Формализм ADM - ADM formalism

Часть цикла статей о
Общая теория относительности
${displaystyle G_ {mu u} + Lambda g_ {mu u} = {frac {8pi G} {c ^ {4}}} T_ {mu u}}$
Вступление История Математическая формулировка Тесты
Основные концепции Принцип относительности Теория относительности Точка зрения Инерциальная система отсчета Рама отдыха Рамка центра импульса Световой конус Принцип эквивалентности Эквивалентность массы и энергии Специальная теория относительности Двойная специальная теория относительности инвариант де Ситтера специальная теория относительности Масштаб относительности Мировая линия Подходящее время Риманова геометрия Энергетическое состояние
Явления Гравитоэлектромагнетизм Проблема Кеплера Сила тяжести Гравитационное поле Гравитационный колодец Гравитационное линзирование Гравитационные волны Гравитационное красное смещение Красное смещение Синее смещение Замедление времени Гравитационное замедление времени Задержка Шапиро Гравитационный потенциал Гравитационное сжатие Гравитационный коллапс Перетаскивание кадра Геодезический эффект Видимый горизонт Горизонт событий Гравитационная сингулярность Обнаженная особенность Черная дыра Белая дыра Пространство-время Космос Время Диаграммы пространства-времени Пространство-время Минковского Замкнутая времениподобная кривая (СТС) Червоточина Червоточина Эллиса
Уравнения Формализмы Уравнения Линеаризованная гравитация Уравнения поля Эйнштейна Фридман Геодезические Матиссон – Папапетру – Диксон Гамильтон – Якоби – Эйнштейн Инвариант кривизны (общая теория относительности) Лоренцево многообразие Формализмы ADM БССН Ньюман – Пенроуз Постньютоновский Продвинутая теория Теория Калуцы – Клейна Квантовая гравитация Супергравитация
Решения Шварцшильд (интерьер ) Рейсснер-Нордстрём Гёдель Керр Керр – Ньюман Kasner Лемэтр – Толман Тауб-ОРЕХ Milne Робертсон – Уокер pp-волна van Stockum пыль Вейль – Льюис – Папапетру Вакуумный раствор
Теоремы Теорема Биркгофа Теорема Героха о расщеплении Теорема Гольдберга – Сакса. Теорема Лавлока Теорема об отсутствии волос Теоремы Пенроуза – Хокинга об особенностях Теорема положительной энергии
Ученые Эйнштейн Лоренц Гильберта Пуанкаре Шварцшильд де Ситтер Рейсснер Nordström Weyl Эддингтон Фридман Milne Цвикки Лемэтр Гёдель Уиллер Робертсон Бардин Уокер Керр Чандрасекхар Элерс Пенроуз Хокинг Райчаудхури Тейлор Hulse van Stockum Тауб Новичок Яу Торн другие

Ричард Арновитт, Стэнли Дезер и Чарльз Миснер на ADM-50: празднование нынешних инноваций в сфере GR конференция, проведенная в ноябре 2009 г.^[1] в честь 50-летия своей газеты.

В Формализм ADM (назван в честь авторов Ричард Арновитт, Стэнли Дезер и Чарльз В. Миснер ) это Гамильтониан формулировка общая теория относительности что играет важную роль в каноническая квантовая гравитация и числовая теория относительности. Впервые он был опубликован в 1959 году.^[2]

Комплексный обзор формализма, опубликованный авторами в 1962 г.^[3] перепечатано в журнале Общая теория относительности и гравитации,^[4] а оригинальные документы можно найти в архивах Физический обзор.^[2][5]

Обзор

Формализм предполагает, что пространство-время является слоистый в семейство пространственноподобных поверхностей ${displaystyle Sigma _ {t}}$, помеченные их временной координатой ${displaystyle t}$, и с координатами на каждом срезе, заданными как ${displaystyle x ^ {i}}$. В качестве динамических переменных этой теории принимаются метрический тензор трехмерных пространственных срезов ${displaystyle gamma _ {ij} (t, x ^ {k})}$ и их сопряженные импульсы ${displaystyle pi ^ {ij} (t, x ^ {k})}$. Используя эти переменные, можно определить Гамильтониан, и тем самым запишем уравнения движения для общей теории относительности в виде Уравнения Гамильтона.

В дополнение к двенадцати переменным ${displaystyle gamma _ {ij}}$ и ${displaystyle pi ^ {ij}}$, Есть четыре Множители Лагранжа: the функция задержки, ${displaystyle N}$, и компоненты сдвиг векторного поля, ${displaystyle N_ {i}}$. Они описывают, как каждый из "уходит" ${displaystyle Sigma _ {t}}$ слоения пространства-времени свариваются. Уравнения движения для этих переменных можно задавать произвольно; эта свобода соответствует свободе указывать, как размещать система координат в пространстве и времени.

Обозначение

Большинство ссылок используют нотацию, в которой четырехмерные тензоры записываются в нотации абстрактных индексов, и что греческие индексы - это индексы пространства-времени, принимающие значения (0, 1, 2, 3), а латинские индексы - пространственные индексы, принимающие значения (1, 2, 3). При выводе здесь верхний индекс (4) добавляется к величинам, которые обычно имеют как трехмерную, так и четырехмерную версию, например метрический тензор для трехмерных срезов. ${displaystyle g_ {ij}}$ и метрический тензор для полного четырехмерного пространства-времени ${displaystyle {^ {(4)}} g_ {mu u}}$.

В тексте здесь используется Обозначения Эйнштейна в котором предполагается суммирование по повторяющимся индексам.

Используются два типа производных: Частные производные обозначаются либо оператором ${displaystyle partial _ {i}}$ или нижними индексами, перед которыми стоит запятая. Ковариантные производные обозначаются либо оператором ${displaystyle abla _ {i}}$ или индексами, перед которыми ставится точка с запятой.

Абсолютное значение детерминант матрицы коэффициентов метрического тензора представляется как ${displaystyle g}$ (без индексов). Другие тензорные символы, написанные без индексов, представляют собой след соответствующего тензора, например ${displaystyle pi = g ^ {ij} pi _ {ij}}$.

Вывод

Лагранжева формулировка

Отправной точкой для формулировки ADM является Лагранжиан

${displaystyle {mathcal {L}} = {^ {(4)} R} {sqrt {^ {(4)} g}},}$

который является произведением квадратного корня из детерминант четырехмерного метрический тензор для всего пространства-времени и его Скаляр Риччи. Это лагранжиан из Действие Эйнштейна – Гильберта.

Желаемый результат вывода - определить вложение трехмерных пространственных срезов в четырехмерное пространство-время. Метрика трехмерных срезов

${displaystyle g_ {ij} = {^ {(4)}} g_ {ij}}$

будет обобщенные координаты для гамильтоновой постановки. В сопряженные импульсы затем можно вычислить как

${displaystyle pi ^ {ij} = {sqrt {^ {(4)} g}} слева ({^ {(4)}} Гамма _ {pq} ^ {0} -g_ {pq} {^ {(4) }} Гамма _ {rs} ^ {0} g ^ {rs} ight) g ^ {ip} g ^ {jq},}$

используя стандартные приемы и определения. Символы ${displaystyle {^ {(4)}} Гамма _ {ij} ^ {0}}$ находятся Символы Кристоффеля связанный с метрикой полного четырехмерного пространства-времени. Промежуток

${displaystyle N = left (- {^ {(4)} g ^ {00}} ight) ^ {- 1/2}}$

и вектор сдвига

${displaystyle N_ {i} = {^ {(4)} g_ {0i}}}$

- остальные элементы четырехметрического тензора.

После определения величин для формулировки следующий шаг - переписать лагранжиан в терминах этих переменных. Новое выражение для лагранжиана

${displaystyle {mathcal {L}} = - g_ {ij} partial _ {t} pi ^ {ij} -NH-N_ {i} P ^ {i} -2partial _ {i} left (pi ^ {ij} N_ {j} - {frac {1} {2}} pi N ^ {i} + abla ^ {i} N {sqrt {g}} ight)}$

удобно записать в терминах двух новых величин

${displaystyle H = - {sqrt {g}} left [^ {(3)} R + g ^ {- 1} left ({frac {1} {2}} pi ^ {2} -pi ^ {ij} pi _ {ij} ight) ight]}$

и

${displaystyle P ^ {i} = - 2pi ^ {ij} {} _ {; j},}$

которые известны как Гамильтонова связь и импульсное ограничение соответственно. Пропуск и сдвиг появляются в лагранжиане как Множители Лагранжа.

Уравнения движения

Хотя переменные в лагранжиане представляют метрический тензор на трехмерных пространствах, вложенных в четырехмерное пространство-время, можно и желательно использовать обычные процедуры от Лагранжева механика вывести «уравнения движения», которые описывают временную эволюцию как метрических ${displaystyle g_ {ij}}$ и его сопряженный импульс ${displaystyle pi ^ {ij}}$. Результат

${displaystyle partial _ {t} g_ {ij} = {frac {2N} {sqrt {g}}} left (pi _ {ij} - {frac {1} {2}} pi g_ {ij} ight) + N_ {i; j} + N_ {j; i}}$

и

${displaystyle {egin {align} partial _ {t} pi ^ {ij} = & - N {sqrt {g}} left (R ^ {ij} - {frac {1} {2}} Rg ^ {ij} ight ) + {frac {N} {2 {sqrt {g}}}} g ^ {ij} left (pi ^ {mn} pi _ {mn} - {frac {1} {2}} pi ^ {2} ight ) - {frac {2N} {sqrt {g}}} влево (pi ^ {in} {pi _ {n}} ^ {j} - {frac {1} {2}} pi pi ^ {ij} ight) & + {sqrt {g}} left (abla ^ {i} abla ^ {j} Ng ^ {ij} abla ^ {n} abla _ {n} Night) + abla _ {n} left (pi ^ {ij } N ^ {n} ight) - {N ^ {i}} _ {; n} pi ^ {nj} - {N ^ {j}} _ {; n} pi ^ {ni} end {align}}}$

это нелинейный набор из уравнения в частных производных.

Варианты отклонения и сдвига позволяют получить уравнения связи

${displaystyle H = 0}$

и

${displaystyle P ^ {i} = 0,}$

и сами погрешности и сдвиги могут быть свободно указаны, что отражает тот факт, что системы координат могут быть свободно указаны как в пространстве, так и во времени.

Приложения

Приложение к квантовой гравитации

Используя формулировку ADM, можно попытаться построить квантовая теория гравитации таким же образом, как строят Уравнение Шредингера соответствующему данному гамильтониану в квантовая механика. То есть заменить канонические импульсы ${displaystyle pi ^ {ij} (t, x ^ {k})}$ а пространственные метрические функции - линейными функционально-дифференциальными операторами

${displaystyle {hat {g}} _ {ij} (t, x ^ {k}) mapsto g_ {ij} (t, x ^ {k}),}$

${displaystyle {hat {pi}} ^ {ij} (t, x ^ {k}) mapsto -i {frac {delta} {delta g_ {ij} (t, x ^ {k})}}.}.}$

Точнее, замена классических переменных операторами ограничена коммутационные отношения. Шляпы представляют операторов в квантовой теории. Это приводит к Уравнение Уиллера – ДеВитта.

Приложение к численному решению уравнений Эйнштейна

Существует относительно немного известных точных решений Уравнения поля Эйнштейна. Чтобы найти другие решения, существует активная область исследований, известная как числовая теория относительности в котором суперкомпьютеры используются для поиска приближенных решений уравнений. Чтобы построить такие решения численно, большинство исследователей начинают с формулировки уравнений Эйнштейна, тесно связанных с формулировкой ADM. Наиболее распространенные подходы начинаются с проблема начального значения основанный на формализме ADM.

В гамильтоновых формулировках основным моментом является замена системы уравнений второго порядка другой системой уравнений первого порядка. Мы можем легко получить эту вторую систему уравнений с помощью гамильтоновой формулировки. Конечно, это очень полезно для числовой физики, потому что уменьшение порядка дифференциальных уравнений часто удобно, если мы хотим подготовить уравнения для компьютера.

Энергия и масса ADM

ADM energy - это особый способ определения энергия в общая теория относительности, что применимо только к некоторым специальным геометриям пространство-время которые асимптотически приближаются к хорошо определенному метрический тензор на бесконечности - например, пространство-время, которое асимптотически приближается Пространство Минковского. Энергия ADM в этих случаях определяется как функция отклонения метрического тензора от его предписанной асимптотики. Другими словами, энергия ADM вычисляется как сила гравитационного поля на бесконечности.

Если требуемая асимптотика не зависит от времени (например, само пространство Минковского), то она учитывает трансляционный во времени симметрия. Теорема Нётер тогда означает, что энергия ADM сохраняется. Согласно общей теории относительности, закон сохранения полной энергии не выполняется в более общих, зависящих от времени фонах - например, он полностью нарушается в физическая космология. Космическая инфляция в частности, может производить энергию (и массу) из «ничего», потому что энергия вакуума плотность примерно постоянна, но объем Вселенной растет экспоненциально.

Применение к модифицированной гравитации

Используя Разложение ADM и введением дополнительных вспомогательных полей, в 2009 г. Deruelle и другие. нашел способ найти Граничный член Гиббонса – Хокинга – Йорка за модифицированная гравитация теории, «лагранжиан которых является произвольной функцией тензора Римана».^[6]

Полемика

В 2008 году Кирющева и Кузьмин опубликовали формальное опровержение четырех традиционных мудростей, окружающих формализм ADM:^[7] особенно примечательно то, что только в формализме гамильтониана Дирака, а не в формализме ADM, собственно инвариантность диффеоморфизма может быть восстановлена ​​с помощью канонических преобразований. Различие в канонической структуре гамильтоновых формализмов Дирака и ADM является продолжающимся спором, которое еще предстоит завершить в физической литературе.

Смотрите также

• Канонические координаты
• Уравнение Гамильтона – Якоби – Эйнштейна.
• Метрика Переса

Примечания

Рекомендации

• Кифер, Клаус (2007). Квантовая гравитация. Оксфорд, Нью-Йорк: Oxford University Press. ISBN  978-0-19-921252-1.