Математика общей теории относительности - Mathematics of general relativity

Эта статья включает Список ссылок, связанное чтение или внешняя ссылка, но его источники остаются неясными, потому что в нем отсутствует встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Апрель 2018 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Часть цикла статей о
Общая теория относительности
${ displaystyle G _ { mu nu} + Lambda g _ { mu nu} = { frac {8 pi G} {c ^ {4}}} T _ { mu nu}}$
Вступление История Математическая формулировка Тесты
Основные концепции Принцип относительности Теория относительности Точка зрения Инерциальная система отсчета Рама отдыха Кадр с центром импульса Световой конус Принцип эквивалентности Эквивалентность массы и энергии Специальная теория относительности Двойная специальная теория относительности инвариант де Ситтера специальная теория относительности Масштаб относительности Мировая линия Подходящее время Риманова геометрия Энергетическое состояние
Явления Гравитоэлектромагнетизм Проблема Кеплера Сила тяжести Гравитационное поле Гравитационный колодец Гравитационное линзирование Гравитационные волны Гравитационное красное смещение Красное смещение Синее смещение Замедление времени Гравитационное замедление времени Задержка Шапиро Гравитационный потенциал Гравитационное сжатие Гравитационный коллапс Перетаскивание кадра Геодезический эффект Видимый горизонт Горизонт событий Гравитационная сингулярность Обнаженная особенность Черная дыра Белая дыра Пространство-время Космос Время Диаграммы пространства-времени Пространство-время Минковского Замкнутая времениподобная кривая (СТС) Червоточина Червоточина Эллиса
Уравнения Формализмы Уравнения Линеаризованная гравитация Уравнения поля Эйнштейна Фридман Геодезические Матиссон – Папапетру – Диксон Гамильтон – Якоби – Эйнштейн Инвариант кривизны (общая теория относительности) Лоренцево многообразие Формализмы ADM БССН Ньюман – Пенроуз Постньютоновский Продвинутая теория Теория Калуцы – Клейна Квантовая гравитация Супергравитация
Решения Шварцшильд (интерьер ) Рейсснер-Нордстрём Гёдель Керр Керр – Ньюман Kasner Лемэтр – Толман Тауб-ОРЕХ Milne Робертсон – Уокер pp-волна van Stockum пыль Вейль – Льюис – Папапетру Вакуумный раствор
Теоремы Теорема Биркгофа Теорема Героха о расщеплении Теорема Гольдберга – Сакса. Теорема Лавлока Теорема об отсутствии волос Теоремы Пенроуза – Хокинга об особенностях Теорема положительной энергии
Ученые Эйнштейн Лоренц Гильберта Пуанкаре Шварцшильд де Ситтер Рейсснер Nordström Weyl Эддингтон Фридман Milne Цвикки Лемэтр Гёдель Уиллер Робертсон Бардин Уокер Керр Чандрасекхар Элерс Пенроуз Хокинг Райчаудхури Тейлор Hulse van Stockum Тауб Новичок Яу Торн другие

В математика общей теории относительности относится к различным математический структуры и методы, которые используются при изучении и формулировании Альберт Эйнштейн теория общая теория относительности. Основные инструменты, используемые в этом геометрический теория из гравитация находятся тензорные поля определено на Лоренцево многообразие представляющий пространство-время. Эта статья представляет собой общее описание математики общей теории относительности.

Примечание. В статьях по общей теории относительности, в которых используются тензоры, будет использоваться обозначение абстрактного индекса.

Тензоры

В принцип общей ковариантности был одним из центральных принципов в развитии общей теории относительности. В нем говорится, что законы физика должны принимать одну и ту же математическую форму во всех системы отсчета. Термин «общая ковариантность» использовался в ранней формулировке общей теории относительности, но теперь этот принцип часто упоминается как «ковариация диффеоморфизма '.

Ковариация диффеоморфизма не является определяющей чертой ОТО,^[1] и остаются споры относительно его нынешнего статуса в общей теории относительности. Однако свойство инвариантности физических законов, подразумеваемое в принципе, в сочетании с тем фактом, что теория по существу имеет геометрический характер (с использованием неевклидовы геометрии ), предложил сформулировать общую теорию относительности на языке тензоры. Об этом будет сказано ниже.

Пространство-время как многообразие

Самые современные подходы к математической общая теория относительности начнем с концепции многообразие. Точнее, базовая физическая конструкция, представляющая гравитация - искривленное пространство-время - моделируется четырехмерным, гладким, связаны, Лоренцево многообразие. Другие физические дескрипторы представлены различными тензорами, обсуждаемыми ниже.

Обоснование выбора многообразия в качестве фундаментальной математической структуры состоит в том, чтобы отразить желаемые физические свойства. Например, в теории многообразий каждая точка содержится в (ни в коем случае не единственной) карта координат, и эту диаграмму можно представить как представление «локального пространства-времени» вокруг наблюдатель (обозначается точкой). Принцип локальная ковариация Лоренца, в котором говорится, что законы специальная теория относительности удерживать локально вокруг каждой точки пространства-времени, оказывает дополнительную поддержку выбору структуры многообразия для представления пространства-времени, поскольку локально вокруг точки на общем многообразии область `` выглядит как '' или очень близко приближается Пространство Минковского (плоское пространство-время).

Идея координатных карт как «местных наблюдателей, которые могут проводить измерения в непосредственной близости» также имеет хороший физический смысл, поскольку именно так собираются физические данные - локально. Для космологических задач координатная карта может быть довольно большой.

Локальная и глобальная структура

Важное различие в физике - различие между локальными и глобальными структурами. Измерения в физике выполняются в относительно небольшой области пространства-времени, и это одна из причин для изучения локальная структура пространства-времени в общей теории относительности, а определение глобальная пространственно-временная структура важно, особенно в космологических проблемах.

Важная проблема общей теории относительности - определить, когда два пространства-времени «одинаковы», по крайней мере, локально. Эта проблема имеет свои корни в теории многообразий, где определение того, являются ли два римановых многообразия одинаковой размерности локально изометрический («локально то же самое»). Эта последняя проблема была решена, и ее адаптация для общей теории относительности называется Алгоритм Картана – Карлхеде.

Тензоры в общей теории относительности

Одним из важных следствий теории относительности была отмена привилегированные опорные кадры. Описание физических явлений не должно зависеть от того, кто проводит измерения - одна система отсчета должна быть не хуже любой другой. Специальная теория относительности показала, что нет инерциальная система отсчета был предпочтительнее любой другой инерциальной системы отсчета, но предпочитал инерциальные системы отсчета над неинерциальной системой отсчета. Общая теория относительности устранила предпочтение инерциальной системы отсчета, показав, что не существует предпочтительной системы отсчета (инерциальной или нет) для описания природы.

Любой наблюдатель может проводить измерения, и получаемые точные числовые величины зависят только от используемой системы координат. Это предложило способ формулирования теории относительности с использованием «инвариантных структур», которые не зависят от используемой системы координат (представленной наблюдателем), но все же существуют независимо. Наиболее подходящей математической структурой казался тензор. Например, при измерении электрического и магнитного полей, создаваемых ускоряющим зарядом, значения полей будут зависеть от используемой системы координат, но поля рассматриваются как имеющие независимое существование, эта независимость представлена электромагнитный тензор .

Математически тензоры - это обобщенные линейные операторы - многолинейные карты. Таким образом, идеи линейная алгебра используются для изучения тензоров.

В каждой точке ${ displaystyle p}$ из многообразие, то касательная и котангенсные пространства к многообразию в этой точке. Векторы (иногда называемый контравариантные векторы ) определяются как элементы касательного пространства и ковекторы (иногда называемый ковариантные векторы, но чаще двойные векторы или же одноформный ) - элементы котангенсного пространства.

В ${ displaystyle p}$, эти двое векторные пространства может использоваться для построения типа ${ displaystyle (r, s)}$ тензоры, которые являются действительными полилинейными отображениями, действующими на прямая сумма из ${ displaystyle r}$ копии котангенсного пространства с ${ displaystyle s}$ копии касательного пространства. Набор всех таких полилинейных отображений образует векторное пространство, называемое тензорное произведение пространство типа ${ displaystyle (r, s)}$ в ${ displaystyle p}$ и обозначается ${ displaystyle (T_ {p}) _ {s} ^ {r} M.}$ Если касательное пространство n-мерно, можно показать, что ${ displaystyle dim (T_ {p}) _ {s} ^ {r} M = n ^ {r + s}.}$

в общая теория относительности В литературе для тензоров принято использовать компонентный синтаксис.

Тип ${ displaystyle (r, s)}$ тензор можно записать как

${ displaystyle T = {T ^ {a_ {1} ldots a_ {r}}} _ {{b_ {1}} ldots {b_ {s}}} { frac { partial} { partial x ^ {a_ {1}}}} otimes ldots otimes { frac { partial} { partial x ^ {a_ {r}}}} otimes dx ^ {b_ {1}} otimes ldots otimes dx ^ {b_ {s}}}$

куда ${ Displaystyle { tfrac { partial} { partial x ^ {a_ {i}}}}}$ является основой для я-ое касательное пространство и ${ displaystyle dx ^ {b_ {j}}}$ основа для j-й котангенс.

В качестве пространство-время предполагается четырехмерным, каждый индекс тензора может иметь одно из четырех значений. Следовательно, общее количество элементов тензора равно 4^р, где R - количество ковариантных ${ displaystyle (b_ {i})}$ и контравариантный ${ Displaystyle (а_ {я})}$ индексы на тензоре, ${ displaystyle r + s}$ (число, называемое классифицировать тензора).

Симметричные и антисимметричные тензоры

Некоторые физические величины представлены тензорами, не все компоненты которых независимы. Важные примеры таких тензоров включают симметричные и антисимметричные тензоры. Антисимметричные тензоры обычно используются для представления поворотов (например, тензор завихренности ).

Хотя общий ранг р тензор в 4 измерениях имеет 4^р компоненты, ограничения на тензор, такие как симметрия или антисимметрия, служат для уменьшения количества отдельных компонентов. Например, симметричный тензор второго ранга ${ displaystyle T}$ удовлетворяет ${ Displaystyle Т _ { альфа бета} = Т _ { бета альфа}}$ и имеет 10 независимых компонент, тогда как антисимметричный (кососимметричный) тензор второго ранга ${ displaystyle P}$ удовлетворяет ${ Displaystyle P _ { alpha beta} = - P _ { beta alpha}}$ и имеет 6 независимых компонентов. Для рангов больше двух симметричные или антисимметричные пары индексов должны быть явно идентифицированы.

Антисимметричные тензоры ранга 2 играют важную роль в теории относительности. Набор всех таких тензоров - часто называемых бивекторы - образует векторное пространство размерности 6, иногда называемое бивекторным пространством.

Метрический тензор

Метрический тензор - это центральный объект в общей теории относительности, который описывает локальную геометрию пространства-времени (в результате решения Уравнения поля Эйнштейна ). С использованием приближение слабого поля, метрику также можно рассматривать как представление «гравитационного потенциала». Метрический тензор часто называют просто метрикой.

Метрика - симметричный тензор и важный математический инструмент. А также привык к повышать и понижать тензорные индексы, он также генерирует связи которые используются для построения геодезический уравнения движения и Тензор кривизны Римана.

Удобный способ выражения метрического тензора в сочетании с инкрементными интервалами координатного расстояния, к которым он относится, - это выражение линейный элемент:

${ displaystyle ds ^ {2} = g_ {ab} , dx ^ {a} , dx ^ {b}}$

Такой способ выражения метрики использовали пионеры дифференциальная геометрия. Хотя некоторые релятивисты считают эту нотацию несколько старомодной, многие с готовностью переключаются между этой и альтернативной нотацией:^[1]

${ displaystyle g = g_ {ab} , dx ^ {a} otimes dx ^ {b}}$

Метрический тензор обычно записывается как матрица 4 на 4. Эта матрица симметрична и, следовательно, имеет 10 независимых компонентов.

Инварианты

Одна из центральных особенностей ОТО - идея неизменности физических законов. Эту инвариантность можно описать разными способами, например, в терминах локальная ковариация Лоренца, то общий принцип относительности, или же ковариация диффеоморфизма.

Более подробное описание можно дать с помощью тензоров. Ключевой особенностью тензоров, используемых в этом подходе, является тот факт, что (если указана метрика) операция сжатия тензора ранга R по всем индексам R дает число - инвариантный - это не зависит от карта координат один используется для выполнения сокращения. Физически это означает, что если инвариант вычисляется любыми двумя наблюдателями, они получат одинаковое число, таким образом предполагая, что инвариант имеет какое-то независимое значение. Некоторые важные инварианты в теории относительности включают:

• В Скаляр Риччи: ${ Displaystyle R = R ^ { alpha beta} g _ { alpha beta}}$
• В Скаляр Кречмана: ${ Displaystyle К = R ^ {abcd} R_ {abcd}}$

Другие примеры инвариантов в теории относительности включают электромагнитные инварианты, и различные другие инварианты кривизны, некоторые из последних находят применение при изучении гравитационная энтропия и Гипотеза кривизны Вейля.

Тензорные классификации

Классификация тензоров - чисто математическая задача. В ОТО, однако, определенные тензоры, имеющие физическую интерпретацию, могут быть отнесены к различным формам тензора, обычно соответствующим определенной физике. Примеры тензорных классификаций, полезных в общей теории относительности, включают Классификация Сегре из тензор энергии-импульса и Классификация Петрова из Тензор Вейля. Существуют различные методы классификации этих тензоров, некоторые из которых используют тензорные инварианты.

Тензорные поля в общей теории относительности

Тензорные поля на многообразии - это карты, которые прикрепляют тензор к каждой точке многообразие. Это понятие можно уточнить, введя идею пучок волокон, что в данном контексте означает собрать вместе все тензоры во всех точках многообразия, таким образом `` связав '' их все в один большой объект, называемый тензорное расслоение. Затем тензорное поле определяется как отображение многообразия в тензорное расслоение, каждая точка ${ displaystyle p}$ связан с тензором в ${ displaystyle p}$.

Понятие тензорного поля очень важно в ОТО. Например, геометрия вокруг звезда описывается метрическим тензором в каждой точке, поэтому в каждой точке пространства-времени должно быть задано значение метрики для определения траекторий материальных частиц. Другой пример - значения электрического и магнитного полей (заданные электромагнитное поле тензор) и метрика в каждой точке вокруг заряженного черная дыра для определения движения заряженной частицы в таком поле.

Векторные поля являются контравариантными тензорными полями первого ранга. Важные векторные поля в относительность включить четырехскоростной, ${ displaystyle U ^ {a} = { dot {x}} ^ {a}}$, который представляет собой координатное расстояние, пройденное за единицу собственного времени, четырехскоростной ${ displaystyle A ^ {a} = { ddot {x}} ^ {a}}$ и четырехканальный ${ displaystyle J ^ {a}}$ описывающая плотность заряда и тока. К другим физически важным тензорным полям в теории относительности относятся следующие:

• В тензор энергии-импульса ${ displaystyle T ^ {ab}}$, симметричный тензор второго ранга.
• В тензор электромагнитного поля ${ displaystyle F ^ {ab}}$, антисимметричный тензор второго ранга.

Хотя слово «тензор» относится к объекту в точке, на практике обычно называют тензорные поля в пространстве-времени (или его области) просто «тензорами».

В каждой точке пространство-время на котором определена метрика, ее можно привести к форме Минковского, используя Закон инерции Сильвестра.

Тензорные производные

До появления общей теории относительности изменения в физических процессах обычно описывались частные производные, например, при описании изменений в электромагнитные поля (видеть Уравнения Максвелла ). Даже в специальная теория относительности, частной производной по-прежнему достаточно для описания таких изменений. Однако в общей теории относительности необходимо использовать производные, которые также являются тензорами. У производных инструментов есть некоторые общие черты, в том числе то, что они интегральные кривые векторных полей.

Проблема определения производных на коллекторы которые не являются плоскими, заключается в том, что нет естественного способа сравнить векторы в разных точках. Для определения производных требуется дополнительная структура на общем многообразии. Ниже описаны две важные производные, которые могут быть определены путем наложения дополнительной структуры на многообразие в каждом случае.

Аффинные связи

Кривизна пространство-время можно охарактеризовать, взяв вектор в некоторой точке и параллельная транспортировка это вдоль изгиб о пространстве-времени. Аффинная связь - это правило, которое описывает, как законно перемещать вектор по кривой на многообразии, не меняя его направления.

По определению аффинная связность - это билинейное отображение ${ Displaystyle Gamma (TM) раз Gamma (TM) to Gamma (TM)}$, куда ${ Displaystyle Gamma (TM)}$ - это пространство всех векторных полей в пространстве-времени. Эту билинейную карту можно описать с помощью набора коэффициенты связи (также известный как Символы Кристоффеля ), определяющий, что происходит с компонентами базисных векторов при бесконечно малом параллельном переносе:

${ displaystyle nabla _ {e_ {i}} e_ {j} = Gamma _ {ji} ^ {k} e_ {k}}$

Несмотря на свой внешний вид, коэффициенты связи не являются компонентами тензора.

Вообще говоря, есть ${ displaystyle D ^ {3}}$ независимые коэффициенты связи в каждой точке пространства-времени. Связь называется симметричный или же без кручения, если ${ Displaystyle Gamma _ {ji} ^ {k} = Gamma _ {ij} ^ {k}}$. Симметричное соединение имеет не более ${ Displaystyle { tfrac {1} {2}} D ^ {2} (D + 1)}$ уникальные коэффициенты.

Для любой кривой ${ displaystyle gamma}$ и два очка ${ Displaystyle А = гамма (0)}$ и ${ Displaystyle В = гамма (т)}$ на этой кривой аффинная связность порождает отображение векторов в касательном пространстве в точке ${ displaystyle A}$ на векторы в касательном пространстве при ${ displaystyle B}$:

${ Displaystyle X (T) = Pi _ {0, t, gamma} X (0)}$

и ${ Displaystyle X (т)}$ можно вычислить покомпонентно, решив дифференциальное уравнение

${ displaystyle { frac {d} {dt}} X ^ {i} (t) = nabla _ {C (t)} X ^ {i} (t) = Gamma _ {jk} ^ {i} X ^ {j} (t) C ^ {k} (t)}$

куда ${ Displaystyle C ^ {j} (т)}$ вектор, касательный к кривой в точке ${ Displaystyle gamma (т)}$.

Важной аффинной связью в общей теории относительности является Леви-Чивита связь, которое является симметричным соединением, полученным в результате параллельного переноса касательного вектора вдоль кривой с сохранением постоянного внутреннего произведения этого вектора вдоль кривой. Полученные коэффициенты связи (Символы Кристоффеля ) возможно рассчитывается непосредственно из метрики. По этой причине такой тип подключения часто называют метрическое соединение.

Ковариантная производная

Позволять ${ displaystyle X}$ быть точкой, ${ displaystyle { vec {A}}}$ вектор, расположенный в ${ displaystyle X}$, и ${ displaystyle { vec {B}}}$ векторное поле. Идея дифференцировать ${ displaystyle { vec {B}}}$ в ${ displaystyle X}$ по направлению ${ displaystyle { vec {A}}}$ физически значимым образом можно понять, выбрав аффинную связь и параметризованную гладкую кривую ${ Displaystyle gamma (т)}$ такой, что ${ Displaystyle X = гамма (0)}$ и ${ Displaystyle { vec {A}} = { tfrac {d} {dt}} gamma (0)}$. Формула

${ displaystyle nabla _ { vec {A}} { vec {B}} (X) = lim _ { epsilon to 0} { frac {1} { epsilon}} left [ Pi _ {( epsilon, 0, gamma)} { vec {B}} ( gamma [ epsilon]) - { vec {B}} (X) right]}$

для ковариантной производной от ${ displaystyle { vec {B}}}$ вдоль ${ displaystyle { vec {A}}}$ связано с подключением ${ displaystyle Pi}$ оказывается, что дает независимые от кривой результаты и может использоваться как «физическое определение» ковариантной производной.

Его можно выразить с помощью коэффициентов связи:

${ displaystyle nabla _ { vec {Y}} { vec {X}} = X ^ {a} {} _ {; b} Y ^ {b} { frac { partial} { partial x ^ {a}}} = (X ^ {a} {} _ {, b} + Gamma _ {bc} ^ {a} X ^ {c}) Y ^ {b} { frac { partial} { частичный x ^ {a}}}}$

Выражение в скобках, называемое ковариантная производная от ${ displaystyle X}$ (относительно связи) и обозначается ${ displaystyle nabla { vec {X}}}$, чаще используется в расчетах:

${ displaystyle nabla { vec {X}} = X ^ {a} {} _ {; b} { frac { partial} { partial x ^ {a}}} otimes dx ^ {b} = (X ^ {a} {} _ {, b} + Gamma _ {bc} ^ {a} X ^ {c}) { frac { partial} { partial x ^ {a}}} otimes dx ^ {b}}$

Ковариантная производная от ${ displaystyle X}$ таким образом, можно рассматривать как дифференциальный оператор воздействуя на векторное поле, отправляя его в тип (1, 1) тензор (увеличение индекса ковариантности на 1) и может быть обобщен для действия на тип ${ displaystyle (r, s)}$ тензорные поля, отправляющие их на тип ${ Displaystyle (г, s + 1)}$ тензорные поля. Тогда понятия параллельного переноса можно определить так же, как и в случае векторных полей. По определению ковариантная производная скалярного поля равна регулярной производной поля.

В литературе существует три распространенных метода обозначения ковариантного дифференцирования:

${ displaystyle D_ {a} T_ {d dots e} ^ {b dots c} = nabla _ {a} T_ {d dots e} ^ {b dots c} = T_ {d dots e; а} ^ {б точки с}}$

Многие стандартные свойства регулярных частных производных также применимы к ковариантным производным:

${ displaystyle { begin {align} nabla _ {a} (X ^ {b} + Y ^ {b}) & = nabla _ {a} X ^ {b} + nabla _ {a} Y ^ {b} nabla _ {a} (cX ^ {b}) & = c nabla _ {a} X ^ {b} && c { text {a constant}} nabla _ {a} ( X ^ {b} Y ^ {c}) & = Y ^ {c} ( nabla _ {a} X ^ {b}) + X ^ {b} ( nabla _ {a} Y ^ {c}) nabla _ {a} (f (x) X ^ {b}) & = f nabla _ {a} X ^ {b} + X ^ {b} nabla _ {a} f = f nabla _ {a} X ^ {b} + X ^ {b} { partial f over partial x ^ {a}} конец {выровнено}}}$

В общей теории относительности обычно ссылаются на «ковариантную производную», которая связана с аффинной связностью Леви-Чивиты. По определению, связность Леви-Чивиты сохраняет метрику при параллельном переносе, поэтому ковариантная производная дает ноль при действии на метрический тензор (а также на его обратный). Это означает, что мы можем брать (обратный) метрический тензор в производную и извлекать из нее и использовать его для повышения и понижения индексов:

${ displaystyle nabla _ {a} T ^ {b} = nabla _ {a} (T_ {c} g ^ {bc}) = g ^ {bc} nabla _ {a} T_ {c}}$

Производная Ли

Другой важной тензорной производной является производная Ли. В отличие от ковариантной производной, производная Ли не зависит от метрики, хотя в общей теории относительности обычно используется выражение, которое, по-видимому, зависит от метрики через аффинную связность. В то время как ковариантная производная требует аффинной связи для сравнения векторов в разных точках, производная Ли использует сравнение из векторного поля для достижения той же цели. Идея Ложь тащится функция по конгруэнции приводит к определению производной Ли, где перетаскиваемая функция сравнивается со значением исходной функции в данной точке. Производная Ли может быть определена для типа ${ displaystyle (r, s)}$ тензорные поля и в этом отношении можно рассматривать как карту, которая отправляет тип ${ displaystyle (r, s)}$ к типу ${ displaystyle (r, s)}$ тензор.

Производную Ли обычно обозначают через ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {X}}$, куда ${ displaystyle X}$ - векторное поле, вдоль которого соответствие берется производная Ли.

Производная Ли любого тензора вдоль векторного поля может быть выражена через ковариантные производные этого тензора и векторного поля. Производная Ли скаляра - это просто производная по направлению:

${ Displaystyle { mathcal {L}} _ {X} phi = X ^ {a} nabla _ {a} phi = X ^ {a} { frac { partial phi} { partial x ^ {а}}}}$

Объекты более высокого ранга получают дополнительные члены, когда берется производная Ли. Например, производная Ли типа (0, 2) тензор

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {X} T_ {ab} = X ^ {c} nabla _ {c} T_ {ab} + ( nabla _ {a} X ^ {c}) T_ { cb} + ( nabla _ {b} X ^ {c}) T_ {ac} = X ^ {c} T_ {ab, c} + X _ {, a} ^ {c} T_ {cb} + X_ {, б} ^ {c} T_ {ac}}$

В более общем смысле,

${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} _ {X} & T ^ {a_ {1} ldots a_ {r}} {} _ {b_ {1} ldots b_ {s}} = X ^ {c} ( nabla _ {c} T ^ {a_ {1} ldots a_ {r}} {} _ {b_ {1} ldots b_ {s}}) - & quad ( nabla _ {c} X ^ {a_ {1}}) T ^ {c ldots a_ {r}} {} _ {b_ {1} ldots b_ {s}} - cdots - ( nabla _ {c } X ^ {a_ {r}}) T ^ {a_ {1} ldots a_ {r-1} c} {} _ {b_ {1} ldots b_ {s}} + & quad ( nabla _ {b_ {1}} X ^ {c}) T ^ {a_ {1} ldots a_ {r}} {} _ {c ldots b_ {s}} + cdots + ( nabla _ {b_ {s}} X ^ {c}) T ^ {a_ {1} ldots a_ {r}} {} _ {b_ {1} ldots b_ {s-1} c} end {align}}}$

Фактически в приведенном выше выражении можно заменить ковариантную производную ${ displaystyle nabla _ {a}}$ с любой соединение без кручения ${ Displaystyle { тильда { набла}} _ {а}}$ или локально, с координатно-зависимой производной ${ displaystyle partial _ {a}}$, показывающий, что производная Ли не зависит от метрики. Однако ковариантная производная удобна тем, что коммутирует с повышающими и понижающими индексами.

Одно из основных применений производной Ли в общей теории относительности - изучение пространственно-временных симметрий, в которых сохраняются тензоры или другие геометрические объекты. В частности, симметрия Киллинга (симметрия метрического тензора относительно увлечения Ли) очень часто встречается при изучении пространства-времени. Используя формулу выше, мы можем записать условие, которое должно быть выполнено, чтобы векторное поле генерировало симметрию Киллинга:

${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} _ {X} g_ {ab} = 0 & Longleftrightarrow nabla _ {a} X_ {b} + nabla _ {b} X_ {a} = 0 & Longleftrightarrow X ^ {c} g_ {ab, c} + X _ {, a} ^ {c} g_ {bc} + X _ {, b} ^ {c} g_ {ac} = 0 end { выровнено}}}$

Тензор кривизны Римана

Важная особенность общая теория относительности - это понятие искривленного многообразия. Полезный способ измерения кривизны многообразия - использовать объект, называемый тензором Римана (кривизны).

Этот тензор измеряет кривизну с помощью аффинная связь рассматривая эффект параллельная транспортировка вектор между двумя точками вдоль двух кривых. Расхождение между результатами этих двух параллельных транспортных маршрутов по существу определяется количественно Тензор Римана.

Это свойство тензора Римана можно использовать для описания того, как исходно параллельные геодезические расходятся. Это выражается уравнением геодезическое отклонение и означает, что приливные силы испытанные в гравитационном поле являются результатом кривизны пространство-время.

Используя описанную выше процедуру, тензор Римана определяется как тип (1, 3) тензор и при полной записи явно содержит Символы Кристоффеля и их первые частные производные. Тензор Римана имеет 20 независимых компонент. Обнуление всех этих компонентов над областью указывает на то, что пространство-время равно плоский в этом регионе. С точки зрения геодезического отклонения это означает, что изначально параллельные геодезические в этой области пространства-времени останется параллельным.

Тензор Римана обладает рядом свойств, иногда называемых симметрии тензора Римана. Особое значение для общая теория относительности - алгебраическое и дифференциальное тождества Бианки.

Связь и кривизна любых Риманово многообразие тесно связаны, теория группы голономии, которые формируются путем взятия линейных карт, определенных параллельным перемещением вокруг кривых на многообразии, обеспечивая описание этой взаимосвязи.

Тензор Римана позволяет нам математически сказать, является ли пространство плоским или, если оно искривлено, сколько кривизны имеет место в той или иной области. Чтобы вывести тензор кривизны Римана, мы должны сначала напомнить определение ковариантная производная тензора с одним и двумя индексами;

1. ${ displaystyle nabla _ { mu} V _ { nu} = partial _ { mu} V _ { nu} - Gamma ^ { rho} {} _ { mu nu} V _ { rho} }$
2. ${ displaystyle nabla _ { sigma} [V _ { mu nu}] = partial _ { sigma} V _ { mu nu} - Gamma ^ { rho} {} _ { mu sigma } V _ { rho nu} - Gamma ^ { rho} {} _ { nu sigma} V _ { mu rho}}$

Для образования тензора Римана ковариантная производная берется дважды по тензору первого ранга. Уравнение составлено следующим образом;

${ Displaystyle { begin {align} nabla _ { sigma; mu} V _ { nu} & = nabla _ { sigma} [ nabla _ { mu} V _ { nu}] & = partial _ { sigma} [ nabla _ { mu} V _ { nu}] - Gamma ^ { rho} {} _ { mu sigma} [ nabla _ { rho} V _ { nu}] - Gamma ^ { rho} {} _ { nu sigma} [ nabla _ { mu} V _ { rho}] & = partial _ { sigma} [ partial _ { mu} V _ { nu} - Gamma ^ { alpha} {} _ { nu mu} V _ { alpha}] - Gamma ^ { rho} {} _ { mu sigma} [ частичный _ { rho} V _ { nu} - Gamma ^ { alpha} {} _ { nu rho} V _ { alpha}] - Gamma ^ { rho} {} _ { nu sigma } [ partial _ { mu} V _ { rho} - Gamma ^ { alpha} {} _ { rho mu} V _ { alpha}] & = partial _ { sigma} partial _ { mu} V _ { nu} - partial _ { sigma} ( Gamma ^ { alpha} {} _ { nu mu} V _ { alpha}) - Gamma ^ { rho} { } _ { mu sigma} partial _ { rho} V _ { nu} + Gamma ^ { rho} {} _ { mu sigma} Gamma ^ { alpha} {} _ { nu rho} V _ { alpha} - Gamma ^ { rho} {} _ { nu sigma} partial _ { mu} V _ { rho} + Gamma ^ { rho} {} _ { nu sigma} Gamma ^ { alpha} {} _ { rho mu} V _ { alpha} & = partial _ { sigma} partial _ { mu} V _ { nu} - частичный _ { sigma} ( Gamma ^ { alpha} {} _ { nu mu}) V _ { alpha} - Gamma ^ { alpha} {} _ { nu mu} partial _ { sigma} (V _ { alpha}) - Gamma ^ { rho} {} _ { mu sigma} partial _ { rho} V _ { nu} + Gamma ^ { rho} {} _ { mu sigma} Гамма ^ { alpha} {} _ { nu rho} V _ { alpha} - Gamma ^ { rho} {} _ { nu sigma} partial _ { mu} V _ { rho} + Gamma ^ { rho} {} _ { nu sigma} Gamma ^ { alpha} {} _ { rho mu} V _ { alpha} end {align}}}$

Аналогично у нас есть:

${ displaystyle nabla _ { mu; sigma} V _ { nu} = partial _ { mu} partial _ { sigma} V _ { nu} - partial _ { mu} ( Gamma ^ { alpha} {} _ { nu sigma}) V _ { alpha} - Gamma ^ { alpha} {} _ { nu sigma} partial _ { mu} (V _ { alpha}) - Gamma ^ { rho} {} _ { sigma mu} partial _ { rho} V _ { nu} + Gamma ^ { rho} {} _ { sigma mu} Gamma ^ { alpha} {} _ { nu rho} V _ { alpha} - Gamma ^ { rho} {} _ { nu mu} partial _ { sigma} V _ { rho} + Gamma ^ { rho} {} _ { nu mu} Gamma ^ { alpha} {} _ { rho sigma} V _ { alpha}}$

Вычитая два уравнения, меняя местами фиктивные индексы и используя симметрию Символы Кристоффеля листья:

${ displaystyle nabla _ { sigma; mu} V _ { nu} - nabla _ { mu; sigma} V _ { nu} = ( partial _ { mu} Gamma ^ { alpha} {} _ { nu sigma} - partial _ { sigma} Gamma ^ { alpha} {} _ { nu mu} + Gamma ^ { rho} {} _ { nu sigma} Gamma ^ { alpha} {} _ { rho mu} - Gamma ^ { rho} {} _ { nu mu} Gamma ^ { alpha} {} _ { rho sigma}) V _ { alpha}}$

или же

${ Displaystyle R _ { nu mu sigma} ^ { alpha} V _ { alpha} = ( partial _ { mu} Gamma ^ { alpha} {} _ { nu sigma} - partial _ { sigma} Gamma ^ { alpha} {} _ { nu mu} + Gamma ^ { rho} {} _ { nu sigma} Gamma ^ { alpha} {} _ { rho mu} - Gamma ^ { rho} {} _ { nu mu} Gamma ^ { alpha} {} _ { rho sigma}) V _ { alpha}}$

Наконец Тензор кривизны Римана записывается как;

${ Displaystyle R _ { nu mu sigma} ^ { alpha} = partial _ { mu} Gamma ^ { alpha} {} _ { nu sigma} - partial _ { sigma} Гамма ^ { alpha} {} _ { nu mu} + Gamma ^ { rho} {} _ { nu sigma} Gamma ^ { alpha} {} _ { rho mu} - Гамма ^ { rho} {} _ { nu mu} Gamma ^ { alpha} {} _ { rho sigma}}$

Вы можете сжать индексы, чтобы сделать тензор ковариантным, просто умножив его на метрику, что будет полезно при работе с Полевые уравнения Эйнштейна,

${ displaystyle g _ { alpha lambda} R _ { nu mu sigma} ^ { lambda} = R _ { alpha nu mu sigma}}$

и при дальнейшем разложении

${ Displaystyle г ^ { альфа му} R _ { alpha nu mu sigma} = R _ { nu sigma}}$

Этот тензор называется Тензор Риччи который также можно получить, задав ${ displaystyle alpha}$ и ${ displaystyle mu}$ в тензоре Римана к тому же индексу и суммированием по ним. Тогда скаляр кривизны можно найти, проделав еще один шаг,

${ displaystyle g ^ { nu sigma} R _ { nu sigma} = R}$

Итак, теперь у нас есть 3 разных объекта,

1. то Тензор кривизны Римана: ${ Displaystyle Р _ { ню му сигма} ^ { альфа}}$ или же ${ Displaystyle R _ { alpha nu mu sigma}}$
2. то Тензор Риччи: ${ Displaystyle R _ { nu sigma}}$
3. то скалярная кривизна: ${ displaystyle R}$

все они полезны при вычислении решений уравнений поля Эйнштейна.

Тензор энергии-импульса

Источники любого гравитационного поля (материя и энергия) представлены в теории относительности видом (0, 2) симметричный тензор, называемый тензор энергии-импульса. Это тесно связано с Тензор Риччи. Поскольку тензор энергии-импульса является тензором второго ранга в четырех измерениях, его можно рассматривать как матрицу 4 на 4. Различные допустимые типы матриц, называемые Иорданские формы не может все произойти, поскольку энергетические условия что тензор энергии-импульса вынужден удовлетворять исключенным некоторым формам.

Энергосбережение

В GR есть местный закон сохранения энергии-импульса. Кратко это можно выразить тензорным уравнением:

${ displaystyle T ^ {ab} {} _ {; b} = 0}$

Соответствующее утверждение о локальном сохранении энергии в специальная теория относительности является:

${ displaystyle T ^ {ab} {} _ {, b} = 0}$

Это иллюстрирует практическое правило что «частные производные переходят в ковариантные производные».

Уравнения поля Эйнштейна

Уравнения поля Эйнштейна (EFE) являются ядром общей теории относительности. EFE описывает, как масса и энергия (как представлено в тензор энергии-импульса ) связаны с кривизной пространства-времени (как показано в Тензор Эйнштейна ). В обозначение абстрактного индекса, EFE гласит:

${ displaystyle G_ {ab} + Lambda g_ {ab} = {8 pi G over c ^ {4}} T_ {ab}}$

куда ${ displaystyle G_ {ab}}$ это Тензор Эйнштейна, ${ displaystyle Lambda}$ это космологическая постоянная, ${ displaystyle g_ {ab}}$ это метрический тензор, ${ displaystyle c}$ это скорость света в вакууме и ${ displaystyle G}$ это гравитационная постоянная, который исходит из Закон всемирного тяготения Ньютона.

Решения EFE - метрические тензоры. EFE, будучи нелинейными дифференциальными уравнениями для метрики, часто трудно решить. Для их решения используется ряд стратегий. Например, одна из стратегий - начать с анзац (или обоснованное предположение) окончательной метрики и уточняйте ее до тех пор, пока она не станет достаточно конкретной, чтобы поддерживать систему координат, но все же достаточно общей, чтобы получить набор одновременных дифференциальные уравнения с неизвестными, которые можно решить. Метрические тензоры, возникающие в случаях, когда полученные дифференциальные уравнения могут быть решены точно для физически разумного распределения энергии-импульса, называются точные решения. Примеры важных точных решений включают Решение Шварцшильда и Решение Фридмана-Лемэтра-Робертсона-Уокера.

Приближение EIH плюс другие ссылки (например, Geroch and Jang, 1975 - «Движение тела в общей теории относительности», JMP, Vol. 16 Issue 1).

Уравнения геодезических

После того, как EFE решены для получения метрики, остается определить движение инерционных объектов в пространстве-времени. В общей теории относительности предполагается, что движение по инерции происходит вдоль времениподобных и нулевых геодезических пространства-времени, как параметризованное подходящее время. Геодезические кривые, которые параллельный транспорт собственный касательный вектор ${ displaystyle { vec {U}}}$; т.е. ${ displaystyle nabla _ { vec {U}} { vec {U}} = 0}$. Это условие, геодезическое уравнение, можно записать в системе координат ${ Displaystyle х ^ {а}}$ с касательным вектором ${ displaystyle U ^ {a} = { frac {dx ^ {a}} {d tau}}}$:

${ displaystyle { ddot {x}} ^ {a} + { Gamma ^ {a}} _ {bc} , { dot {x}} ^ {b} , { dot {x}} ^ {c} = 0}$

куда ${ displaystyle { dot {}}}$ обозначает производную по собственному времени, ${ Displaystyle д / д тау}$, с τ параметризация подходящее время вдоль кривой и обнаруживая наличие Символы Кристоффеля.

Принципиальная особенность общей теории относительности - определение траектории частиц и излучения в гравитационных полях. Это достигается решение геодезических уравнений.

EFE связывают распределение полного вещества (энергии) с кривизной пространство-время. Их нелинейность приводит к проблеме определения точного движения материи в результирующем пространстве-времени. Например, в системе, состоящей из одной планеты, вращающейся вокруг звезда, движение планеты определяется путем решения уравнений поля с тензором энергии-импульса, суммирующим тензор для планета и звезда. В гравитационное поле планеты влияет на общую геометрию пространства-времени и, следовательно, на движение объектов. Поэтому разумно предположить, что уравнения поля могут использоваться для вывода уравнений геодезических.

Когда тензор энергии-импульса системы - это тензор пыль, можно показать, используя локальный закон сохранения для тензора энергии-импульса, что уравнения геодезических выполняются точно.

Лагранжева формулировка

Проблема вывода уравнений движения или уравнений поля в любой физической теории многими исследователями считается привлекательной. Достаточно универсальный способ выполнения этих выводов - использование техники вариационное исчисление, основные объекты, используемые в этом существе Лагранжианы.

Многие считают этот подход элегантным способом построения теории, другие - просто формальным способом выражения теории (обычно лагранжево построение выполняется после теория была разработана).

Математические методы анализа пространства-времени

Обрисовав в общих чертах основные математические структуры, используемые при формулировании теории, теперь будут обсуждаться некоторые важные математические методы, которые используются при исследовании пространства-времени.

Поля кадра

Эта секция нуждается в расширении. Вы можете помочь добавляя к этому. (Август 2011 г.)

Поле кадра - это ортонормированный набор из 4 векторные поля (1 таймоподобный, 3 пространственноподобный), определенные на пространство-время. Каждое поле кадра можно рассматривать как представление наблюдателя в пространстве-времени, движущегося по интегральным кривым времениподобного векторного поля. Каждую тензорную величину можно выразить через поле кадра, в частности, через метрический тензор принимает особенно удобную форму. В союзе с поля coframe, поля кадра предоставляют мощный инструмент для анализа пространства-времени и физической интерпретации математических результатов.

Векторные поля симметрии

Эта секция нуждается в расширении. Вы можете помочь добавляя к этому. (Август 2011 г.)

Некоторые современные методы анализа пространства-времени в значительной степени полагаются на использование пространственно-временных симметрий, которые бесконечно малы порождаются векторные поля (обычно определяемые локально) в пространстве-времени, которые сохраняют некоторые особенности пространства-времени. Самый распространенный вид таких векторные поля симметрии включают Убивающие векторные поля (сохраняющие метрическую структуру) и их обобщения, называемые обобщенные векторные поля Киллинга. Векторные поля симметрии находят широкое применение при изучении точные решения в общей теории относительности и множество всех таких векторных полей обычно образует конечномерную Алгебра Ли.

Проблема Коши

Эта секция нуждается в расширении. Вы можете помочь добавляя к этому. (Август 2011 г.)

В Задача Коши (иногда называемая проблемой начального значения) - это попытка найти решение дифференциальное уравнение с учетом начальных условий. В контексте общая теория относительности, это означает проблему поиска решений Полевые уравнения Эйнштейна - система гиперболические уравнения в частных производных - даны некоторые исходные данные о гиперповерхности. Изучение задачи Коши позволяет сформулировать понятие причинности в общей теории относительности, а также «параметризовать» решения уравнений поля. В идеале хочется глобальные решения, но обычно местные решения лучшее, на что можно надеяться. Как правило, решение этой задачи начального значения требует выбора конкретных условия координат.

Спинорный формализм

Эта секция нуждается в расширении. Вы можете помочь добавляя к этому. (Август 2011 г.)

Спиноры найти несколько важных приложений в теории относительности. Их использование в качестве метода анализа пространства-времени с использованием тетрады, в частности, в Формализм Ньюмана – Пенроуза это важно.

Еще одна привлекательная особенность спиноров в общая теория относительности - это сжатый способ записи некоторых тензорных уравнений с использованием спинорного формализма. Например, при классификации тензора Вейля, определяя различные Типы Петрова становится намного проще по сравнению с тензорным аналогом.

Исчисление Редже

Эта секция нуждается в расширении. Вы можете помочь добавляя к этому. (Август 2011 г.)

Исчисление Редже - это формализм, который разбивает лоренцево многообразие на дискретные `` куски '' (четырехмерные симплициальные блоки ) и длины ребер блоков принимаются в качестве основных переменных. Дискретная версия Действие Эйнштейна – Гильберта получается путем рассмотрения так называемого углы дефицита из этих блоков нулевой угол дефицита, соответствующий отсутствию кривизны. Эта новая идея находит применение в методах приближения в числовая теория относительности и квантовая гравитация, последний - с использованием обобщения исчисления Редже.

Теоремы сингулярности

Эта секция нуждается в расширении. Вы можете помочь добавляя к этому. (Июнь 2008 г.)

В общей теории относительности отмечалось, что при достаточно общих условиях гравитационный коллапс неизбежно приведет к так называемому необычность. Сингулярность - это точка, в которой решения уравнений становятся бесконечными, что указывает на то, что теория исследовалась в неподходящих диапазонах.

Численная теория относительности

Эта секция нуждается в расширении. Вы можете помочь добавляя к этому. (Август 2011 г.)

Численная теория относительности - это подраздел общей теории относительности, которая пытается решить уравнения Эйнштейна с помощью численных методов. Конечная разница, заключительный элемент и псевдоспектральный методы используются для аппроксимации решения уравнения в частных производных которые возникают. Новые методы, разработанные численной теорией относительности, включают метод вырезания и метод прокола для работы с сингулярностями, возникающими в пространстве-времени черной дыры. Общие темы исследований включают черные дыры и нейтронные звезды.

Методы возмущений

Эта секция нуждается в расширении. Вы можете помочь добавляя к этому. (Июнь 2008 г.)

Нелинейность Уравнения поля Эйнштейна часто приводит к рассмотрению приближенных методов их решения. Например, важный подход - линеаризовать уравнения поля. Техники из теория возмущений находят широкое применение в таких областях.

Смотрите также

• Исчисление Риччи - Обозначение тензорного индекса для тензорных вычислений

Примечания

^[1] Определяющая черта (центральная физическая идея) общей теории относительности состоит в том, что материя и энергия вызывают искривление окружающей геометрии пространства-времени.

Рекомендации

• Эйнштейн, А. (1961). Относительность: специальная и общая теория. Нью-Йорк: Корона. ISBN  0-517-02961-8.
• Миснер, Чарльз; Торн, Кип С. и Уиллер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация. Сан-Франциско: В. Х. Фриман. ISBN  0-7167-0344-0.
• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Э. М. (1975). Классическая теория полей (четвертое исправленное английское издание). Оксфорд: Пергамон. ISBN  0-08-018176-7.