Фиксированная точка (математика) - Fixed point (mathematics)

Функция с тремя фиксированными точками

В математика, а фиксированная точка (иногда сокращается до фиксированная точка, также известный как инвариантная точка) из функция является элементом функции домен который преобразуется в себя функцией. То есть, c - неподвижная точка функции ж если ж(c) = c. Это означает ж(ж(...ж(c)...)) = ж^п(c) = c, важное завершающее рассмотрение при рекурсивном вычислении ж. А набор неподвижных точек иногда называют фиксированный набор.

Например, если ж определяется на действительные числа к

${ Displaystyle е (х) = х ^ {2} -3x + 4,}$

тогда 2 - неподвижная точка ж, потому что ж(2) = 2.

Не все функции имеют фиксированные точки: например, если ж - функция, определенная на действительных числах как ж(Икс) = Икс + 1, то неподвижных точек у него нет, так как Икс никогда не равно Икс +1 для любого действительного числа. Графически фиксированная точка Икс означает точку (Икс, ж(Икс)) на линии у = Икс, или другими словами график из ж имеет общую точку с этой линией.

Точки, которые возвращаются к тому же значению после конечного числа итерации функции называются периодические точки. А фиксированная точка - периодическая точка с периодом, равным единице. В проективная геометрия, неподвижная точка проективность был назван двойная точка.^[1][2]

В Теория Галуа, множество неподвижных точек множества полевые автоморфизмы это поле называется фиксированное поле множества автоморфизмов.

Привлекательные фиксированные точки

В итерация с фиксированной точкой Икс_п+1 = cos Икс_п с начальным значением Икс₁ = −1.

An привлекательная фиксированная точка функции ж фиксированная точка Икс₀ из ж так что для любого значения Икс в области, достаточно близкой к Икс₀, то повторяющаяся функция последовательность

${ Displaystyle х, е (х), е (е (х)), е (е (е (х))), точки}$

сходится к Икс₀. Выражение предпосылок и доказательство существования такого решения дается Теорема Банаха о неподвижной точке.

Естественный косинус функция («естественный» означает в радианы, а не градусы или другие единицы) имеет ровно одну фиксированную точку, что привлекательно. В данном случае «достаточно близко» вовсе не является строгим критерием - чтобы продемонстрировать это, начните с любой действительное число и несколько раз нажмите потому что нажмите на калькуляторе (сначала проверьте, находится ли калькулятор в режиме «радианы»). В конечном итоге она сходится к 0,739085133, что является фиксированной точкой. Именно здесь график функции косинуса пересекает линию ${ displaystyle y = x}$.^[3]

Не все фиксированные точки привлекательны. Например, Икс = 0 - неподвижная точка функции ж(Икс) = 2Икс, но итерация этой функции для любого значения, отличного от нуля, быстро расходится. Однако если функция ж непрерывно дифференцируема в открытой окрестности неподвижной точки Икс₀, и ${ Displaystyle | е , '(x_ {0}) | <1}$, привлечение гарантировано.

Привлекательные неподвижные точки являются частным случаем более широкой математической концепции аттракторы.

Притягивающая неподвижная точка называется стабильная фиксированная точка если это также Конюшня Ляпунова.

Фиксированная точка называется нейтрально устойчивая фиксированная точка если это Конюшня Ляпунова но не привлекает. Центр линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка является примером нейтрально устойчивой неподвижной точки.

Несколько привлекательных очков можно собрать в привлекательный фиксированный набор.

Приложения

Эта секция нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален (Июль 2018 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Во многих областях равновесия или стабильность являются фундаментальными понятиями, которые можно описать в терминах неподвижных точек. Ниже приведены некоторые примеры.

• В экономика, а равновесие по Нэшу из игра фиксированная точка игры лучший ответ. Джон Нэш эксплуатировал Теорема Какутани о неподвижной точке за его основополагающую статью, которая принесла ему Нобелевскую премию по экономике.

• В физика, точнее в теория фазовых переходов, линеаризация рядом с неустойчивый фиксированная точка привела к Уилсон лауреат Нобелевской премии за изобретение ренормализационная группа, и математическому объяснению термина "критическое явление."^[4][5]

• Язык программирования компиляторы использовать вычисления с фиксированной точкой для анализа программ, например, в анализ потока данных, что часто требуется для кода оптимизация. Они также являются основной концепцией, используемой в общем методе анализа программ. абстрактная интерпретация.^[6]

• В теория типов, то комбинатор с фиксированной точкой позволяет определять рекурсивные функции в нетипизированное лямбда-исчисление.

• Вектор PageRank значения всех веб-страниц - это фиксированная точка линейное преобразование полученный из Всемирная паутина ссылочная структура.

• Стационарное распределение Цепь Маркова - фиксированная точка функции вероятности одношагового перехода.

• Логик Саул Крипке использует фиксированные точки в своей влиятельной теории истины. Он показывает, как можно сгенерировать частично определенный предикат истины (тот, который остается неопределенным для проблемных предложений вроде "Это предложение не соответствует действительности"), рекурсивно определяя" истину ", начиная с сегмента языка, который не содержит вхождений слова, и продолжая до тех пор, пока процесс не перестанет давать новые четко определенные предложения (это требует счетная бесконечность шагов.) То есть, для языка L, пусть L '(читается как «L-простое число») будет языком, созданным добавлением к L для каждого предложения S в L, предложение «S верно."Фиксированная точка достигается, когда L 'равно L; в этой точке предложения вроде"Это предложение не соответствует действительности"остаются неопределенными, поэтому, согласно Крипке, теория подходит для естественного языка, который содержит собственный предикат истины.

Топологическое свойство неподвижной точки

А топологическое пространство ${ displaystyle X}$ говорят, что имеет свойство фиксированной точки (кратко FPP) если есть непрерывная функция

${ displaystyle f двоеточие от X до X}$

Существует ${ displaystyle x in X}$ такой, что ${ Displaystyle е (х) = х}$.

FPP - это топологический инвариант, т.е. сохраняется любым гомеоморфизм. FPP также сохраняется любым втягивание.

Согласно Теорема Брауэра о неподвижной точке, каждый компактный и выпуклый подмножество из Евклидово пространство имеет FPP. Сама по себе компактность не подразумевает FPP, а выпуклость даже не является топологическим свойством, поэтому имеет смысл спросить, как топологически охарактеризовать FPP. В 1932 г. Борсук спросил, является ли компактность вместе с сократимость может быть необходимым и достаточным условием для выполнения FPP. Проблема была открыта в течение 20 лет, пока гипотеза не была опровергнута Киношита, который нашел пример компактного стягиваемого пространства без FPP.^[7]

Обобщение на частичные порядки: префиксная точка и постфиксная точка

Понятие и терминология обобщены на частичный заказ. Пусть ≤ - частичный порядок над множеством Икс и разреши ж: Икс → Икс быть функцией над Икс. Затем префиксная точка (также пишется предфиксация) из ж есть ли п такой, что ж(п) ≤ п. Аналогично постфиксная точка (или же пост-фиксированная точка) из ж есть ли п такой, что п ≤ ж(п).^[8] Один из способов выразить Теорема Кнастера – Тарского означает, что монотонная функция на полная решетка имеет наименьшая фиксированная точка который совпадает с его наименьшей префиксной точкой (и аналогично его наибольшая фиксированная точка совпадает с его наибольшей постфиксной точкой). Префиксные и постфиксные точки применяются в теоретическая информатика.^[9]

Смотрите также

Примечания

внешняя ссылка

• Элегантное решение для рисования фиксированной точки