Комплексификация - Complexification

В математика, то комплексирование из векторное пространство V над полем действительных чисел ("реальное векторное пространство") дает векторное пространство V ^ℂ над комплексное число поле, полученные путем формального расширения масштабирования векторов действительными числами, чтобы включить их масштабирование («умножение») на комплексные числа. Любой основа за V (пробел над действительными числами) также может служить основанием для V ^ℂ над комплексными числами.

Формальное определение

Позволять V быть реальным векторным пространством. В комплексирование из V определяется взятием тензорное произведение из V с комплексными числами (рассматриваемыми как 2dim (V) -мерное векторное пространство над вещественными числами):

${ Displaystyle V ^ { mathbb {C}} = V otimes _ { mathbb {R}} mathbb {C} ,.}$

Нижний индекс, ${ Displaystyle mathbb {R}}$, на тензорном произведении означает, что тензорное произведение берется по действительным числам (поскольку V является реальным векторным пространством, в любом случае это единственный разумный вариант, поэтому нижний индекс можно безопасно опустить). В его нынешнем виде V ^ℂ это только реальное векторное пространство. Однако мы можем сделать V^ℂ в комплексное векторное пространство, задав комплексное умножение следующим образом:

${ Displaystyle альфа (v otimes beta) = v otimes ( alpha beta) qquad { mbox {для всех}} v in V { mbox {and}} alpha, beta in mathbb {C} ,.}$

В более общем смысле комплексификация является примером расширение скаляров - здесь расширение скаляров от действительных чисел до комплексных чисел - что может быть сделано для любых расширение поля, да и вообще для любого морфизма колец.

Формально комплексификация - это функтор Vect_ℝ → Vect_ℂ, из категории вещественных векторных пространств в категорию комплексных векторных пространств. Это присоединенный функтор - особенно левый смежный - в забывчивый функтор Vect_ℂ → Vect_ℝ забывая о сложной структуре.

Это забвение сложной структуры сложного векторного пространства ${ displaystyle V}$ называется декомплексирование (или иногда «осознание»). Декомплексификация комплексного векторного пространства ${ displaystyle V}$ с основанием ${ displaystyle e _ { mu}}$ устраняет возможность комплексного умножения скаляров, что дает реальное векторное пространство ${ Displaystyle W _ { mathbb {R}}}$ вдвое большего размера с основанием ${ displaystyle {е _ { mu}, т.е. _ { mu} }}$.^[1]

Основные свойства

По характеру тензорного произведения каждый вектор v в V ^ℂ можно записать однозначно в виде

${ displaystyle v = v_ {1} otimes 1 + v_ {2} otimes i}$

куда v₁ и v₂ векторы в V. Обычной практикой является опустить символ произведения тензора и просто написать

${ Displaystyle v = v_ {1} + iv_ {2}. ,}$

Умножение на комплексное число а + я б тогда дается обычным правилом

${ displaystyle (a + ib) (v_ {1} + iv_ {2}) = (av_ {1} -bv_ {2}) + i (bv_ {1} + av_ {2}). ,}$

Тогда мы можем рассматривать V ^ℂ как прямая сумма двух экземпляров V:

${ Displaystyle V ^ { mathbb {C}} cong V oplus IV}$

с приведенным выше правилом умножения на комплексные числа.

Есть естественное вложение V в V ^ℂ данный

${ displaystyle v mapsto v otimes 1.}$

Векторное пространство V может тогда рассматриваться как настоящий подпространство из V ^ℂ. Если V имеет основа { е_я } (над полем ℝ), то соответствующий базис для V ^ℂ дан кем-то { е_я ⊗ 1 } над полем ℂ. Комплекс измерение из V ^ℂ поэтому равен реальному размеру V:

${ displaystyle dim _ { mathbb {C}} V ^ { mathbb {C}} = dim _ { mathbb {R}} V.}$

В качестве альтернативы, вместо использования тензорных произведений, можно использовать эту прямую сумму в качестве определение комплексификации:

${ Displaystyle V ^ { mathbb {C}}: = V oplus V,}$

куда ${ Displaystyle V ^ { mathbb {C}}}$ дается линейная сложная структура оператором J определяется как ${ Displaystyle J (v, w): = (- w, v),}$ куда J кодирует операцию «умножение на я». В матричной форме J дан кем-то:

${ displaystyle J = { begin {bmatrix} 0 & -I_ {V} I_ {V} & 0 end {bmatrix}}.}$

Это дает идентичное пространство - реальное векторное пространство с линейной сложной структурой - это данные, идентичные данным сложного векторного пространства, - хотя оно строит пространство по-разному. Соответственно, ${ Displaystyle V ^ { mathbb {C}}}$ можно записать как ${ displaystyle V oplus JV}$ или же ${ displaystyle V oplus iV,}$ идентификация V с первым прямым слагаемым. Этот подход более конкретен и имеет то преимущество, что позволяет избежать использования технически сложного тензорного произведения, но является специальным.

Примеры

• Усложнение реальное координатное пространство ℝ^п комплексное координатное пространство ℂ^п.
• Аналогично, если V состоит из м×п матрицы с реальными записями, V ^ℂ будет состоять из м×п матрицы со сложными элементами.

Удвоение Диксона

Процесс усложнения при переходе от ℝ к ℂ был извлечен математиками двадцатого века, в том числе Леонард Диксон. Каждый начинается с использования отображение идентичности Икс* = Икс как тривиальный инволюция на ℝ. Следующие две копии используются для формирования z = (а, б) с комплексное сопряжение введена как инволюция z* = (а, −б). Два элемента ш и z в удвоенном наборе умножить на

${ displaystyle wz = (a, b) times (c, d) = (ac - d ^ {*} b, da + bc ^ {*}).}$

Наконец, удвоенный набор получает норма N(z) = z * z. При запуске с ℝ с тождественной инволюцией удвоенное множество ℂ с нормой а² + б².Если один удваивается ℂ, и использует спряжение (а, б)* = (а*, –б) конструкция дает кватернионы. Удвоение снова дает октонионы, также называемые числами Кэли. Именно в этот момент Диксон в 1919 году внес свой вклад в раскрытие алгебраической структуры.

Процесс также можно запустить с помощью ℂ и тривиальная инволюция z* = z. Производимая норма просто z², в отличие от поколения ℂ удваивая ℝ. Когда это ℂ вдвое производит бикомплексные числа, и удвоение, которое производит бикватернионы, и снова удвоение приводит к биоктонионы. Когда базовая алгебра ассоциативна, алгебра, полученная с помощью этой конструкции Кэли-Диксона, называется композиционная алгебра поскольку можно показать, что он обладает свойством

${ Displaystyle N (п , д) = N (р) , N (д) ,.}$

Комплексное сопряжение

Комплексифицированное векторное пространство V ^ℂ имеет больше структуры, чем обычное комплексное векторное пространство.^{[пример необходим ]} Он поставляется с канонический комплексное сопряжение карта:

${ displaystyle chi: V ^ { mathbb {C}} to { overline {V ^ { mathbb {C}}}}}$

определяется

${ displaystyle chi (v otimes z) = v otimes { bar {z}}.}$

Карта χ может рассматриваться как сопряженно-линейное отображение из V ^ℂ к себе или как сложный линейный изоморфизм из V ^ℂ к его комплексно сопряженный ${ displaystyle { overline {V ^ { mathbb {C}}}}}$.

И наоборот, учитывая комплексное векторное пространство W с комплексным сопряжением χ, W изоморфна как комплексное векторное пространство комплексификации V ^ℂ реального подпространства

${ Displaystyle V = {w in W: chi (w) = w }.}$

Другими словами, все комплексные векторные пространства с комплексным сопряжением являются комплексификацией реального векторного пространства.

Например, когда W = ℂ^п со стандартным комплексным сопряжением

${ displaystyle chi (z_ {1}, ldots, z_ {n}) = ({ bar {z}} _ {1}, ldots, { bar {z}} _ {n})}$

инвариантное подпространство V это просто реальное подпространство ℝ^п.

Линейные преобразования

Учитывая реальный линейное преобразование ж : V → W между двумя действительными векторными пространствами существует естественное комплексное линейное преобразование

${ displaystyle f ^ { mathbb {C}}: V ^ { mathbb {C}} to W ^ { mathbb {C}}}$

данный

${ Displaystyle е ^ { mathbb {C}} (v otimes z) = f (v) otimes z.}$

Карта ${ displaystyle f ^ { mathbb {C}}}$ называется комплексирование из ж. Комплексификация линейных преобразований удовлетворяет следующим свойствам

• ${ Displaystyle ( mathrm {id} _ {V}) ^ { mathbb {C}} = mathrm {id} _ {V ^ { mathbb {C}}}}$
• ${ Displaystyle (е circ g) ^ { mathbb {C}} = f ^ { mathbb {C}} circ g ^ { mathbb {C}}}$
• ${ Displaystyle (е + г) ^ { mathbb {C}} = е ^ { mathbb {C}} + г ^ { mathbb {C}}}$
• ${ displaystyle (af) ^ { mathbb {C}} = af ^ { mathbb {C}} quad forall a in mathbb {R}}$

На языке теория категорий говорят, что комплексификация определяет (добавка ) функтор от категория вещественных векторных пространств в категорию комплексных векторных пространств.

Карта ж ^ℂ коммутирует со сопряжением и тем самым отображает действительное подпространство V ^ℂ в реальное подпространство W ^ℂ (через карту ж). Более того, сложное линейное отображение грамм : V ^ℂ → W ^ℂ является комплексификацией реального линейного отображения тогда и только тогда, когда оно коммутирует со сопряжением.

В качестве примера рассмотрим линейное преобразование из ℝ^п к ℝ^м думали как м×п матрица. Комплексификация этого преобразования представляет собой точно такую ​​же матрицу, но теперь рассматривается как линейная карта из ℂ^п к ℂ^м.

Двойственные пространства и тензорные произведения

В двойной реального векторного пространства V это пространство V* всех реальных линейных карт из V к ℝ. Усложнение V* естественно рассматривать как пространство всех реальных линейных отображений из V к ℂ (обозначено Hom_ℝ(V, ℂ)). То есть,

${ displaystyle (V ^ {*}) ^ { mathbb {C}} = V ^ {*} otimes mathbb {C} cong mathrm {Hom} _ { mathbb {R}} (V, mathbb {C}).}$

Изоморфизм задается формулой

${ displaystyle ( varphi _ {1} otimes 1+ varphi _ {2} otimes i) leftrightarrow varphi _ {1} + i varphi _ {2}}$

куда φ₁ и φ₂ являются элементами V*. Комплексное сопряжение тогда дается обычной операцией

${ Displaystyle { overline { varphi _ {1} + я varphi _ {2}}} = varphi _ {1} -i varphi _ {2}}$

Учитывая реальную линейную карту φ: V → ℂ мы можем продолжить по линейности, чтобы получить комплексное линейное отображение φ: V ^ℂ → ℂ. То есть,

${ Displaystyle varphi (v otimes z) = z varphi (v).}$

Это расширение дает изоморфизм от Hom_ℝ(V, ℂ) к Hom_ℂ(V ^ℂ, ℂ). Последний как раз сложный двойное пространство для V ^ℂ, так что у нас есть естественный изоморфизм:

${ displaystyle (V ^ {*}) ^ { mathbb {C}} cong (V ^ { mathbb {C}}) ^ {*}.}$

В более общем смысле, учитывая реальные векторные пространства V и W есть естественный изоморфизм

${ displaystyle mathrm {Hom} _ { mathbb {R}} (V, W) ^ { mathbb {C}} cong mathrm {Hom} _ { mathbb {C}} (V ^ { mathbb {C}}, W ^ { mathbb {C}}).}$

Комплексификация также переключает с операциями взятия тензорные произведения, внешние силы и симметричные степени. Например, если V и W являются вещественными векторными пространствами, существует естественный изоморфизм

${ displaystyle (V otimes _ { mathbb {R}} W) ^ { mathbb {C}} cong V ^ { mathbb {C}} otimes _ { mathbb {C}} W ^ { mathbb {C}} ,.}$

Обратите внимание, что левое тензорное произведение берется по действительным числам, а правое - по комплексам. То же самое и в целом. Например, есть

${ displaystyle ( Lambda _ { mathbb {R}} ^ {k} V) ^ { mathbb {C}} cong Lambda _ { mathbb {C}} ^ {k} (V ^ { mathbb {C}}).}$

Во всех случаях изоморфизмы являются «очевидными».

Смотрите также

• Расширение скаляров - общий процесс
• Линейная сложная структура
• Формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа

Рекомендации

• Халмос, Пол (1974) [1958]. Конечномерные векторные пространства. Springer. стр. 41 и §77 Комплексификация, стр. 150–153. ISBN  0-387-90093-4.

• Шоу, Рональд (1982). Линейная алгебра и представления групп. Vol. I: Линейная алгебра и введение в представления групп. Академическая пресса. п.196. ISBN  0-12-639201-3.

• Роман, Стивен (2005). Продвинутая линейная алгебра. Тексты для выпускников по математике. 135 (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  0-387-24766-1.