Проблема начального значения - Initial value problem

An проблема начального значения^[а] является обыкновенное дифференциальное уравнение вместе с начальное состояние который определяет значение неизвестной функции в данной точке домена. Моделирование системы в физика или другие науки часто сводятся к решению проблемы начальной ценности. В этом контексте дифференциальное начальное значение представляет собой уравнение, которое определяет, как система развивается со временем учитывая начальные условия задачи

Определение

An проблема начального значения является дифференциальным уравнением

{ Displaystyle у '(т) = е (т, у (т))}

с участием

{ displaystyle f двоеточие Omega subset mathbb {R} times mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R} ^ {n}}

где

{ displaystyle Omega}

это открытый набор

{ Displaystyle mathbb {R} times mathbb {R} ^ {n}}

,

вместе с точкой в области ${ displaystyle f}$

{ displaystyle (t_ {0}, y_ {0}) in Omega}

,

называется начальное состояние.

А решение к задаче начального значения - это функция ${ displaystyle y}$ которое является решением дифференциального уравнения и удовлетворяет

{ Displaystyle у (т_ {0}) = у_ {0}}

.

В более высоких измерениях дифференциальное уравнение заменяется семейством уравнений ${ displaystyle y_ {i} '(t) = f_ {i} (t, y_ {1} (t), y_ {2} (t), dotsc)}$ , и ${ Displaystyle у (т)}$ рассматривается как вектор ${ Displaystyle (y_ {1} (t), dotsc, y_ {n} (t))}$ , чаще всего ассоциируется с положением в пространстве. В более общем плане неизвестная функция ${ displaystyle y}$ может принимать значения в бесконечномерных пространствах, например Банаховы пространства или пробелы распределения.

Задачи начального значения расширяются до более высоких порядков, обрабатывая производные так же, как независимую функцию, например ${ Displaystyle у '' (т) = е (т, у (т), у '(т))}$ .

Существование и уникальность решений

Для большого класса задач с начальным значением существование и единственность решения можно проиллюстрировать с помощью калькулятора.

В Теорема Пикара – Линделёфа гарантирует единственное решение на некотором интервале, содержащем т₀ если непрерывно на области, содержащей т₀ и у₀ и удовлетворяет Условие Липшица по переменной уДоказательство этой теоремы проводится путем переформулировки задачи в виде эквивалентной интегральное уравнение. Интеграл можно рассматривать как оператор, переводящий одну функцию в другую, так что решение является фиксированная точка оператора. В Теорема Банаха о неподвижной точке затем вызывается, чтобы показать, что существует единственная фиксированная точка, которая является решением проблемы начального значения.

Более старое доказательство теоремы Пикара – Линделёфа строит последовательность функций, которые сходятся к решению интегрального уравнения и, таким образом, к решению задачи начального значения. Такую конструкцию иногда называют «методом Пикара» или «методом последовательных приближений». Эта версия по сути является частным случаем теоремы Банаха о неподвижной точке.

Хироши Окамура получил необходимое и достаточное условие для единственности решения начальной задачи. Это условие связано с существованием Функция Ляпунова для системы.

В некоторых ситуациях функция ƒ не является класс C¹, или даже Липшиц, поэтому обычный результат, гарантирующий локальное существование единственного решения, неприменим. В Теорема существования Пеано однако доказывает, что даже для ƒ просто непрерывного решения гарантируется локальное существование во времени; проблема в том, что нет гарантии уникальности. Результат можно найти у Коддингтона и Левинсона (1955, теорема 1.3) или Робинсона (2001, теорема 2.6). Еще более общий результат - Теорема существования Каратеодори, что доказывает существование некоторых разрывных функций ƒ.

Примеры

Простой пример - решить ${ Displaystyle у '(т) = 0,85у (т)}$ и ${ Displaystyle у (0) = 19}$ . Мы пытаемся найти формулу для ${ Displaystyle у (т)}$ который удовлетворяет этим двум уравнениям.

Перепишите уравнение так, чтобы ${ displaystyle y}$ находится с левой стороны

{ displaystyle { frac {y '(t)} {y (t)}} = 0,85}

Теперь проинтегрируем обе стороны относительно ${ displaystyle t}$ (это вводит неизвестную константу ${ displaystyle B}$ ).

{ displaystyle int { frac {y '(t)} {y (t)}} , dt = int 0.85 , dt}

{ Displaystyle ln | y (t) | = 0,85t + B}

Устранить логарифм с возведением в степень с обеих сторон

{ displaystyle | y (t) | = e ^ {B} e ^ {0.85t}}

Позволять ${ displaystyle C}$ быть новой неизвестной константой, ${ displaystyle C = pm e ^ {B}}$ , так

{ displaystyle y (t) = Ce ^ {0.85t}}

Теперь нам нужно найти значение для ${ displaystyle C}$ . Использовать ${ Displaystyle у (0) = 19}$ как указано в начале и замените 0 на ${ displaystyle t}$ и 19 для ${ displaystyle y}$

{ displaystyle 19 = Ce ^ {0.85 cdot 0}}

{ displaystyle C = 19}

это дает окончательное решение ${ displaystyle y (t) = 19e ^ {0.85t}}$ .

Второй пример

Решение

{ displaystyle y '+ 3y = 6t + 5, qquad y (0) = 3}

можно найти

{ Displaystyle у (т) = 2e ^ {- 3t} + 2t + 1. ,}

В самом деле,

{ displaystyle { begin {align} y '+ 3y & = { tfrac {d} {dt}} (2e ^ {- 3t} + 2t + 1) +3 (2e ^ {- 3t} + 2t + 1) & = (- 6e ^ {- 3t} +2) + (6e ^ {- 3t} + 6t + 3) & = 6t + 5. End {align}}}

Заметки

[а] Также называется Задача Коши некоторыми авторами^{[нужна цитата ]}

Смотрите также

использованная литература

Коддингтон, Эрл А .; Левинсон, Норман (1955). Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. Нью-Йорк-Торонто-Лондон: McGraw-Hill Book Company, Inc.
Хирш, Моррис В. и Смейл, Стивен (1974). Дифференциальные уравнения, динамические системы и линейная алгебра. Нью-Йорк-Лондон: Academic Press.CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка на сайт)
Окамура, Хироси (1942). "Условие nécessaire et suffisante remplie par les équations différentielles ordinaires sans points de Peano". Mem. Coll. Sci. Univ. Kyoto Ser. А. (На французском). 24: 21–28. МИСТЕР 0031614.
Agarwal, Ravi P .; Лакшмикантам В. (1993). Критерии единственности и неединственности обыкновенных дифференциальных уравнений. Серии в реальном анализе. 6. World Scientific. ISBN 978-981-02-1357-2.
Полянин, Андрей Д .; Зайцев, Валентин Ф. (2003). Справочник точных решений обыкновенных дифференциальных уравнений (2-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall / CRC. ISBN 1-58488-297-2.
Робинсон, Джеймс С. (2001). Бесконечномерные динамические системы: введение в диссипативные параболические уравнения в частных производных и теорию глобальных аттракторов. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-63204-8.