Дифференциальная геометрия - Differential geometry

Треугольник, погруженный в седловидную плоскость (a гиперболический параболоид ), а также два расходящихся ультрапараллельные линии.

Геометрия
Проектирование а сфера к самолет
Контур История
ветви Евклидово Неевклидово Эллиптический Сферический Гиперболический Неархимедова геометрия Проективный Аффинный Синтетический Аналитический Алгебраический Арифметика Диофантин Дифференциальный Риманов Симплектический Дискретный дифференциал Сложный Конечный Дискретный / Комбинаторный Цифровой Выпуклый Вычислительная Фрактал Заболеваемость
Концепции Функции Измерение Конструкции линейки и компаса Угол Изгиб Диагональ Ортогональность (Перпендикуляр ) Параллельный Вершина Конгруэнтность Сходство Симметрия
Нульмерный Точка
Одномерный Линия сегмент луч Длина
Двумерный Самолет Площадь Многоугольник Треугольник Высота Гипотенуза теорема Пифагора Параллелограмм Квадрат Прямоугольник Ромб Ромбовидный Четырехугольник Трапеция летающий змей Круг Диаметр Длина окружности Площадь
Трехмерный Объем Куб кубовид Цилиндр Пирамида Сфера
Четыре - / другое измерение Тессеракт Гиперсфера
Геометры
по имени Аида Арьябхата Ахмес Альхазен Аполлоний Архимед Атья Баудхаяна Бойяи Брахмагупта Картан Coxeter Декарт Евклид Эйлер Гаусс Громов Гильберта Джиешхадева Катьяяна Хайям Кляйн Лобачевский Манава Минковский Минггату Паскаль Пифагор Парамешвара Пуанкаре Риман Сакабэ Sijzi ат-Туси Веблен Вирасена Ян Хуэй аль-Ясамин Чжан Список геометров
по периоду До н.э. Ахмес Баудхаяна Манава Пифагор Евклид Архимед Аполлоний 1–1400 Чжан Катьяяна Арьябхата Брахмагупта Вирасена Альхазен Sijzi Хайям аль-Ясамин ат-Туси Ян Хуэй Парамешвара 1400–1700 гг. Джиешхадева Декарт Паскаль Минггату Эйлер Сакабэ Аида 1700–1900-е гг. Гаусс Лобачевский Бойяи Риман Кляйн Пуанкаре Гильберта Минковский Картан Веблен Coxeter Сегодняшний день Атья Громов

Дифференциальная геометрия это математический дисциплина, использующая методы дифференциальное исчисление, интегральное исчисление, линейная алгебра и полилинейная алгебра изучать проблемы в геометрия. В теория плоских и пространственных кривых и поверхности в трехмерном Евклидово пространство легли в основу развития дифференциальной геометрии в 18-19 веках.

С конца 19 века дифференциальная геометрия превратилась в область, в более общем плане занимающуюся геометрическими структурами на дифференцируемые многообразия. Дифференциальная геометрия тесно связана с дифференциальная топология и геометрические аспекты теории дифференциальные уравнения. В дифференциальная геометрия поверхностей охватывает многие ключевые идеи и методы, присущие этой области.

История развития

Эта секция возможно содержит синтез материала что не достоверно упомянуть или же иметь отношение к основной теме. Соответствующее обсуждение можно найти на страница обсуждения. (Февраль 2017 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Дифференциальная геометрия возникла и развивалась в результате и в связи с математическим анализом кривых и поверхностей.^[1] Математический анализ кривых и поверхностей был разработан, чтобы ответить на некоторые назойливые и оставшиеся без ответа вопросы, которые возникли в исчисление, например, причины взаимосвязей между сложными формами и кривыми, рядами и аналитическими функциями. Эти вопросы, оставшиеся без ответа, свидетельствовали о более глубоких скрытых отношениях.

Общая идея естественных уравнений для получения кривых из локальной кривизны, по-видимому, впервые была рассмотрена Леонард Эйлер в 1736 году, и многие примеры с довольно простым поведением были изучены в 1800-х годах.^[2]

Когда было обнаружено, что кривые, поверхности, окруженные кривыми, и точки на кривых количественно и, как правило, связаны математическими формами, формальное изучение природы кривых и поверхностей стало самостоятельной областью исследования, причем Monge в работе 1795 г., и особенно с Гаусс публикация его статьи под названием «Disquisitiones Generales Circa Superficies Curvas» в Комментарии Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores в 1827 г.^[3]

Первоначально примененный к евклидову пространству, дальнейшие исследования привели к неевклидову пространству, а также метрическим и топологическим пространствам.

ветви

Риманова геометрия

Исследования римановой геометрии Римановы многообразия, гладкие многообразия с Риманова метрика. Это понятие расстояния, выраженное с помощью гладкий положительно определенный симметричная билинейная форма определен на касательном пространстве в каждой точке. Риманова геометрия обобщает Евклидова геометрия в пространства, которые не обязательно должны быть плоскими, хотя они все же напоминают Евклидово пространство в каждой точке бесконечно малым, т.е. первый порядок приближения. Различные концепции, основанные на длине, такие как длина дуги из кривые, площадь плоских областей, и объем твердых тел имеют естественные аналоги в римановой геометрии. Понятие о производная по направлению функции из многомерное исчисление распространяется в римановой геометрии на понятие ковариантная производная из тензор. Многие концепции и методы анализа и дифференциальных уравнений были обобщены на случай римановых многообразий.

Сохранение расстояния диффеоморфизм между римановыми многообразиями называется изометрия. Это понятие также можно определить локально, т.е.для малых окрестностей точек. Любые две правильные кривые локально изометричны. Тем не менее Теорема Egregium из Карл Фридрих Гаусс показал, что для поверхностей наличие локальной изометрии накладывает сильные условия совместимости на их метрики: Гауссова кривизна в соответствующих точках должны быть одинаковыми. В более высоких измерениях Тензор кривизны Римана - важный точечный инвариант, связанный с римановым многообразием, который измеряет, насколько оно близко к плоскому. Важным классом римановых многообразий является Римановы симметрические пространства, кривизна которого не обязательно постоянна. Это наиболее близкие аналоги «обычной» плоскости и пространства, рассматриваемые в евклидовом и неевклидова геометрия.

Псевдориманова геометрия

Псевдориманова геометрия обобщает риманову геометрию на случай, когда метрический тензор не должно быть положительно определенный. Частным случаем этого является Лоренцево многообразие, что является математической основой теории Эйнштейна. общая теория относительности гравитации.

Финслерова геометрия

Геометрия Финслера имеет Финслеровы многообразия как основной объект исследования. Это дифференциальное многообразие с Метрика Финслера, это Норма Банаха определены на каждом касательном пространстве. Римановы многообразия являются частными случаями более общих финслеровых многообразий. Финслерова структура на многообразии M это функция F : ТM → [0, ∞) такой, что:

1. F(Икс, мой) = м F(Икс, y) для всех (Икс, y) в ТM и все м≥0,
2. F бесконечно дифференцируема в ТM ∖ {0},
3. Вертикальный гессен F² положительно определен.

Симплектическая геометрия

Симплектическая геометрия это изучение симплектические многообразия. An почти симплектическое многообразие - дифференцируемое многообразие, снабженное плавно меняющийся невырожденный кососимметричный билинейная форма на каждом касательном пространстве, т.е. невырожденный 2-форма ω, называется симплектическая форма. Симплектическое многообразие - это почти симплектическое многообразие, для которого симплектическая форма ω закрыто: dω = 0.

А диффеоморфизм между двумя симплектическими многообразиями, сохраняющая симплектическую форму, называется симплектоморфизм. Невырожденные кососимметричные билинейные формы могут существовать только на четномерных векторных пространствах, поэтому симплектические многообразия обязательно имеют четную размерность. В размерности 2 симплектическое многообразие - это просто поверхность с формой площади и симплектоморфизмом является диффеоморфизмом, сохраняющим площадь. В фазовое пространство механической системы представляет собой симплектическое многообразие, и они неявно проявились уже в работе Жозеф Луи Лагранж на аналитическая механика а позже в Карл Густав Якоби 'песок Уильям Роуэн Гамильтон с формулировки классической механики.

В отличие от римановой геометрии, где кривизна обеспечивает локальный инвариант римановых многообразий, Теорема Дарбу утверждает, что все симплектические многообразия локально изоморфны. Единственные инварианты симплектического многообразия глобальны по природе, и топологические аспекты играют заметную роль в симплектической геометрии. Вероятно, первым результатом симплектической топологии является Теорема Пуанкаре – Биркгофа., предположил Анри Пуанкаре а затем доказано Г. Д. Биркгоф в 1912 году. Он утверждает, что если сохраняющая область карта кольцо поворачивает каждый компонент границы в противоположных направлениях, тогда на карте есть как минимум две фиксированные точки.^[4]

Контактная геометрия

Контактная геометрия имеет дело с некоторыми многообразиями нечетной размерности. Она близка к симплектической геометрии и, как и последняя, ​​зародилась в вопросах классической механики. А структура контактов на (2п + 1)-мерное многообразие M задается гладким гиперплоским полем ЧАС в касательный пучок что, насколько это возможно, не связано с множествами уровня дифференцируемой функции на M (технический термин - «полностью неинтегрируемое касательное распределение гиперплоскостей»). Рядом с каждой точкой п, распределение гиперплоскости определяется нигде не исчезающим 1-форма ${ displaystyle alpha}$, который уникален с точностью до умножения на нигде не исчезающую функцию:

${ Displaystyle H_ {p} = ker alpha _ {p} subset T_ {p} M.}$

Местная 1-форма на M это Форма обратной связи если ограничение его внешняя производная к ЧАС является невырожденной двумерной формой и, таким образом, индуцирует симплектическую структуру на ЧАС_п в каждой точке. Если распределение ЧАС может быть определен глобальной одноформной ${ displaystyle alpha}$ то эта форма является контактной тогда и только тогда, когда многомерная форма

${ Displaystyle альфа клин (д альфа) ^ {п}}$

это объемная форма на M, т.е. никуда не пропадает. Имеет место контактный аналог теоремы Дарбу: все контактные структуры на нечетномерном многообразии локально изоморфны и могут быть приведены к некоторой локальной нормальной форме путем подходящего выбора системы координат.

Комплексная и кэлерова геометрия

Сложная дифференциальная геометрия это изучение комплексные многообразия.An почти комплексное многообразие это настоящий многообразие ${ displaystyle M}$, наделенный тензор из тип (1, 1), т.е. эндоморфизм векторных расслоений (называется почти сложная структура )

${ displaystyle J: TM rightarrow TM}$, так что ${ Displaystyle J ^ {2} = - 1. ,}$

Из этого определения следует, что почти комплексное многообразие четномерно.

Почти комплексное многообразие называется сложный если ${ displaystyle N_ {J} = 0}$, куда ${ displaystyle N_ {J}}$ - тензор типа (2, 1), связанный с ${ displaystyle J}$, называется Тензор Нейенхейса (или иногда кручениеПочти комплексное многообразие является комплексным тогда и только тогда, когда оно допускает голоморфный координатный атлас.An почти эрмитова структура дается почти сложной структурой Jвместе с Риманова метрика грамм, удовлетворяющая условию совместности

${ Displaystyle г (JX, JY) = г (X, Y) ,}$.

Почти эрмитова структура естественным образом определяет дифференциальный двухформный

${ Displaystyle omega _ {J, g} (X, Y): = g (JX, Y) ,}$.

Следующие два условия эквивалентны:

1. ${ Displaystyle N_ {J} = 0 { mbox {и}} d omega = 0 ,}$
2. ${ Displaystyle набла J = 0 ,}$

куда ${ displaystyle nabla}$ это Леви-Чивита связь из ${ displaystyle g}$. В этом случае, ${ displaystyle (J, g)}$ называется Кэлерова структура, а Кэлерово многообразие является многообразием с кэлеровой структурой. В частности, кэлерово многообразие одновременно является комплексным и симплектическое многообразие. Большой класс кэлеровых многообразий (класс Многообразия Ходжа ) задается всеми гладкими комплексные проективные многообразия.

Геометрия CR

Геометрия CR является изучение внутренней геометрии границ областей в комплексные многообразия.

Конформная геометрия

Конформная геометрия является изучением множества сохраняющих угол (конформных) преобразований на пространстве.

Дифференциальная топология

Дифференциальная топология - это изучение глобальных геометрических инвариантов без метрической или симплектической формы.

Дифференциальная топология начинается с естественных операций, таких как Производная Ли естественного векторные пакеты и дифференциал де Рама из формы. Рядом Алгеброиды Ли, также Алгеброиды Куранта начать играть более важную роль.

Группы Ли

А Группа Ли это группа в категории гладких многообразий. Помимо алгебраических свойств он обладает также дифференциально-геометрическими свойствами. Наиболее очевидная конструкция - это конструкция алгебры Ли, которая является касательным пространством в единице, снабженной скобкой Ли между левоинвариантными векторные поля. Помимо структурной теории существует также широкое поле деятельности теория представлений.

Калибровочная теория

Калибровочная теория - это изучение связности векторных расслоений и главных расслоений, возникающее из проблем в математическая физика и физический калибровочные теории которые лежат в основе стандартная модель физики элементарных частиц. Калибровочная теория занимается изучением дифференциальных уравнений для связностей на расслоениях и получаемых геометрических пространства модулей решений этих уравнений, а также инвариантов, которые могут быть получены из них. Эти уравнения часто возникают как Уравнения Эйлера – Лагранжа. описывающих уравнения движения некоторых физических систем в квантовая теория поля, и поэтому их изучение представляет значительный интерес для физики.

Связки и соединения

Аппарат векторные пакеты, основные связки, и связи на расслоениях играет чрезвычайно важную роль в современной дифференциальной геометрии. Гладкое многообразие всегда содержит естественное векторное расслоение, касательный пучок. Грубо говоря, эта структура сама по себе достаточна только для развития анализа на многообразии, в то время как выполнение геометрии требует, кроме того, некоторого способа связать касательные пространства в разных точках, т. Е. Понятия параллельный транспорт. Важным примером является аффинные связи. Для поверхность в р³касательные плоскости в разных точках могут быть идентифицированы с помощью естественного параллелизма по путям, индуцированного окружающим евклидовым пространством, которое имеет хорошо известное стандартное определение метрики и параллелизма. В Риманова геометрия, то Леви-Чивита связь служит аналогичной цели. (Связность Леви-Чивита определяет попутный параллелизм в терминах данной произвольной римановой метрики на многообразии.) В более общем смысле, дифференциальные геометры рассматривают пространства с векторным расслоением и произвольной аффинной связностью, которая не определяется в терминах метрики. В физике многообразие может быть пространственно-временной континуум а связки и соединения относятся к различным физическим полям.

Внутреннее и внешнее

С начала и до середины XIX века дифференциальная геометрия изучалась с внешний точка зрения: кривые и поверхности считались лежащими в Евклидово пространство более высокого измерения (например, поверхность в окружающее пространство трех измерений). Самые простые результаты представлены в дифференциальная геометрия кривых и дифференциальная геометрия поверхностей. Начиная с работы Риман, то внутренний была развита точка зрения, в которой нельзя говорить о движении «вне» геометрического объекта, поскольку он считается заданным свободно стоящим образом. Основным результатом здесь является результат Гаусса. теорема эгрегиум, о том, что Гауссова кривизна является внутренним инвариантом.

Внутренняя точка зрения более гибкая. Например, это полезно в теории относительности, где пространство-время, естественно, нельзя рассматривать как внешнее (что будет «вне» Вселенной?). Однако за техническую сложность приходится платить: внутренние определения кривизна и связи становится намного менее интуитивно понятным.

Эти две точки зрения могут быть согласованы, т.е. внешнюю геометрию можно рассматривать как структуру, дополнительную к внутренней. (См. Теорема вложения Нэша.) В формализме геометрическое исчисление как внешняя, так и внутренняя геометрия многообразия могут быть охарактеризованы одной бивекторнозначной однозначной формой, называемой оператор формы.^[5]

Приложения

Часть серии по
Пространство-время
Специальная теория относительности Общая теория относительности
Концепции пространства-времени Пространственно-временное многообразие Принцип эквивалентности Преобразования Лоренца Пространство Минковского
Общая теория относительности Введение в общую теорию относительности Математика общей теории относительности Уравнения поля Эйнштейна
Классическая гравитация Введение в гравитацию Закон всемирного тяготения Ньютона
Соответствующая математика Четырехвекторный Выводы теории относительности Диаграммы пространства-времени Дифференциальная геометрия Искривленное пространство-время Математика общей теории относительности Топология пространства-времени

Ниже приведены несколько примеров того, как дифференциальная геометрия применяется в других областях науки и математики.

• В физика, дифференциальная геометрия имеет множество приложений, в том числе:
  • Дифференциальная геометрия - это язык, на котором Альберт Эйнштейн с общая теория относительности выражается. Согласно теории, Вселенная - это гладкое многообразие, снабженное псевдоримановой метрикой, которая описывает кривизна из пространство-время. Понимание этой кривизны важно для позиционирования спутники на орбиту вокруг Земли. Дифференциальная геометрия также незаменима при изучении гравитационное линзирование и черные дыры.
  • Дифференциальные формы используются при изучении электромагнетизм.
  • Дифференциальная геометрия применима как к Лагранжева механика и Гамильтонова механика. Симплектические многообразия в частности может быть использован для изучения Гамильтоновы системы.
  • Риманова геометрия и контактная геометрия использовались для построения формализма геометротермодинамика который нашел применение в классическом равновесии термодинамика.
• В химия и биофизика при моделировании структуры клеточной мембраны при переменном давлении.
• В экономика, дифференциальная геометрия имеет приложения в области эконометрика.^[6]
• Геометрическое моделирование (включая компьютерная графика ) и компьютерный геометрический дизайн опираться на идеи из дифференциальной геометрии.
• В инженерное дело, дифференциальная геометрия может применяться для решения задач в цифровая обработка сигналов.^[7]
• В теория управления, дифференциальная геометрия может быть использована для анализа нелинейных регуляторов, в частности геометрический контроль^[8]
• В вероятность, статистика, и теория информации, можно интерпретировать различные структуры как римановы многообразия, что дает поле информационная геометрия, особенно через Информационная метрика Fisher.
• В структурная геология, дифференциальная геометрия используется для анализа и описания геологических структур.
• В компьютерное зрение, дифференциальная геометрия используется для анализа форм.^[9]
• В обработка изображений, дифференциальная геометрия используется для обработки и анализа данных на неплоских поверхностях.^[10]
• Григорий Перельман доказательство Гипотеза Пуанкаре используя методы Риччи потоки продемонстрировал силу дифференциально-геометрического подхода к вопросам в топология и он подчеркнул важную роль, которую играют его аналитические методы.
• В беспроводная связь, Грассмановы многообразия используются для формирование луча методы в множественная антенна системы.^[11]

Смотрите также

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Итан Д. Блох (27 июня 2011 г.). Первый курс геометрической топологии и дифференциальной геометрии. Бостон: Springer Science & Business Media. ISBN  978-0-8176-8122-7. OCLC  811474509.
• Берк, Уильям Л. (1997). Прикладная дифференциальная геометрия. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-26929-6. OCLC  53249854.
• ду Карму, Манфреду Пердигау (1976). Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл. ISBN  978-0-13-212589-5. OCLC  1529515.
• Франкель, Теодор (2004). Геометрия физики: введение (2-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-53927-2. OCLC  51855212.
• Эльза Аббена; Саймон Саламон; Альфред Грей (2017). Современная дифференциальная геометрия кривых и поверхностей с помощью Mathematica (3-е изд.). Бока-Ратон: Чепмен и Холл / CRC. ISBN  978-1-351-99220-6. OCLC  1048919510.
• Крейсциг, Эрвин (1991). Дифференциальная геометрия. Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-66721-8. OCLC  23384584.
• Кюнель, Вольфганг (2002). Дифференциальная геометрия: кривые - поверхности - многообразия (2-е изд.). Провиденс, Р.И .: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-3988-1. OCLC  61500086.
• Макклири, Джон (1994). Геометрия с отличительной точки зрения. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-13311-4. OCLC  915912917.
• Спивак Михаил (1999). Комплексное введение в дифференциальную геометрию (5 томов) (3-е изд.). Опубликовать или погибнуть. ISBN  0-914098-72-1. OCLC  179192286.
• тер Хаар Ромени, Барт М. (2003). Front-end видение и многомасштабный анализ изображений: многомасштабная теория и приложения компьютерного зрения, написанные в Mathematica. Дордрехт: Kluwer Academic. ISBN  978-1-4020-1507-6. OCLC  52806205.

внешняя ссылка

• «Дифференциальная геометрия», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Б. Конрад. Раздаточные материалы по дифференциальной геометрии, Стэнфордский университет
• Онлайн-курс Майкла Мюррея по дифференциальной геометрии, 1996 г.
• Современный курс по кривым и поверхности, Ричард С. Пале, 2003 г.
• Галерея 3DXM поверхностей Ричарда Пале
• Заметки Балаша Чикоша о дифференциальной геометрии
• Н. Дж. Хикс, Заметки о дифференциальной геометрии, Ван Ностранд.
• MIT OpenCourseWare: дифференциальная геометрия, осень 2008 г.