Спиновая группа - Spin group

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу-)прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа Sп Кляйн четыре группы V Группа диэдра Dп Группа Quaternion Q Дициклическая группа Dicп
Дискретные группы Решетки Целые числа (Z) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2,Z) SL (2,Z) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологический и Группы Ли Соленоид Круг Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Евклидово E (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п) грамм2 F4 E6 E7 E8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая

В математика то вращательная группа Вращение(п)^[1][2] это двойная крышка из специальная ортогональная группа ТАК(п) = SO (п, р), такое, что существует короткая точная последовательность из Группы Ли (когда п ≠ 2)

${ displaystyle 1 to mathrm {Z} _ {2} to operatorname {Spin} (n) to operatorname {SO} (n) to 1.}$

Как группа Ли Spin (п) поэтому разделяет измерение, п(п − 1)/2, и это Алгебра Ли со специальной ортогональной группой.

За п > 2, Вращение(п) является односвязный и так совпадает с универсальный чехол из ТАК(п).

Нетривиальный элемент ядра обозначается −1, что не следует путать с ортогональным преобразованием отражение через начало координат, обычно обозначается -я.

Вращение(п) можно построить как подгруппа обратимых элементов в Алгебра Клиффорда Cl (п). Отдельная статья обсуждает спиновые представления.

Мотивация и физическая интерпретация

Спиновая группа используется в физика для описания симметрии (электрически нейтральной, незаряженной) фермионы. Его комплексификация, Spinc, используется для описания электрически заряженных фермионов, в первую очередь электрон. Строго говоря, спиновая группа описывает фермион в нульмерном пространстве; но, конечно, пространство не нульмерно, поэтому спиновая группа используется для определения спиновые структуры на (псевдо)Римановы многообразия: спиновая группа - это структурная группа из спинорный пучок. В аффинная связь на спинорной связке спин-соединение; соединение вращения полезно, поскольку оно может упростить и придать элегантность многим замысловатым вычислениям в общая теория относительности. Соединение вращения, в свою очередь, позволяет Уравнение Дирака быть записанным в искривленном пространстве-времени (фактически в тетрада координаты), что, в свою очередь, обеспечивает основу для квантовая гравитация, а также формализация Радиация Хокинга (где один из пары запутанных виртуальных фермионов падает за горизонт событий, а другой - нет). Короче говоря, спиновая группа является жизненно важным краеугольным камнем, центрально важным для понимания передовых концепций современной теоретической физики. В математике спиновая группа интересна сама по себе: не только по этим причинам, но и по многим другим.

Строительство

Построение группы Spin часто начинается с построения Алгебра Клиффорда над реальным векторным пространством V с определенная квадратичная форма q.^[3] Алгебра Клиффорда - это фактор тензорная алгебра ТV из V двусторонним идеалом. Тензорная алгебра (над вещественными числами) может быть записана как

${ Displaystyle mathrm {T} V = mathbb {R} oplus V oplus (V otimes V) oplus cdots}$

Алгебра Клиффорда Cl (V) тогда фактор-алгебра

${ Displaystyle OperatorName {Cl} (V) = mathrm {T} V / left (v otimes v + q (v) right),}$

куда ${ displaystyle q (v)}$ квадратичная форма, примененная к вектору ${ displaystyle v in V}$. Получающееся пространство естественно оцененный, и может быть записано как

${ displaystyle operatorname {Cl} (V) = operatorname {Cl} ^ {0} oplus operatorname {Cl} ^ {1} oplus operatorname {Cl} ^ {2} oplus cdots}$

куда ${ displaystyle operatorname {Cl} ^ {0} = mathbf {R}}$ и ${ displaystyle operatorname {Cl} ^ {1} = V}$. В спиновая алгебра ${ displaystyle { mathfrak {spin}}}$ определяется как

${ displaystyle operatorname {Cl} ^ {2} = { mathfrak {spin}} (V) = { mathfrak {spin}} (n),}$

где последнее - сокращение от V быть реальным векторным пространством реальной размерности п. Это Алгебра Ли; он имеет естественное действие на V, и таким образом можно показать, что она изоморфна алгебре Ли ${ Displaystyle { mathfrak {так}} (п)}$ из специальная ортогональная группа.

В группа контактов ${ displaystyle operatorname {Pin} (V)}$ является подгруппой ${ displaystyle operatorname {Cl} (V)}$группа Клиффорда всех элементов формы

${ displaystyle v_ {1} v_ {2} cdots v_ {k},}$

где каждый ${ displaystyle v_ {i} in V}$ имеет единицу длины: ${ displaystyle q (v_ {i}) = 1.}$

Тогда спиновая группа определяется как

${ displaystyle operatorname {Spin} (V) = operatorname {Pin} (V) cap operatorname {Cl} ^ { text {even}},}$

куда ${ displaystyle operatorname {Cl} ^ { text {even}} = operatorname {Cl} ^ {0} oplus operatorname {Cl} ^ {2} oplus operatorname {Cl} ^ {4} oplus cdots}$- подпространство, порожденное элементами, которые являются произведением четного числа векторов. То есть Spin (V) состоит из всех элементов Pin (V), данное выше, с ограничением на k быть четным числом. Ограничение на четное подпространство является ключом к образованию двухкомпонентных (вейлевских) спиноров, построенных ниже.

Если набор ${ Displaystyle {е_ {я} }}$ являются ортонормированным базисом (реального) векторного пространства V, то приведенное выше частное наделяет пространство естественной антикоммутирующей структурой:

${ displaystyle e_ {i} e_ {j} = - e_ {j} e_ {i}}$ за ${ Displaystyle я neq j,}$

что следует с учетом ${ displaystyle v otimes v}$ за ${ displaystyle v = e_ {i} + e_ {j}}$. Эта антикоммутация имеет важное значение для физики, так как отражает дух Принцип исключения Паули за фермионы. Точная формулировка здесь выходит за рамки, но она включает в себя создание спинорный пучок на Пространство-время Минковского; полученные спинорные поля могут рассматриваться как антикоммутирующие как побочный продукт конструкции алгебры Клиффорда. Это свойство антикоммутации также является ключом к формулировке суперсимметрия. Алгебра Клиффорда и спиновая группа обладают множеством интересных и любопытных свойств, некоторые из которых перечислены ниже.

Двойное покрытие

Двойное покрытие SO (п) от Spin (п) можно задать явно следующим образом. Позволять ${ Displaystyle {е_ {я} }}$ быть ортонормированный базис за V. Определить антиавтоморфизм ${ Displaystyle t: OperatorName {Cl} (V) to operatorname {Cl} (V)}$ к

${ displaystyle left (e_ {i} e_ {j} cdots e_ {k} right) ^ {t} = e_ {k} cdots e_ {j} e_ {i}}$

Это можно распространить на все элементы ${ displaystyle a, b in operatorname {Cl} (V)}$ по гомоморфизму:

${ displaystyle (ab) ^ {t} = b ^ {t} a ^ {t}}$

Обратите внимание, что Spin (V) можно определить как все элементы ${ displaystyle a in operatorname {Pin} (V)}$ для которого

${ displaystyle aa ^ {t} = 1}$

В этих обозначениях явное двойное покрытие - это гомоморфизм, задаваемый формулой

${ Displaystyle rho (а) v = ava ^ {t},}$

куда ${ displaystyle v in V}$. Вышеупомянутое дает двойное покрытие как O (п) пользователем Pin (п) и SO (п) от Spin (п) потому что ${ displaystyle a}$ дает то же преобразование, что и ${ displaystyle -a}$. При небольшом объеме работы видно, что ${ Displaystyle rho (а)}$ соответствует отражению от гиперплоскости; это следует из антикоммутирующего свойства алгебры Клиффорда.

Спинорное пространство

Стоит рассмотреть, как спинорное пространство и Спиноры Вейля построены с учетом этого формализма. Учитывая реальное векторное пространство V измерения п = 2м четное число, это комплексирование является ${ displaystyle V otimes mathbf {C}}$. Его можно записать как прямую сумму подпространства ${ displaystyle W}$ спиноров и подпространства ${ displaystyle { overline {W}}}$ антиспиноров:

${ displaystyle V otimes mathbf {C} = W oplus { overline {W}}}$

Космос ${ displaystyle W}$ натянуто спинорами${ displaystyle eta _ {k} = left (e_ {2k-1} -ie_ {2k} right) / { sqrt {2}}}$за ${ displaystyle 1 leq k leq m}$ а комплексно сопряженные спиноры образуют ${ displaystyle { overline {W}}}$. Несложно увидеть, что спиноры антикоммутируют и что произведение спинора и антиспинора является скаляром.

В спинорное пространство определяется как внешняя алгебра ${ displaystyle textstyle { bigwedge} W}$. (Комплексифицированная) алгебра Клиффорда естественным образом действует на этом пространстве; (комплексифицированная) спиновая группа соответствует сохраняющей длину эндоморфизмы. Существует естественная градуировка внешней алгебры: произведение нечетного числа копий ${ displaystyle W}$ соответствуют физическим представлениям о фермионах; четное подпространство соответствует бозонам. Представления о действии спинорной группы на спинорном пространстве могут быть построены относительно просто.^[3]

Сложный случай

Вращение^C группа определяется точная последовательность

${ displaystyle 1 to mathrm {Z} _ {2} to operatorname {Spin} ^ { mathbf {C}} (n) to operatorname {SO} (n) times operatorname {U} (1) к 1.}$

Это мультипликативная подгруппа группы комплексирование ${ Displaystyle OperatorName {Cl} (V) otimes mathbf {C}}$ алгебры Клиффорда, и, в частности, это подгруппа, порожденная Spin (V) и единичный круг в C. В качестве альтернативы это частное

${ displaystyle operatorname {Spin} ^ { mathbf {C}} (V) = left ( operatorname {Spin} (V) times S ^ {1} right) / sim}$

где эквивалентность ${ displaystyle sim}$ определяет (а, ты) с (−а, −ты).

Это имеет важные приложения в теории 4-многообразий и Теория Зайберга – Виттена. В физике группа Spin подходит для описания незаряженных фермионов, а группа Spin^C группа используется для описания электрически заряженных фермионов. В этом случае симметрия U (1) - это именно группа датчиков из электромагнетизм.

Случайные изоморфизмы

В малых габаритах есть изоморфизмы среди классических групп Ли, называемых случайные изоморфизмы. Например, существуют изоморфизмы между низкоразмерными спиновыми группами и некоторыми классическими группами Ли из-за низкоразмерных изоморфизмов между корневые системы (и соответствующие изоморфизмы Диаграммы Дынкина ) различных семейств простые алгебры Ли. Письмо р для настоящих, C для комплексных чисел, ЧАС для кватернионы и общее понимание, что Cl (п) является сокращением для Cl (р^п) и что Spin (п) - это сокращение от Spin (р^п) и так далее, тогда^[3]

Cl^четное(1) = р реальные числа

Пин (1) = {+ i, −i, +1, −1}

Вращение (1) = О (1) = {+1, −1} ортогональная группа нулевой размерности.

--

Cl^четное(2) = C комплексные числа

Вращение (2) = U (1) = ТАК (2), который действует на z в р² двойным чередованием фаз z ↦ ты²z. dim = 1

--

Cl^четное(3) = ЧАС то кватернионы

Отжим (3) = Sp (1) = SU (2), соответствующий ${ Displaystyle B_ {1} cong A_ {1}}$. dim = 3

--

Cl^четное(4) = ЧАС ⊕ ЧАС

Spin (4) = SU (2) × SU (2), соответствующий ${ Displaystyle D_ {2} cong A_ {1} times A_ {1}}$. dim = 6

--

Cl^четное(5) = M (2, ЧАС) матрицы размером два на два с кватернионными коэффициентами

Вращение (5) = Sp (2), соответствующий ${ Displaystyle B_ {2} cong C_ {2}}$. dim = 10

--

Cl^четное(6) = M (4, C) матрицы размером четыре на четыре с комплексными коэффициентами

Отжим (6) = SU (4), соответствующий ${ Displaystyle D_ {3} cong A_ {3}}$. dim = 15

Некоторые остатки этих изоморфизмов остались на п = 7, 8 (видеть Отжим (8) Больше подробностей). Для высших п, эти изоморфизмы полностью исчезают.

Бесконечная подпись

В неопределенная подпись, спиновая группа Вращение(п, q) построен через Алгебры Клиффорда аналогично стандартным спиновым группам. Это двойная крышка из ТАК₀(п, q), то связный компонент идентичности из неопределенная ортогональная группа ТАК(п, q). За п + q > 2, Вращение(п, q) подключен; за (п, q) = (1, 1) есть две связанные компоненты.^[4]:193 Как и в случае с определенной сигнатурой, в низких размерностях есть несколько случайных изоморфизмов:

Спин (1, 1) = GL (1, р)

Спин (2, 1) = SL (2, р)

Спин (3, 1) = SL (2, C)

Спин (2, 2) = SL (2, р) × SL (2, р)

Спин (4, 1) = Sp (1, 1)

Спин (3, 2) = Sp (4, р)

Спин (5, 1) = SL (2, ЧАС)

Спин (4, 2) = СУ (2, 2)

Спин (3, 3) = SL (4, р)

Спин (6, 2) = SU (2, 2, ЧАС)

Обратите внимание, что Вращение(п, q) = Вращать (q, п).

Топологические соображения

Связаны и односвязный Группы Ли классифицируются по своей алгебре Ли. Так что если грамм связная группа Ли с простой алгеброй Ли, грамм'The универсальный чехол из грамм, есть включение

${ Displaystyle pi _ {1} (G) subset OperatorName {Z} (G '),}$

с Z (грамм′) центр из грамм′. Это включение и алгебра Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ из грамм определять грамм полностью (обратите внимание, что это не тот случай, когда ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ и π₁(грамм) определять грамм полностью; например SL (2, р) и PSL (2, р) имеют одну и ту же алгебру Ли и одну фундаментальную группу Z, но не изоморфны).

Определенная сигнатура Spin (п) все односвязный за п > 2, поэтому они являются универсальными покрытиями SO (п).

В неопределенной подписи Spin (п, q) не обязательно связан, и в целом компонент идентичности, Вращение₀(п, q), не является односвязным, поэтому это не универсальный чехол. Фундаментальную группу легче всего понять, рассматривая максимальная компактная подгруппа SO (п, q), то есть SO (п) × SO (q), и отмечая, что вместо того, чтобы быть продуктом 2-кратных обложек (следовательно, 4-кратных обложек), Spin (п, q) является «диагональным» 2-кратным покрытием - это 2-кратное частное от 4-кратного покрытия. Явно максимальная компактная связная подгруппа группы Spin (п, q) является

Вращение(п) × Вращение (q)/{(1, 1), (−1, −1)}.

Это позволяет рассчитать фундаментальные группы спина (п, q), принимая п ≥ q:

${ displaystyle pi _ {1} ({ mbox {Spin}} (p, q)) = { begin {cases} mathrm {Z} _ {1} & (p, q) = (1,1 ) { mbox {или}} (1,0) mathrm {Z} _ {1} & p> 2, q = 0,1 mathbf {Z} & (p, q) = (2, 0) { mbox {или}} (2,1) mathbf {Z} times mathbf {Z} & (p, q) = (2,2) mathbf {Z} & p> 2 , q = 2 mathrm {Z} _ {2} & p, q> 2 end {case}}}$

Таким образом, однажды п, q > 2 фундаментальная группа - это Z₂, так как это 2-кратное частное произведения двух универсальных покрытий.

Отображения на фундаментальных группах даются следующим образом. За п, q > 2, это означает, что отображение π₁(Вращение(п, q)) → π₁(ТАК(п, q)) дан кем-то 1 ∈ Z₂ собирается (1, 1) ∈ Z₂ × Z₂. За п = 2, q > 2, эта карта задается 1 ∈ Z → (1,1) ∈ Z × Z₂. И наконец, для п = q = 2, (1, 0) ∈ Z × Z отправляется (1,1) ∈ Z × Z и (0, 1) отправляется (1, −1).

Центр

Центр спиновых групп, при п ≥ 3, (комплексные и действительные) задаются следующим образом:^[4]:208

${ displaystyle { begin {align} operatorname {Z} ( operatorname {Spin} (n, mathbf {C})) & = { begin {cases} mathrm {Z} _ {2} & n = 2k +1 mathrm {Z} _ {4} & n = 4k + 2 mathrm {Z} _ {2} oplus mathrm {Z} _ {2} & n = 4k end {case} } operatorname {Z} ( operatorname {Spin} (p, q)) & = { begin {cases} mathrm {Z} _ {2} & p { text {или}} q { text { odd}} mathrm {Z} _ {4} & n = 4k + 2, { text {and}} p, q { text {even}} mathrm {Z} _ {2} oplus mathrm {Z} _ {2} & n = 4k, { text {and}} p, q { text {even}} end {case}} end {align}}}$

Факторные группы

Факторные группы может быть получена из спиновой группы путем факторизации по подгруппе центра, при этом спиновая группа тогда будет группа покрытия полученного фактора, и обе группы имеют одну и ту же алгебру Ли.

Факторизация по всему центру дает минимальную такую ​​группу, проективная специальная ортогональная группа, который бесцентровый, в то время как факторизация по {± 1} дает специальную ортогональную группу - если центр равен {± 1} (а именно в нечетной размерности), эти две фактор-группы согласуются. Если спиновая группа односвязна (как Spin (п) это для п > 2), то Spin - это максимальный группа в последовательности, и одна имеет последовательность из трех групп,

Вращение(п) → SO (п) → PSO (п),

разделение по четности дает:

Отжим (2п) → SO (2п) → PSO (2п),

Отжим (2п+1) → SO (2п+1) = PSO (2п+1),

какие три компактные реальные формы (или два, если SO = PSO) из компактная алгебра Ли ${ displaystyle { mathfrak {so}} (п, mathbf {R}).}$

В гомотопические группы покрытия и частного связаны соотношением длинная точная последовательность расслоения, с дискретным слоем (этот слой является ядром) - таким образом, все гомотопические группы для k > 1 равны, но π₀ и π₁ может отличаться.

За п > 2, Вращение(п) является односвязный (π₀ = π₁ = Z₁ тривиально), поэтому SO (п) связно и имеет фундаментальную группу Z₂ а PSO (п) связна и имеет фундаментальную группу, равную центру Spin (п).

В неопределенной сигнатуре покрытия и гомотопические группы более сложные - Spin (п, q) не является односвязным, и факторное соотношение также влияет на компоненты связности. Анализ будет проще, если рассмотреть максимальный (связный) компакт ТАК(п) × SO (q) ⊂ SO (п, q) и группа компонентов из Вращение(п, q).

Башня Уайтхед

Группа вращения появляется в Башня Уайтхед закрепленный ортогональная группа:

${ displaystyle ldots rightarrow { text {Fivebrane}} (n) rightarrow { text {String}} (n) rightarrow { text {Spin}} (n) rightarrow { text {SO}} (n) rightarrow { text {O}} (n)}$

Башня получается путем последовательного удаления (уничтожения) гомотопических групп возрастающего порядка. Это делается путем построения короткие точные последовательности начиная с Пространство Эйленберга – Маклейна для удаления гомотопической группы. Убивая π₃ гомотопическая группа в Spin (п), получаем бесконечномерную группа строк Нить(п).

Дискретные подгруппы

Дискретные подгруппы спиновой группы можно понять, связав их с дискретными подгруппами специальной ортогональной группы (вращательной точечные группы ).

Учитывая двойное покрытие Вращение(п) → SO (п), посредством решеточная теорема, Существует Связь Галуа между подгруппами Spin (п) и подгруппы SO (п) (группы точек вращения): образ подгруппы Spin (п) - точечная группа вращения, а прообраз точечной группы - это подгруппа Spin (п), а оператор закрытия на подгруппах Spin (п) - это умножение на {± 1}. Их можно назвать «бинарными точечными группами»; наиболее известен трехмерный случай, известный как бинарные полиэдральные группы.

Конкретно, каждая двоичная точечная группа является либо прообразом точечной группы (отсюда обозначается 2грамм, для точечной группы грамм), или является подгруппой индекса 2 прообраза точечной группы, которая отображается (изоморфно) на точечную группу; в последнем случае полная бинарная группа абстрактно ${ displaystyle mathrm {C} _ {2} times G}$ (поскольку {± 1} центральный). В качестве примера последних, дана циклическая группа нечетного порядка ${ displaystyle mathrm {Z} _ {2k + 1}}$ в SO (п), ее прообраз - циклическая группа удвоенного порядка, ${ Displaystyle mathrm {C} _ {4k + 2} cong mathrm {Z} _ {2k + 1} times mathrm {Z} _ {2},}$ и подгруппа Z_2k+1 <Спин (п) изоморфно отображается в Z_2k+1 п).

Особо следует отметить две серии:

• выше бинарные тетраэдрические группы, соответствующее 2-кратному покрытию симметрий п-симплекс; эту группу также можно рассматривать как двойное покрытие симметричной группы, 2⋅A_п → А_п, где альтернирующая группа является (вращательной) группой симметрии п-симплекс.
• выше бинарные октаэдрические группы, соответствующие 2-кратным покрытиям гипероктаэдрическая группа (симметрии гиперкуб, или, что эквивалентно двойственному, кросс-многогранник ).

Для точечных групп с обратной ориентацией ситуация более сложная, так как есть два группы контактов, поэтому есть две возможные бинарные группы, соответствующие данной точечной группе.

Смотрите также

Связанные группы

• Группа контактов Штырь(п) - двустворчатая крышка ортогональная группа, O (п)
• Метаплектическая группа Мп (2п) - двустворчатая крышка симплектическая группа, Sp (2п)
• Группа строк String (n) - следующая группа в башне Уайтхеда

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Каруби, Макс (2008). K-теория. Springer. С. 210–214. ISBN  978-3-540-79889-7.