Унитарная группа - Unitary group

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу-)прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро образ прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа Sп Кляйн четыре группы V Группа диэдра Dп Группа Quaternion Q Дициклическая группа Dicп
Дискретные группы Решетки Целые числа (Z) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2,Z) SL (2,Z) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологический и Группы Ли Соленоид Круг Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Евклидово E (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п) г2 F4 E6 E7 E8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая

Группы Ли
Классические группы Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п)
Простые группы Ли Список простых групп Ли Классический Ап Bп Cп Dп Исключительный г2 F4 E6 E7 E8
Другие группы Ли Круг Лоренц Пуанкаре Конформная группа Диффеоморфизм Петля Евклидово
Алгебры Ли Соответствие группы Ли и алгебры Ли Экспоненциальная карта Присоединенное представительство Форма убийства Показатель Симметрия точки Ли Простая алгебра Ли
Полупростая алгебра Ли Диаграммы Дынкина Подалгебра Картана Корневая система Группа Вейля Реальная форма Комплексификация Расщепленная алгебра Ли Компактная алгебра Ли
Теория представлений Представление группы Ли Представление алгебры Ли Теория представлений полупростых алгебр Ли Теорема старшего веса Теорема Бореля – Вейля – Ботта.
Группы Ли в физика Физика элементарных частиц и теория представлений Представления группы Лоренца Представления группы Пуанкаре Представления галилеевой группы
Ученые Софус Ли Анри Пуанкаре Вильгельм Киллинг Эли Картан Герман Вейль Клод Шевалле Хариш-Чандра Арман Борель
Глоссарий Таблица групп Ли

В математика, то унитарная группа степени п, обозначим U (п), это группа из п × п унитарные матрицы, с групповой операцией матричное умножение. Унитарная группа - это подгруппа из общая линейная группа GL (п, C). Гиперортогональная группа это архаичное название унитарной группы, особенно над конечными полями. Относительно группы унитарных матриц с определителем 1 см. Специальная унитарная группа.

В простом случае п = 1группа U (1) соответствует круговая группа, состоящий из всех сложные числа с абсолютная величина 1 при умножении. Все унитарные группы содержат копии этой группы.

Унитарная группа U (п) настоящий Группа Ли измерения п². В Алгебра Ли из U (п) состоит из п × п косоэрмитовы матрицы, с Кронштейн лжи предоставленный коммутатор.

В общая унитарная группа (также называемый группа унитарных подобий) состоит из всех матриц А такой, что А^∗А ненулевое кратное единичная матрица, и является просто произведением унитарной группы с группой всех положительных кратных единичной матрицы.

Характеристики

Поскольку детерминант унитарной матрицы - комплексное число с нормой 1, определитель дает групповой гомоморфизм

${ displaystyle det двоеточие OperatorName {U} (n) to operatorname {U} (1).}$

В ядро этого гомоморфизма есть множество унитарных матриц с определителем 1. Эта подгруппа называется особая унитарная группа, обозначенный SU (п). Тогда у нас есть короткая точная последовательность групп Ли:

${ displaystyle 1 to operatorname {SU} (n) to operatorname {U} (n) to operatorname {U} (1) to 1.}$

Приведенная выше карта ООН) к U (1) есть раздел: мы можем просмотреть U (1) как подгруппа U (п) которые диагонали с е^iθ в верхнем левом углу и 1 по остальной диагонали. Следовательно ООН) является полупрямым продуктом U (1) с Солнце).

Унитарная группа U (п) не является абелевский за п > 1. В центр из U (п) набор скалярных матриц λI с λ ∈ U (1); это следует из Лемма Шура. Тогда центр изоморфен U (1). Поскольку центр U (п) это 1-мерный абелев нормальная подгруппа из U (п), унитарная группа не полупростой, но это редуктивный.

Топология

Унитарная группа U (п) наделен относительная топология как подмножество М (п, C), набор всех п × п комплексных матриц, которая сама гомеоморфна 2п²-размерный Евклидово пространство.

Как топологическое пространство U (п) оба компактный и связаны. Чтобы показать, что U (п) связно, напомним, что любая унитарная матрица А возможно диагонализованный другой унитарной матрицей S. Любая диагональная унитарная матрица должна иметь комплексные числа по модулю 1 на главной диагонали. Поэтому мы можем написать

${ displaystyle A = S , operatorname {diag} left (e ^ {i theta _ {1}}, dots, e ^ {i theta _ {n}} right) , S ^ { -1}.}$

А дорожка в U (п) от тождества к А тогда дается

${ displaystyle t mapsto S , operatorname {diag} left (e ^ {it theta _ {1}}, dots, e ^ {it theta _ {n}} right) , S ^ {-1}.}$

Унитарная группа не односвязный; фундаментальная группа U (п) бесконечно циклично для всех п:^[1]

${ displaystyle pi _ {1} ( operatorname {U} (n)) cong mathbf {Z}.}$

Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что приведенное выше расщепление U (п) как полупрямое произведение SU (п) и U (1) индуцирует структуру топологического произведения на U (п), так что

${ displaystyle pi _ {1} ( operatorname {U} (n)) cong pi _ {1} ( operatorname {SU} (n)) times pi _ {1} ( operatorname {U } (1)).}$

Теперь первая унитарная группа U (1) топологически круг, который, как известно, имеет фундаментальная группа изоморфен Z, в то время как ${ Displaystyle mathrm {SU} (п)}$ просто связано.^[2]

Детерминантная карта det: U (п) → U (1) индуцирует изоморфизм фундаментальных групп с расщеплением U (1) → U (п) побуждая обратное.

В Группа Вейля из U (п) это симметричная группа S_п, действуя на диагональный тор, переставляя элементы:

${ displaystyle operatorname {diag} left (e ^ {i theta _ {1}}, dots, e ^ {i theta _ {n}} right) mapsto operatorname {diag} left ( e ^ {я theta _ { sigma (1)}}, dots, e ^ {i theta _ { sigma (n)}} right)}$

Связанные группы

2-из-3 собственности

Унитарная группа - это 3-кратное пересечение ортогональный, сложный, и симплектический группы:

${ displaystyle operatorname {U} (n) = operatorname {O} (2n) cap operatorname {GL} (n, mathbf {C}) cap operatorname {Sp} (2n, mathbf {R }).}$

Таким образом, унитарную структуру можно рассматривать как ортогональную структуру, сложную структуру и симплектическую структуру, которые должны быть совместимый (это означает, что один и тот же J в комплексной структуре и симплектической форме, и что это J ортогонален; запись всех групп в виде матричных групп устраняет J (который ортогонален) и обеспечивает совместимость).

Фактически, это пересечение любых два из этих трех; таким образом, совместимая ортогональная и комплексная структура порождает симплектическую структуру и так далее.^[3][4]

На уровне уравнений это можно увидеть следующим образом:

${ displaystyle { begin {array} {r | r} { text {Symplectic}} & A ^ { mathsf {T}} JA = J hline { text {Complex}} & A ^ {- 1} JA = J hline { text {Orthogonal}} & A ^ { mathsf {T}} = A ^ {- 1} end {array}}}$

Из любых двух из этих уравнений следует третье.

На уровне форм это можно увидеть, разложив эрмитову форму на ее действительную и мнимую части: действительная часть симметрична (ортогональна), а мнимая часть кососимметрична (симплектическая) - и они связаны комплексным структура (которая является совместимостью). На почти кэлерово многообразие, это разложение можно записать как час = грамм + iω, где час - эрмитова форма, грамм это Риманова метрика, я это почти сложная структура, и ω это почти симплектическая структура.

С точки зрения Группы Ли, отчасти это можно объяснить следующим образом: O (2п) это максимальная компактная подгруппа из GL (2п, р), и ты(п) - максимальная компактная подгруппа обеих GL (п, C) и Sp (2п). Таким образом, пересечение O (2п) ∩ GL (п, C) или O (2п) ∩ Sp (2п) является максимальной компактной подгруппой в обоих из них, поэтому U (п). С этой точки зрения неожиданным является пересечение GL (п, C) ∩ Sp (2п) = U (п).

Специальные унитарные и проективные унитарные группы

Так же, как ортогональная группа O (п) имеет специальная ортогональная группа ТАК(п) как подгруппа и проективная ортогональная группа PO (п) как частное, а проективная специальная ортогональная группа PSO (п) так как подчастный, унитарная группа U (п) связал с ним особая унитарная группа SU (п), проективная унитарная группа ПУ (п), а проективная специальная унитарная группа БП (п). Они связаны как коммутативной диаграммой справа; примечательно, что обе проективные группы равны: БП (п) = PU (п).

Сказанное выше относится к классической унитарной группе (по комплексным числам) - для унитарные группы над конечными полями, аналогично получают специальные унитарные и проективные унитарные группы, но в общем случае ${ displaystyle operatorname {PSU} left (n, q ^ {2} right) neq operatorname {PU} left (n, q ^ {2} right)}$.

G-структура: почти эрмитова

На языке G-структуры, многообразие с U (п) -структура является почти эрмитово многообразие.

Обобщения

С точки зрения Теория лжи, классическая унитарная группа является действительной формой Группа Steinberg ${ Displaystyle {} ^ {2} ! A_ {п}}$, что является алгебраическая группа что возникает из-за комбинации диаграммный автоморфизм общей линейной группы (обращая Диаграмма Дынкина А_п, что соответствует транспонированной инверсии) и полевой автоморфизм расширения C/р (а именно комплексное сопряжение ). Оба эти автоморфизма являются автоморфизмами алгебраической группы, имеют порядок 2 и коммутируют, а унитарная группа является неподвижными точками автоморфизма произведения как алгебраическая группа. Классическая унитарная группа - это действительная форма этой группы, соответствующая стандартной Эрмитова форма Ψ, что положительно определено.

Это можно обобщить по-разному:

• обобщение на другие эрмитовы формы дает неопределенные унитарные группы U (п, q);
• расширение поля может быть заменено любой сепарабельной алгеброй степени 2, в первую очередь расширением степени 2 конечного поля;
• обобщение на другие диаграммы дает другие группы лиева типа, а именно другой Группы Штейнберга ${ displaystyle {} ^ {2} ! D_ {n}, {} ^ {2} ! E_ {6}, {} ^ {3} ! D_ {4},}$ (в добавление к ${ Displaystyle {} ^ {2} ! A_ {п}}$) и Группы Suzuki-Ree

  ${ displaystyle {} ^ {2} ! B_ {2} left (2 ^ {2n + 1} right), {} ^ {2} ! F_ {4} left (2 ^ {2n + 1 } right), {} ^ {2} ! G_ {2} left (3 ^ {2n + 1} right);}$

• рассматривая обобщенную унитарную группу как алгебраическую группу, можно брать ее точки над различными алгебрами.

Неопределенные формы

Аналогично неопределенные ортогональные группы, можно определить неопределенная унитарная группа, рассматривая преобразования, которые сохраняют данную эрмитову форму, не обязательно положительно определенную (но обычно предполагаемую невырожденной). Здесь мы работаем с векторным пространством над комплексными числами.

Для эрмитовой формы на комплексном векторном пространстве V, унитарная группа U (Ψ) - это группа преобразований, сохраняющих форму: преобразование M такой, что Ψ (Мв, Mw) = Ψ (v, ш) для всех v, ш ∈ V. В терминах матриц, представляющих форму матрицей, обозначенной Φ, это означает, что M^∗ΦM = Φ.

Как и для симметричные формы над реалами эрмитовы формы определяются подпись, и все унитарно конгруэнтный к диагональной форме с п записи 1 по диагонали и q записи -1. Невырожденное предположение эквивалентно п + q = п. В стандартном базисе это представлено в виде квадратичной формы:

${ Displaystyle lVert z rVert _ { Psi} ^ {2} = lVert z_ {1} rVert ^ {2} + dots + lVert z_ {p} rVert ^ {2} - lVert z_ {p + 1} rVert ^ {2} - dots - lVert z_ {n} rVert ^ {2}}$

и как симметричная форма как:

${ displaystyle Psi (w, z) = { bar {w}} _ {1} z_ {1} + cdots + { bar {w}} _ {p} z_ {p} - { bar { w}} _ {p + 1} z_ {p + 1} - cdots - { bar {w}} _ {n} z_ {n}.}$

Полученная группа обозначается U (п,q).

Рассмотрим U (1,1): матрицы ${ displaystyle { begin {pmatrix} u & v v ^ {*} & u ^ {*} end {pmatrix}}}$ такой, что ${ displaystyle uu ^ {*} - vv ^ {*} neq 0}$ образуют группу при матричном умножении. В этом случае сопряженное транспонирование не образует инверсию такой матрицы, поэтому группа является псевдоунитарная группа.

Эти матрицы возникают в представлениях группа единиц двух важных кольца: the композиционная алгебра из расщепленные кватернионы и кольцо матриц 2 × 2 над действительными числами, M (2, R). Симметрии псевдоунитарных матриц применялись в физической науке, в частности в специальной унитарной группе СУ (1, 1) где ${ displaystyle uu ^ {*} - vv ^ {*} = 1.}$^[5]

Конечные поля

Над конечное поле с q = п^р элементы F_q, существует единственное поле квадратичного расширения, F_q², с автоморфизмом порядка 2 ${ Displaystyle альфа двоеточие х mapsto x ^ {q}}$ (в ря сила Автоморфизм Фробениуса ). Это позволяет определить эрмитову форму на F_q² векторное пространство V, как F_q-билинейная карта ${ Displaystyle Psi двоеточие V раз от V до K}$ такой, что ${ Displaystyle пси (вес, v) = альфа влево ( пси (v, ш) вправо)}$ и ${ Displaystyle пси (ш, cv) = с пси (ш, v)}$ за c ∈ F_q².^{[требуется разъяснение ]} Далее, все невырожденные эрмитовы формы в векторном пространстве над конечным полем унитарно конгруэнтны стандартной, представленной единичной матрицей; то есть любая эрмитова форма унитарно эквивалентна

${ Displaystyle пси (вес, v) = вес ^ { альфа} cdot v = сумма _ {я = 1} ^ {n} w_ {i} ^ {q} v_ {i}}$

где ${ displaystyle w_ {i}, v_ {i}}$ представляют координаты ш, v ∈ V в частности F_q²-основа п-мерное пространство V (Роща 2002, Thm. 10.3).

Таким образом, можно определить (уникальную) унитарную группу размерности п для расширения F_q²/F_q, обозначается либо как U (п, q) или U (п, q²) в зависимости от автора. Подгруппа унитарной группы, состоящая из матриц детерминанта 1, называется особая унитарная группа и обозначен SU (п, q) или SU (п, q²). Для удобства в этой статье мы будем использовать U (п, q²) конвенция. Центр U (п, q²) есть заказ q + 1 и состоит из скалярных матриц, которые унитарны, то есть тех матриц cI_V с ${ displaystyle c ^ {q + 1} = 1}$. В центре особой унитарной группы есть порядок. gcd (п, q + 1) и состоит из тех унитарных скаляров, которые также имеют порядок деления п. Фактор унитарной группы по ее центру называется проективная унитарная группа, ПУ (п, q²), а фактор специальной унитарной группы по ее центру равен проективная специальная унитарная группа БП (п, q²). В большинстве случаев (п > 1 и (п, q²) ∉ {(2, 2²), (2, 3²), (3, 2²)}), SU (п, q²) это идеальная группа и БП (п, q²) конечный простая группа, (Роща 2002, Thm. 11.22 и 11.26).

Отделимые алгебры степени 2

В более общем смысле, учитывая поле k и степень 2 разделимые k-алгебра K (которое может быть расширением поля, но не обязательно), можно определить унитарные группы относительно этого расширения.

Во-первых, это уникальный k-автоморфизм K ${ Displaystyle а mapsto { бар {а}}}$ которая является инволюцией и точно фиксирует k (${ Displaystyle а = { бар {а}}}$ если и только если а ∈ k).^[6] Это обобщает комплексное сопряжение и сопряжение расширений конечных полей степени 2 и позволяет определять эрмитовы формы и унитарные группы, как указано выше.

Алгебраические группы

Уравнения, определяющие унитарную группу, являются полиномиальными уравнениями над k (но не закончился K): для стандартной формы Φ = я, уравнения представлены в матрицах как А^∗А = я, где ${ displaystyle A ^ {*} = { bar {A}} ^ { mathsf {T}}}$ это сопряженный транспонировать. В другой форме они А^∗ΦА = Φ. Таким образом, унитарная группа является алгебраическая группа, чьи точки над k-алгебра р даны:

${ displaystyle operatorname {U} (n, K / k, Phi) (R): = left {A in operatorname {GL} (n, K otimes _ {k} R): A ^ {*} Phi A = Phi right }.}$

Для расширения поля C/р и стандартная (положительно определенная) эрмитова форма, они дают алгебраическую группу с вещественными и комплексными точками, заданными следующим образом:

${ displaystyle { begin {align} operatorname {U} (n, mathbf {C} / mathbf {R}) ( mathbf {R}) & = operatorname {U} (n) Operatorname {U} (n, mathbf {C} / mathbf {R}) ( mathbf {C}) & = operatorname {GL} (n, mathbf {C}). End {align}}}$

Фактически унитарная группа - это линейная алгебраическая группа.

Унитарная группа квадратичного модуля

Унитарная группа квадратичного модуля является обобщением только что определенной линейной алгебраической группы U, которое включает в качестве частных случаев множество различных классические алгебраические группы. Определение восходит к тезису Энтони Бака.^[7]

Чтобы определить его, сначала нужно определить квадратичные модули:

Позволять р кольцо с антиавтоморфизмом J, ${ Displaystyle varepsilon в R ^ { times}}$ такой, что ${ Displaystyle г ^ {J ^ {2}} = varepsilon r varepsilon ^ {- 1}}$ для всех р в р и ${ Displaystyle varepsilon ^ {J} = varepsilon ^ {- 1}}$. Определить

${ displaystyle { begin {align} Lambda _ { text {min}} &: = left {r in R : rr ^ {J} varepsilon right }, Lambda _ { text {max}} &: = left {r in R : r ^ {J} varepsilon = -r right }. end {align}}}$

Позволять Λ ⊆ р аддитивная подгруппа в р, то Λ называется параметр формы если ${ displaystyle Lambda _ { text {min}} substeq Lambda substeq Lambda _ { text {max}}}$ и ${ displaystyle r ^ {J} Lambda r substeq Lambda}$. Пара (р, Λ) такой, что р является кольцом, а параметр формы называется параметром формы. сформировать кольцо.

Позволять M быть р-модуль и ж а J-есквилинейная форма на M (т.е. ${ Displaystyle f (xr, ys) = r ^ {J} f (x, y) s}$ для любого ${ displaystyle x, y in M}$ и ${ displaystyle r, s in R}$). Определить ${ Displaystyle ч (х, у): = е (х, у) + е (у, х) ^ {J} varepsilon in R}$ и ${ Displaystyle д (х): = е (х, х) in R / Lambda}$, тогда ж говорят определить то Λ-квадратичная форма (час, q) на M. А квадратичный модуль над (р, Λ) это тройка (M, час, q) такой, что M является р-модуль и (час, q) является Λ-квадратичной формой.

К любому квадратичному модулю (M, час, q) определяется J-есквилинейная форма ж на M над кольцом формы (р, Λ) можно связать унитарная группа

${ Displaystyle U (M): = { sigma in GL (M) : forall x, y in M, h ( sigma x, sigma y) = h (x, y) { текст {и}} q ( sigma x) = q (x) }.}$

Частный случай, когда Λ = Λ_{Максимум}, с участием J любая нетривиальная инволюция (т. е. ${ Displaystyle J neq id_ {R}, J ^ {2} = id_ {R}}$ и ε = −1 возвращает «классическую» унитарную группу (как алгебраическую).

Полиномиальные инварианты

Унитарные группы - это автоморфизмы двух многочленов от вещественных некоммутативных переменных:

${ displaystyle { begin {align} C_ {1} & = left (u ^ {2} + v ^ {2} right) + left (w ^ {2} + x ^ {2} right) + left (y ^ {2} + z ^ {2} right) + ldots C_ {2} & = left (uv-vu right) + left (wx-xw right) + left (yz-zy right) + ldots end {align}}}$

Легко увидеть, что это реальная и мнимая части сложной формы. ${ displaystyle Z { overline {Z}}}$. Два инварианта по отдельности являются инвариантами O (2п) и Sp (2п). Вместе они составляют инварианты U (п), которая является подгруппой обеих этих групп. В этих инвариантах переменные должны быть некоммутативными, иначе второй многочлен тождественно равен нулю.

Классификация пространства

В классификация пространства для тебя(п) описан в статье классифицирующее пространство для U (n).

Смотрите также

• Специальная унитарная группа
• Проективная унитарная группа
• Ортогональная группа
• Симплектическая группа

Примечания

использованная литература

• Гроув, Ларри С. (2002), Классические группы и геометрическая алгебра, Аспирантура по математике, 39, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-2019-3, Г-Н  1859189
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение, Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN  978-3319134666