Тензор напряжений Коши - Cauchy stress tensor

Рисунок 2.3 Составляющие напряжения в трех измерениях

В механика сплошной среды, то Напряжение Коши тензор ${ displaystyle { boldsymbol { sigma}}}$, истинный тензор напряжений,^[1] или просто назвал тензор напряжений это второй порядок тензор названный в честь Огюстен-Луи Коши. Тензор состоит из девяти компонент ${ displaystyle sigma _ {ij}}$ которые полностью определяют состояние стресс в точке внутри материала в деформированном состоянии, размещении или конфигурации. Тензор связывает вектор направления единичной длины п к вектору тяги Т^(п) поперек воображаемой поверхности перпендикулярно п:

${ displaystyle mathbf {T} ^ {( mathbf {n})} = mathbf {n} cdot { boldsymbol { sigma}} quad { text {или}} quad T_ {j} ^ {(n)} = sigma _ {ij} n_ {i}.}$

куда,

${ displaystyle { boldsymbol { sigma}} = left [{ begin {matrix} sigma _ {11} & sigma _ {12} & sigma _ {13} sigma _ {21} & sigma _ {22} & sigma _ {23} sigma _ {31} & sigma _ {32} & sigma _ {33} end {matrix}} right] Equiv left [{ begin {matrix} sigma _ {xx} & sigma _ {xy} & sigma _ {xz} sigma _ {yx} & sigma _ {yy} & sigma _ {yz} sigma _ {zx} & sigma _ {zy} & sigma _ {zz} end {matrix}} right] Equiv left [{ begin {matrix} sigma _ {x} & tau _ {xy} & tau _ {xz} tau _ {yx} & sigma _ {y} & tau _ {yz} tau _ {zx} & tau _ {zy} & sigma _ {z} конец {матрица}} right]}$

Единицы СИ для тензора напряжений и вектора напряжений - Н / м.², соответствующий скаляру напряжений. Единичный вектор безразмерен.

Тензор напряжений Коши подчиняется закону преобразования тензора при изменении системы координат. Графическим представлением этого закона преобразования является Круг Мора от стресса.

Тензор напряжений Коши используется для анализа напряжений материальных тел, испытывающих небольшие деформации: Это центральная концепция в линейная теория упругости. При больших деформациях, также называемых конечные деформации требуются другие меры стресса, такие как Тензор напряжений Пиолы – Кирхгофа, то Тензор напряжений Био, а Тензор напряжений Кирхгофа.

По принципу сохранение количества движения, если сплошное тело находится в статическом равновесии, можно продемонстрировать, что компоненты тензора напряжений Коши в каждой материальной точке тела удовлетворяют уравнениям равновесия (Уравнения движения Коши для нулевого ускорения). При этом по принципу сохранение углового момента, равновесие требует суммирования моменты относительно произвольной точки равна нулю, что приводит к выводу, что тензор напряжений симметричен, таким образом, имея только шесть независимых компонентов напряжения вместо исходных девяти. Однако при наличии парных напряжений, то есть моментов на единицу объема, тензор напряжений несимметричен. Это также имеет место, когда Число Кнудсена близко к одному, ${ displaystyle K_ {n} rightarrow 1}$, или континуум является неньютоновской жидкостью, что может привести к вращательно неинвариантным жидкостям, таким как полимеры.

Есть определенные инварианты, связанные с тензором напряжений, значения которых не зависят от выбранной системы координат или элемента площади, на котором действует тензор напряжений. Это три собственные значения тензора напряжений, которые называются основные напряжения.

Принцип напряжений Эйлера – Коши - вектор напряжений

Рисунок 2.1a Внутреннее распределение контактных сил и парных напряжений на дифференциале. ${ displaystyle dS}$ внутренней поверхности ${ displaystyle S}$ в континууме, в результате взаимодействия двух частей континуума, разделенных поверхностью

Рисунок 2.1b Внутреннее распределение контактных сил и парных напряжений на дифференциале. ${ displaystyle dS}$ внутренней поверхности ${ displaystyle S}$ в континууме, в результате взаимодействия двух частей континуума, разделенных поверхностью

Рис. 2.1c Вектор напряжения на внутренней поверхности S с вектором нормали n. В зависимости от ориентации рассматриваемой плоскости вектор напряжения не обязательно может быть перпендикулярен этой плоскости, т.е. параллельно ${ Displaystyle mathbf {п}}$, и может быть разделен на два компонента: один компонент, нормальный к плоскости, называемый нормальный стресс ${ Displaystyle sigma _ { mathrm {п}}}$, и другой компонент, параллельный этой плоскости, называемый напряжение сдвига ${ Displaystyle тау}$.

В Принцип напряжений Эйлера – Коши утверждает, что на любой поверхности (реальной или воображаемой), разделяющей тело, действие одной части тела на другую эквивалентно (равнозначно) системе распределенных сил и пар на поверхности, разделяющей тело,^[2] и он представлен полем ${ Displaystyle mathbf {T} ^ {( mathbf {п})}}$, называется вектор тяги, определенная на поверхности ${ displaystyle S}$ и предполагается, что она непрерывно зависит от единичного вектора поверхности ${ Displaystyle mathbf {п}}$.^{[3][4]:стр.66–96}

Чтобы сформулировать принцип напряжений Эйлера – Коши, рассмотрим воображаемую поверхность ${ displaystyle S}$ проходя через внутреннюю материальную точку ${ displaystyle P}$ разделение непрерывного тела на два сегмента, как показано на рис. 2.1a или 2.1b (можно использовать либо диаграмму секущей плоскости, либо диаграмму с произвольным объемом внутри континуума, заключенного поверхностью ${ displaystyle S}$).

Следуя классической динамике Ньютон и Эйлер, движение материального тела вызывается действием приложенных извне силы которые, как предполагается, бывают двух видов: поверхностные силы ${ displaystyle mathbf {F}}$ и силы тела ${ displaystyle mathbf {b}}$.^[5] Таким образом, общая сила ${ Displaystyle { mathcal {F}}}$ нанесенный на тело или часть тела может быть выражен как:

${ Displaystyle { mathcal {F}} = mathbf {b} + mathbf {F}}$

В этой статье будут обсуждаться только поверхностные силы, поскольку они имеют отношение к тензору напряжений Коши.

Когда тело подвергается воздействию внешних поверхностных сил или контактные силы ${ displaystyle mathbf {F}}$, следующий Уравнения движения Эйлера, внутренние контактные силы и моменты передаются от точки к точке в теле и от одного сегмента к другому через разделяющую поверхность ${ displaystyle S}$из-за механического контакта одной части континуума с другой (рис. 2.1a и 2.1b). На элементе площади ${ displaystyle Delta S}$ содержащий ${ displaystyle P}$, с нормальным вектор ${ Displaystyle mathbf {п}}$, распределение силы равно контактной силе ${ displaystyle Delta mathbf {F}}$ приложенный в точке P и поверхностный момент ${ displaystyle Delta mathbf {M}}$. В частности, контактная сила определяется выражением

${ Displaystyle Delta mathbf {F} = mathbf {T} ^ {( mathbf {n})} , Delta S}$

где ${ Displaystyle mathbf {T} ^ {( mathbf {п})}}$ это среднее сцепление с поверхностью.

Принцип напряжений Коши утверждает^{[6]:стр.47–102} это как ${ displaystyle Delta S}$ становится очень маленьким и стремится к нулю соотношение ${ Displaystyle Delta mathbf {F} / Delta S}$ становится ${ displaystyle d mathbf {F} / dS}$ и вектор напряжения пары ${ displaystyle Delta mathbf {M}}$ исчезает. В конкретных областях механики сплошных сред предполагается, что напряжение пары не обращается в нуль; однако классические разделы механики сплошной среды обращаются к не-полярный материалы, не учитывающие парные напряжения и моменты тела.

Результирующий вектор ${ displaystyle d mathbf {F} / dS}$ определяется как поверхностная тяга,^[7] также называемый вектор напряжения,^[8] тяга,^[4] или вектор тяги.^[6] данный ${ Displaystyle mathbf {T} ^ {( mathbf {n})} = T_ {i} ^ {( mathbf {n})} mathbf {e} _ {i}}$ в момент ${ displaystyle P}$ связанный с плоскостью с нормальным вектором ${ Displaystyle mathbf {п}}$:

${ displaystyle T_ {i} ^ {( mathbf {n})} = lim _ { Delta S to 0} { frac { Delta F_ {i}} { Delta S}} = {dF_ { i} over dS}.}$

Это уравнение означает, что вектор напряжения зависит от его положения в теле и ориентации плоскости, на которой он действует.

Это означает, что уравновешивающее действие внутренних контактных сил создает плотность контактной силы или Тяговое поле Коши ^[5] ${ Displaystyle mathbf {T} ( mathbf {n}, mathbf {x}, t)}$ который представляет собой распределение внутренних контактных сил по объему тела в конкретном конфигурация кузова в данный момент ${ displaystyle t}$. Это не векторное поле, потому что оно зависит не только от положения ${ displaystyle mathbf {x}}$ конкретной материальной точки, но также и от локальной ориентации элемента поверхности, определяемой его нормальным вектором ${ Displaystyle mathbf {п}}$.^[9]

В зависимости от ориентации рассматриваемой плоскости вектор напряжения не обязательно может быть перпендикулярен этой плоскости, т.е. параллельно ${ Displaystyle mathbf {п}}$, и может быть разделен на два компонента (рисунок 2.1c):

• один нормальный к плоскости, называемый нормальный стресс

${ displaystyle mathbf { sigma _ { mathrm {n}}} = lim _ { Delta S to 0} { frac { Delta F _ { mathrm {n}}} { Delta S}} = { frac {dF _ { mathrm {n}}} {dS}},}$

где ${ displaystyle dF _ { mathrm {n}}}$ - нормальная составляющая силы ${ displaystyle d mathbf {F}}$ в дифференциальную зону ${ displaystyle dS}$

• а другой, параллельный этой плоскости, называется напряжение сдвига

${ displaystyle mathbf { tau} = lim _ { Delta S to 0} { frac { Delta F _ { mathrm {s}}} { Delta S}} = { frac {dF _ { mathrm {s}}} {dS}},}$

где ${ displaystyle dF _ { mathrm {s}}}$ тангенциальная составляющая силы ${ displaystyle d mathbf {F}}$ к дифференциальной площади поверхности ${ displaystyle dS}$. Напряжение сдвига можно дополнительно разложить на два взаимно перпендикулярных вектора.

Постулат Коши

Согласно Постулат Коши, вектор напряжений ${ Displaystyle mathbf {T} ^ {( mathbf {п})}}$ остается неизменным для всех поверхностей, проходящих через точку ${ displaystyle P}$ и имеющий тот же нормальный вектор ${ Displaystyle mathbf {п}}$ в ${ displaystyle P}$,^[7][10] т.е. имеющий общий касательная в ${ displaystyle P}$. Это означает, что вектор напряжений является функцией вектора нормали. ${ Displaystyle mathbf {п}}$ только, и на него не влияет кривизна внутренних поверхностей.

Основная лемма Коши

Следствием постулата Коши является Основная лемма Коши,^[1][7][11] также называется Теорема взаимности Коши,^{[12]:с.103–130} который утверждает, что векторы напряжения, действующие на противоположных сторонах одной и той же поверхности, равны по величине и противоположны по направлению. Основная лемма Коши эквивалентна Третий закон Ньютона движения действия и противодействия, и выражается как

${ displaystyle - mathbf {T} ^ {( mathbf {n})} = mathbf {T} ^ {(- mathbf {n})}.}$

Теорема Коши о напряжениях - тензор напряжений

Состояние стресса в точке в теле тогда определяется всеми векторами напряжений Т^(п) связаны со всеми плоскостями (бесконечными числом), которые проходят через эту точку.^[13] Однако, по мнению Основная теорема Коши,^[11] также называемый Теорема Коши о напряжениях,^[1] просто зная векторы напряжения на трех взаимно перпендикулярных плоскостях, вектор напряжения на любой другой плоскости, проходящей через эту точку, можно найти с помощью уравнений преобразования координат.

Теорема Коши о напряжениях утверждает, что существует второй порядок тензорное поле σ(Икс, t), называемый тензором напряжений Коши, не зависящий от п, так что Т является линейной функцией п:

${ displaystyle mathbf {T} ^ {( mathbf {n})} = mathbf {n} cdot { boldsymbol { sigma}} quad { text {или}} quad T_ {j} ^ {(n)} = sigma _ {ij} n_ {i}.}$

Из этого уравнения следует, что вектор напряжений Т^(п) в любой момент п в континууме, связанном с плоскостью с нормальным единичным вектором п может быть выражена как функция векторов напряжений на плоскостях, перпендикулярных осям координат, т.е. с точки зрения компонентов σ_ij тензора напряжений σ.

Чтобы доказать это выражение, рассмотрим тетраэдр с тремя гранями, ориентированными в координатных плоскостях, и с бесконечно малой площадью dА ориентированы в произвольном направлении, заданном нормальным единичным вектором п (Рисунок 2.2). Тетраэдр образован разрезанием бесконечно малого элемента вдоль произвольной плоскости с единичной нормалью. п. Вектор напряжений на этой плоскости обозначается через Т^(п). Векторы напряжений, действующие на грани тетраэдра, обозначены как Т^(е₁), Т^(е₂), и Т^(е₃), и по определению являются компонентами σ_ij тензора напряжений σ. Этот тетраэдр иногда называют Тетраэдр Коши. Равновесие сил, т.е. Первый закон движения Эйлера (Второй закон движения Ньютона) дает:

${ Displaystyle mathbf {T} ^ {( mathbf {n})} , dA- mathbf {T} ^ {( mathbf {e} _ {1})} , dA_ {1} - mathbf {T} ^ {( mathbf {e} _ {2})} , dA_ {2} - mathbf {T} ^ {( mathbf {e} _ {3})} , dA_ {3} = rho left ({ frac {h} {3}} dA right) mathbf {a},}$

Рисунок 2.2. Вектор напряжения, действующий на плоскость с нормальным единичным вектором п.
Примечание о знаках: Тетраэдр образован разрезанием параллелепипеда по произвольной плоскости. п. Итак, сила, действующая на самолет п - реакция другой половины параллелепипеда, имеющая противоположный знак.

где правая часть представляет собой произведение массы, заключенной в тетраэдр, на его ускорение: ρ это плотность, а это ускорение, а час высота тетраэдра с учетом плоскости п в качестве основы. Площадь граней тетраэдра, перпендикулярных осям, можно найти, проецируя dА в каждую грань (с использованием точечного произведения):

${ displaystyle dA_ {1} = left ( mathbf {n} cdot mathbf {e} _ {1} right) dA = n_ {1} ; dA,}$

${ displaystyle dA_ {2} = left ( mathbf {n} cdot mathbf {e} _ {2} right) dA = n_ {2} ; dA,}$

${ displaystyle dA_ {3} = left ( mathbf {n} cdot mathbf {e} _ {3} right) dA = n_ {3} ; dA,}$

а затем подставляя в уравнение, чтобы сократить dА:

${ displaystyle mathbf {T} ^ {( mathbf {n})} - mathbf {T} ^ {( mathbf {e} _ {1})} n_ {1} - mathbf {T} ^ { ( mathbf {e} _ {2})} n_ {2} - mathbf {T} ^ {( mathbf {e} _ {3})} n_ {3} = rho left ({ frac { h} {3}} right) mathbf {a}.}$

Чтобы рассмотреть предельный случай, когда тетраэдр стягивается в точку, час должен перейти в 0 (интуитивно плоскость п переводится вместе п к О). В результате правая часть уравнения стремится к 0, так что

${ Displaystyle mathbf {T} ^ {( mathbf {n})} = mathbf {T} ^ {( mathbf {e} _ {1})} n_ {1} + mathbf {T} ^ { ( mathbf {e} _ {2})} n_ {2} + mathbf {T} ^ {( mathbf {e} _ {3})} n_ {3}.}$

Предполагая материальный элемент (рисунок 2.3) с плоскостями, перпендикулярными осям координат декартовой системы координат, векторы напряжений, связанные с каждой из плоскостей элемента, т.е. Т^(е₁), Т^(е₂), и Т^(е₃) можно разложить на нормальную составляющую и две составляющие сдвига, т.е. компоненты в направлении трех осей координат. Для частного случая поверхности с нормалью единичный вектор ориентирован в направлении Икс₁-оси, обозначим нормальное напряжение через σ₁₁, и два касательных напряжения как σ₁₂ и σ₁₃:

${ Displaystyle mathbf {T} ^ {( mathbf {e} _ {1})} = T_ {1} ^ {( mathbf {e} _ {1})} mathbf {e} _ {1} + T_ {2} ^ {( mathbf {e} _ {1})} mathbf {e} _ {2} + T_ {3} ^ {( mathbf {e} _ {1})} mathbf { e} _ {3} = sigma _ {11} mathbf {e} _ {1} + sigma _ {12} mathbf {e} _ {2} + sigma _ {13} mathbf {e} _ {3},}$

${ Displaystyle mathbf {T} ^ {( mathbf {e} _ {2})} = T_ {1} ^ {( mathbf {e} _ {2})} mathbf {e} _ {1} + T_ {2} ^ {( mathbf {e} _ {2})} mathbf {e} _ {2} + T_ {3} ^ {( mathbf {e} _ {2})} mathbf { e} _ {3} = sigma _ {21} mathbf {e} _ {1} + sigma _ {22} mathbf {e} _ {2} + sigma _ {23} mathbf {e} _ {3},}$

${ Displaystyle mathbf {T} ^ {( mathbf {e} _ {3})} = T_ {1} ^ {( mathbf {e} _ {3})} mathbf {e} _ {1} + T_ {2} ^ {( mathbf {e} _ {3})} mathbf {e} _ {2} + T_ {3} ^ {( mathbf {e} _ {3})} mathbf { e} _ {3} = sigma _ {31} mathbf {e} _ {1} + sigma _ {32} mathbf {e} _ {2} + sigma _ {33} mathbf {e} _ {3},}$

В индексной записи это

${ Displaystyle mathbf {T} ^ {( mathbf {e} _ {i})} = T_ {j} ^ {( mathbf {e} _ {i})} mathbf {e} _ {j} = sigma _ {ij} mathbf {e} _ {j}.}$

Девять компонентов σ_ij векторов напряжений являются компонентами декартового тензора второго порядка, называемого Тензор напряжений Коши, который полностью определяет напряженное состояние в точке и определяется выражением

${ displaystyle { boldsymbol { sigma}} = sigma _ {ij} = left [{ begin {matrix} mathbf {T} ^ {( mathbf {e} _ {1})} mathbf {T} ^ {( mathbf {e} _ {2})} mathbf {T} ^ {( mathbf {e} _ {3})} конец {матрица}} right] = left [{ begin {matrix} sigma _ {11} & sigma _ {12} & sigma _ {13} sigma _ {21} & sigma _ {22} & sigma _ { 23} sigma _ {31} & sigma _ {32} & sigma _ {33} end {matrix}} right] Equiv left [{ begin {matrix} sigma _ { xx} & sigma _ {xy} & sigma _ {xz} sigma _ {yx} & sigma _ {yy} & sigma _ {yz} sigma _ {zx} & sigma _ {zy} & sigma _ {zz} end {matrix}} right] Equiv left [{ begin {matrix} sigma _ {x} & tau _ {xy} & tau _ { xz} tau _ {yx} & sigma _ {y} & tau _ {yz} tau _ {zx} & tau _ {zy} & sigma _ {z} конец {матрица}} right],}$

где σ₁₁, σ₂₂, и σ₃₃ нормальные напряжения, и σ₁₂, σ₁₃, σ₂₁, σ₂₃, σ₃₁, и σ₃₂ напряжения сдвига. Первый индекс я указывает, что напряжение действует в плоскости, перпендикулярной Икс_я ось, а второй индекс j обозначает направление, в котором действует напряжение (например, σ₁₂ означает, что напряжение действует в плоскости, перпендикулярной плоскости 1_ул ось т.е .;Икс₁ и действует по 2_nd ось т.е .;Икс₂). Компонент напряжения является положительным, если он действует в положительном направлении осей координат, и если плоскость, в которой он действует, имеет вектор внешней нормали, указывающий в положительном направлении координат.

Таким образом, используя компоненты тензора напряжений

${ displaystyle { begin {align} mathbf {T} ^ {( mathbf {n})} & = mathbf {T} ^ {( mathbf {e} _ {1})} n_ {1} + mathbf {T} ^ {( mathbf {e} _ {2})} n_ {2} + mathbf {T} ^ {( mathbf {e} _ {3})} n_ {3} & = sum _ {i = 1} ^ {3} mathbf {T} ^ {( mathbf {e} _ {i})} n_ {i} & = left ( sigma _ {ij} mathbf {e} _ {j} right) n_ {i} & = sigma _ {ij} n_ {i} mathbf {e} _ {j} end {align}}}$

или, что то же самое,

${ displaystyle T_ {j} ^ {( mathbf {n})} = sigma _ {ij} n_ {i}.}$

В качестве альтернативы в матричной форме мы имеем

${ displaystyle left [{ begin {matrix} T_ {1} ^ {( mathbf {n})} & T_ {2} ^ {( mathbf {n})} & T_ {3} ^ {( mathbf { n})} end {matrix}} right] = left [{ begin {matrix} n_ {1} & n_ {2} & n_ {3} end {matrix}} right] cdot left [{ begin {matrix} sigma _ {11} & sigma _ {12} & sigma _ {13} sigma _ {21} & sigma _ {22} & sigma _ {23} sigma _ {31} & sigma _ {32} & sigma _ {33} end {matrix}} right].}$

В Обозначение Фойгта представление тензора напряжений Коши использует преимущества симметрия тензора напряжений, чтобы выразить напряжение в виде шестимерного вектора вида:

${ displaystyle { boldsymbol { sigma}} = { begin {bmatrix} sigma _ {1} & sigma _ {2} & sigma _ {3} & sigma _ {4} & sigma _ { 5} & sigma _ {6} end {bmatrix}} ^ { textf {T}} Equiv { begin {bmatrix} sigma _ {11} & sigma _ {22} & sigma _ {33 } & sigma _ {23} & sigma _ {13} & sigma _ {12} end {bmatrix}} ^ { extf {T}}.}$

Обозначение Фойгта широко используется для представления соотношений напряжение-деформация в механике твердого тела и для повышения эффективности вычислений в программном обеспечении численной структурной механики.

Правило преобразования тензора напряжений

Можно показать, что тензор напряжений есть контравариантный тензор второго порядка, который является утверждением того, как он трансформируется при изменении системы координат. Из Икс_я-система к Икс_я' -система, компоненты σ_ij в исходной системе преобразуются в компоненты σ_ij' в новой системе согласно правилу преобразования тензора (рисунок 2.4):

${ displaystyle sigma '_ {ij} = a_ {im} a_ {jn} sigma _ {mn} quad { text {or}} quad { boldsymbol { sigma}}' = mathbf {A } { boldsymbol { sigma}} mathbf {A} ^ { extf {T}},}$

где А это матрица вращения с компонентами а_ij. В матричной форме это

${ displaystyle left [{ begin {matrix} sigma '_ {11} & sigma' _ {12} & sigma '_ {13} sigma' _ {21} & sigma '_ { 22} & sigma '_ {23} sigma' _ {31} & sigma '_ {32} & sigma' _ {33} end {matrix}} right] = left [ { begin {matrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} a_ {31} & a_ {32} & a_ {33} end {matrix}} right] left [{ begin {matrix} sigma _ {11} & sigma _ {12} & sigma _ {13} sigma _ {21} & sigma _ {22 } & sigma _ {23} sigma _ {31} & sigma _ {32} & sigma _ {33} end {matrix}} right] left [{ begin {matrix} a_ {11} & a_ {21} & a_ {31} a_ {12} & a_ {22} & a_ {32} a_ {13} & a_ {23} & a_ {33} end {matrix}} right ].}$

Рисунок 2.4 Преобразование тензора напряжений

Расширение матричная операция, и упрощая термины, используя симметрия тензора напряжений, дает

${ displaystyle { begin {align} sigma _ {11} '= {} & a_ {11} ^ {2} sigma _ {11} + a_ {12} ^ {2} sigma _ {22} + a_ {13} ^ {2} sigma _ {33} + 2a_ {11} a_ {12} sigma _ {12} + 2a_ {11} a_ {13} sigma _ {13} + 2a_ {12} a_ { 13} sigma _ {23}, sigma _ {22} '= {} & a_ {21} ^ {2} sigma _ {11} + a_ {22} ^ {2} sigma _ {22} + a_ {23} ^ {2} sigma _ {33} + 2a_ {21} a_ {22} sigma _ {12} + 2a_ {21} a_ {23} sigma _ {13} + 2a_ {22} a_ {23} sigma _ {23}, sigma _ {33} '= {} & a_ {31} ^ {2} sigma _ {11} + a_ {32} ^ {2} sigma _ { 22} + a_ {33} ^ {2} sigma _ {33} + 2a_ {31} a_ {32} sigma _ {12} + 2a_ {31} a_ {33} sigma _ {13} + 2a_ { 32} a_ {33} sigma _ {23}, sigma _ {12} '= {} & a_ {11} a_ {21} sigma _ {11} + a_ {12} a_ {22} sigma _ {22} + a_ {13} a_ {23} sigma _ {33} & + (a_ {11} a_ {22} + a_ {12} a_ {21}) sigma _ {12} + ( a_ {12} a_ {23} + a_ {13} a_ {22}) sigma _ {23} + (a_ {11} a_ {23} + a_ {13} a_ {21}) sigma _ {13} , sigma _ {23} '= {} & a_ {21} a_ {31} sigma _ {11} + a_ {22} a_ {32} sigma _ {22} + a_ {23} a_ {33 } sigma _ {33} & + (a_ {21} a_ {32} + a_ {22} a_ {31}) sigma _ {12} + (a_ {22} a_ {33} + a_ {23 } a_ {32}) sigma _ {23} + (a_ {21} a_ {33} + a_ {23} a_ {31}) sigma _ {13}, sigma _ {13} '= { } & a_ {11} a_ {31} sigma _ {11} + a_ {12} a_ {32} sigma _ {22} + a_ {13} a_ {33} sigma _ {33} & + (a_ {11} a_ {32} + a_ {12 } a_ {31}) sigma _ {12} + (a_ {12} a_ {33} + a_ {13} a_ {32}) sigma _ {23} + (a_ {11} a_ {33} + a_ {13} a_ {31}) sigma _ {13}. End {align}}}$

В Круг Мора для напряжения - это графическое изображение этого преобразования напряжений.

Нормальные и касательные напряжения

Величина нормальный компонент напряжения σ_п любого вектора напряжений Т^(п) действующий на произвольной плоскости с нормальным единичным вектором п в данной точке с точки зрения компонентов σ_ij тензора напряжений σ, это скалярное произведение вектора напряжения и нормального единичного вектора:

${ Displaystyle { begin {align} sigma _ { mathrm {n}} & = mathbf {T} ^ {( mathbf {n})} cdot mathbf {n} & = T_ {i } ^ {( mathbf {n})} n_ {i} & = sigma _ {ij} n_ {i} n_ {j}. end {выравнивается}}}$

Величина составляющей напряжения сдвига τ_п, действующий ортогонально вектору п, затем можно найти с помощью теорема Пифагора:

${ displaystyle { begin {align} tau _ { mathrm {n}} & = { sqrt { left (T ^ {( mathbf {n})} right) ^ {2} - sigma _ { mathrm {n}} ^ {2}}} & = { sqrt {T_ {i} ^ {( mathbf {n})} T_ {i} ^ {( mathbf {n})} - sigma _ { mathrm {n}} ^ {2}}}, end {выровнено}}}$

где

${ displaystyle left (T ^ {( mathbf {n})} right) ^ {2} = T_ {i} ^ {( mathbf {n})} T_ {i} ^ {( mathbf {n })} = left ( sigma _ {ij} n_ {j} right) left ( sigma _ {ik} n_ {k} right) = sigma _ {ij} sigma _ {ik} n_ {j} n_ {k}.}$

Законы баланса - уравнения движения Коши

Рис. 4. Тело континуума в равновесии.

Первый закон движения Коши

По принципу сохранение количества движения, если сплошное тело находится в статическом равновесии, можно продемонстрировать, что компоненты тензора напряжений Коши в каждой материальной точке тела удовлетворяют уравнениям равновесия.

${ displaystyle sigma _ {ji, j} + F_ {i} = 0}$

Например, для гидростатическая жидкость в условиях равновесия тензор напряжений принимает вид:

${ displaystyle { sigma _ {ij}} = - p { delta _ {ij}},}$

где ${ displaystyle p}$ - гидростатическое давление, а ${ displaystyle { delta _ {ij}} }$ это Дельта Кронекера.

Вывод уравнений равновесия.

Рассмотрим сплошное тело (см. Рисунок 4), занимающее объем ${ displaystyle V}$, имеющий площадь поверхности ${ displaystyle S}$, с определенными тяговыми или поверхностными силами ${ Displaystyle Т_ {я} ^ {(п)}}$ на единицу площади, действующую на каждую точку поверхности тела, и телесные силы ${ displaystyle F_ {i}}$ на единицу объема в каждой точке объема ${ displaystyle V}$. Таким образом, если тело находится в равновесие результирующая сила, действующая на объем, равна нулю, поэтому: ${ displaystyle int _ {S} T_ {i} ^ {(n)} dS + int _ {V} F_ {i} dV = 0}$ По определению вектор напряжений равен ${ displaystyle T_ {i} ^ {(n)} = sigma _ {ji} n_ {j}}$, тогда ${ displaystyle int _ {S} sigma _ {ji} n_ {j} , dS + int _ {V} F_ {i} , dV = 0}$ С использованием Теорема Гаусса о расходимости преобразовать поверхностный интеграл в объемный интеграл дает ${ displaystyle int _ {V} sigma _ {ji, j} , dV + int _ {V} F_ {i} , dV = 0}$ ${ displaystyle int _ {V} ( sigma _ {ji, j} + F_ {i} ,) dV = 0}$ Для произвольного объема интеграл обращается в нуль, и мы имеем уравнения равновесия ${ displaystyle sigma _ {ji, j} + F_ {i} = 0}$

Второй закон движения Коши

По принципу сохранение углового момента, равновесие требует суммирования моменты относительно произвольной точки равен нулю, что позволяет сделать вывод о том, что тензор напряжений равен симметричный, таким образом, имея только шесть независимых компонентов напряжения вместо исходных девяти:

${ Displaystyle sigma _ {ij} = sigma _ {ji}}$

Вывод симметрии тензора напряжений.

Обобщая моменты о точке О (Рисунок 4) результирующий момент равен нулю, так как тело находится в равновесии. Таким образом, ${ displaystyle { begin {align} M_ {O} & = int _ {S} ( mathbf {r} times mathbf {T}) dS + int _ {V} ( mathbf {r} times mathbf {F}) dV = 0 0 & = int _ {S} varepsilon _ {ijk} x_ {j} T_ {k} ^ {(n)} dS + int _ {V} varepsilon _ { ijk} x_ {j} F_ {k} dV конец {выровнено}}}$ где ${ displaystyle mathbf {r}}$ вектор положения и выражается как ${ displaystyle mathbf {r} = x_ {j} mathbf {e} _ {j}}$ Знаю это ${ displaystyle T_ {k} ^ {(n)} = sigma _ {mk} n_ {m}}$ и используя теорему Гаусса о расходимости, чтобы перейти от поверхностного интеграла к объемному интегралу, мы имеем ${ displaystyle { begin {align} 0 & = int _ {S} varepsilon _ {ijk} x_ {j} sigma _ {mk} n_ {m} , dS + int _ {V} varepsilon _ { ijk} x_ {j} F_ {k} , dV & = int _ {V} ( varepsilon _ {ijk} x_ {j} sigma _ {mk}) _ {, m} dV + int _ {V} varepsilon _ {ijk} x_ {j} F_ {k} , dV & = int _ {V} ( varepsilon _ {ijk} x_ {j, m} sigma _ {mk} + varepsilon _ {ijk} x_ {j} sigma _ {mk, m}) dV + int _ {V} varepsilon _ {ijk} x_ {j} F_ {k} , dV & = int _ {V} ( varepsilon _ {ijk} x_ {j, m} sigma _ {mk}) dV + int _ {V} varepsilon _ {ijk} x_ {j} ( sigma _ {mk, m} + F_ {k}) dV конец {выровнено}}}$ Второй интеграл равен нулю, так как он содержит уравнения равновесия. Остается первый интеграл, где ${ displaystyle x_ {j, m} = delta _ {jm}}$, следовательно ${ Displaystyle int _ {V} ( varepsilon _ {ijk} sigma _ {jk}) dV = 0}$ Тогда для произвольного объема V имеем ${ Displaystyle varepsilon _ {ijk} sigma _ {jk} = 0}$ который удовлетворяется в каждой точке тела. Расширяя это уравнение, мы имеем ${ Displaystyle sigma _ {12} = sigma _ {21}}$, ${ displaystyle sigma _ {23} = sigma _ {32}}$, и ${ displaystyle sigma _ {13} = sigma _ {31}}$ или вообще ${ Displaystyle sigma _ {ij} = sigma _ {ji}}$ Это доказывает, что тензор напряжений симметричен

Однако при наличии парных напряжений, то есть моментов на единицу объема, тензор напряжений несимметричен. Это также имеет место, когда Число Кнудсена близко к одному, ${ displaystyle K_ {n} rightarrow 1}$, или континуум является неньютоновской жидкостью, что может привести к вращательно неинвариантным жидкостям, таким как полимеры.

Основные напряжения и инварианты напряжений

В каждой точке напряженного тела есть по крайней мере три плоскости, называемые основные самолеты, с нормальными векторами ${ Displaystyle mathbf {п}}$, называется основные направления, где соответствующий вектор напряжений перпендикулярен плоскости, т. е. параллельно или в том же направлении, что и вектор нормали ${ Displaystyle mathbf {п}}$, и где нет нормальных касательных напряжений ${ Displaystyle тау _ { mathrm {п}}}$. Три напряжения, нормальные к этим основным плоскостям, называются основные напряжения.

Компоненты ${ displaystyle sigma _ {ij}}$ тензора напряжений зависят от ориентации системы координат в рассматриваемой точке. Однако тензор напряжений сам по себе является физической величиной и, как таковой, не зависит от системы координат, выбранной для его представления. Есть определенные инварианты связанный с каждым тензором, который также не зависит от системы координат. Например, вектор - это простой тензор первого ранга. В трех измерениях он состоит из трех компонентов. Значение этих компонентов будет зависеть от системы координат, выбранной для представления вектора, но величина вектора является физической величиной (скаляром) и не зависит от Декартова система координат выбран для представления вектора (до тех пор, пока он нормальный ). Точно так же каждый тензор второго ранга (например, тензоры напряжений и деформаций) имеет три независимых инвариантных величины, связанных с ним. Один набор таких инвариантов - это главные напряжения тензора напряжений, которые являются собственными значениями тензора напряжений. Их векторы направления являются главными направлениями или собственные векторы.

Вектор напряжения, параллельный единичному вектору нормали ${ Displaystyle mathbf {п}}$ дан кем-то:

${ displaystyle mathbf {T} ^ {( mathbf {n})} = lambda mathbf {n} = mathbf { sigma} _ { mathrm {n}} mathbf {n}}$

где ${ displaystyle lambda}$ является константой пропорциональности и в данном конкретном случае соответствует величинам ${ Displaystyle sigma _ { mathrm {п}}}$ векторов нормальных напряжений или главных напряжений.

Знаю это ${ displaystyle T_ {i} ^ {(n)} = sigma _ {ij} n_ {j}}$ и ${ displaystyle n_ {i} = delta _ {ij} n_ {j}}$, у нас есть

${ displaystyle { begin {align} T_ {i} ^ {(n)} & = lambda n_ {i} sigma _ {ij} n_ {j} & = lambda n_ {i} sigma _ {ij} n_ {j} - lambda n_ {i} & = 0 left ( sigma _ {ij} - lambda delta _ {ij} right) n_ {j} & = 0 конец {выровнено}}}$

Это однородная система, т.е. равное нулю, трех линейных уравнений, где ${ displaystyle n_ {j}}$ неизвестные. Чтобы получить нетривиальное (ненулевое) решение для ${ displaystyle n_ {j}}$, детерминантная матрица коэффициентов должна быть равна нулю, т.е. система сингулярна. Таким образом,

${ displaystyle left | sigma _ {ij} - lambda delta _ {ij} right | = { begin {vmatrix} sigma _ {11} - lambda & sigma _ {12} & sigma _ {13} sigma _ {21} & sigma _ {22} - lambda & sigma _ {23} sigma _ {31} & sigma _ {32} & sigma _ {33 } - lambda end {vmatrix}} = 0}$

Расширение определителя приводит к характеристическое уравнение

${ displaystyle left | sigma _ {ij} - lambda delta _ {ij} right | = - lambda ^ {3} + I_ {1} lambda ^ {2} -I_ {2} lambda + I_ {3} = 0}$

где

${ displaystyle { begin {align} I_ {1} & = sigma _ {11} + sigma _ {22} + sigma _ {33} & = sigma _ {kk} = { text { tr}} ({ boldsymbol { sigma}}) [4pt] I_ {2} & = { begin {vmatrix} sigma _ {22} & sigma _ {23} sigma _ {32 } & sigma _ {33} end {vmatrix}} + { begin {vmatrix} sigma _ {11} & sigma _ {13} sigma _ {31} & sigma _ {33 } end {vmatrix}} + { begin {vmatrix} sigma _ {11} & sigma _ {12} sigma _ {21} & sigma _ {22} end {vmatrix }} & = sigma _ {11} sigma _ {22} + sigma _ {22} sigma _ {33} + sigma _ {11} sigma _ {33} - sigma _ {12 } ^ {2} - sigma _ {23} ^ {2} - sigma _ {31} ^ {2} & = { frac {1} {2}} left ( sigma _ {ii} sigma _ {jj} - sigma _ {ij} sigma _ {ji} right) = { frac {1} {2}} left [ left ({ text {tr}} ({ boldsymbol { sigma}}) right) ^ {2} - { text {tr}} left ({ boldsymbol { sigma}} ^ {2} right) right] [4pt] I_ {3 } & = det ( sigma _ {ij}) = det ({ boldsymbol { sigma}}) & = sigma _ {11} sigma _ {22} sigma _ {33} +2 sigma _ {12} sigma _ {23} sigma _ {31} - sigma _ {12} ^ {2} sigma _ {33} - sigma _ {23} ^ {2} sigma _ { 11} - sigma _ {31} ^ {2} sigma _ {22} конец {выровнено}}}$

Характеристическое уравнение имеет три действительных корня ${ displaystyle lambda _ {я}}$, т.е. не мнимые из-за симметрии тензора напряжений. В ${ displaystyle sigma _ {1} = max left ( lambda _ {1}, lambda _ {2}, lambda _ {3} right)}$, ${ displaystyle sigma _ {3} = min left ( lambda _ {1}, lambda _ {2}, lambda _ {3} right)}$ и ${ displaystyle sigma _ {2} = I_ {1} - sigma _ {1} - sigma _ {3}}$, - главные напряжения, функции собственных значений ${ displaystyle lambda _ {я}}$. Собственные значения являются корнями характеристический многочлен. Главные напряжения уникальны для данного тензора напряжений. Следовательно, из характеристического уравнения коэффициенты ${ displaystyle I_ {1}}$, ${ displaystyle I_ {2}}$ и ${ displaystyle I_ {3}}$, называется первым, вторым и третьим инварианты напряженийсоответственно, всегда имеют одно и то же значение независимо от ориентации системы координат.

Для каждого собственного значения существует нетривиальное решение для ${ displaystyle n_ {j}}$ в уравнении ${ displaystyle left ( sigma _ {ij} - lambda delta _ {ij} right) n_ {j} = 0}$. Эти решения являются основными направлениями или собственные векторы определение плоскости, в которой действуют основные напряжения. Главные напряжения и главные направления характеризуют напряжение в точке и не зависят от ориентации.

Система координат с осями, ориентированными в главные направления, подразумевает, что нормальные напряжения являются главными напряжениями, а тензор напряжений представлен диагональной матрицей:

${ displaystyle sigma _ {ij} = { begin {bmatrix} sigma _ {1} & 0 & 0 0 & sigma _ {2} & 0 0 & 0 & sigma _ {3} end {bmatrix}}}$

Основные напряжения могут быть объединены, чтобы сформировать инварианты напряжений, ${ displaystyle I_ {1}}$, ${ displaystyle I_ {2}}$, и ${ displaystyle I_ {3}}$. Первый и третий инварианты - это след и определитель тензора напряжений соответственно. Таким образом,

${ displaystyle { begin {align} I_ {1} & = sigma _ {1} + sigma _ {2} + sigma _ {3} I_ {2} & = sigma _ {1} sigma _ {2} + sigma _ {2} sigma _ {3} + sigma _ {3} sigma _ {1} I_ {3} & = sigma _ {1} sigma _ {2 } sigma _ {3} конец {выровнено}}}$

Из-за своей простоты основная система координат часто бывает полезной при рассмотрении состояния упругой среды в определенной точке. Основные напряжения часто выражаются в следующем уравнении для оценки напряжений в направлениях x и y или осевых напряжений и напряжений изгиба в детали.^{[14]:стр.58–59} Затем основные нормальные напряжения можно использовать для расчета фон Мизес стресс и, наконец, коэффициент безопасности и запас прочности.

${ displaystyle sigma _ {1}, sigma _ {2} = { frac { sigma _ {x} + sigma _ {y}} {2}} pm { sqrt { left ({ frac { sigma _ {x} - sigma _ {y}} {2}} right) ^ {2} + tau _ {xy} ^ {2}}}}$

Используя только часть уравнения под квадратный корень равно максимальному и минимальному напряжению сдвига для плюса и минуса. Это показано как:

${ displaystyle tau _ { max}, tau _ { min} = pm { sqrt { left ({ frac { sigma _ {x} - sigma _ {y}} {2}} right) ^ {2} + tau _ {xy} ^ {2}}}}$

Максимальные и минимальные касательные напряжения

Максимальное напряжение сдвига или максимальное главное напряжение сдвига равно половине разницы между наибольшим и наименьшим главными напряжениями и действует в плоскости, которая делит пополам угол между направлениями наибольшего и наименьшего главных напряжений, т.е. максимальное напряжение сдвига ориентировано ${ displaystyle 45 ^ { circ}}$ от главных плоскостей напряжений. Максимальное напряжение сдвига выражается как

${ displaystyle tau _ { max} = { frac {1} {2}} left | sigma _ { max} - sigma _ { min} right |}$

Предполагая ${ displaystyle sigma _ {1} geq sigma _ {2} geq sigma _ {3}}$ тогда

${ displaystyle tau _ { max} = { frac {1} {2}} left | sigma _ {1} - sigma _ {3} right |}$

Когда тензор напряжений не равен нулю, составляющая нормального напряжения, действующая на плоскость для максимального напряжения сдвига, не равна нулю и равна

${ displaystyle sigma _ { text {n}} = { frac {1} {2}} left ( sigma _ {1} + sigma _ {3} right)}$

Определение максимального и минимального касательного напряжения[8]:стр.45–78[11]:стр.1–46[13][15]:стр.111–157[16]:стр.9–41[17]:стр.33–66[18]:стр.43–61

Нормальное напряжение можно записать в терминах главных напряжений ${ Displaystyle ( sigma _ {1} geq sigma _ {2} geq sigma _ {3})}$ так как ${ displaystyle { begin {align} sigma _ { mathrm {n}} & = sigma _ {ij} n_ {i} n_ {j} & = sigma _ {1} n_ {1} ^ {2} + sigma _ {2} n_ {2} ^ {2} + sigma _ {3} n_ {3} ^ {2} конец {выровнено}}}$ Знаю это ${ Displaystyle влево (T ^ {(п)} вправо) ^ {2} = sigma _ {ij} sigma _ {ik} n_ {j} n_ {k}}$, напряжение сдвига через компоненты главных напряжений выражается как ${ displaystyle { begin {align} tau _ { text {n}} ^ {2} & = left (T ^ {(n)} right) ^ {2} - sigma _ { text { n}} ^ {2} & = sigma _ {1} ^ {2} n_ {1} ^ {2} + sigma _ {2} ^ {2} n_ {2} ^ {2} + сигма _ {3} ^ {2} n_ {3} ^ {2} - left ( sigma _ {1} n_ {1} ^ {2} + sigma _ {2} n_ {2} ^ {2} + sigma _ {3} n_ {3} ^ {2} right) ^ {2} & = left ( sigma _ {1} ^ {2} - sigma _ {2} ^ {2} right) n_ {1} ^ {2} + left ( sigma _ {2} ^ {2} - sigma _ {3} ^ {2} right) n_ {2} ^ {2} + sigma _ {3} ^ {2} - left [ left ( sigma _ {1} - sigma _ {3} right) n_ {1} ^ {2} + left ( sigma _ {2} - sigma _ {2} right) n_ {2} ^ {2} + sigma _ {3} right] ^ {2} & = ( sigma _ {1} - sigma _ {2}) ^ {2} n_ {1} ^ {2} n_ {2} ^ {2} + ( sigma _ {2} - sigma _ {3}) ^ {2} n_ {2} ^ {2} n_ { 3} ^ {2} + ( sigma _ {1} - sigma _ {3}) ^ {2} n_ {1} ^ {2} n_ {3} ^ {2} конец {выровнено}} }$ Максимальное напряжение сдвига в точке сплошного тела определяется путем максимизации ${ Displaystyle тау _ { mathrm {п}} ^ {2}}$ при условии, что ${ displaystyle n_ {i} n_ {i} = n_ {1} ^ {2} + n_ {2} ^ {2} + n_ {3} ^ {2} = 1}$ Это ограниченная задача максимизации, которую можно решить с помощью Множитель лагранжиана метод преобразования проблемы в задачу безусловной оптимизации. Таким образом, стационарные значения (максимальное и минимальное значения) ${ Displaystyle тау _ { текст {п}} ^ {2}}$ происходят там, где градиент ${ Displaystyle тау _ { текст {п}} ^ {2}}$ параллельно градиенту ${ displaystyle F}$. Функцию Лагранжа для этой задачи можно записать как ${ displaystyle { begin {align} F left (n_ {1}, n_ {2}, n_ {3}, lambda right) & = tau ^ {2} + lambda left (g left (n_ {1}, n_ {2}, n_ {3} right) -1 right) & = sigma _ {1} ^ {2} n_ {1} ^ {2} + sigma _ { 2} ^ {2} n_ {2} ^ {2} + sigma _ {3} ^ {2} n_ {3} ^ {2} - left ( sigma _ {1} n_ {1} ^ {2 } + sigma _ {2} n_ {2} ^ {2} + sigma _ {3} n_ {3} ^ {2} right) ^ {2} + lambda left (n_ {1} ^ { 2} + n_ {2} ^ {2} + n_ {3} ^ {2} -1 right) конец {выровнено}}}$ где ${ displaystyle lambda}$ множитель Лагранжа (который отличается от ${ displaystyle lambda}$ использовать для обозначения собственных значений). Крайние значения этих функций равны ${ displaystyle { frac { partial F} { partial n_ {1}}} = 0 qquad { frac { partial F} { partial n_ {2}}} = 0 qquad { frac { частичный F} { partial n_ {3}}} = 0}$ оттуда ${ displaystyle { frac { partial F} { partial n_ {1}}} = n_ {1} sigma _ {1} ^ {2} -2n_ {1} sigma _ {1} left ( sigma _ {1} n_ {1} ^ {2} + sigma _ {2} n_ {2} ^ {2} + sigma _ {3} n_ {3} ^ {2} right) + lambda n_ {1} = 0}$ ${ displaystyle { frac { partial F} { partial n_ {2}}} = n_ {2} sigma _ {2} ^ {2} -2n_ {2} sigma _ {2} left ( sigma _ {1} n_ {1} ^ {2} + sigma _ {2} n_ {2} ^ {2} + sigma _ {3} n_ {3} ^ {2} right) + lambda n_ {2} = 0}$ ${ displaystyle { frac { partial F} { partial n_ {3}}} = n_ {3} sigma _ {3} ^ {2} -2n_ {3} sigma _ {3} left ( sigma _ {1} n_ {1} ^ {2} + sigma _ {2} n_ {2} ^ {2} + sigma _ {3} n_ {3} ^ {2} right) + lambda n_ {3} = 0}$ Эти три уравнения вместе с условием ${ displaystyle n_ {i} n_ {i} = 1}$ может быть решен для ${ displaystyle lambda, n_ {1}, n_ {2},}$ и ${ displaystyle n_ {3}}$ Умножив первые три уравнения на ${ displaystyle n_ {1}, , n_ {2},}$ и ${ displaystyle n_ {3}}$соответственно и зная, что ${ displaystyle sigma _ { text {n}} = sigma _ {ij} n_ {i} n_ {j} = sigma _ {1} n_ {1} ^ {2} + sigma _ {2} п_ {2} ^ {2} + sigma _ {3} п_ {3} ^ {2}}$ мы получаем ${ displaystyle n_ {1} ^ {2} sigma _ {1} ^ {2} -2 sigma _ {1} n_ {1} ^ {2} sigma _ { text {n}} + n_ { 1} ^ {2} lambda = 0}$ ${ displaystyle n_ {2} ^ {2} sigma _ {2} ^ {2} -2 sigma _ {2} n_ {2} ^ {2} sigma _ { text {n}} + n_ { 2} ^ {2} lambda = 0}$ ${ displaystyle n_ {3} ^ {2} sigma _ {3} ^ {2} -2 sigma _ {1} n_ {3} ^ {2} sigma _ { text {n}} + n_ { 3} ^ {2} lambda = 0}$ Складывая эти три уравнения, получаем ${ displaystyle { begin {align} left [n_ {1} ^ {2} sigma _ {1} ^ {2} + n_ {2} ^ {2} sigma _ {2} ^ {2} + n_ {3} ^ {2} sigma _ {3} ^ {2} right] -2 left ( sigma _ {1} n_ {1} ^ {2} + sigma _ {2} n_ {2 } ^ {2} + sigma _ {3} n_ {3} ^ {2} right) sigma _ { mathrm {n}} + lambda left (n_ {1} ^ {2} + n_ { 2} ^ {2} + n_ {3} ^ {2} right) & = 0 left [ tau _ { mathrm {n}} ^ {2} + left ( sigma _ {1} n_ {1} ^ {2} + sigma _ {2} n_ {2} ^ {2} + sigma _ {3} n_ {3} ^ {2} right) ^ {2} right] -2 sigma _ { mathrm {n}} ^ {2} + lambda & = 0 left [ tau _ { mathrm {n}} ^ {2} + sigma _ { mathrm {n}} ^ {2} right] -2 sigma _ { mathrm {n}} ^ {2} + lambda & = 0 lambda & = sigma _ { mathrm {n}} ^ {2} - тау _ { mathrm {п}} ^ {2} конец {выровнено}}}$ этот результат можно подставить в каждое из первых трех уравнений, чтобы получить ${ displaystyle { begin {align} { frac { partial F} { partial n_ {1}}} = n_ {1} sigma _ {1} ^ {2} -2n_ {1} sigma _ { 1} left ( sigma _ {1} n_ {1} ^ {2} + sigma _ {2} n_ {2} ^ {2} + sigma _ {3} n_ {3} ^ {2} вправо) + влево ( sigma _ { text {n}} ^ {2} - tau _ { text {n}} ^ {2} right) n_ {1} & = 0 n_ {1 } sigma _ {1} ^ {2} -2n_ {1} sigma _ {1} sigma _ { text {n}} + left ( sigma _ { text {n}} ^ {2} - tau _ { text {n}} ^ {2} right) n_ {1} & = 0 left ( sigma _ {1} ^ {2} -2 sigma _ {1} sigma _ { text {n}} + sigma _ { text {n}} ^ {2} - tau _ { text {n}} ^ {2} right) n_ {1} & = 0 конец {выровнено}}}$ Проделав то же самое с двумя другими уравнениями, мы имеем ${ displaystyle { frac { partial F} { partial n_ {2}}} = left ( sigma _ {2} ^ {2} -2 sigma _ {2} sigma _ { text {n }} + sigma _ { text {n}} ^ {2} - tau _ { text {n}} ^ {2} right) n_ {2} = 0}$ ${ displaystyle { frac { partial F} { partial n_ {3}}} = left ( sigma _ {3} ^ {2} -2 sigma _ {3} sigma _ { text {n }} + sigma _ { text {n}} ^ {2} - tau _ { text {n}} ^ {2} right) n_ {3} = 0}$ Первый подход к решению последних трех уравнений состоит в рассмотрении тривиального решения ${ displaystyle n_ {i} = 0}$. Однако этот вариант не выполняет ограничение ${ displaystyle n_ {i} n_ {i} = 1}$. Рассматривая решение, где ${ displaystyle n_ {1} = n_ {2} = 0}$ и ${ displaystyle n_ {3} neq 0}$, она определяется из условия ${ displaystyle n_ {i} n_ {i} = 1}$ это ${ displaystyle n_ {3} = pm 1}$, то из исходного уравнения для ${ Displaystyle тау _ { текст {п}} ^ {2}}$ видно, что ${ Displaystyle тау _ { текст {п}} = 0}$.Два других возможных значения ${ Displaystyle тау _ { текст {п}}}$ можно получить аналогично, полагая ${ displaystyle n_ {1} = n_ {3} = 0}$ и ${ displaystyle n_ {2} neq 0}$ ${ displaystyle n_ {2} = n_ {3} = 0}$ и ${ displaystyle n_ {1} neq 0}$ Таким образом, один набор решений для этих четырех уравнений: ${ displaystyle { begin {align} n_ {1} & = 0, & n_ {2} & = 0, & n_ {3} & = pm 1, & tau _ { text {n}} & = 0 n_ {1} & = 0, & n_ {2} & = pm 1, & n_ {3} & = 0, & tau _ { text {n}} & = 0 n_ {1} & = pm 1, & n_ {2} & = 0, & n_ {3} & = 0, & tau _ { text {n}} & = 0 end {выровнено}}}$ Они соответствуют минимальным значениям для ${ Displaystyle тау _ { mathrm {п}}}$ и проверяет отсутствие касательных напряжений в плоскостях, перпендикулярных основным направлениям напряжения, как показано ранее. Второй набор решений получается, если предположить ${ displaystyle n_ {1} = 0, , n_ {2} neq 0}$ и ${ displaystyle n_ {3} neq 0}$. Таким образом, мы имеем ${ displaystyle { frac { partial F} { partial n_ {2}}} = sigma _ {2} ^ {2} -2 sigma _ {2} sigma _ { text {n}} + sigma _ { text {n}} ^ {2} - tau _ { text {n}} ^ {2} = 0}$ ${ displaystyle { frac { partial F} { partial n_ {3}}} = sigma _ {3} ^ {2} -2 sigma _ {3} sigma _ { text {n}} + sigma _ { text {n}} ^ {2} - tau _ { text {n}} ^ {2} = 0}$ Чтобы найти значения для ${ displaystyle n_ {2}}$ и ${ displaystyle n_ {3}}$ мы сначала добавляем эти два уравнения ${ displaystyle { begin {align} sigma _ {2} ^ {2} - sigma _ {3} ^ {2} -2 sigma _ {2} sigma _ { text {n}} + 2 sigma _ {3} sigma _ { text {n}} & = 0 sigma _ {2} ^ {2} - sigma _ {3} ^ {2} -2 sigma _ { text {n}} left ( sigma _ {2} - sigma _ {3} right) & = 0 sigma _ {2} + sigma _ {3} & = 2 sigma _ { text {п}} конец {выровнено}}}$ Зная, что для ${ displaystyle n_ {1} = 0}$ ${ displaystyle sigma _ { text {n}} = sigma _ {1} n_ {1} ^ {2} + sigma _ {2} n_ {2} ^ {2} + sigma _ {3} n_ {3} ^ {2} = sigma _ {2} n_ {2} ^ {2} + sigma _ {3} n_ {3} ^ {2}}$ и ${ displaystyle n_ {1} ^ {2} + n_ {2} ^ {2} + n_ {3} ^ {2} = n_ {2} ^ {2} + n_ {3} ^ {2} = 1}$ у нас есть ${ displaystyle { begin {align} sigma _ {2} + sigma _ {3} & = 2 sigma _ { text {n}} sigma _ {2} + sigma _ {3} & = 2 left ( sigma _ {2} n_ {2} ^ {2} + sigma _ {3} n_ {3} ^ {2} right) sigma _ {2} + sigma _ {3} & = 2 left ( sigma _ {2} n_ {2} ^ {2} + sigma _ {3} left (1-n_ {2} ^ {2} right) right) = 0 конец {выровнено}}}$ и решение для ${ displaystyle n_ {2}}$ у нас есть ${ displaystyle n_ {2} = pm { frac {1} { sqrt {2}}}}$ Затем решение для ${ displaystyle n_ {3}}$ у нас есть ${ displaystyle n_ {3} = { sqrt {1-n_ {2} ^ {2}}} = pm { frac {1} { sqrt {2}}}}$ и ${ displaystyle { begin {align} tau _ { text {n}} ^ {2} & = ( sigma _ {2} - sigma _ {3}) ^ {2} n_ {2} ^ { 2} n_ {3} ^ {2} tau _ { text {n}} & = { frac { sigma _ {2} - sigma _ {3}} {2}} end {выровнено }}}$ Два других возможных значения для ${ Displaystyle тау _ { текст {п}}}$ можно получить аналогично, полагая ${ displaystyle n_ {2} = 0, , n_ {1} neq 0}$ и ${ displaystyle n_ {3} neq 0}$ ${ displaystyle n_ {3} = 0, , n_ {1} neq 0}$ и ${ displaystyle n_ {2} neq 0}$ Следовательно, второй набор решений для ${ displaystyle { frac { partial F} { partial n_ {1}}} = 0}$, что составляет максимум для ${ Displaystyle тау _ { текст {п}}}$ является ${ displaystyle n_ {1} = 0, , , n_ {2} = pm { frac {1} { sqrt {2}}}, , , n_ {3} = pm { frac {1} { sqrt {2}}}, , , tau _ { text {n}} = pm { frac { sigma _ {2} - sigma _ {3}} {2} }}$ ${ displaystyle n_ {1} = pm { frac {1} { sqrt {2}}}, , , n_ {2} = 0, , , n_ {3} = pm { frac {1} { sqrt {2}}}, , , tau _ { text {n}} = pm { frac { sigma _ {1} - sigma _ {3}} {2} }}$ ${ displaystyle n_ {1} = pm { frac {1} { sqrt {2}}}, , , n_ {2} = pm { frac {1} { sqrt {2}}} , , , n_ {3} = 0, , , tau _ { text {n}} = pm { frac { sigma _ {1} - sigma _ {2}} {2} }}$ Следовательно, полагая ${ displaystyle sigma _ {1} geq sigma _ {2} geq sigma _ {3}}$, максимальное напряжение сдвига выражается как ${ displaystyle tau _ { max} = { frac {1} {2}} left | sigma _ {1} - sigma _ {3} right | = { frac {1} {2} } left | sigma _ { max} - sigma _ { min} right |}$ и его можно утверждать как равное половине разницы между наибольшим и наименьшим главными напряжениями, действующими в плоскости, которая делит пополам угол между направлениями наибольшего и наименьшего главных напряжений.