Соответствие группы Ли и алгебры Ли - Lie group–Lie algebra correspondence

В математике Соответствие группы Ли и алгебры Ли позволяет учиться Группы Ли, которые являются геометрическими объектами, с точки зрения Алгебры Ли, которые являются линейными объектами. В этой статье группа Ли относится к реальной группе Ли. Для комплекса и п-адические случаи, см. комплексная группа Ли и п-адическая группа Ли.

В этой статье предполагается, что многообразия (в частности, группы Ли) второй счетный; в частности, они имеют не более чем счетное число компонент связности.

Основы

Алгебра Ли группы Ли

Есть разные способы понять конструкцию Алгебра Ли группы Ли грамм. Один из подходов использует левоинвариантные векторные поля. А векторное поле Икс на грамм называется инвариантным относительно левых переводов, если для любого грамм, час в грамм,

${ displaystyle (dl_ {g}) _ {h} (X_ {h}) = X_ {gh}}$

куда ${ displaystyle l_ {g}: от G до G, x mapsto gx}$ и ${ displaystyle (dl_ {g}) _ {h}: T_ {h} G to T_ {gh} G}$ это дифференциал из ${ displaystyle l_ {g}}$ между касательные пространства. (Другими словами, это ${ displaystyle l_ {g}}$-связанные с себе для любого грамм в грамм.)

Позволять ${ displaystyle operatorname {Lie} (G)}$ - множество всех лево-трансляционно-инвариантных векторных полей на грамм. Это настоящее векторное пространство. Более того, он закрыт под Кронштейн лжи; т.е. ${ displaystyle [X, Y]}$ лево-трансляционно-инвариантно, если Икс, Y находятся. Таким образом, ${ displaystyle operatorname {Lie} (G)}$ является подалгеброй Ли алгебры Ли всех векторных полей на грамм и называется алгеброй Ли грамм. Это можно понять более конкретно, отождествив пространство левоинвариантных векторных полей с касательным пространством в единице следующим образом: для левоинвариантного векторного поля можно взять его значение в единице, а для заданного касательного вектора в точке тождество, его можно расширить до левоинвариантного векторного поля. Таким образом, алгебру Ли можно рассматривать как касательное пространство в единице и скобке Икс и Y в ${ displaystyle T_ {e} G}$ можно вычислить, расширив их до левоинвариантных векторных полей, взяв коммутатор векторных полей, а затем вычислив тождество.

Есть еще одно воплощение ${ displaystyle operatorname {Lie} (G)}$ как алгебру Ли примитивных элементов алгебры Хопфа распределений на грамм с опорой у элемента идентичности; для этого см. # Родственные конструкции ниже.

Матричные группы Ли

Предполагать грамм - замкнутая подгруппа в GL (n;C), а значит, и группу Ли теорема о замкнутых подгруппах. Тогда алгебра Ли грамм может быть вычислено как

${ displaystyle operatorname {Lie} (G) = {X in M ​​(n; mathbb {C}) | e ^ {tX} in G { text {для всех}} t in mathbb { mathbb {R}} }.}$^[1][2]

Например, по критерию можно установить соответствие для классические компактные группы (см. таблицу в «компактных группах Ли» ниже.)

Гомоморфизмы

Если

${ displaystyle f: G to H}$

это Гомоморфизм групп Ли, то его дифференциал на единице

${ displaystyle df = df_ {e}: operatorname {Lie} (G) to operatorname {Lie} (H)}$

это Гомоморфизм алгебр Ли (скобки переходят в скобки), который имеет следующие свойства:

• ${ displaystyle mathrm {exp} (df (X)) = f ( mathrm {exp} (X))}$ для всех Икс в лжи (грамм), где "exp" - экспоненциальная карта
• ${ displaystyle operatorname {Lie} ( operatorname {ker} (f)) = operatorname {ker} (df)}$.^[3]
• Если образ ж закрыто,^[4] тогда ${ displaystyle operatorname {Lie} ( operatorname {im} (f)) = operatorname {im} (df)}$^[5] и первая теорема об изоморфизме держит: ж индуцирует изоморфизм групп Ли:

${ Displaystyle G / OperatorName {ker} (f) to operatorname {im} (f)}$.

• В Правило цепи имеет: если ${ displaystyle f: G to H}$ и ${ displaystyle g: H to K}$ являются гомоморфизмами групп Ли, то ${ Displaystyle d (г circ f) = (dg) circ (df).}$

В частности, если ЧАС замкнутая подгруппа^[6] группы Ли грамм, тогда ${ displaystyle operatorname {Lie} (H)}$ является подалгеброй Ли в ${ displaystyle operatorname {Lie} (G)}$. Кроме того, если ж инъективно, то ж является погружение и так грамм называется погруженной (лиевой) подгруппой группы ЧАС. Например, ${ displaystyle G / operatorname {ker} (f)}$ погруженная подгруппа ЧАС. Если ж сюръективно, то ж это погружение и если, кроме того, грамм компактно, то ж это основной пакет со структурной группой его ядро. (Лемма Эресмана )

Другие свойства

Позволять ${ Displaystyle G = G_ {1} times cdots times G_ {r}}$ быть прямой продукт групп Ли и ${ displaystyle p_ {i}: от G до G_ {i}}$ прогнозы. Тогда дифференциалы ${ displaystyle dp_ {i}: operatorname {Lie} (G) to operatorname {Lie} (G_ {i})}$ дать каноническую идентификацию:

${ displaystyle operatorname {Lie} (G_ {1} times cdots times G_ {r}) = operatorname {Lie} (G_ {1}) oplus cdots oplus operatorname {Lie} (G_ { р})}$.

Если ${ displaystyle H, H '}$ являются подгруппами Ли группы Ли, то ${ displaystyle operatorname {Lie} (H cap H ') = operatorname {Lie} (H) cap operatorname {Lie} (H').}$

Позволять грамм - связная группа Ли. Если ЧАС группа Ли, то любой гомоморфизм групп Ли ${ displaystyle f: G to H}$ однозначно определяется своим дифференциалом ${ displaystyle df}$. Точнее, есть экспоненциальная карта ${ displaystyle operatorname {exp}: operatorname {Lie} (G) to G}$ (и один для ЧАС) такие, что ${ Displaystyle е ( OperatorName {ехр} (X)) = OperatorName {ехр} (df (X))}$ и с тех пор грамм связано, это определяет ж однозначно.^[7] В общем, если U является окрестностью единицы в связной топологической группе грамм, тогда ${ displaystyle bigcup _ {n> 0} U ^ {n}}$ совпадает с грамм, поскольку первая - открытая (следовательно, замкнутая) подгруппа. Сейчас же, ${ displaystyle operatorname {exp}: operatorname {Lie} (G) to G}$ определяет локальный гомеоморфизм из окрестности нулевого вектора в окрестность единичного элемента. Например, если грамм группа Ли обратимых вещественных квадратных матриц размера п (общая линейная группа ), тогда ${ displaystyle operatorname {Lie} (G)}$ - алгебра Ли вещественных квадратных матриц размера п и ${ displaystyle displaystyle exp (X) = e ^ {X} = sum _ {0} ^ { infty} {X ^ {j} / j!}}$.

Переписка

Соответствие между группами Ли и алгебрами Ли включает следующие три основных результата.

• Третья теорема Ли: Всякая конечномерная вещественная алгебра Ли является алгеброй Ли некоторого односвязная группа Ли.^[8]
• Теорема о гомоморфизмах: Если ${ displaystyle phi: operatorname {Lie} (G) to operatorname {Lie} (H)}$ является гомоморфизмом алгебр Ли и если грамм односвязно, то существует (единственный) гомоморфизм групп Ли ${ displaystyle f: G to H}$ такой, что ${ displaystyle phi = df}$.^[9]
• Теорема о подгруппах и подалгебрах: Если грамм группа Ли и ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ является подалгеброй Ли в ${ displaystyle operatorname {Lie} (G)}$, то существует единственная связная подгруппа Ли (не обязательно замкнутая) ЧАС из грамм с алгеброй Ли ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$.^[10]

Во второй части корреспонденции предположение, что грамм односвязно, не может быть пропущено Например, алгебры Ли SO (3) и SU (2) изоморфны,^[11] но соответствующего гомоморфизма SO (3) в SU (2) нет.^[12] Скорее, гомоморфизм идет от односвязной группы SU (2) к неодносвязной группе SO (3).^[13] Если грамм и ЧАС являются односвязными и имеют изоморфные алгебры Ли, приведенный выше результат позволяет показать, что грамм и ЧАС изоморфны.^[14] Один метод построения ж использовать Формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа.^[15]

Доказательство третьей теоремы Ли

Возможно, наиболее элегантное доказательство первого результата выше использует Теорема Адо, который говорит, что любая конечномерная алгебра Ли (над полем любой характеристики) является подалгеброй Ли алгебры Ли ${ displaystyle { mathfrak {gl}} _ {n}}$ квадратных матриц. Доказательство состоит в следующем: по теореме Адо полагаем ${ displaystyle { mathfrak {g}} subset { mathfrak {gl}} _ {n} ( mathbb {R}) = operatorname {Lie} (GL_ {n} ( mathbb {R}))}$ является подалгеброй Ли. Позволять грамм быть подгруппой ${ Displaystyle GL_ {п} ( mathbb {R})}$ создано ${ Displaystyle е ^ { mathfrak {g}}}$ и разреши ${ displaystyle { widetilde {G}}}$ быть односвязное покрытие из грамм; нетрудно показать, что ${ displaystyle { widetilde {G}}}$ является группой Ли и что накрывающее отображение является гомоморфизмом групп Ли. С ${ displaystyle T_ {e} { widetilde {G}} = T_ {e} G = { mathfrak {g}}}$, это завершает доказательство.

Пример: каждый элемент Икс в алгебре Ли ${ Displaystyle { mathfrak {g}} = operatorname {Lie} (G)}$ порождает гомоморфизм алгебр Ли

${ displaystyle mathbb {R} to { mathfrak {g}}, , t mapsto tX.}$

По третьей теореме Ли, поскольку ${ displaystyle operatorname {Lie} ( mathbb {R}) = T_ {0} mathbb {R} = mathbb {R}}$ и exp для него является единицей, этот гомоморфизм является дифференциалом гомоморфизма групп Ли ${ displaystyle mathbb {R} to H}$ для некоторой иммерсированной подгруппы ЧАС из грамм. Этот гомоморфизм групп Ли, названный однопараметрическая подгруппа создано Икс, в точности экспоненциальное отображение ${ Displaystyle т mapsto OperatorName {exp} (tX)}$ и ЧАС свой образ. Сказанное выше можно резюмировать, говоря, что существует каноническое биективное соответствие между ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ и множество однопараметрических подгрупп грамм.^[16]

Доказательство теоремы о гомоморфизмах

Один из подходов к доказательству второй части соответствия группы Ли и алгебры Ли (теорема о гомоморфизмах) состоит в использовании Формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа, как в разделе 5.7 книги Холла.^[17] В частности, учитывая гомоморфизм алгебр Ли ${ displaystyle phi}$ из ${ displaystyle operatorname {Lie} (G)}$ к ${ displaystyle operatorname {Lie} (H)}$, мы можем определить ${ displaystyle f: G to H}$ локально (т.е. в окрестности единицы) по формуле

${ Displaystyle е (е ^ {X}) = е ^ { phi (X)}}$,

куда ${ displaystyle e ^ {X}}$ экспоненциальное отображение для грамм, у которого есть обратное, определенное около единицы. Теперь мы утверждаем, что ж является локальным гомоморфизмом. Таким образом, учитывая два элемента рядом с тождеством ${ displaystyle e ^ {X}}$ и ${ displaystyle e ^ {Y}}$ (с Икс и Y small), мы рассматриваем их продукт ${ displaystyle e ^ {X} e ^ {Y}}$. Согласно формуле Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа имеем ${ displaystyle e ^ {X} e ^ {Y} = e ^ {Z}}$, куда

${ displaystyle Z = X + Y + { frac {1} {2}} [X, Y] + { frac {1} {12}} [X, [X, Y]] + cdots}$,

с ${ displaystyle cdots}$ с указанием других терминов, выраженных как повторяющиеся коммутаторы, включающие Икс и Y. Таким образом,

${ Displaystyle е (е ^ {Х} е ^ {Y}) = е (е ^ {Z}) = е ^ { phi (Z)} = е ^ { phi (X) + phi (Y) + { frac {1} {2}} [ phi (X), phi (Y)] + { frac {1} {12}} [ phi (X), [ phi (X), phi (Y)]] + cdots},}$

потому что ${ displaystyle phi}$ является гомоморфизмом алгебр Ли. С использованием Формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа снова, на этот раз для группы ЧАС, мы видим, что это последнее выражение принимает вид ${ Displaystyle е ^ { фи (X)} е ^ { фи (Y)}}$, и поэтому мы имеем

${ Displaystyle f (е ^ {X} e ^ {Y}) = e ^ { phi (X)} e ^ { phi (Y)} = f (e ^ {X}) f (e ^ {Y }).}$

Таким образом, ж обладает свойством гомоморфизма, по крайней мере, когда Икс и Y достаточно малы. Важно подчеркнуть, что этот аргумент является только локальным, поскольку экспоненциальное отображение обратимо только в небольшой окрестности тождества в грамм и поскольку формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа верна, только если Икс и Y маленькие. Предположение, что грамм просто подключается еще не пользовался ..

Следующий этап аргументации - расширение ж от локального гомоморфизма к глобальному. Расширение выполняется путем определения ж это по пути, а затем, используя простую связность грамм чтобы показать, что определение не зависит от выбора пути.

Представления группы Ли

Частный случай соответствия Ли - это соответствие между конечномерные представления группы Ли и представления ассоциированной алгебры Ли.

Общая линейная группа ${ Displaystyle GL_ {п} ( mathbb {C})}$ это (настоящий) Группа Ли и любой гомоморфизм групп Ли

${ displaystyle pi: G к GL_ {n} ( mathbb {C})}$

называется представлением группы Ли грамм.Дифференциал

${ displaystyle d pi: { mathfrak {g}} to { mathfrak {gl}} _ {n} ( mathbb {C})}$,

является гомоморфизмом алгебр Ли, называемым Представление алгебры Ли. (Дифференциал ${ displaystyle d pi}$ часто обозначается просто ${ displaystyle pi}$.)

Теорема о гомоморфизмах (упомянутая выше как часть соответствия группы Ли и алгебры Ли) говорит, что если ${ displaystyle G}$ односвязная группа Ли, алгебра Ли которой ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$, каждый представление ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ происходит от представления грамм. Предположение, что грамм быть просто связным необходимо. Рассмотрим, например, группу вращения ТАК (3), что не просто связано. Существует одно неприводимое представление алгебры Ли в каждом измерении, но только нечетномерные представления алгебры Ли происходят из представлений группы.^[18] (Это наблюдение связано с различием между целочисленное вращение и полуцелое вращение в квантовой механике.) С другой стороны, группа SU (2) односвязно с алгеброй Ли, изоморфной алгебре SO (3), поэтому каждое представление алгебры Ли SO (3) действительно порождает представление SU (2).

Присоединенное представление

Примером представления группы Ли является присоединенное представительство группы Ли грамм; каждый элемент грамм в группе Ли грамм определяет автоморфизм грамм по спряжению: ${ displaystyle c_ {g} (h) = ghg ​​^ {- 1}}$; дифференциал ${ displaystyle dc_ {g}}$ тогда является автоморфизмом алгебры Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$. Таким образом, мы получаем представление ${ displaystyle operatorname {Ad}: G to GL ({ mathfrak {g}}), , g mapsto dc_ {g}}$, называемое присоединенным представлением. Соответствующий гомоморфизм алгебр Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}} to { mathfrak {gl}} ({ mathfrak {g}})}$ называется присоединенное представительство из ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ и обозначается ${ displaystyle operatorname {ad}}$. Можно показать ${ Displaystyle OperatorName {ad} (X) (Y) = [X, Y]}$, что, в частности, означает, что скобка Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ определяется групповой закон на грамм.

По третьей теореме Ли существует подгруппа ${ displaystyle operatorname {Int} ({ mathfrak {g}})}$ из ${ displaystyle GL ({ mathfrak {g}})}$ чья алгебра Ли ${ displaystyle operatorname {ad} ({ mathfrak {g}})}$. (${ displaystyle operatorname {Int} ({ mathfrak {g}})}$ в общем случае не является замкнутой подгруппой; только иммерсированная подгруппа.) Она называется присоединенная группа из ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$.^[19] Если грамм подключен, он укладывается в точную последовательность:

${ Displaystyle 0 к Z (G) к G { overset { operatorname {Ad}} { to}} operatorname {Int} ({ mathfrak {g}}) to 0}$

куда ${ Displaystyle Z (G)}$ это центр грамм. Если центр грамм дискретно, то здесь Ad - накрывающее отображение.

Позволять грамм - связная группа Ли. потом грамм является унимодулярный если и только если ${ displaystyle operatorname {det} ( operatorname {Ad} (g)) = 1}$ для всех грамм в грамм.^[20]

Позволять грамм - группа Ли, действующая на многообразии Икс и грамм_Икс стабилизатор точки Икс в Икс. Позволять ${ Displaystyle rho (х): от G к X, , g mapsto g cdot x}$. потом

• ${ displaystyle operatorname {Lie} (G_ {x}) = operatorname {ker} (d rho (x): T_ {e} G to T_ {x} X)}$.
• Если орбита ${ Displaystyle G cdot x}$ локально замкнуто, то орбита является подмногообразием Икс и ${ displaystyle T_ {x} (G cdot x) = operatorname {im} (d rho (x): T_ {e} G to T_ {x} X)}$.^[21]

Для подмножества А из ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ или же грамм, позволять

${ displaystyle { mathfrak {z}} _ { mathfrak {g}} (A) = {X in { mathfrak {g}} | operatorname {ad} (a) X = 0 { text { или}} operatorname {Ad} (a) X = 0 { text {для всех}} a { text {in}} A }}$

${ displaystyle Z_ {G} (A) = {g in G | operatorname {Ad} (g) a = 0 { text {или}} ga = ag { text {для всех}} a { текст {in}} A }}$

- централизатор алгебры Ли и централизатор группы Ли А. потом ${ displaystyle operatorname {Lie} (Z_ {G} (A)) = { mathfrak {z}} _ { mathfrak {g}} (A)}$.

Если ЧАС замкнутая связная подгруппа в грамм, тогда ЧАС нормально тогда и только тогда, когда ${ displaystyle operatorname {Lie} (H)}$ идеал и в таком случае ${ displaystyle operatorname {Lie} (G / H) = Operatorname {Lie} (G) / operatorname {Lie} (H)}$.

Абелевы группы Ли

Позволять грамм - связная группа Ли. Поскольку алгебра Ли центра грамм является центром алгебры Ли грамм (ср. предыдущий §), грамм абелева тогда и только тогда, когда его алгебра Ли абелева.

Если грамм абелева, то экспоненциальное отображение ${ displaystyle operatorname {exp}: { mathfrak {g}} to G}$ является сюръективным гомоморфизмом групп.^[22] Ядро его - дискретная группа (поскольку размерность равна нулю), называемая целочисленная решетка из грамм и обозначается ${ displaystyle Gamma}$. По первой теореме об изоморфизме ${ displaystyle operatorname {exp}}$ индуцирует изоморфизм ${ Displaystyle { mathfrak {g}} / Gamma to G}$.

Посредством аргумент жесткости, то фундаментальная группа ${ displaystyle pi _ {1} (G)}$ связной группы Ли грамм центральная подгруппа односвязного покрытия ${ displaystyle { widetilde {G}}}$ из грамм; другими словами, грамм вписывается в центральное расширение

${ displaystyle 1 to pi _ {1} (G) to { widetilde {G}} { overset {p} { to}} G to 1.}$

Эквивалентно, учитывая алгебру Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ и односвязная группа Ли ${ displaystyle { widetilde {G}}}$ чья алгебра Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$, существует взаимно однозначное соответствие между частными ${ displaystyle { widetilde {G}}}$ дискретными центральными подгруппами и связными группами Ли, имеющими алгебру Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$.

Для сложного случая комплексные торы важные; видеть комплексная группа Ли по этой теме.

Компактные группы Ли

Позволять грамм - связная группа Ли с конечным центром. Тогда следующие эквивалентны.

• грамм компактный.
• (Вейль) Односвязное покрытие ${ displaystyle { widetilde {G}}}$ из грамм компактный.
• Присоединенная группа ${ displaystyle operatorname {Int} { mathfrak {g}}}$ компактный.
• Существует вложение ${ Displaystyle G hookrightarrow O (п, mathbb {R})}$ как замкнутая подгруппа.
• В Форма убийства на ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ отрицательно определенный.
• Для каждого Икс в ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$, ${ displaystyle operatorname {ad} (X)}$ является диагонализуемый и имеет нулевые или чисто мнимые собственные значения.
• Существует инвариантный внутренний продукт на ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$.

Важно подчеркнуть, что эквивалентность предыдущих условий имеет место только в предположении, что грамм имеет конечный центр. Так, например, если грамм компактный с конечным центромуниверсальный чехол ${ displaystyle { widetilde {G}}}$ также компактный. Ясно, что этот вывод неверен, если грамм имеет бесконечный центр, например, если ${ Displaystyle G = S ^ {1}}$. Последние три приведенных выше условия имеют чисто алгебраическую природу Ли.

Компактная группа Ли	Комплексификация ассоциированной алгебры Ли	Корневая система
SU (n + 1) ${ displaystyle = {A in M_ {n + 1} ( mathbb {C}) | { overline {A}} ^ { mathrm {T}} A = I, operatorname {det} (A) = 1 }}$	${ Displaystyle { mathfrak {sl}} (п + 1, mathbb {C})}$ ${ displaystyle = {X in M_ {n + 1} ( mathbb {C}) | OperatorName {tr} X = 0 }}$	Ап
ТАК (2n + 1) ${ displaystyle = {A in M_ {2n + 1} ( mathbb {R}) | A ^ { mathrm {T}} A = I, operatorname {det} (A) = 1 }}$	${ displaystyle { mathfrak {so}} (2n + 1, mathbb {C})}$ ${ displaystyle = {X in M_ {2n + 1} ( mathbb {C}) | X ^ { mathrm {T}} + X = 0 }}$	Bп
Sp (п) ${ displaystyle = {A in U (2n) | A ^ { mathrm {T}} JA = J }, , J = { begin {bmatrix} 0 & I_ {n} - I_ {n} & 0 end {bmatrix}}}$	${ Displaystyle { mathfrak {sp}} (п, mathbb {C})}$ ${ displaystyle = {X in M_ {2n} ( mathbb {C}) | X ^ { mathrm {T}} J + JX = 0 }}$	Cп
SO (2n) ${ displaystyle = {A in M_ {2n} ( mathbb {R}) | A ^ { mathrm {T}} A = I, operatorname {det} (A) = 1 }}$	${ displaystyle { mathfrak {so}} (2n, mathbb {C})}$ ${ displaystyle = {X in M_ {2n} ( mathbb {C}) | X ^ { mathrm {T}} + X = 0 }}$	Dп

Если грамм компактная группа Ли, то

${ displaystyle H ^ {k} ({ mathfrak {g}}; mathbb {R}) = H _ { text {dR}} (G)}$

где левая часть - это Когомологии алгебры Ли из ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ а правая часть - это когомологии де Рама из грамм. (Грубо говоря, это следствие того, что любая дифференциальная форма на грамм может быть изготовлен левый инвариант аргументом усреднения.)

Связанные конструкции

Позволять грамм - группа Ли. Ассоциированная алгебра Ли ${ displaystyle operatorname {Lie} (G)}$ из грамм может быть альтернативно определено следующим образом. Позволять ${ Displaystyle A (G)}$ быть алгеброй распределения на грамм с опорой на единичный элемент с умножением на свертка. ${ Displaystyle A (G)}$ на самом деле Алгебра Хопфа. Алгебра Ли грамм затем ${ Displaystyle { mathfrak {g}} = operatorname {Lie} (G) = P (A (G))}$, алгебра Ли примитивные элементы в ${ Displaystyle A (G)}$.^[23] Посредством Теорема Милнора – Мура, существует канонический изоморфизм ${ Displaystyle U ({ mathfrak {g}}) = А (G)}$ между универсальная обертывающая алгебра из ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ и ${ Displaystyle A (G)}$.

Смотрите также

• компактная алгебра Ли
• Теорема Милнора – Мура
• Формальная группа
• Алгебра Ли Мальцева
• Распределение на линейной алгебраической группе

Примечания

Рекомендации

• Бурбаки, Н. (1981), Groupes et algèbres de Lie (Chapitre 3), Éléments de Mathématique, Hermann
• Duistermaat, J.J .; Колк, А. (2000), Группы Ли, Universitext, Springer, Дои:10.1007/978-3-642-56936-4, ISBN  3540152938
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение, Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, Дои:10.1007/978-3-319-13467-3, ISBN  978-3319134666
• Хельгасон, Сигурдур (1978), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства, Academic Press, ISBN  0-12-338460-5

внешняя ссылка

• Примечания для Math 261A Группы Ли и алгебры Ли
• Попов, В. (2001) [1994], «Алгебра Ли аналитической группы», Энциклопедия математики, EMS Press
• Формальная теория Ли в нулевой характеристике, сообщение в блоге Ахила Мэтью