Бикватернион - Biquaternion

В абстрактная алгебра, то бикватернионы числа $ш + Икс я + у j + z k$ , куда $ш, Икс, у$ , и $z$ находятся сложные числа, или их варианты, а также элементы ${1, я, j, k}$ умножить как в группа кватернионов и коммутируют со своими коэффициентами. Существует три типа бикватернионов, соответствующих комплексным числам и их вариациям:

Бикватернионы, когда коэффициенты сложные числа.
Сплит-бикватернионы когда коэффициенты разделенные комплексные числа.
Двойные кватернионы когда коэффициенты двойные числа.

Эта статья о обычные бикватернионы названный Уильям Роуэн Гамильтон в 1844 г. (см. Труды Королевской ирландской академии 1844 и 1850, стр. 388^[1]). Некоторые из наиболее известных сторонников этих бикватернионов включают Александр Макфарлейн, Артур В. Конвей, Людвик Зильберштейн, и Корнелиус Ланцош. Как показано ниже, блок квазисфера бикватернионов дает представление о Группа Лоренца, что является основой специальная теория относительности.

Алгебру бикватернионов можно рассматривать как тензорное произведение $ℂ \otimes ℍ$ (принято за реалы), где $ℂ$ это поле комплексных чисел и $ℍ$ это алгебра с делением из (реальных) кватернионы. Другими словами, бикватернионы - это всего лишь комплексирование кватернионов. Рассматриваемые как комплексная алгебра, бикватернионы изоморфны алгебре $2 \times 2$ комплексные матрицы $M 2 (ℂ)$ . Они также изоморфны нескольким Алгебры Клиффорда включая $ℍ (ℂ) = Cℓ 03 (ℂ) = Cℓ 2 (ℂ) = Cℓ 1,2 (ℝ)$ ,^[2]^:112,113 в Алгебра Паули $Cℓ 3,0 (ℝ)$ ,^[2]^:112^[3]^:404 и четная часть $Cℓ 0 1,3 (ℝ) = Cℓ 0 3,1 (ℝ)$ из алгебра пространства-времени.^[3]^:386

Определение

Позволять ${1, я, j, k}$ быть основой для (настоящего) кватернионы $ℍ$ , и разреши $ты, v, ш, Икс$ быть комплексными числами, тогда

{ Displaystyle д = и mathbf {1} + v mathbf {я} + ш mathbf {j} + х mathbf {k}}

это бикватернион.^[4]^:639 Чтобы различать квадратные корни из минус единицы в бикватернионах, Гамильтон^[4]^:730^[5] и Артур В. Конвей использовал соглашение о представлении квадратного корня из минус единицы в скалярном поле ℂ как час чтобы избежать путаницы с $я$ в группа кватернионов. Коммутативность скалярного поля с группой кватернионов предполагается:

{ displaystyle h mathbf {i} = mathbf {i} h, h mathbf {j} = mathbf {j} h, h mathbf {k} = mathbf {k} h.}

Гамильтон ввел термины бивектор, двусопряженный, битенсор, и биверсор для расширения понятий, используемых с реальными кватернионами $ℍ$ .

Основная экспозиция бикватернионов Гамильтона была сделана в 1853 г. Лекции по кватернионам. Издания Элементы кватернионов, в 1866 г. Уильям Эдвин Гамильтон (сын Роуэна), а в 1899, 1901 гг. Чарльз Джаспер Джоли, уменьшило покрытие бикватернионов в пользу реальных кватернионов.

С учетом операций покомпонентного сложения и умножения в соответствии с группой кватернионов, эта коллекция образует 4-х мерный алгебра над комплексными числами ℂ. Алгебра бикватернионов есть ассоциативный, но нет коммутативный. Бикватернион - это либо единица измерения или делитель нуля. Алгебра бикватернионов образует композиционная алгебра и может быть построен из бикомплексные числа. Видеть § Как композиционная алгебра ниже.

Место в теории колец

Линейное представление

Обратите внимание матричный продукт

{ displaystyle { begin {pmatrix} h & 0 0 & -h end {pmatrix}} { begin {pmatrix} 0 & 1 - 1 & 0 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 0 & h h & 0 конец {pmatrix}}}

.

Потому что час это мнимая единица, каждый из этих трех массивов имеет квадрат, равный отрицательному значению единичная матрица.Когда это матричное произведение интерпретируется как i j = k, то получается подгруппа матриц, то есть изоморфный к группа кватернионов. Как следствие,

{ displaystyle { begin {pmatrix} u + hv & w + hx - w + hx & u-hv end {pmatrix}}}

представляет собой бикватернион q = ты 1 + v я + ш j + Икс k. Для любой комплексной матрицы 2 × 2 существуют комплексные значения ты, v, ш, и Икс поместить его в такую форму, чтобы матричное кольцо M (2, C) изоморфен^[6] в бикватернион звенеть.

Подалгебры

Рассматривая алгебру бикватернионов над скалярным полем действительных чисел $ℝ$ , набор

{ displaystyle { mathbf {1}, h, mathbf {i}, h mathbf {i}, mathbf {j}, h mathbf {j}, mathbf {k}, h mathbf {k } }}

образует основа так что в алгебре восемь действительных размеры. Квадраты элементов $час я, час j$ , и $час k$ все положительные, например, $(час я) 2 = час 2 я 2 = (- 1)(- 1) = + 1$ .

В подалгебра данный

{ Displaystyle lbrace х + Y (ч mathbf {i}): х, у in mathbb {R} rbrace}

является кольцо изоморфно в самолет разделенные комплексные числа, который имеет алгебраическую структуру, построенную на гипербола единиц. Элементы $час j$ и $час k$ также определяют такие подалгебры.

Более того,

{ displaystyle lbrace x + y mathbf {j}: x, y in mathbb {C} rbrace}

является подалгеброй, изоморфной тессарины.

Третья подалгебра называется кокватернионы генерируется $час j$ и $час k$ . Видно, что $(час j)(час k) = (- 1) я$ , и что квадрат этого элемента равен $- 1$ . Эти элементы создают группа диэдра площади. В линейное подпространство с основанием ${1, я, час j, час k}$ таким образом, замкнута относительно умножения и образует алгебру кокватернионов.

В контексте квантовая механика и спинор алгебра, бикватернионы $час я, час j$ , и $час k$ (или их негативы), рассматриваемые в $M 2 (ℂ)$ представительства, называются Матрицы Паули.

Алгебраические свойства

Бикватернионы имеют два спряжения:

в двусопряженный или бискалар минус бивектор является ${ displaystyle q ^ {*} = w-x mathbf {i} -y mathbf {j} -z mathbf {k} ! ,}$ и
в комплексное сопряжение коэффициентов бикватерниона ${ displaystyle q ^ { star} = w ^ { star} + x ^ { star} mathbf {i} + y ^ { star} mathbf {j} + z ^ { star} mathbf { k}}$

куда ${ displaystyle z ^ { star} = a-bh}$ когда ${ displaystyle z = a + bh, quad a, b in mathbb {R}, quad h ^ {2} = - mathbf {1}.}$

Обратите внимание, что ${ displaystyle (pq) ^ {*} = q ^ {*} p ^ {*}, quad (pq) ^ { star} = p ^ { star} q ^ { star}, quad (q ^ {*}) ^ { star} = (q ^ { star}) ^ {*}.}$

Очевидно, что если ${ displaystyle qq ^ {*} = 0}$ тогда $q$ является делителем нуля. Иначе ${ Displaystyle lbrace qq ^ {*} rbrace ^ {- mathbf {1}}}$ определяется над комплексными числами. Дальше, ${ displaystyle qq ^ {*} = q ^ {*} q}$ легко проверяется. Это позволяет определить обратное как

${ Displaystyle д ^ {- mathbf {1}} = д ^ {*} lbrace qq ^ {*} rbrace ^ {- mathbf {1}}}$ , если ${ displaystyle qq ^ {*} neq 0.}$

Связь с преобразованиями Лоренца

Рассмотрим теперь линейное подпространство^[7]

{ displaystyle M = lbrace q: q ^ {*} = q ^ { star} rbrace = lbrace t + x (h mathbf {i}) + y (h mathbf {j}) + z ( h mathbf {k}): t, x, y, z in mathbb {R} rbrace.}

$M$ не является подалгеброй, так как это не закрыто под продуктами; Например ${ Displaystyle (ч mathbf {я}) (ч mathbf {j}) = h ^ {2} mathbf {ij} = - mathbf {k} notin M.}$ . В самом деле, $M$ не может образовать алгебру, если это даже не магма.

Предложение: Если $q$ в $M$ , тогда ${ displaystyle qq ^ {*} = t ^ {2} -x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2}.}$

Доказательство: из определений,

{ displaystyle { begin {align} qq ^ {*} & = (t + xh mathbf {i} + yh mathbf {j} + zh mathbf {k}) (t-xh mathbf {i} - yh mathbf {j} -zh mathbf {k}) & = t ^ {2} -x ^ {2} (h mathbf {i}) ^ {2} -y ^ {2} (h mathbf {j}) ^ {2} -z ^ {2} (h mathbf {k}) ^ {2} = t ^ {2} -x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2 }. end {выравнивается}}}

Определение: Пусть бикватернион $грамм$ удовлетворить ${ displaystyle gg ^ {*} = mathbf {1}.}$ Тогда Преобразование Лоренца связана с $грамм$ дан кем-то

{ Displaystyle T (q) = g ^ {*} qg ^ { star}.}

Предложение: Если $q$ в $M$ , тогда $Т (q)$ также в $M$ .

Доказательство: ${ displaystyle (g ^ {*} qg ^ { star}) ^ {*} = (g ^ { star}) ^ {*} q ^ {*} g = (g ^ {*}) ^ { star} q ^ { star} g = (g ^ {*} qg ^ { star}) ^ { star}.}$

Предложение: ${ displaystyle quad T (q) (T (q)) ^ {*} = qq ^ {*}}$

Доказательство: сначала отметьте, что $gg * = 1$ означает, что сумма квадратов его четырех комплексных компонентов равна единице. Тогда сумма квадратов комплексные конъюгаты из этих компонентов тоже один. Следовательно, ${ displaystyle g ^ { star} (g ^ { star}) ^ {*} = mathbf {1}.}$ Сейчас же

{ displaystyle (g ^ {*} qg ^ { star}) (g ^ {*} qg ^ { star}) ^ {*} = g ^ {*} qg ^ { star} (g ^ { star}) ^ {*} q ^ {*} g = g ^ {*} qq ^ {*} g = qq ^ {*}.}

Связанная терминология

Поскольку бикватернионы были неотъемлемой частью линейная алгебра с начала математическая физика, существует множество концепций, которые иллюстрируются или представлены алгеброй бикватернионов. В группа трансформации ${ Displaystyle G = lbrace g: gg ^ {*} = 1 rbrace}$ состоит из двух частей, ${ displaystyle G cap H}$ и ${ displaystyle G cap M.}$ Первая часть характеризуется ${ Displaystyle г = г ^ { звезда}}$ ; то преобразование Лоренца, соответствующее $грамм$ дан кем-то ${ Displaystyle Т (д) = г ^ {- 1} qg}$ поскольку ${ displaystyle g ^ {*} = g ^ {- 1}.}$ Такое преобразование является вращение умножением кватернионов, а их коллекция О (3) ${ displaystyle cong G cap H.}$ Но эта подгруппа $грамм$ это не нормальная подгруппа так что нет факторгруппа может быть сформирован.

Смотреть ${ Displaystyle G cap M}$ в бикватернионах необходимо показать структуру подалгебры. Позволять $р$ представляют собой элемент сфера квадратных корней из минус единицы в реальной кватернионной подалгебре $ℍ$ . потом $(час) 2 = +1$ и плоскость бикватернионов, заданная формулой ${ Displaystyle D_ {r} = lbrace z = x + yhr: x, y in mathbb {R} rbrace}$ является коммутативной подалгеброй, изоморфной плоскости разделенные комплексные числа. Так же, как обычная комплексная плоскость имеет единичный круг, ${ displaystyle D_ {r}}$ имеет гипербола единиц данный

{ Displaystyle ехр (ahr) = cosh (a) + hr sinh (a), quad a in R.}

Подобно тому, как единичный круг вращается путем умножения через один из своих элементов, гипербола поворачивается, потому что ${ Displaystyle ехр (ahr) ехр (bhr) = ехр ((a + b) час).}$ Поэтому эти алгебраические операторы на гиперболе называются гиперболические версоры. Единичный круг в $ℂ$ и гипербола единиц в $D р$ являются примерами однопараметрические группы. На каждый квадратный корень $р$ минус один в $ℍ$ , в бикватернионах существует однопараметрическая группа ${ displaystyle G cap D_ {r}.}$

Пространство бикватернионов имеет естественную топология сквозь Евклидова метрика на $8$ -Космос. Что касается этой топологии, $грамм$ это топологическая группа. Более того, он имеет аналитическую структуру, что делает его шестипараметрическим. Группа Ли. Рассмотрим подпространство бивекторы ${ Displaystyle A = lbrace q: q ^ {*} = - q rbrace}$ . Тогда экспоненциальная карта ${ displaystyle exp: от A до G}$ переводит действительные векторы в ${ displaystyle G cap H}$ и $час$ -векторы в ${ displaystyle G cap M.}$ При оснащении коммутатор, $А$ формирует Алгебра Ли из $грамм$ . Таким образом, это исследование шестимерное пространство служит для введения общих понятий Теория лжи. При просмотре в матричном представлении $грамм$ называется специальная линейная группа SL (2, С) в $M 2 (ℂ)$ .

Многие концепции специальная теория относительности проиллюстрированы через выложенные бикватернионные структуры. Подпространство $M$ соответствует Пространство Минковского, с четырьмя координатами, определяющими временные и пространственные положения событий в состоянии покоя. точка зрения. Любой гиперболический вариант $ехр (ахр)$ соответствует скорость в направлении $р$ скорости $c танх а$ куда $c$ это скорость света. Инерциальную систему отсчета этой скорости можно сделать системой покоя, применив Повышение лоренца $Т$ данный $грамм = exp (0,5 ахр)$ с того времени ${ displaystyle g ^ { star} = exp (-0,5ahr) = g ^ {*}}$ так что ${ Displaystyle Т ( ехр (ahr)) = 1.}$ Естественно гиперболоид ${ displaystyle G cap M,}$ который представляет собой диапазон скоростей субпросветного движения, представляет физический интерес. Была проведена значительная работа, связывающая это "пространство скоростей" с модель гиперболоида из гиперболическая геометрия. В специальной теории относительности гиперболический угол параметр гиперболического версора называется быстрота. Таким образом, мы видим группу бикватернионов $грамм$ обеспечивает групповое представительство для Группа Лоренца.

После введения спинор теория, особенно в руках Вольфганг Паули и Эли Картан, бикватернионное представление группы Лоренца было заменено. Новые методы были основаны на базисные векторы в наборе

{ displaystyle lbrace q : qq ^ {*} = 0 rbrace = lbrace w + x mathbf {i} + y mathbf {j} + z mathbf {k} : w ^ {2 } + x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 0 rbrace}

который называется сложный световой конус. Вышесказанное представление группы Лоренца совпадает с тем, что физики называют четырехвекторный. За пределами четырех векторов стандартная модель физики элементарных частиц также включает другие представления Лоренца, известные как скаляры, а $(1, 0) \oplus (0, 1)$ -представительство, связанное, например, с в тензор электромагнитного поля. Кроме того, физика элементарных частиц использует $SL (2, ℂ)$ представления (или проективные представления группы Лоренца), известные как лево- и правосторонние Спиноры Вейля, Спиноры майораны, и Спиноры Дирака. Известно, что каждое из этих семи представлений может быть построено как инвариантное подпространство внутри бикватернионов.^[8]

Как композиционная алгебра

Хотя В.Р. Гамильтон представил бикватернионы в XIX веке, его очертания математическая структура как особый вид алгебра над полем было достигнуто в 20 веке: бикватернионы могут быть созданы из бикомплексные числа так же, как Адриан Альберт сгенерировал действительные кватернионы из комплексных чисел в так называемом Конструкция Кэли-Диксона. В этой конструкции бикомплексное число (ш, г) имеет сопряженное (ш, г)* = (ш, – z).

Бикватернион тогда представляет собой пару бикомплексных чисел (а, б), где произведение со вторым бикватернионом (CD) является

{ displaystyle (a, b) (c, d) = (ac-d ^ {*} b, da + bc ^ {*}).}

Если ${ Displaystyle а = (и, v), Ь = (ш, г),}$ затем двусопряженный ${ displaystyle (a, b) ^ {*} = (a ^ {*}, - b).}$

Когда (а, б) * записывается как 4-вектор обычных комплексных чисел,

{ displaystyle (u, v, w, z) ^ {*} = (u, -v, -w, -z).}

Бикватернионы образуют пример кватернионная алгебра, и имеет норму

{ Displaystyle N (u, v, w, z) = u ^ {2} + v ^ {2} + w ^ {2} + z ^ {2}.}

Два бикватерниона п и q удовлетворить ${ Displaystyle N (pq) = N (p) N (q)}$ указывая, что N является квадратичной формой, допускающей композицию, так что бикватернионы образуют композиционная алгебра.

Смотрите также

Примечания

^ Труды Королевской ирландской академии Ноябрь 1844 г. (NA) и 1850 г. стр. 388 из Google Книги [1]
^ ^а ^б Д. Дж. Х. Гарлинг (2011) Алгебры Клиффорда: Введение, Издательство Кембриджского университета.
^ ^а ^б Фрэнсис и Косовски (2005) Построение спиноров в геометрической алгебре. Анналы физики, 317, 384—409. Ссылка на статью
^ ^а ^б Уильям Роуэн Гамильтон (1853) Лекции по кватернионам, Статья 669. Этот историко-математический текст доступен в Интернете благодаря любезности Корнелл Университет
^ Гамильтон (1899) Элементы кватернионов, 2-е издание, стр. 289
^ Леонард Диксон (1914) Линейные алгебры, §13 «Эквивалентность комплексной кватернионной и матричной алгебр», стр. 13, через HathiTrust
^ Ланцош, Корнелиус (1949), Вариационные принципы механики, University of Toronto Press, стр. 304–312 См. Уравнение 94.16, стр. 305. Следующая алгебра сравнивается с алгеброй Ланцоша, за исключением того, что он использует ~ для обозначения кватернионного сопряжения и * для комплексного сопряжения.
^ Фьюри 2012

Число системы
Счетные множества	Натуральные числа ( ${ Displaystyle mathbb {N}}$ ) Целые числа ( ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ ) Рациональное число ( ${ displaystyle mathbb {Q}}$ ) Конструируемые числа Алгебраические числа ( ${ displaystyle mathbb {A}}$ ) Периоды Вычислимые числа Определимые действительные числа Арифметические числа Гауссовские целые числа
Композиционные алгебры	Алгебры с делением: Действительные числа ( ${ Displaystyle mathbb {R}}$ ) Сложные числа ( ${ Displaystyle mathbb {C}}$ ) Кватернионы ( ${ displaystyle mathbb {H}}$ ) Октонионы ( ${ displaystyle mathbb {O}}$ )
Расколоть типы	над ${ Displaystyle mathbb {R}}$ : Сплит-комплексные числа Сплит-кватернионы Сплит-октонионы над ${ Displaystyle mathbb {C}}$ : Бикомплексные числа Бикватернионы Биоктонионы
Другой гиперкомплекс	Двойные числа Двойные кватернионы Двойные комплексные числа Гиперболические кватернионы Седенионы ( ${ Displaystyle mathbb {S}}$ ) Сплит-бикватернионы Мультикомплексные номера Геометрическая алгебра Алгебра физического пространства Алгебра пространства-времени
Другие типы	Количественные числительные Иррациональные числа Нечеткие числа Гиперреальные числа Поле Леви-Чивита Сюрреалистические числа Трансцендентные числа Порядковые номера п-адический числа (п-адический соленоиды ) Сверхъестественные числа Сверхреальные числа
Классификация Список