Форма подключения - Википедия - Connection form

В математика, и в частности дифференциальная геометрия, а форма подключения это способ организации данных связь используя язык движущиеся рамы и дифференциальные формы.

Исторически формы связи были введены Эли Картан в первой половине 20 века как часть и одна из основных мотиваций его метода движущихся систем отсчета. Форма подключения обычно зависит от выбора система координат, и поэтому не тензорный объект. После первых работ Картана были сформулированы различные обобщения и переосмысления формы связи. В частности, на основной пакет, а основная связь является естественным переосмыслением формы связи как тензорного объекта. С другой стороны, форма соединения имеет то преимущество, что это дифференциальная форма, определенная на дифференцируемое многообразие, а не на абстрактном главном связке над ним. Следовательно, несмотря на отсутствие тензорности, формы соединения продолжают использоваться из-за относительной простоты выполнения с ними вычислений.^[1] В физика, формы подключения также широко используются в контексте калибровочная теория, сквозь калибровочная ковариантная производная.

Форма подключения ассоциируется с каждым основа из векторный набор а матрица дифференциальных форм. Форма соединения не тензорная, потому что под изменение основы, форма соединения преобразуется таким образом, чтобы внешняя производная из функции перехода, почти так же, как Символы Кристоффеля для Леви-Чивита связь. Главный тензорный инвариантом формы связи является ее форма кривизны. При наличии форма припоя отождествляя векторное расслоение с касательный пучок, есть дополнительный инвариант: форма кручения. Во многих случаях формы связности рассматриваются на векторных расслоениях с дополнительной структурой: пучок волокон с структурная группа.

Векторные пучки

Рамки на векторном расслоении

Позволять E быть векторный набор размера волокна k через дифференцируемое многообразие M. А локальная рамка за E заказанный основа из местные разделы из E. Всегда можно построить локальный фрейм, поскольку векторные связки всегда определяются в терминах локальные тривиализации, по аналогии с атлас многообразия. То есть с учетом любой точки Икс на базовом коллекторе M, существует открытая окрестность U ⊂ M из Икс для которого векторное расслоение над U изоморфно пространству U × р^k: это локальная тривиализация. Структура векторного пространства на р^k тем самым распространяется на всю локальную тривиализацию и базис на р^k также может быть расширен; это определяет локальный фрейм. (Здесь, р предназначен для обозначения действительных чисел ℝ, хотя большая часть разработок здесь может быть распространена на модули над кольцами в целом и на векторные пространства над комплексными числами в частности.)

Позволять е = (е_α)_α=1,2,...,k быть локальным фреймом на E. Этот фрейм можно использовать для локального выражения любого раздела E. Например, предположим, что ξ является локальным разделом, определенным над тем же открытым набором, что и фрейм е. потом

${ Displaystyle xi = сумма _ { альфа = 1} ^ {k} е _ { альфа} xi ^ { alpha} ( mathbf {e})}$

где ξ^α(е) обозначает составные части из ξ в рамке е. В виде матричного уравнения это читается как

${ displaystyle xi = { mathbf {e}} { begin {bmatrix} xi ^ {1} ( mathbf {e}) xi ^ {2} ( mathbf {e}) vdots xi ^ {k} ( mathbf {e}) end {bmatrix}} = { mathbf {e}} , xi ( mathbf {e})}$

В общая теория относительности, такие поля кадра называются тетрады. Тетрада конкретно связывает локальную систему отсчета с явной системой координат на базовом многообразии M (система координат на M утверждаются атласом).

Внешние соединения

А связь в E это тип дифференциальный оператор

${ Displaystyle D: Gamma (E) rightarrow Gamma (E otimes Omega ^ {1} M)}$

где Γ обозначает пучок местных разделы векторного расслоения и Ω¹M расслоение дифференциальных 1-форм на M. За D чтобы быть соединением, он должен быть правильно соединен с внешняя производная. В частности, если v это местная секция E, и ж - гладкая функция, то

${ Displaystyle D (fv) = v otimes (df) + fDv}$

куда df внешняя производная от ж.

Иногда удобно расширить определение D произвольно E-значные формы, таким образом рассматривая его как дифференциальный оператор на тензорном произведении E с полным внешняя алгебра дифференциальных форм. Учитывая внешнюю связь D удовлетворяющее этому свойству совместимости, существует уникальное расширение D:

${ Displaystyle D: Gamma (E otimes Omega ^ {*} M) rightarrow Gamma (E otimes Omega ^ {*} M)}$

такой, что

${ Displaystyle D (v клин альфа) = (Dv) клин альфа + (- 1) ^ {{ text {deg}} , v} v клин d alpha}$

куда v однородна степени deg v. Другими словами, D это происхождение на пучке градуированных модулей Γ (E ⊗ Ω^*M).

Формы подключения

В форма подключения возникает при наложении внешнего соединения на конкретный каркас е. После применения внешнего подключения к е_α, это уникальный k × k матрица (ω_α^β) из одноформный на M такой, что

${ displaystyle De _ { alpha} = sum _ { beta = 1} ^ {k} e _ { beta} otimes omega _ { alpha} ^ { beta}.}$

С точки зрения формы подключения внешнее подключение любой секции E теперь можно выразить. Например, предположим, что ξ = Σ_α е_αξ^α. потом

${ Displaystyle D xi = сумма _ { альфа = 1} ^ {k} D (е _ { альфа} xi ^ { alpha} ( mathbf {e})) = сумма _ { альфа = 1} ^ {k} e _ { alpha} otimes d xi ^ { alpha} ( mathbf {e}) + sum _ { alpha = 1} ^ {k} sum _ { beta = 1 } ^ {k} e _ { beta} otimes omega _ { alpha} ^ { beta} xi ^ { alpha} ( mathbf {e}).}$

Взяв компоненты с обеих сторон,

${ Displaystyle D xi ( mathbf {e}) = d xi ( mathbf {e}) + omega xi ( mathbf {e}) = (d + omega) xi ( mathbf {e} )}$

где понимается, что d и ω относятся к покомпонентной производной по системе отсчета е, и матрица 1-форм соответственно, действующая на компоненты ξ. И наоборот, матрица 1-форм ω является априори Достаточно полностью определить соединение локально на открытом множестве, над которым базируются сечения е определено.

Смена кадра

Чтобы продлить ω к подходящему глобальному объекту, необходимо изучить, как он ведет себя, когда другой выбор основных разделов E выбран. Написать ω_α^β = ω_α^β(е) для обозначения зависимости от выбора е.

Предположим, что е′ - это другой выбор локальной основы. Тогда существует обратимый k × k матрица функций грамм такой, что

${ displaystyle { mathbf {e}} '= { mathbf {e}} , g, quad { text {ie,}} , e' _ { alpha} = sum _ { beta} e _ { beta} g _ { alpha} ^ { beta}.}$

Применение внешней связи к обеим сторонам дает закон преобразования для ω:

${ displaystyle omega ( mathbf {e} , g) = g ^ {- 1} dg + g ^ {- 1} omega ( mathbf {e}) g.}$

Отметим, в частности, что ω не может превратиться в тензорный образом, так как правило перехода от одного кадра к другому включает в себя производные матрицы перехода грамм.

Формы глобального подключения

Если {U_п} - открытое покрытие M, и каждый U_п оснащен тривиализацией е_п из E, то можно определить глобальную форму соединения в терминах данных исправления между локальными формами соединения в областях перекрытия. Подробно форма подключения на M это система матриц ω(е_п) 1-форм, определенных на каждом U_п которые удовлетворяют следующему условию совместимости

${ displaystyle omega ( mathbf {e} _ {q}) = ( mathbf {e} _ {p} ^ {- 1} mathbf {e} _ {q}) ^ {- 1} d ( mathbf {e} _ {p} ^ {- 1} mathbf {e} _ {q}) + ( mathbf {e} _ {p} ^ {- 1} mathbf {e} _ {q}) ^ {-1} omega ( mathbf {e} _ {p}) ( mathbf {e} _ {p} ^ {- 1} mathbf {e} _ {q}).}$

Этот условие совместимости гарантирует, в частности, что внешнее соединение секции E, если рассматривать ее абстрактно как часть E ⊗ Ω¹M, не зависит от выбора базового раздела, используемого для определения соединения.

Кривизна

В кривизна двухформная формы подключения в E определяется

${ displaystyle Omega ( mathbf {e}) = d omega ( mathbf {e}) + omega ( mathbf {e}) wedge omega ( mathbf {e}).}$

В отличие от формы соединения, кривизна ведет себя тензорно при смене рамки, что можно проверить напрямую с помощью Лемма Пуанкаре. В частности, если е → е грамм - смена системы отсчета, то двухформная кривизна преобразуется на

${ displaystyle Omega ( mathbf {e} , g) = g ^ {- 1} Omega ( mathbf {e}) g.}$

Одна интерпретация этого закона преобразования заключается в следующем. Позволять е^* быть двойная основа соответствующий кадру е. Тогда 2-форма

${ Displaystyle Omega = { mathbf {e}} Omega ( mathbf {e}) { mathbf {e}} ^ {*}}$

не зависит от выбора рамы. В частности, Ω - векторная двумерная форма на M со значениями в кольцо эндоморфизмов Hom (E,E). Символично,

${ displaystyle Omega in Gamma ( Omega ^ {2} M otimes { text {Hom}} (E, E)).}$

Что касается внешнего подключения D, эндоморфизм кривизны задается формулой

${ Displaystyle Омега (v) = D (Dv) = D ^ {2} v ,}$

за v ∈ E. Таким образом, кривизна измеряет нарушение последовательности

${ Displaystyle Gamma (E) { stackrel {D} { to}} Gamma (E otimes Omega ^ {1} M) { stackrel {D} { to}} Gamma (E otimes Omega ^ {2} M) { stackrel {D} { to}} dots { stackrel {D} { to}} Gamma (E otimes Omega ^ { n} (M))}$

быть цепной комплекс (в смысле когомологии де Рама ).

Пайка и кручение

Предположим, что размер волокна k из E равна размеру многообразия M. В этом случае векторное расслоение E иногда помимо подключения может содержать дополнительные данные: форма припоя. А форма припоя является глобально определенным векторнозначная однозначная форма θ ∈ Ω¹(M,E) такое, что отображение

${ displaystyle theta _ {x}: T_ {x} M rightarrow E_ {x}}$

является линейным изоморфизмом для всех Икс ∈ M. Если дана форма припоя, то можно определить кручение соединения (с точки зрения внешнего соединения) как

${ Displaystyle Theta = D theta. ,}$

Кручение является E-значная 2-форма на M.

Форма припоя и связанное с ним кручение могут быть описаны в терминах локальной рамки. е из E. Если θ - припой, то он разлагается на компоненты каркаса

${ displaystyle theta = sum _ {i} theta ^ {i} ( mathbf {e}) e_ {i}.}$

Тогда компоненты кручения равны

${ displaystyle Theta ^ {i} ( mathbf {e}) = d theta ^ {i} ( mathbf {e}) + sum _ {j} omega _ {j} ^ {i} ( mathbf {e}) wedge theta ^ {j} ( mathbf {e}).}$

Как и кривизна, можно показать, что Θ ведет себя как контравариантный тензор при смене кадра:

${ displaystyle Theta ^ {i} ( mathbf {e} , g) = sum _ {j} g_ {j} ^ {i} Theta ^ {j} ( mathbf {e}).}$

Кручение, не зависящее от кадра, также можно восстановить из компонентов каркаса:

${ displaystyle Theta = sum _ {i} e_ {i} Theta ^ {i} ( mathbf {e}).}$

Бьянки идентичности

В Бьянки идентичности свяжите кручение с кривизной. Первая идентичность Бьянки утверждает, что

${ Displaystyle D Theta = Omega wedge theta.}$

в то время как вторая идентичность Бьянки утверждает, что

${ displaystyle , D Omega = 0}$

Пример: связь Леви-Чивита

В качестве примера предположим, что M несет Риманова метрика. Если есть векторный набор E над M, то метрику можно распространить на все векторное расслоение, так как метрика пакета. Затем можно определить соединение, которое совместимо с этой метрикой связки, это метрическое соединение. Для особого случая E будучи касательный пучок TM, метрическая связь называется Риманова связь. Для данной римановой связи всегда можно найти уникальную эквивалентную связь, которая является без кручения. Это Леви-Чивита связь на касательном расслоении TM из M.^[2][3]

Локальный фрейм на касательном расслоении - это упорядоченный список векторных полей е = (е_я | я = 1,2, ..., n = dim M), определенный на открытом подмножестве M которые линейно независимы в каждой точке своей области. Символы Кристоффеля определяют связь Леви-Чивита следующим образом:

${ displaystyle nabla _ {e_ {i}} e_ {j} = sum _ {k = 1} ^ {n} Gamma _ {ij} ^ {k} ( mathbf {e}) e_ {k} .}$

Если θ = {θ^я | i = 1,2, ..., n}, обозначает двойная основа из котангенсный пучок, такие что θ^я(е_j) = δ^я_j (в Дельта Кронекера ), то форма связи имеет вид

${ displaystyle omega _ {i} ^ {j} ( mathbf {e}) = sum _ {k} Gamma _ {ki} ^ {j} ( mathbf {e}) theta ^ {k} .}$

С точки зрения формы связи, внешняя связь на векторном поле v = Σ_яе_яv^я дан кем-то

${ displaystyle Dv = sum _ {k} e_ {k} otimes (dv ^ {k}) + sum _ {j, k} e_ {k} otimes omega _ {j} ^ {k} ( mathbf {e}) v ^ {j}.}$

Из этого можно восстановить связь Леви-Чивита в обычном смысле, заключив договор с е_я:

${ displaystyle nabla _ {e_ {i}} v = langle Dv, e_ {i} rangle = sum _ {k} e_ {k} left ( nabla _ {e_ {i}} v ^ { k} + sum _ {j} Gamma _ {ij} ^ {k} ( mathbf {e}) v ^ {j} right)}$

Кривизна

2-формой кривизны связности Леви-Чивиты является матрица (Ω_я^j) предоставлено

${ displaystyle Omega _ {i} ^ {j} ( mathbf {e}) = d omega _ {i} ^ {j} ( mathbf {e}) + sum _ {k} omega _ { k} ^ {j} ( mathbf {e}) wedge omega _ {i} ^ {k} ( mathbf {e}).}$

Для простоты предположим, что каркас е является голономный, так что dθ^я=0.^[4] Затем, используя сейчас соглашение о суммировании по повторяющимся индексам,

${ displaystyle { begin {array} {ll} Omega _ {i} ^ {j} & = d ( Gamma _ {qi} ^ {j} theta ^ {q}) + ( Gamma _ {pk } ^ {j} theta ^ {p}) wedge ( Gamma _ {qi} ^ {k} theta ^ {q}) & & = theta ^ {p} wedge theta ^ {q} left ( partial _ {p} Gamma _ {qi} ^ {j} + Gamma _ {pk} ^ {j} Gamma _ {qi} ^ {k}) right) & & = { tfrac {1} {2}} theta ^ {p} wedge theta ^ {q} R_ {pqi} {} ^ {j} end {array}}}$

куда р это Тензор кривизны Римана.

Кручение

Связь Леви-Чивита характеризуется как уникальное метрическое соединение в касательном расслоении с нулевым кручением. Для описания кручения заметим, что векторное расслоение E - касательное расслоение. Он имеет каноническую форму припоя (иногда называемый каноническая одноформа, особенно в контексте классическая механика ), которое является сечением θ множества Hom (TM, ТM) = T^∗M ⊗ ТM соответствующее тождественному эндоморфизму касательных пространств. В рамке е, форма припоя θ = Σ_я е_я ⊗ θ^я, где снова θ^я - двойственный базис.

Кручение связности определяется выражением Θ = D θ, или с точки зрения компонентов каркаса формы припоя на

${ displaystyle Theta ^ {i} ( mathbf {e}) = d theta ^ {i} + sum _ {j} omega _ {j} ^ {i} ( mathbf {e}) клин theta ^ {j}.}$

Снова предполагая для простоты, что е голономно, это выражение сводится к

${ displaystyle Theta ^ {i} = Gamma _ {kj} ^ {i} theta ^ {k} wedge theta ^ {j}}$,

которое обращается в нуль тогда и только тогда, когда Γ^я_кДж симметричен по своим нижним индексам.

Учитывая метрическую связь с кручением, один раз всегда можно найти единственную, уникальную связь, не имеющую кручения, это связность Леви-Чивита. Разница между римановой связью и связанной с ней связью Леви-Чивита заключается в том, что тензор искривления.

Структурные группы

Более конкретный тип формы связи может быть построен, когда векторное расслоение E несет структурная группа. Это составляет предпочтительный класс кадров. е на E, которые связаны Группа Ли грамм. Например, при наличии метрика в E, работает с фреймами, которые образуют ортонормированный базис в каждой точке. Структурная группа тогда является ортогональная группа, поскольку эта группа сохраняет ортонормированность реперов. Другие примеры включают:

• Обычные фреймы, рассмотренные в предыдущем разделе, имеют структурную группу GL (k) куда k размер волокна E.
• Голоморфное касательное расслоение к комплексное многообразие (или же почти комплексное многообразие ).^[5] Здесь структурная группа GL_п(C) ⊂ GL_2n(р).^[6] В случае если эрмитова метрика задана, то структурная группа сводится к унитарная группа действующие на унитарные фреймы.^[5]
• Спиноры на коллекторе, оборудованном спиновая структура. Фреймы унитарны относительно инвариантного внутреннего произведения на пространстве спинов, и группа сводится к вращательная группа.
• Голоморфные касательные расслоения на CR-многообразия.^[7]

В общем, пусть E - заданное векторное расслоение размерности слоев k и грамм ⊂ GL (k) заданная подгруппа Ли общей линейной группы р^k. Если (е_α) является локальным фреймом E, то матричнозначная функция (грамм_я^j): M → грамм может действовать на е_α изготовить новый каркас

${ displaystyle e _ { alpha} '= sum _ { beta} e _ { beta} g _ { alpha} ^ { beta}.}$

Две такие рамки есть грамм-связанные с. Неформально векторное расслоение E имеет структура грамм-пучок если указан предпочтительный класс фреймов, все из которых локально грамм- связаны друг с другом. Формально E это пучок волокон со структурной группой грамм чье типичное волокно р^k с естественным действием грамм как подгруппа GL (k).

Совместимые соединения

Связь совместимый со структурой грамм-бандл на E при условии, что связанные параллельный транспорт карты всегда отправляют один грамм-фрейм к другому. Формально вдоль кривой γ должно выполняться локально (т. Е. При достаточно малых значениях т):

${ Displaystyle Gamma ( gamma) _ {0} ^ {t} e _ { alpha} ( gamma (0)) = sum _ { beta} e _ { beta} ( gamma (t)) g_ { alpha} ^ { beta} (t)}$

для какой-то матрицы грамм_α^β (что также может зависеть от т). Дифференциация на т= 0 дает

${ displaystyle nabla _ {{ dot { gamma}} (0)} e _ { alpha} = sum _ { beta} e _ { beta} omega _ { alpha} ^ { beta} ( { dot { gamma}} (0))}$

где коэффициенты ω_α^β находятся в Алгебра Ли грамм группы Ли грамм.

С учетом этого наблюдения форма связности ω_α^β определяется

${ displaystyle De _ { alpha} = sum _ { beta} е _ { beta} otimes omega _ { alpha} ^ { beta} ( mathbf {e})}$

является совместим со структурой если матрица одноформ ω_α^β(е) принимает свои значения в грамм.

Кроме того, форма кривизны совместимого соединения граммдвухзначная форма.

Смена кадра

Под сменой кадра

${ displaystyle е _ { alpha} '= sum _ { beta} e _ { beta} g _ { alpha} ^ { beta}}$

куда грамм это грамм-значная функция, определенная на открытом подмножестве M, форма связи преобразуется через

${ displaystyle omega _ { alpha} ^ { beta} ( mathbf {e} cdot g) = (g ^ {- 1}) _ { gamma} ^ { beta} dg _ { alpha} ^ { gamma} + (g ^ {- 1}) _ { gamma} ^ { beta} omega _ { delta} ^ { gamma} ( mathbf {e}) g _ { alpha} ^ { дельта}.}$

Или, используя матричные произведения:

${ displaystyle omega ({ mathbf {e}} cdot g) = g ^ {- 1} dg + g ^ {- 1} omega g.}$

Чтобы интерпретировать каждый из этих терминов, вспомните, что грамм : M → грамм это грамм-значная (определенная локально) функция. Имея это в виду,

${ displaystyle omega ({ mathbf {e}} cdot g) = g ^ {*} omega _ { mathfrak {g}} + { text {Ad}} _ {g ^ {- 1}} omega ( mathbf {e})}$

где ω_грамм это Форма Маурера-Картана для группы грамм, здесь вытащил обратно к M по функции грамм, а Ad - это присоединенное представительство из грамм на его алгебре Ли.

Основные пакеты

Форма соединения, представленная до сих пор, зависит от конкретного выбора рамы. В первом определении рама - это просто локальная основа секций. Каждому кадру дается форма связи с законом преобразования для перехода от одного кадра к другому. Во втором определении сами фреймы несут некоторую дополнительную структуру, предоставляемую группой Ли, и изменения фрейма ограничиваются теми, которые принимают в нем свои значения. Язык основных пакетов, впервые предложенный Чарльз Эресманн в 1940-х годах предлагает способ организации этих многочисленных форм связи и законов преобразования, связывающих их в единую внутреннюю форму с единым правилом преобразования. Недостатком этого подхода является то, что формы больше не определены на самом многообразии, а скорее на более крупном основном связке.

Основное соединение для формы соединения

Предположим, что E → M - векторное расслоение со структурной группой грамм. Позволять {U} быть открытой крышкой M, вместе с грамм-рамки на каждой U, обозначаемый е_U. Они связаны на пересечении перекрывающихся открытых множеств

${ displaystyle { mathbf {e}} _ {V} = { mathbf {e}} _ {U} cdot h_ {UV}}$

для некоторых грамм-значная функция час_УФ определено на U ∩ V.

Пусть F_граммE быть набором всех грамм-рамки взяты по каждой точке M. Это главный грамм- связать M. Подробно, используя тот факт, что грамм-рамки все грамм-связанные, F_граммE может быть реализована в виде склейки данных между наборами открытой крышки:

${ Displaystyle F_ {G} E = left. coprod _ {U} U times G right / sim}$

где отношение эквивалентности ${ displaystyle sim}$ определяется

${ displaystyle ((x, g_ {U}) in U times G) sim ((x, g_ {V}) in V times G) iff { mathbf {e}} _ {V} = { mathbf {e}} _ {U} cdot h_ {UV} { text {and}} g_ {U} = h_ {UV} ^ {- 1} (x) g_ {V}.}$

На 'F_граммE, определим главный грамм-связь следующим образом, указав грамм-значная однозначная форма на каждый товар U × грамм, который соблюдает отношение эквивалентности в областях перекрытия. Сначала позвольте

${ displaystyle pi _ {1}: U times G to U, quad pi _ {2}: U times G to G}$

- карты проекции. Теперь для точки (Икс,грамм) ∈ U × грамм, набор

${ displaystyle omega _ {(x, g)} = Ad_ {g ^ {- 1}} pi _ {1} ^ {*} omega ( mathbf {e} _ {U}) + pi _ {2} ^ {*} omega _ { mathbf {g}}.}$

Построенная таким образом 1-форма ω учитывает переходы между перекрывающимися множествами и, следовательно, спускается вниз, чтобы дать глобально определенную 1-форму на главном расслоении F_граммE. Можно показать, что ω является главной связностью в том смысле, что она воспроизводит образующие правой грамм действие на F_граммE, и эквивариантно сплетает правое действие на T (F_граммE) с присоединенным представлением грамм.

Формы подключения, связанные с основным подключением

И наоборот, главный грамм-связь ω в главном грамм-пучок п→M рождает набор форм подключения на M. Предположим, что е : M → п это местная секция п. Тогда откат ω вдоль е определяет граммоднозначная форма на M:

${ displaystyle omega ({ mathbf {e}}) = { mathbf {e}} ^ {*} omega.}$

Смена кадров на грамм-значная функция грамм, видно, что ω (е) преобразуется требуемым образом с помощью правила Лейбница и присоединения:

${ Displaystyle langle X, ({ mathbf {e}} cdot g) ^ {*} omega rangle = langle [d ( mathbf {e} cdot g)] (X), omega rangle}$

куда Икс вектор на M, и d обозначает продвигать.

Смотрите также

• Связь Ehresmann
• Картановое соединение
• Аффинная связь
• Форма кривизны

Примечания

Рекомендации

• Черн, С.-С., Темы по дифференциальной геометрии, Институт перспективных исследований, конспекты лекций на мимеографе, 1951 г.
• Черн С. С .; Мозер, Дж. (1974), "Реальные гиперповерхности в комплексных многообразиях", Acta Math., 133: 219–271, Дои:10.1007 / BF02392146
• Гриффитс, Филипп; Харрис, Джозеф (1978), Принципы алгебраической геометрии, Джон Уайли и сыновья, ISBN  0-471-05059-8
• Йост, Юрген (2011), Риманова геометрия и геометрический анализ (PDF), Universitext (шестое изд.), Springer, Heidelberg, Дои:10.1007/978-3-642-21298-7, ISBN  978-3-642-21297-0, МИСТЕР  2829653
• Кобаяси, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии. 1 (Новое издание), Wiley-Interscience, ISBN  0-471-15733-3
• Кобаяси, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии. 2 (Новое издание), Wiley-Interscience, ISBN  0-471-15732-5
• Спивак, Михаил (1999), Всестороннее введение в дифференциальную геометрию (Том 2), Опубликовать или погибнуть, ISBN  0-914098-71-3
• Спивак, Михаил (1999), Комплексное введение в дифференциальную геометрию (Том 3), Опубликовать или погибнуть, ISBN  0-914098-72-1
• Уэллс, Р. (1973), Дифференциальный анализ на комплексных многообразиях, Springer-Verlag, ISBN  0-387-90419-0
• Уэллс, Р. (1980), Дифференциальный анализ на комплексных многообразиях, Прентис – Холл