Повышение и понижение показателей - Raising and lowering indices

В математика и математическая физика, повышение и понижение показателей операции на тензоры которые меняют их тип. Повышение и понижение индексов - это форма манипуляции с индексами в тензорных выражениях.

Тип тензор

Учитывая тензорное поле на многообразие $M$ , при наличии неособая форма на $M$ (например, Риманова метрика или же Метрика Минковского ), можно повышать или понижать индексы для изменения типа $(а, б)$ тензор к $(а + 1, б - 1)$ тензор (индекс повышения) или до $(а - 1, б + 1)$ тензор (нижний индекс), где обозначения $(а, б)$ был использован для обозначения тензорный порядок $а + б$ с $а$ верхние индексы и $б$ более низкие показатели.

Это достигается умножением на ковариантный или контравариантный метрический тензор а потом договор индексы, то есть два индекса устанавливаются равными, а затем суммируются по повторяющимся индексам (применяя Обозначения Эйнштейна ). См. Примеры ниже.

Векторы (тензоры первого порядка)

Умножая на контравариантный метрический тензор $грамм ij$ и сжатие дает другой тензор с верхним индексом:

{displaystyle g ^ {ij} A_ {j} = B ^ {i} ,,}

Тот же самый базовый символ обычно используется для обозначения этого нового тензора, и изменение положения индекса обычно понимается в этом контексте как ссылка на этот новый тензор и называется повышение индекса, что было бы написано

{displaystyle g ^ {ij} A_ {j} = A ^ {i} ,.}

Аналогично, умножая на ковариантный метрический тензор и сжимающий понижает индекс (с тем же пониманием повторного использования базового символа):

{displaystyle g_ {ij} A ^ {j} = A_ {i} ,.}

Форма $грамм ij$ не обязательно должно быть невырожденным, чтобы понизить индекс, но чтобы получить обратное (и, таким образом, поднять индекс), оно должно быть невырожденным.

Повышение и последующее понижение одного и того же индекса (или наоборот) являются обратными операциями, что отражается в том, что ковариантные и контравариантные метрические тензоры являются обратными друг другу:

{displaystyle g ^ {ij} g_ {jk} = g_ {kj} g ^ {ji} = {delta ^ {i}} _ {k} = {delta _ {k}} ^ {i}}

куда $δ я k$ это Дельта Кронекера или же единичная матрица. Поскольку есть разные варианты метрики с разными метрические подписи (знаки вдоль диагональных элементов, т.е. компоненты тензора с одинаковыми индексами) обычно указывается имя и подпись во избежание путаницы. Разные авторы используют разные метрики и подписи по разным причинам.

Мнемонически (хотя неправильно), можно было бы подумать об «сокращении» индексов между метрикой и другим тензором, а также о повышении или понижении показателя по индексу. В приведенных выше примерах такие «отмены» и «шаги» похожи на

{displaystyle g ^ {ij} A_ {j} = {cancel {g}} ^ {i {cancel {j}}} A_ {cancel {j}} = A ^ {i} ,,}

Опять же, хотя это и является полезным руководством, это всего лишь мнемоника, а не свойство тензоров, поскольку индексы не сокращаются, как в уравнениях, это всего лишь концепция записи. Результаты продолжаются ниже для тензоров более высокого порядка (т.е. для большего числа индексов).

Повышая индексы величин в пространстве-времени, это помогает разложить суммирования на «времениподобные компоненты» (где индексы равны нулю) и «пространственноподобные компоненты» (где индексы равны 1, 2, 3, условно представленные латинскими буквами).

Пример из Пространство-время Минковского

Ковариантный 4 позиции дан кем-то

{displaystyle X_ {mu} = (- ct, x, y, z)}

с компонентами:

{displaystyle X_ {0} = - ct, quad X_ {1} = x, quad X_ {2} = y, quad X_ {3} = z}

(куда $Икс$ , $у$ , $z$ обычные Декартовы координаты ) и Метрика Минковского тензор с сигнатурой (- + + +) определяется как

{displaystyle eta _ {mu u} = eta ^ {mu u} = {egin {pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1end {pmatrix}}}

в компонентах:

{displaystyle eta _ {00} = - 1, quad eta _ {i0} = eta _ {0i} = 0, quad eta _ {ij} = delta _ {ij}, (i, jeq 0).}

Чтобы поднять индекс, умножьте на тензор и сократите:

{displaystyle X ^ {lambda} = eta ^ {lambda mu} X_ {mu} = eta ^ {lambda 0} X_ {0} + eta ^ {lambda i} X_ {i}}

тогда для $λ = 0$ :

{displaystyle X ^ {0} = eta ^ {00} X_ {0} + eta ^ {0i} X_ {i} = - X_ {0}}

и для $λ = j = 1, 2, 3$ :

{displaystyle X ^ {j} = eta ^ {j0} X_ {0} + eta ^ {ji} X_ {i} = delta ^ {ji} X_ {i} = X_ {j} ,.}

Таким образом, контрвариантная 4-позиция с повышенным индексом:

{displaystyle X ^ {mu} = (ct, x, y, z) ,.}

Тензоры (высший порядок)

Заказ 2

Для тензора порядка 2^[1] Двойное умножение на контравариантный метрический тензор и сжатие по разным индексам увеличивает каждый индекс:

{displaystyle A ^ {alpha eta} = g ^ {alpha gamma} g ^ {eta delta} A_ {gamma delta}}

а двойное умножение на ковариантный метрический тензор и сжатие по разным индексам понижает каждый индекс:

{displaystyle A_ {alpha eta} = g_ {alpha gamma} g_ {eta delta} A ^ {gamma delta}}

Пример из классический электромагнетизм и специальная теория относительности

В контравариантный электромагнитный тензор в $(+ - - -)$ подпись дается^[2]

{displaystyle F ^ {alpha eta} = {egin {pmatrix} 0 & - {frac {E_ {x}} {c}} & - {frac {E_ {y}} {c}} & - {frac {E_ {z }} {c}} {frac {E_ {x}} {c}} & 0 & -B_ {z} & B_ {y} {frac {E_ {y}} {c}} & B_ {z} & 0 & -B_ { x} {frac {E_ {z}} {c}} & - B_ {y} & B_ {x} & 0end {pmatrix}}}

в компонентах:

{displaystyle F ^ {0i} = - F ^ {i0} = - {frac {E ^ {i}} {c}}, quad F ^ {ij} = - varepsilon ^ {ijk} B_ {k}}

Чтобы получить ковариантный тензор $F αβ$ , умножим на метрический тензор и сожмем:

{displaystyle {egin {align} F_ {alpha eta} & = eta _ {alpha gamma} eta _ {eta delta} F ^ {gamma delta} & = eta _ {alpha 0} eta _ {eta 0} F ^ { 00} + eta _ {alpha i} eta _ {eta 0} F ^ {i0} + eta _ {alpha 0} eta _ {eta i} F ^ {0i} + eta _ {alpha i} eta _ {eta j } F ^ {ij} конец {выровнено}}}

и с тех пор F⁰⁰ = 0 и F^0я = − F^я⁰, это сводится к

{displaystyle F_ {alpha eta} = left (eta _ {alpha i} eta _ {eta 0} -eta _ {alpha 0} eta _ {eta i} ight) F ^ {i0} + eta _ {alpha i} eta _ {eta j} F ^ {ij}}

Теперь для $α = 0$ , $β = k = 1, 2, 3$ :

{displaystyle {egin {align} F_ {0k} & = left (eta _ {0i} eta _ {k0} -eta _ {00} eta _ {ki} ight) F ^ {i0} + eta _ {0i} eta _ {kj} F ^ {ij} & = {igl (} 0 - (- delta _ {ki}) {igr)} F ^ {i0} +0 & = F ^ {k0} = - F ^ { 0к} конец {выровнено}}}

а по антисимметрии при $α = k = 1, 2, 3$ , $β = 0$ :

{displaystyle F_ {k0} = - F ^ {k0}}

затем, наконец, для $α = k = 1, 2, 3$ , $β = л = 1, 2, 3$ ;

{displaystyle {egin {выравнивается} F_ {kl} & = left (eta _ {ki} eta _ {l0} -eta _ {k0} eta _ {li} ight) F ^ {i0} + eta _ {ki} eta _ {lj} F ^ {ij} & = 0 + delta _ {ki} delta _ {lj} F ^ {ij} & = F ^ {kl} end {align}}}

(Ковариантный) нижний индексированный тензор тогда будет:

{displaystyle F_ {alpha eta} = {egin {pmatrix} 0 & {frac {E_ {x}} {c}} & {frac {E_ {y}} {c}} & {frac {E_ {z}} {c }} - {frac {E_ {x}} {c}} & 0 & -B_ {z} & B_ {y} - {frac {E_ {y}} {c}} & B_ {z} & 0 & -B_ {x} - {frac {E_ {z}} {c}} & - B_ {y} & B_ {x} & 0end {pmatrix}}}

Заказ $п$

Когда векторное пространство оснащено внутренним продуктом (или метрикой, как ее часто называют в этом контексте), существуют операции, которые преобразуют контравариантный (верхний) индекс в ковариантный (нижний) индекс и наоборот. Сама метрика является (симметричным) (0,2) -тензором, таким образом, можно сжать верхний индекс тензора с одним из нижних индексов метрики. Это создает новый тензор с той же структурой индекса, что и предыдущий, но с нижним индексом в позиции суженного верхнего индекса. Эта операция графически известна как понижение индекса. И наоборот, метрика имеет инверсию, которая является (2,0) -тензором. Этот обратный показатель можно свести к нижнему индексу, чтобы получить верхний индекс. Эта операция называется поднятием индекса.

Для тензора порядка $п$ , индексы увеличиваются (совместимо с указанным выше):^[1]

{displaystyle g ^ {j_ {1} i_ {1}} g ^ {j_ {2} i_ {2}} cdots g ^ {j_ {n} i_ {n}} A_ {i_ {1} i_ {2} cdots i_ {n}} = A ^ {j_ {1} j_ {2} cdots j_ {n}}}

и снижено:

{displaystyle g_ {j_ {1} i_ {1}} g_ {j_ {2} i_ {2}} cdots g_ {j_ {n} i_ {n}} A ^ {i_ {1} i_ {2} cdots i_ { n}} = A_ {j_ {1} j_ {2} cdots j_ {n}}}

а для смешанного тензора:

{displaystyle g_ {p_ {1} i_ {1}} g_ {p_ {2} i_ {2}} cdots g_ {p_ {n} i_ {n}} g ^ {q_ {1} j_ {1}} g ^ {q_ {2} j_ {2}} cdots g ^ {q_ {m} j_ {m}} {A ^ {i_ {1} i_ {2} cdots i_ {n}}} _ {j_ {1} j_ { 2} cdots j_ {m}} = {A_ {p_ {1} p_ {2} cdots p_ {n}}} ^ {q_ {1} q_ {2} cdots q_ {m}}}

Повышение и понижение показателей - Raising and lowering indices

Содержание

Тип тензор