Спиновый тензор - Spin tensor

В математика, математическая физика, и теоретическая физика, то спиновый тензор - величина, используемая для описания вращательного движения частиц в пространство-время. Тензор имеет применение в общая теория относительности и специальная теория относительности, а также квантовая механика, релятивистская квантовая механика, и квантовая теория поля.

В Евклидова группа SE (d) из прямые изометрии генерируется переводы и вращения. это Алгебра Ли написано ${ displaystyle { mathfrak {se}} (d)}$ .

В этой статье используется Декартовы координаты и обозначение тензорного индекса.

Справочная информация о токах Нётер

В Ток Нётер для перемещений в пространстве это импульс, а для приращений во времени - энергия. Эти два утверждения объединяются в одно в пространстве-времени: трансляции в пространстве-времени, то есть смещение между двумя событиями, генерируется четырехмерным импульсом. п. Сохранение четырехимпульса дает уравнение неразрывности:

{ Displaystyle partial _ { nu} T ^ { mu nu} = 0 ,,}

где ${ Displaystyle Т ^ { му ню} ,}$ это тензор энергии-импульса, и ∂ являются частные производные которые составляют четыре градиента (в не декартовых координатах это необходимо заменить на ковариантная производная ). Интеграция по пространству:

{ displaystyle int d ^ {3} xT ^ { mu 0} ({ vec {x}}, t) = P ^ { mu}}

дает четырехмерный вектор во время т.

Ток Нётер для вращения вокруг точки у задается тензором 3-го порядка, обозначаемым ${ displaystyle M_ {y} ^ { alpha beta mu}}$ . Из-за Алгебра Ли связи

{ Displaystyle M_ {y} ^ { alpha beta mu} (x) = M_ {0} ^ { alpha beta mu} (x) + y ^ { alpha} T ^ { beta mu } (x) -y ^ { beta} T ^ { alpha mu} (x) ,,}

где нижний индекс 0 указывает происхождение (в отличие от импульса, угловой момент зависит от начала координат), интеграл:

{ displaystyle int d ^ {4} xM_ {0} ^ { mu nu} ({ vec {x}}, т)}

дает тензор углового момента ${ Displaystyle М ^ { му ню} ,}$ вовремя т.

Определение

В спиновый тензор определяется в точке Икс быть значением тока Нётер при Икс вращения вокруг Икс,

{ displaystyle S ^ { alpha beta mu} ( mathbf {x}) { stackrel { mathrm {def}} {=}} M_ {x} ^ { alpha beta mu} ( mathbf {x}) = M_ {0} ^ { alpha beta mu} ( mathbf {x}) + x ^ { alpha} T ^ { beta mu} ( mathbf {x}) - x ^ { beta} T ^ { alpha mu} ( mathbf {x})}

Уравнение неразрывности

{ Displaystyle partial _ { mu} M_ {0} ^ { alpha beta mu} = 0 ,,}

подразумевает:

{ Displaystyle partial _ { mu} S ^ { alpha beta mu} = T ^ { beta alpha} -T ^ { alpha beta} neq 0}

и поэтому тензор энергии-импульса это не симметричный тензор.

Количество S это плотность вращение угловой момент (спин в этом случае есть не только для точечной частицы, но и для протяженного тела), и M - плотность орбитального углового момента. Полный угловой момент всегда является суммой спинового и орбитального вкладов.

Соотношение:

{ displaystyle T_ {ij} -T_ {ji}}

дает крутящий момент плотность, показывающая скорость преобразования между орбитальным угловым моментом и спином.

Примеры

Примеры материалов с ненулевой спиновой плотностью: молекулярные жидкости, то электромагнитное поле и турбулентные жидкости. В случае молекулярных жидкостей отдельные молекулы могут вращаться. Электромагнитное поле может иметь круговой поляризованный свет. Для турбулентных жидкостей мы можем произвольно проводить различие между явлениями длинных волн и явлениями коротких волн. Длинная волна завихренность может быть преобразован через турбулентность в более мелкие и более мелкие вихри, переносящие угловой момент на все меньшие и меньшие длины волн, одновременно уменьшая завихренность. Это может быть приблизительно выражено вихревая вязкость.

Смотрите также

использованная литература

А. К. Райчаудхури; С. Банерджи; А. Банерджи (2003). Общая теория относительности, астрофизика и космология. Библиотека астрономии и астрофизики. Springer. С. 66–67. ISBN 978-038-740-628-2.
J.A. Уиллер; К. Миснер; К.С. Торн (1973). Гравитация. W.H. Freeman & Co., стр.156 –159, §5.11. ISBN 978-0-7167-0344-0.
Л. М. Бутчер; А. Ласенби; М. Хобсон (2012). «Локализация углового момента линейной гравитации». Phys. Ред. D. 86 (8): 084012. arXiv:1210.0831. Bibcode:2012ПхРвД..86х4012Б. Дои:10.1103 / PhysRevD.86.084012. S2CID 119220791.
Т. Бэнкс (2008). «Современная квантовая теория поля: краткое введение». Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-113-947-389-7.

С. Копейкин, М. Ефроимский, Г. Каплан (2011). «Релятивистская небесная механика Солнечной системы». Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-352-763-457-6.CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка на сайт)
У. Ф. Махер; Дж. Д. Зунд (1968). «Спинорный подход к тензору спина Ланцоша». Il Nuovo Cimento A. 10. 57 (4). Springer. С. 638–648. Дои:10.1007 / BF02751371.

внешние ссылки

фон Ян Штайнхофф. "Каноническая формулировка спина в общей теории относительности (диссертация)" (PDF). Получено 2013-10-27.