Группа покрытия - Covering group

В математика, а группа покрытия из топологическая группа ЧАС это покрывающее пространство грамм из ЧАС такой, что грамм - топологическая группа и накрывающее отображение п : грамм → ЧАС это непрерывный групповой гомоморфизм. Карта п называется покрывающий гомоморфизм. Часто встречающийся случай - это группа двойного покрытия, а топологическая двойная крышка в котором ЧАС имеет индекс 2 в ГРАММ; примеры включают Спиновые группы, Группы контактов, и метаплектические группы.

Примерно объяснил, говоря, что например метаплектическая группа Mp_2п это двойная крышка из симплектическая группа Sp_2п означает, что в метаплектической группе всегда есть два элемента, представляющих один элемент в симплектической группе.

Характеристики

Позволять грамм быть покрывающей группой ЧАС. В ядро K покрывающего гомоморфизма - это просто слой над единицей в ЧАС и является дискретный нормальная подгруппа из грамм. Ядро K является закрыто в грамм если и только если грамм является Хаусдорф (и тогда и только тогда, когда ЧАС Хаусдорф). В обратном направлении, если грамм любая топологическая группа и K дискретная нормальная подгруппа группы грамм тогда фактор-карта п : грамм → грамм/K накрывающий гомоморфизм.

Если грамм является связаны тогда K, будучи дискретной нормальной подгруппой, обязательно лежит в центр из грамм и поэтому абелевский. В этом случае центр ЧАС = грамм/K дан кем-то

{ Displaystyle Z (H) cong Z (G) / K.}

Как и все покрытия, фундаментальная группа из грамм вводит в фундаментальную группу ЧАС. Поскольку фундаментальная группа топологической группы всегда абелева, каждая накрывающая группа является нормальным накрывающим пространством. В частности, если грамм является соединенный путём затем факторгруппа ${ displaystyle pi _ {1} (H) / pi _ {1} (G)}$ изоморфен K. Группа K действует просто транзитивно на волокнах (которые только что оставлены смежные классы ) умножением справа. Группа грамм тогда главный K-пучок над ЧАС.

Если грамм покрывающая группа ЧАС затем группы грамм и ЧАС находятся локально изоморфный. Более того, для любых двух связных локально изоморфных групп ЧАС₁ и ЧАС₂, существует топологическая группа грамм с дискретными нормальными подгруппами K₁ и K₂ такой, что ЧАС₁ изоморфен грамм/K₁ и ЧАС₂ изоморфен грамм/K₂.

Структура группы на покрытии

Позволять ЧАС - топологическая группа и пусть грамм быть покрытием ЧАС. Если грамм и ЧАС оба соединенный путём и локально соединенный путём, то при любом выборе элемента е* в волокне над е ∈ ЧАС, существует единственная структура топологической группы на грамм, с е* как тождество, для которого карта покрытия п : грамм → ЧАС является гомоморфизмом.

Конструкция следующая. Позволять а и б быть элементами грамм и разреши ж и грамм быть пути в грамм начинается с е* и оканчивается на а и б соответственно. Определить путь час : я → ЧАС к час(т) = п(ж(т))п(грамм(т)). По свойству подъема путей покрывающих пространств существует единственный подъем час к грамм с начальной точкой е*. Продукт ab определяется как конечная точка этого пути. По построению имеем п(ab) = п(а)п(б). Необходимо показать, что это определение не зависит от выбора путей. ж и грамм, а также непрерывность групповых операций.

В качестве альтернативы групповой закон о грамм можно построить, сняв групповой закон ЧАС × ЧАС → ЧАС к грамм, используя подъемное свойство покрывающей карты грамм × грамм → ЧАС × ЧАС.

Несвязный случай интересен и изучается в цитируемых ниже работах Тейлора и Брауна-Мукука. По сути, существует препятствие для существования универсального покрытия, которое также является топологической группой, такое что накрывающее отображение является морфизмом: это препятствие лежит в третьей группе когомологий группы компонент грамм с коэффициентами в фундаментальной группе грамм при личности.

Универсальная группа покрытия

Если ЧАС является линейно связным, локально линейно связным и полулокально односвязный группа, то у него есть универсальный чехол. По предыдущей конструкции универсальное покрытие можно превратить в топологическую группу с отображением покрытия как непрерывным гомоморфизмом. Эта группа называется универсальная группа покрытий из ЧАС. Существует также более прямая конструкция, которую мы приводим ниже.

Позволять PH быть группа путей из ЧАС. То есть, PH это пространство пути в ЧАС на основе идентичности вместе с компактно-открытая топология. Произведение путей определяется поточечным умножением, т. Е. (фг)(т) = ж(т)грамм(т). Это дает PH структура топологической группы. Существует естественный групповой гомоморфизм PH → ЧАС который отправляет каждый путь к своей конечной точке. Универсальный чехол из ЧАС дается как частное от PH нормальной подгруппой группы нуль-гомотопный петли. Проекция PH → ЧАС опускается до частного, дающего карту покрытия. Можно показать, что универсальная крышка односвязный а ядро - это просто фундаментальная группа из ЧАС. То есть у нас есть короткая точная последовательность

{ displaystyle 1 to pi _ {1} (H) to { tilde {H}} to H to 1}

куда ${ displaystyle { tilde {H}}}$ это универсальная обложка ЧАС. Конкретно универсальная накрывающая группа ЧАС - пространство гомотопических классов путей в ЧАС с поточечным умножением путей. Покрывающая карта отправляет каждый класс пути в его конечную точку.

Решетка накрывающих групп

Как следует из вышесказанного, если группа имеет универсальную накрывающую группу (если она линейно связна, локально линейно связна и полулокально односвязна) с дискретным центром, то множество всех топологических групп, покрываемых универсальной накрывающей группы образуют решетку, соответствующую решетке подгрупп центра универсальной накрывающей группы: включение подгрупп соответствует накрытию факторгрупп. Максимальный элемент - универсальная накрывающая группа ${ displaystyle { tilde {H}},}$ а минимальным элементом является универсальная накрывающая группа по модулю ее центра ${ displaystyle { tilde {H}} / Z ({ tilde {H}})}$ .

Это алгебраически соответствует универсальное идеальное центральное расширение (называемая по аналогии «покрывающей группой») как максимальный элемент, а группа модифицирует свой центр как минимальный элемент.

Это особенно важно для групп Ли, так как все эти группы являются (связными) реализациями определенной алгебры Ли. Для многих групп Ли центр - это группа скалярных матриц, и, следовательно, группа, модифицирующая ее центр, является проективизацией группы Ли. Эти обложки важны при изучении проективные представления групп Ли и спиновые представления привести к открытию спиновые группы: проективное представление группы Ли не обязательно должно происходить из линейного представления группы, но действительно происходит из линейного представления некоторой накрывающей группы, в частности универсальной накрывающей группы. Конечный аналог привел к покрывающей группе или покрытию Шура, как обсуждалось выше.

Ключевой пример возникает из SL₂(р), имеющий центр {± 1} и фундаментальную группу Z. Это двойное покрытие бесцентрового проективная специальная линейная группа PSL₂(р), который получается делением по центру. К Разложение Ивасавы, обе группы представляют собой круговые расслоения над комплексной верхней полуплоскостью, а их универсальное покрытие ${ Displaystyle { mathrm {S} { widetilde { mathrm {L} _ {2} (}} mathbf {R})}}$ - вещественное линейное расслоение над полуплоскостью, образующее одно из Восемь геометрий Терстона. Поскольку полуплоскость стягиваема, все структуры расслоения тривиальны. Прообраз SL₂(Z) в универсальной оболочке изоморфна группа кос на трех прядях.

Группы Ли

Все приведенные выше определения и конструкции применимы к частному случаю Группы Ли. В частности, каждое покрытие многообразие является многообразием, и накрывающий гомоморфизм становится гладкая карта. Аналогично, для любой дискретной нормальной подгруппы группы Ли фактор-группа является группой Ли, а фактор-отображение - покрывающим гомоморфизмом.

Две группы Ли локально изоморфны тогда и только тогда, когда их Алгебры Ли изоморфны. Отсюда следует, что гомоморфизм φ: грамм → ЧАС групп Ли является накрывающим гомоморфизмом тогда и только тогда, когда индуцированное отображение на алгебрах Ли

{ displaystyle phi _ {*}: { mathfrak {g}} to { mathfrak {h}}}

является изоморфизмом.

Поскольку для любой алгебры Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ существует единственная односвязная группа Ли грамм с алгеброй Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ , отсюда следует, что универсальная накрывающая группа связной группы Ли ЧАС является (единственной) односвязной группой Ли грамм имеющий ту же алгебру Ли, что и ЧАС.

Примеры

Универсальная накрывающая группа круговая группа Т аддитивная группа действительные числа р с покрывающим гомоморфизмом, заданным экспоненциальная функция опыт: р → Т. Ядро экспоненциального отображения изоморфно Z.
Для любого целого числа п у нас есть группа покрытия круга сама по себе Т → Т который отправляет z к z^п. Ядром этого гомоморфизма является циклическая группа состоящий из пth корни единства.
Группа вращения ТАК (3) имеет в качестве универсального покрытия группа SU (2) которая изоморфна группе версоры в кватернионах. Это двойное покрытие, поскольку ядро имеет порядок 2. (см. танглоиды.)
В унитарная группа U (п) покрывается компактной группой Т × SU (п) с покрывающим гомоморфизмом, заданным формулой п(z, А) = zA. Универсальный чехол р × SU (п).
В специальная ортогональная группа ТАК(п) имеет двойную крышку, называемую вращательная группа Вращение(п). За п ≥ 3, спиновая группа является универсальным покрытием SO (п).
За п ≥ 2 универсальная крышка специальная линейная группа SL (п, р) является нет а матричная группа (т.е. не имеет точных конечномерных представления ).