$. То есть отправная точка ${ displaystyle p in H}$ переходит в касательную плоскость от ${ displaystyle H}$ через инверсию экспоненциального отображения. Затем перемещается от одной касательной плоскости к другой через изометрию. ${ displaystyle psi}$, а затем на поверхность ${ displaystyle S '}$ с другой экспоненциальной картой.

Следующий шаг предполагает использование полярные координаты, ${ Displaystyle ( rho, theta)}$ и ${ Displaystyle ( rho ', theta')}$, вокруг ${ displaystyle p}$ и ${ displaystyle p '}$ соответственно. Требуется, чтобы оси были сопоставлены друг с другом, то есть ${ displaystyle theta = 0}$ идет в ${ displaystyle theta '= 0}$. потом ${ displaystyle varphi}$ сохраняет первую фундаментальную форму.
В геодезической полярной системе Гауссова кривизна ${ displaystyle K}$ можно выразить как

${ displaystyle K = - { frac {({ sqrt {G}}) _ { rho rho}} { sqrt {G}}}}$.

Кроме того, K является постоянным и удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению

${ displaystyle ({ sqrt {G}}) _ { rho rho} + K cdot { sqrt {G}} = 0}$

С ${ displaystyle H}$ и ${ displaystyle S '}$ имеют одинаковую постоянную гауссову кривизну, то они локально изометричны (Теорема Миндинга ). Это означает, что ${ displaystyle varphi}$ локальная изометрия между ${ displaystyle H}$ и ${ displaystyle S '}$. Кроме того, из теоремы Адамара следует, что ${ displaystyle varphi}$ также является покрывающей картой.
С ${ displaystyle S '}$ односвязно, ${ displaystyle varphi}$ является гомеоморфизмом, а значит, (глобальной) изометрией. Следовательно, ${ displaystyle H}$ и ${ displaystyle S '}$ глобально изометричны, и поскольку ${ displaystyle H}$ имеет бесконечную площадь, то ${ Displaystyle S '= T_ {p} (S)}$ также имеет бесконечную площадь. ${ displaystyle square}$

Лемма 2: Для каждого ${ displaystyle p in S '}$ существует параметризация ${ Displaystyle x: U подмножество mathbb {R} ^ {2} longrightarrow S ', qquad p in x (U)}$, так что координатные кривые из ${ displaystyle x}$ асимптотические кривые ${ Displaystyle х (U) = V '}$ и сформировать сеть Чебышефа.

Лемма 3.: Позволять ${ Displaystyle V ' подмножество S'}$ быть координатой район из ${ displaystyle S '}$ такие, что координатные кривые являются асимптотиками в ${ displaystyle V '}$. Тогда площадь A любого четырехугольника, образованного координатными кривыми, меньше, чем ${ displaystyle 2 pi}$.

Следующая цель - показать, что ${ displaystyle x}$ является параметризацией ${ displaystyle S '}$.

Лемма 4.: Для фиксированного ${ displaystyle t}$, Кривая ${ Displaystyle х (s, t), - infty$, - асимптотическая кривая с ${ displaystyle s}$ как длина дуги.

Следующие две леммы вместе с леммой 8 продемонстрируют существование параметризация ${ displaystyle x: mathbb {R} ^ {2} longrightarrow S '}$

Лемма 5.: ${ displaystyle x}$ является локальным диффеоморфизмом.

Лемма 6.: ${ displaystyle x}$ является сюръективный.

Лемма 7.: На ${ displaystyle S '}$ есть два дифференцируемых линейно независимых векторных поля, которые касаются асимптотические кривые из ${ displaystyle S '}$.

Лемма 8.: ${ displaystyle x}$ является инъективный.

Доказательство теоремы Гильберта:
Во-первых, будем предполагать, что изометрическое погружение из полная поверхность ${ displaystyle S}$ с отрицательной кривизной существует: ${ displaystyle psi: S longrightarrow mathbb {R} ^ {3}}$

Как указано в наблюдениях, касательная плоскость ${ displaystyle T_ {p} (S)}$ наделен метрикой, индуцированной экспоненциальным отображением ${ displaystyle exp _ {p}: T_ {p} (S) longrightarrow S}$ . Более того, ${ displaystyle varphi = psi circ exp _ {p}: S ' longrightarrow mathbb {R} ^ {3}}$ является изометрическим погружением, а леммы 5,6 и 8 показывают существование параметризации ${ displaystyle x: mathbb {R} ^ {2} longrightarrow S '}$ всего ${ displaystyle S '}$, такие, что координатные кривые ${ displaystyle x}$ - асимптотические кривые ${ displaystyle S '}$. Этот результат дается леммой 4. Следовательно, ${ displaystyle S '}$ можно покрыть объединением "координатных" четырехугольников ${ displaystyle Q_ {n}}$ с ${ displaystyle Q_ {n} подмножество Q_ {n + 1}}$. По лемме 3 площадь каждого четырехугольника меньше, чем ${ displaystyle 2 pi}$. С другой стороны, по лемме 1 площадь ${ displaystyle S '}$ бесконечно, поэтому не имеет границ. Получили противоречие, и доказательство окончено. ${ displaystyle square}$

Смотрите также