Композиционная алгебра - Википедия - Composition algebra

В математика, а композиционная алгебра $А$ через поле $K$ это не обязательно ассоциативный алгебра над $K$ вместе с невырожденный квадратичная форма $N$ это удовлетворяет

{ Displaystyle N (ху) = N (х) N (y)}

для всех $Икс$ и $у$ в $А$ .

Композиционная алгебра включает инволюция называется спряжение: ${ displaystyle x mapsto x ^ {*}.}$ Квадратичная форма ${ Displaystyle N (х) = хх ^ {*}}$ называется норма алгебры.

Композиционная алгебра (А, ∗, N) является либо алгебра с делением или расщепленная алгебра, в зависимости от наличия ненулевого v в А такой, что N(v) = 0, называемый нулевой вектор.^[1] Когда Икс является нет нулевой вектор, мультипликативный обратный из Икс является ${ displaystyle { frac {x ^ {*}} {N (x)}} .}$ Когда есть ненулевой нулевой вектор, N является изотропная квадратичная форма, и «алгебра расщепляется».

Структурная теорема

Каждый единый композиционная алгебра над полем $K$ можно получить многократным применением Конструкция Кэли-Диксона начиная с $K$ (если характеристика из $K$ отличается от $2$ ) или двумерной композиционной подалгебры (если $символ (K) = 2$ ). Возможные размерности композиционной алгебры: $1$ , $2$ , $4$ , и $8$ .^[2]^[3]^[4]

Одномерные композиционные алгебры существуют только тогда, когда $char (K) \neq 2$ .
Композиционные алгебры размерности 1 и 2 коммутативны и ассоциативны.
Алгебры композиции размерности 2 либо квадратичные расширения поля из $K$ или изоморфен $K \oplus K$ .
Композиционные алгебры размерности 4 называются кватернионные алгебры. Они ассоциативны, но не коммутативны.
Композиционные алгебры размерности 8 называются октонионные алгебры. Они не ассоциативны и не коммутативны.

Для согласованной терминологии алгебры размерности 1 были названы unarion, и размерности 2 бинарион.^[5]

Экземпляры и использование

Когда поле $K$ считается сложные числа $C$ и квадратичная форма $z 2$ , то четыре композиционные алгебры над $C$ находятся $C сам$ , то бикомплексные числа, то бикватернионы (изоморфен 2×2 сложный матричное кольцо $М (2, C)$ ), а биоктонионы $C \otimes О$ , которые также называют сложными октонионами.

Матричное кольцо $М (2, C)$ давно был объектом интереса, прежде всего как бикватернионы кГамильтон (1853), позже в изоморфной матричной форме, и особенно как Алгебра Паули.

В функция возведения в квадрат $N (Икс) = Икс 2$ на настоящий номер поле образует изначальную композиционную алгебру. $K$ принимается за действительные числа $р$ , то есть всего шесть других вещественных композиционных алгебр.^[3]^:166 В двух, четырех и восьми измерениях есть как алгебра с делением и «расщепленная алгебра»:

бинарионы: комплексные числа с квадратичной формой

Икс 2 + у 2

и разделенные комплексные числа с квадратичной формой

Икс 2 - у 2

,

кватернионы и сплит-кватернионы,

октонионы и сплит-октонионы.

Каждой композиционной алгебре соответствует билинейная форма B (х, у) построенный с нормой N и a поляризационная идентичность:

{ Displaystyle B (x, y) = [N (x + y) -N (x) -N (y)] / 2.}

^[6]

История

Составление сумм квадратов было отмечено несколькими ранними авторами. Диофант знал об идентичности, состоящей из суммы двух квадратов, которая теперь называется Тождество Брахмагупты – Фибоначчи, который также сформулирован как свойство евклидовых норм комплексных чисел при умножении. Леонард Эйлер обсудили четырехугольная идентичность в 1748 г., и это привело В. Р. Гамильтон построить свою четырехмерную алгебру кватернионы.^[5]^:62 В 1848 г. тессарины были описаны, давая первый свет бикомплексным числам.

Около 1818 г. датский ученый Фердинанд Деген показал Восьмиугольная идентичность Дегена, что впоследствии было связано с нормами элементов октонион алгебра:

Исторически сложилось так, что первая неассоциативная алгебра, Числа Кэли ... возникла в контексте теоретико-числовой проблемы квадратичных форм, допускающих композицию ... этот теоретико-числовой вопрос может быть преобразован в вопрос, касающийся некоторых алгебраических систем, композиционных алгебр ...^[5]^:61

В 1919 г. Леонард Диксон продвинул изучение Проблема Гурвица с обзором усилий, предпринятых к тому времени, и демонстрацией метода удвоения кватернионов для получения Числа Кэли. Он представил новый мнимая единица $е$ , а для кватернионов $q$ и $Q$ пишет число Кэли $q + Q е$ . Обозначая кватернион, сопряженный с помощью $q'$ , произведение двух чисел Кэли равно^[7]

{ Displaystyle (q + Qe) (r + Re) = (qr-R'Q) + (Rq + Qr ') e.}

Сопряжение числа Кэли есть $q ' - Q е$ , а квадратичная форма $qq' + QQ'$ , полученный умножением числа на его сопряженное. Метод удвоения получил название Конструкция Кэли-Диксона.

В 1923 г. случай вещественных алгебр с положительно определенные формы был ограничен Теорема Гурвица (композиционные алгебры).

В 1931 г. Макс Зорн ввел гамму (γ) в правило умножения в конструкции Диксона для генерации сплит-октонионы.^[8] Адриан Альберт также использовал гамму в 1942 году, когда показал, что удвоение Диксона можно применить к любому поле с функция возведения в квадрат для построения бинарионных, кватернионных и октонионных алгебр с их квадратичными формами.^[9] Натан Джейкобсон описал автоморфизмы композиционных алгебр в 1958 г.^[2]

Классические композиционные алгебры над $р$ и $C$ находятся унитальные алгебры. Композиционные алгебры без а мультипликативная идентичность были обнаружены H.P. Петерсон (Алгебры Петерсона ) и Сусуму Окубо (Алгебры Окубо ) и другие.^[10]^:463–81

Смотрите также

дальнейшее чтение

Фараут, Жак; Кораньи, Адам (1994). Анализ на симметричных конусах. Оксфордские математические монографии. Clarendon Press, Oxford University Press, Нью-Йорк. С. 81–86. ISBN 0-19-853477-9. МИСТЕР 1446489.
Лам, Цит-Юэн (2005). Введение в квадратичные формы над полями. Аспирантура по математике. 67. Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1095-2. Zbl 1068.11023.
Харви, Ф. Риз (1990). Спиноры и калибровки. Перспективы в математике. 9. Сан Диего: Академическая пресса. ISBN 0-12-329650-1. Zbl 0694.53002.

[1] Спрингер, Т.А.; Ф. Д. Велдкамп (2000). Октонионы, йордановы алгебры и исключительные группы. Springer-Verlag. п. 18. ISBN 3-540-66337-1.

[NJ-2] а ^б Джейкобсон, Натан (1958). «Композиционные алгебры и их автоморфизмы». Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. 7: 55–80. Дои:10.1007 / bf02854388. Zbl 0083.02702.

[GR08-3] а ^б Гай Роос (2008) "Исключительные симметрические области", §1: алгебры Кэли, в Симметрии в комплексном анализе Брюс Гиллиган и Гай Роос, том 468 из Современная математика, Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-4459-5

[4] Шафер, Ричард Д. (1995) [1966]. Введение в неассоциативные алгебры. Dover Publications. стр.72–75. ISBN 0-486-68813-5. Zbl 0145.25601.

[KMC-5] а ^б ^c Кевин МакКриммон (2004) Вкус иорданских алгебр, Universitext, Springer ISBN 0-387-95447-3 МИСТЕР2014924

[6] Артур А. Сэгл и Ральф Э. Вальд (1973) Введение в группы Ли и алгебры Ли, страницы 194-200, Академическая пресса

[7] Диксон, Л.Э. (1919), "О кватернионах и их обобщении и истории теоремы о восьми квадратах", Анналы математики, Вторая серия, Анналы математики, 20 (3): 155–171, Дои:10.2307/1967865, ISSN 0003-486X, JSTOR 1967865

[8] Макс Зорн (1931) "Alternativekörper und quadratische Systeme", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 9(3/4): 395–402

[9] Альберт, Адриан (1942). «Квадратичные формы, допускающие композицию». Анналы математики. 43: 161–177. Дои:10.2307/1968887. Zbl 0060.04003.

[KMRT-10] Макс-Альберт Кнус, Александр Меркурьев, Маркус Рост, Жан-Пьер Тиньоль (1998) «Композиция и триальность», глава 8 в Книга инволюций, pp. 451–511, Colloquium Publications v 44, Американское математическое общество ISBN 0-8218-0904-0

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]