Подалгебра Картана - Википедия - Cartan subalgebra

Было высказано предположение, что Подгруппа Картана быть слился в эту статью. (Обсуждать) Предлагается с января 2020 года.

Группы Ли
Классические группы Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п)
Простые группы Ли Список простых групп Ли Классический Ап Bп Cп Dп Исключительный грамм2 F4 E6 E7 E8
Другие группы Ли Круг Лоренц Пуанкаре Конформная группа Диффеоморфизм Петля Евклидово
Алгебры Ли Соответствие группы Ли и алгебры Ли Экспоненциальная карта Присоединенное представительство Форма убийства Индекс Симметрия точки Ли Простая алгебра Ли
Полупростая алгебра Ли Диаграммы Дынкина Подалгебра Картана Корневая система Группа Вейля Реальная форма Комплексификация Расщепленная алгебра Ли Компактная алгебра Ли
Теория представлений Представление группы Ли Представление алгебры Ли Теория представлений полупростых алгебр Ли Теорема старшего веса Теорема Бореля – Вейля – Ботта.
Группы Ли в физика Физика элементарных частиц и теория представлений Представления группы Лоренца Представления группы Пуанкаре Представления галилеевой группы
Ученые Софус Ли Анри Пуанкаре Вильгельм Киллинг Эли Картан Герман Вейль Клод Шевалле Хариш-Чандра Арман Борель
Глоссарий Таблица групп Ли

В математика, а Подалгебра Картана, часто сокращенно CSA, это нильпотентный подалгебра ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ из Алгебра Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ то есть саморегулирующийся (если ${ displaystyle [X, Y] in { mathfrak {h}}}$ для всех ${ displaystyle X in { mathfrak {h}}}$, тогда ${ displaystyle Y in { mathfrak {h}}}$). Их представил Эли Картан в его докторской диссертации. Он контролирует теория представлений полупростой алгебры Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ над полем характеристики ${ displaystyle 0}$.

В конечномерной полупростой алгебре Ли над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики (например, ${ displaystyle mathbb {C}}$) подалгебра Картана - это то же самое, что максимальная абелева подалгебра, состоящая из элементов Икс так что присоединенный эндоморфизм ${ displaystyle operatorname {ad} (x): { mathfrak {g}} to { mathfrak {g}}}$ является полупростой (т.е. диагонализуемый ). Иногда эту характеристику просто принимают как определение подалгебры Картана.^{[1]стр. 231}.

В общем, подалгебра называется торал если он состоит из полупростых элементов. Над алгебраически замкнутым полем торическая подалгебра автоматически абелева. Таким образом, над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики подалгебру Картана можно также определить как максимальную торическую подалгебру.

Алгебры Каца – Муди и обобщенные алгебры Каца – Муди также есть подалгебры, которые играют ту же роль для подалгебры Картана полупростой алгебры Ли (над полем нулевой характеристики).

Существование и уникальность

Картановские подалгебры существуют для конечномерных алгебр Ли всякий раз, когда база поле бесконечно. Один из способов построить подалгебру Картана - использовать регулярный элемент. Над конечным полем вопрос о существовании остается открытым.^{[нужна цитата ]}

Для конечномерной полупростой алгебры Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики существует более простой подход: по определению торальная подалгебра является подалгеброй ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ состоящий из полупростых элементов (элемент является полупростым, если присоединенный эндоморфизм вызванный этим диагонализуемый ). Подалгебра Картана в ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ тогда это то же самое, что максимальная торическая подалгебра, и существование максимальной торической подалгебры легко увидеть.

В конечномерной алгебре Ли над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики все подалгебры Картана сопряжены относительно автоморфизмы алгебры, и, в частности, все изоморфный. Общая размерность подалгебры Картана тогда называется классифицировать алгебры.

Для конечномерной комплексной полупростой алгебры Ли гораздо проще установить существование подалгебры Картана, если предположить существование компактной вещественной формы.^[2] В таком случае, ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ можно рассматривать как комплексификацию алгебры Ли максимальный тор компактной группы.

Если ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ это линейная алгебра Ли (подалгебра Ли алгебры Ли эндоморфизмов конечномерного векторного пространства V) над алгебраически замкнутым полем, то любая подалгебра Картана в ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ это централизатор максимального торальная подалгебра из ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$.^{[нужна цитата ]} Если ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ полупросто и поле имеет нулевую характеристику, то максимальная торная подалгебра является самонормализующейся и поэтому равна ассоциированной подалгебре Картана. Если вдобавок ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ полупросто, то присоединенное представительство представляет ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ как линейную алгебру Ли, так что подалгебра ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ Картанова тогда и только тогда, когда она является максимальной торической подалгеброй.

Примеры

• Любая нильпотентная алгебра Ли является собственной подалгеброй Картана.
• Подалгебра Картана в gl_п, алгебра Ли п×п матрицы над полем - алгебра всех диагональных матриц.^{[нужна цитата ]}
• Для специальной алгебры Ли бесследовых ${ Displaystyle п раз п}$ матрицы ${ Displaystyle { mathfrak {sl}} _ {п} ( mathbb {C})}$, она имеет подалгебру Картана

  ${ displaystyle { mathfrak {h}} = {d (a_ {1}, ldots, a_ {n}) | a_ {i} in mathbb {C} { text {и}} sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} = 0 }}$

  куда

  ${ displaystyle d (a_ {1}, ldots, a_ {n}) = { begin {pmatrix} a_ {1} & 0 & cdots & 0 0 & ddots && 0 vdots && ddots & vdots 0 & cdots & cdots & a_ {n} end {pmatrix}}}$

  Например, в ${ Displaystyle { mathfrak {sl}} _ {2} ( mathbb {C})}$ подалгебра Картана - это подалгебра матриц

  ${ displaystyle { mathfrak {h}} = left {{ begin {pmatrix} a & 0 0 & -a end {pmatrix}}: a in mathbb {C} right }}$

  со скобкой Ли, заданной коммутатором матриц.
• Алгебра Ли sl₂(р) матриц 2 на 2 следа 0 имеет две несопряженные подалгебры Картана.^{[нужна цитата ]}
• Размерность подалгебры Картана, вообще говоря, не является максимальной размерностью абелевой подалгебры, даже для сложных простых алгебр Ли. Например, алгебра Ли сл_2п(C) из 2п на 2п матрицы следа 0 имеют подалгебру Картана ранга 2п−1, но имеет максимальную абелеву подалгебру размерности п² состоящий из всех матриц вида ${ displaystyle {0 A choose 0 0}}$ с А любой п к п матрица. Непосредственно видно, что эта абелева подалгебра не является подалгеброй Картана, поскольку она содержится в нильпотентной алгебре строго верхнетреугольных матриц (или, поскольку она нормирована диагональными матрицами).

Картановские подалгебры полупростых алгебр Ли

Эта секция нуждается в расширении с: Действие Группа Вейля по алгебре, как в Изоморфизм Хариш-Чандры. Вы можете помочь добавляя к этому. (Февраль 2014)

Для конечномерных полупростая алгебра Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ над алгебраически замкнутое поле характеристики 0, подалгебра Картана ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ обладает следующими свойствами:

• ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ является абелевский,
• Для присоединенного представления ${ displaystyle operatorname {ad}: { mathfrak {g}} to { mathfrak {gl}} ({ mathfrak {g}})}$, изображение ${ displaystyle operatorname {ad} ({ mathfrak {h}})}$ состоит из полупростых операторов (т. е. диагонализуемых матриц).

(Как отмечалось ранее, подалгебра Картана фактически может быть охарактеризована как подалгебра, которая является максимальной среди тех, которые обладают двумя указанными выше свойствами.)

Эти два свойства говорят, что операторы в ${ displaystyle operatorname {ad} ({ mathfrak {h}})}$ одновременно диагонализуемы и что существует разложение в прямую сумму ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ в качестве

${ displaystyle { mathfrak {g}} = bigoplus _ { lambda in { mathfrak {h}} ^ {*}} { mathfrak {g}} _ { lambda}}$

куда

${ displaystyle { mathfrak {g}} _ { lambda} = {x in { mathfrak {g}}: { text {ad}} (h) x = lambda (h) x, { текст {for}} h in { mathfrak {h}} }}$.

Позволять ${ displaystyle Phi = { lambda in { mathfrak {h}} ^ {*} - 0 | { mathfrak {g}} _ { lambda} neq 0 }}$. потом ${ displaystyle Phi}$ это корневая система и более того, ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {0} = { mathfrak {h}}}$; т.е. централизатор ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ совпадает с ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$. Приведенное выше разложение может быть записано как:

${ displaystyle { mathfrak {g}} = { mathfrak {h}} oplus left ( bigoplus _ { lambda in Delta} { mathfrak {g}} _ { lambda} right)}$

Как оказалось, для каждого ${ displaystyle lambda in Phi}$, ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ { lambda}}$ имеет размер один и так:

${ displaystyle dim { mathfrak {g}} = dim { mathfrak {h}} + # Phi}$.

Смотрите также Полупростая алгебра Ли # Структура для дополнительной информации.

Разложение представлений с двойственной подалгеброй Картана

Для данной алгебры Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ над полем характеристики ${ displaystyle 0}$,^{[требуется разъяснение ]} и Представление алгебры Ли

${ displaystyle sigma: { mathfrak {g}} to { mathfrak {gl}} (V)}$

существует разложение, связанное с разложением алгебры Ли по ее подалгебре Картана. Если мы установим

${ Displaystyle V _ { lambda} = {v in V: ( sigma (h)) (v) = lambda (h) v { text {for}} h in { mathfrak {h}} }}$

с ${ displaystyle lambda in { mathfrak {h}}}$, называется весовое пространство для веса ${ displaystyle lambda}$, существует разложение представления по этим весовым пространствам

${ displaystyle V = bigoplus _ { lambda in { mathfrak {h}} ^ {*}} V _ { lambda}}$

Кроме того, когда ${ Displaystyle V _ { lambda} neq {0 }}$ мы называем ${ displaystyle lambda}$ а масса из ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$-представление ${ displaystyle V}$.

Классификация неприводимых представлений с использованием весов

Но оказывается, что эти веса можно использовать для классификации неприводимых представлений алгебры Ли. ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$. Для конечномерного неприводимого ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$-представление ${ displaystyle V}$, существует единственный вес ${ displaystyle lambda in Delta}$ относительно частичного упорядочения на ${ displaystyle { mathfrak {h}} ^ {*}}$. Более того, учитывая ${ displaystyle lambda in Delta}$ такой, что ${ displaystyle langle alpha, lambda rangle in mathbb {N}}$ для каждого положительного корня ${ displaystyle alpha in Delta ^ {+}}$, существует единственное неприводимое представление ${ Displaystyle L ^ {+} ( лямбда)}$. Это значит, что корневая система ${ displaystyle Delta}$ содержит всю информацию о теории представлений ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$^{[1]стр.240}.

Расщепление подалгебры Картана

Над неалгебраически замкнутыми полями не все подалгебры Картана сопряжены. Важным классом являются расщепление подалгебр Картана: если алгебра Ли допускает расщепляющую подалгебру Картана ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ тогда это называется разделенный и пара ${ displaystyle ({ mathfrak {g}}, { mathfrak {h}})}$ называется расщепленная алгебра Ли; над алгебраически замкнутым полем всякая полупростая алгебра Ли расщепима. Любые две расщепляющиеся алгебры Картана сопряжены, и они выполняют ту же функцию, что и алгебры Картана в полупростых алгебрах Ли над алгебраически замкнутыми полями, поэтому расщепленные полупростые алгебры Ли (действительно, расщепляемые редуктивные алгебры Ли) имеют много общих свойств с полупростыми алгебрами Ли над алгебраически замкнутыми полями. .

Однако над неалгебраически замкнутым полем не всякая полупростая алгебра Ли расщепима.

Смотрите также

• Подгруппа Картана
• Подгруппа Картера
• Формула характера Вейля
• Интегрируемое представление

Рекомендации

Примечания

• Алгебры Ли и их представления
• Бесконечномерные алгебры Ли

Ссылка

• Борель, Арман (1991), Линейные алгебраические группы, Тексты для выпускников по математике, 126 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-97370-8, МИСТЕР  1102012
• Джейкобсон, Натан (1979), Алгебры Ли, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN  978-0-486-63832-4, МИСТЕР  0559927
• Хамфрис, Джеймс Э. (1972), Введение в алгебры Ли и теорию представлений, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90053-7
• Попов, В. (2001) [1994], «Подалгебра Картана», Энциклопедия математики, EMS Press