Аттрактор - Attractor

Визуальное представление странный аттрактор^[1].

в математический поле динамические системы, аттрактор представляет собой набор числовых значений, к которым система стремится развиваться для самых разных начальных условий системы. Системные значения, которые достаточно близки к значениям аттрактора, остаются близкими, даже если они слегка нарушены.

В конечномерных системах эволюционирующая переменная может быть представлена алгебраически как п-размерный вектор. Аттрактором является область в п-мерное пространство. В физические системы, то п размеры могут быть, например, двумя или тремя позиционными координатами для каждого из одного или нескольких физических объектов; в экономические системы, они могут быть отдельными переменными, такими как уровень инфляции и уровень безработицы.

Если эволюционирующая переменная двух- или трехмерная, аттрактор динамического процесса может быть представлен геометрически в двух или трех измерениях (как, например, в трехмерном случае, изображенном справа). Аттрактором может быть точка, конечный набор точек, a изгиб, а многообразие, или даже сложный набор с фрактал структура известная как странный аттрактор (увидеть странный аттрактор ниже). Если переменная скаляр, аттрактор - это подмножество прямой числовой линии. Описание аттракторов хаотических динамических систем было одним из достижений теория хаоса.

А траектория динамической системы в аттракторе не должен удовлетворять никаким специальным ограничениям, за исключением того, что остается на аттракторе вперед во времени. Траектория может быть периодический или хаотичный. Если набор точек периодический или хаотический, но поток в окрестности находится вдали от набора, набор не является аттрактором, а вместо этого называется отпугиватель (или же репеллент).

Мотивация аттракторов

А динамическая система обычно описывается одним или несколькими дифференциал или разностные уравнения. Уравнения данной динамической системы определяют ее поведение в течение любого заданного короткого периода времени. Чтобы определить поведение системы в течение более длительного периода, часто необходимо интегрировать уравнения, либо с помощью аналитических средств, либо с помощью итерация, часто с помощью компьютеров.

Динамические системы в физическом мире обычно возникают из диссипативные системы: если бы не какая-то движущая сила, движение прекратилось бы. (Рассеяние может происходить из внутреннее трение, термодинамические потери, или потеря материала, среди многих причин.) Рассеяние и движущая сила имеют тенденцию уравновешиваться, подавляя начальные переходные процессы и приводя систему в ее типичное поведение. Подмножество фазовое пространство динамической системы, соответствующей типичному поведению, является аттрактор, также известный как секция привлечения или аттракцион.

Инвариантные множества и предельные наборы аналогичны концепции аттрактора. An инвариантный набор - это набор, который эволюционирует под действием динамики.^[2] Аттракторы могут содержать инвариантные множества. А установленный предел - это набор точек, в котором существует некоторое начальное состояние, которое заканчивается произвольно близким к предельному набору (то есть к каждой точке набора) по мере того, как время стремится к бесконечности. Аттракторы - это предельные множества, но не все предельные множества являются аттракторами: возможно, что некоторые точки системы сходятся к предельному набору, но разные точки при незначительном отклонении от предельного набора могут быть сбиты с толку и никогда не вернуться в окрестности установленный предел.

Например, затухающий маятник имеет две инвариантные точки: точка $Икс 0$ минимальной высоты и точки $Икс 1$ максимальной высоты. Смысл $Икс 0$ также является предельным множеством, так как к нему сходятся траектории; смысл $Икс 1$ не является ограничением. Из-за рассеивания из-за сопротивления воздуха точка $Икс 0$ также является аттрактором. Если бы не было диссипации, $Икс 0$ не будет аттрактором. Аристотель считал, что объекты перемещаются только до тех пор, пока их толкают, что является ранней формулировкой диссипативного аттрактора.

Известно, что некоторые аттракторы хаотичны (см. # Странный аттрактор ), и в этом случае эволюция любых двух различных точек аттрактора приводит к экспоненциальному расходящиеся траектории, что усложняет прогноз, когда в системе присутствует даже самый маленький шум.^[3]

Математическое определение

Позволять т представляют время и пусть ж(т, •) - функция, задающая динамику системы. То есть, если а точка в п-мерное фазовое пространство, представляющее начальное состояние системы, то ж(0, а) = а а при положительном значении т, ж(т, а) является результатом эволюции этого состояния после т единиц времени. Например, если система описывает эволюцию свободной частицы в одном измерении, то фазовое пространство - это плоскость р² с координатами (Икс,v), где Икс - положение частицы, v его скорость, а = (Икс,v), а эволюция дается выражением

Привлечение цикла периода-3 и его непосредственная область притяжения для определенной параметризации ж(z) = z² + c. Три самых темных точки - это точки 3-цикла, которые последовательно ведут друг к другу, и итерация из любой точки в области притяжения приводит к (обычно асимптотической) сходимости к этой последовательности из трех точек.

{ Displaystyle е (т, (х, v)) = (х + ТВ, v). }

An аттрактор это подмножество А из фазовое пространство характеризуется следующими тремя состояниями:

А является прямой инвариант под ж: если а является элементом А тогда так ж(т,а), для всехт > 0.
Существует район из А, называется бассейн притяжения за А и обозначен B(А), который состоит из всех точек б что "войти А в пределе т → ∞ ". Более формально B(А) - множество всех точек б в фазовом пространстве со следующим свойством:

Для любого открытого района N из А, существует положительная постоянная Т такой, что ж(т,б) ∈ N для всех реальных т > Т.

Не существует собственного (непустого) подмножества А имеющий первые два свойства.

Поскольку бассейн притяжения содержит открытый набор содержащий А, каждая точка, достаточно близкая к А привлекает А. В определении аттрактора используется метрика на фазовом пространстве, но результирующее понятие обычно зависит только от топологии фазового пространства. На случай, если р^п, обычно используется евклидова норма.

В литературе встречается множество других определений аттрактора. Например, некоторые авторы требуют, чтобы аттрактор имел положительный мера (предотвращая превращение точки в аттрактор), другие ослабляют требование, чтобы B(А) быть соседством. ^[4]

Типы аттракторов

Аттракторы - это порции или подмножества из фазовое пространство из динамическая система. До 1960-х годов аттракторы считались простые геометрические подмножества фазового пространства, как точки, линии, поверхности, и простые области трехмерное пространство. Более сложные аттракторы, которые нельзя отнести к категории простых геометрических подмножеств, например топологически дикие наборы, о которых было известно в то время, но считались хрупкими аномалиями. Стивен Смейл смог показать, что его карта подковы был крепкий и что его аттрактор имеет структуру Кантор набор.

Два простых аттрактора - это фиксированная точка и предельный цикл. Аттракторы могут принимать множество других геометрических форм (подмножества фазового пространства). Но когда эти множества (или движения внутри них) нельзя легко описать как простые комбинации (например, пересечение и союз ) из фундаментальные геометрические объекты (например. линии, поверхности, сферы, тороиды, коллекторы ), то аттрактор называется странный аттрактор.

Фиксированная точка

Слабо притягивающая фиксированная точка для комплексного числа, эволюционирующего согласно комплексный квадратичный многочлен. Фазовое пространство - это горизонтальная комплексная плоскость; по вертикальной оси измеряется частота посещения точек комплексной плоскости. Точка на комплексной плоскости непосредственно под пиковой частотой является аттрактором неподвижной точки.

А фиксированная точка функции или преобразования - это точка, которая отображается сама на себя функцией или преобразованием. Если мы рассматриваем эволюцию динамической системы как серию преобразований, тогда может быть или не быть точка, которая остается фиксированной при каждом преобразовании. Конечное состояние, в котором развивается динамическая система, соответствует фиксированной точке притяжения функции эволюции для этой системы, такой как центральное нижнее положение затухающий маятник, уровень и плоская водная линия плещущейся воды в стакане или центр дна чаши содержат катящийся шарик. Но неподвижная точка (точки) динамической системы не обязательно является аттрактором системы. Например, если чаша, содержащая катящийся шарик, была перевернута, и шарик был уравновешен на верхней части чаши, центральное дно (теперь верх) чаши является фиксированным состоянием, но не аттрактором. Это эквивалентно разнице между стабильные и нестабильные равновесия. В случае шарика на вершине перевернутой чаши (холма) эта точка на вершине чаши (холма) является фиксированной точкой (равновесием), но не аттрактором (устойчивое равновесие).

Кроме того, физические динамические системы с хотя бы одной фиксированной точкой неизменно имеют несколько фиксированных точек и аттракторов из-за реальности динамики в физическом мире, включая нелинейная динамика из прикол, трение, шероховатость поверхности, деформация (обе эластичный и пластичность ), и даже квантовая механика.^[5] В случае мрамора на перевернутой чаше, даже если она кажется идеальной полусферический, и мрамор сферический формы, являются как гораздо более сложными поверхностями при исследовании под микроскопом, так и их формы меняются или деформировать во время контакта. Можно увидеть, что любая физическая поверхность имеет неровную местность с множеством пиков, долин, седловин, гребней, оврагов и равнин.^[6] На этой поверхности (и в динамической системе такого же грубого мрамора, катящегося по этой микроскопической местности) есть много точек, которые считаются стационарный или неподвижные точки, некоторые из которых классифицируются как аттракторы.

Конечное количество баллов

В дискретное время В системе аттрактор может принимать форму конечного числа точек, которые посещаются последовательно. Каждая из этих точек называется периодическая точка. Это иллюстрируется логистическая карта, который в зависимости от конкретного значения параметра может иметь аттрактор, состоящий из 2^п точки, 3 × 2^п баллов и т. д. для любого значения п.

Предельный цикл

А предельный цикл периодическая орбита непрерывной динамической системы, которая изолированные. Примеры включают колебания маятниковые часы, и сердцебиение в состоянии покоя. (Предельный цикл идеального маятника не является примером аттрактора предельного цикла, потому что его орбиты не изолированы: в фазовом пространстве идеального маятника около любой точки периодической орбиты есть другая точка, принадлежащая другой периодической орбите. орбита, поэтому прежняя орбита не привлекает).

Ван дер Поль фазовый портрет: привлекающий лимитный цикл

Предельный тор

В периодической траектории системы через состояние предельного цикла может быть более одной частоты. Например, в физике одна частота может определять скорость, с которой планета вращается вокруг звезды, а вторая частота описывает колебания расстояния между двумя телами. Если две из этих частот образуют иррациональная дробь (т.е. они несоизмеримый ), траектория перестает быть замкнутой, и предельный цикл становится предельным тор. Такой аттрактор называется $N т$ -тор если есть $N т$ несоизмеримые частоты. Например, вот 2-тор:

Временной ряд, соответствующий этому аттрактору, есть квазипериодический серия: дискретно выбранная сумма $N т$ периодические функции (не обязательно синус волны) с несоизмеримыми частотами. Такой временной ряд не имеет строгой периодичности, но его спектр мощности по-прежнему состоит только из резких линий.

Странный аттрактор

Сюжет странного аттрактора Лоренца для ценностейρ = 28, σ = 10, β = 8/3

Аттрактор называется странный если у него есть фрактал структура. Это часто бывает, когда динамика на нем хаотичный, но странные нехаотические аттракторы тоже существуют. Если странный аттрактор хаотичен, чувствительная зависимость от начальных условий, то любые две произвольно близкие альтернативные начальные точки на аттракторе после любого из различного числа итераций приведут к точкам, которые расположены произвольно далеко друг от друга (в зависимости от ограничений аттрактора), и после любого другого количества итераций приводят к точкам, которые расположены произвольно близко друг к другу. Таким образом, динамическая система с хаотическим аттрактором является локально нестабильной, но глобально устойчивой: как только некоторые последовательности входят в аттрактор, близлежащие точки расходятся друг от друга, но никогда не отходят от аттрактора.^[7]

Период, термин странный аттрактор был придуман Дэвид Рюэлль и Флорис Такенс описать аттрактор, возникающий в результате ряда бифуркации системы, описывающей течение жидкости.^[8] Странные аттракторы часто дифференцируемый в нескольких направлениях, но некоторые из них подобно а Канторовская пыль и поэтому не дифференцируемы. Странные аттракторы также могут быть обнаружены в присутствии шума, где они могут быть показаны как поддерживающие инвариантные случайные вероятностные меры типа Синая – Рюэля – Боуэна.^[9]

Примеры странных аттракторов включают аттрактор двойной прокрутки, Аттрактор Энона, Аттрактор Рёсслера, и Аттрактор Лоренца.

Аттракторы характеризуют эволюцию системы

Бифуркационная диаграмма логистическая карта. Аттрактор (ы) для любого значения параметра р показаны на ординате в домене

{ Displaystyle 0 <х <1}

. Цвет точки указывает, как часто точка

{ Displaystyle (г, х)}

посещается в течение 10⁶ итерации: часто встречающиеся значения окрашены в синий цвет, реже встречающиеся значения - в желтый. А бифуркация появляется вокруг

{ displaystyle r приблизительно 3,0}

, вторая бифуркация (приводящая к четырем значениям аттрактора) вокруг

{ displaystyle r приблизительно 3,5}

. Поведение все более усложняется для

{ displaystyle r> 3,6}

, с вкраплениями участков более простого поведения (белые полосы).

Параметры динамического уравнения развиваются по мере повторения уравнения, и конкретные значения могут зависеть от начальных параметров. Примером может служить хорошо изученный логистическая карта, ${ displaystyle x_ {n + 1} = rx_ {n} (1-x_ {n})}$ , бассейны притяжения которых при различных значениях параметра р показаны на рисунке. Если ${ displaystyle r = 2,6}$ , все начинается Икс ценности ${ displaystyle x <0}$ быстро приведет к значениям функции, которые стремятся к отрицательной бесконечности; начало Икс ценности ${ displaystyle x> 1}$ уйдет в бесконечность. Но для ${ Displaystyle 0 <х <1}$ то Икс ценности быстро сходятся к ${ displaystyle x приблизительно 0,615}$ , т.е. при этом значении р, одно значение Икс является аттрактором поведения функции. Для других значений р, может быть посещено более одного значения x: если р составляет 3,2, начальные значения ${ Displaystyle 0 <х <1}$ приведет к значениям функции, которые чередуются между ${ displaystyle x приблизительно 0,513}$ и ${ displaystyle x приблизительно 0,799}$ . При некоторых значениях р, аттрактор - единственная точка (a "фиксированная точка" ), при других значениях р два значения Икс посещаются по очереди ( бифуркация удвоения периода ); при других значениях r, любом заданном количестве значений Икс посещаются по очереди; наконец, для некоторых значений р, посещается бесконечное количество точек. Таким образом, одно и то же динамическое уравнение может иметь различные типы аттракторов в зависимости от его исходных параметров.

Бассейны притяжения

Аттрактора бассейн притяжения это регион фазовое пространство, по которым определяются итерации, такая, что любая точка (любая начальное состояние ) в этом регионе будет асимптотически повторяться в аттрактор. Для стабильный линейная система, каждая точка фазового пространства находится в области притяжения. Однако в нелинейные системы некоторые точки могут отображаться прямо или асимптотически в бесконечность, в то время как другие точки могут находиться в другом бассейне притяжения и асимптотически отображаться в другой аттрактор; другие начальные условия могут быть в непривлекающей точке или цикле или отображаться непосредственно в ней.^[10]

Линейное уравнение или система

Однопеременная (одномерная) линейная разностное уравнение из однородная форма ${ displaystyle x_ {t} = ax_ {t-1}}$ расходится в бесконечность, если |а| > 1 из всех начальных точек, кроме 0; нет аттрактора и, следовательно, нет области притяжения. Но если |а| <1 все точки на числовой прямой асимптотически (или непосредственно в случае 0) отображаются в 0; 0 - это аттрактор, а вся числовая линия - это область притяжения.

Аналогичным образом линейный матричное разностное уравнение в динамичном вектор Икс, однородной формы ${ displaystyle X_ {t} = AX_ {t-1}}$ с точки зрения квадратная матрица А все элементы динамического вектора будут расходиться до бесконечности, если наибольший собственное значение из А больше 1 по модулю; нет ни аттрактора, ни притяжения. Но если наибольшее собственное значение меньше единицы по величине, все начальные векторы будут асимптотически сходиться к нулевому вектору, который является аттрактором; целиком п-мерное пространство потенциальных начальных векторов является областью притяжения.

Аналогичные функции применимы к линейным дифференциальные уравнения. Скалярное уравнение ${ displaystyle dx / dt = ax}$ вызывает все начальные значения Икс кроме нуля расходиться до бесконечности, если а > 0, но сходиться к аттрактору при значении 0, если а <0, что делает всю числовую линию областью притяжения для 0. А матричная система ${ displaystyle dX / dt = AX}$ дает расхождение со всеми начальными точками, кроме вектора нулей, если любое собственное значение матрицы А положительный; но если все собственные значения отрицательны, вектор нулей является аттрактором, чьей областью притяжения является все фазовое пространство.

Нелинейное уравнение или система

Уравнения или системы, которые нелинейный может привести к более разнообразному поведению, чем линейные системы. Одним из примеров является Метод Ньютона итерации до корня нелинейного выражения. Если в выражении более одного настоящий root, некоторые начальные точки для итеративного алгоритма приведут к одному из корней асимптотически, а другие начальные точки приведут к другому. Области притяжения для корней выражения, как правило, непростые - дело не просто в том, что все точки, ближайшие к одному корню, отображаются там, создавая область притяжения, состоящую из близлежащих точек. Области притяжения могут быть бесконечными и сколь угодно маленькими. Например,^[11] для функции ${ displaystyle f (x) = x ^ {3} -2x ^ {2} -11x + 12}$ , следующие начальные условия находятся в последовательных областях притяжения:

Области притяжения в комплексной плоскости для решения по методу Ньютона Икс⁵ - 1 = 0. Точки в регионах с одинаковым цветом соответствуют одному корню; темнее означает, что для сходимости требуется больше итераций.

2.35287527 сходится к 4;

2,35284172 сходится к −3;

2.35283735 сходится к 4;

2,352836327 сходится к −3;

2.352836323 сходится к 1.

Метод Ньютона также может быть применен к сложные функции найти свои корни. У каждого корня есть бассейн притяжения в комплексная плоскость; эти бассейны можно нанести на карту, как показано на изображении. Как можно видеть, объединенная область притяжения для определенного корня может иметь много разрозненных областей. Для многих сложных функций границы областей притяжения фракталы.

Уравнения с частными производными

Параболические уравнения в частных производных могут иметь конечномерные аттракторы. Диффузионная часть уравнения подавляет более высокие частоты и в некоторых случаях приводит к глобальному аттрактору. В Гинзбург – Ландау, то Курамото – Сивашинский, а двумерная вынужденная Уравнения Навье – Стокса как известно, имеют глобальные аттракторы конечной размерности.

Для трехмерного несжимаемого уравнения Навье – Стокса с периодическим граничные условия, если он имеет глобальный аттрактор, то этот аттрактор будет конечных размеров.^[12]

Смотрите также

дальнейшее чтение

Джон Милнор (ред.). «Аттрактор». Scholarpedia.
Дэвид Рюэлль; Флорис Такенс (1971). «О природе турбулентности». Коммуникации по математической физике. 20 (3): 167–192. Дои:10.1007 / BF01646553. S2CID 17074317.
Д. Рюэль (1981). «Малые случайные возмущения динамических систем и определение аттракторов». Коммуникации по математической физике. 82: 137–151. Дои:10.1007 / BF01206949. S2CID 55827557.
Дэвид Рюэлль (1989). Элементы дифференцируемой динамики и теории бифуркаций. Академическая пресса. ISBN 978-0-12-601710-6.
Руэль, Дэвид (Август 2006 г.). "Что такое ... странный аттрактор?" (PDF). Уведомления Американского математического общества. 53 (7): 764–765. Получено 16 января 2008.
Селсо Гребоги; Эдвард Отт; Пеликан; Йорк (1984). «Странные аттракторы, которые не хаотичны». Physica D. 13 (1–2): 261–268. Дои:10.1016/0167-2789(84)90282-3.
Chekroun, M.D .; Э. Симонне; М. Гил (2011). «Стохастическая динамика климата: случайные аттракторы и инвариантные меры, зависящие от времени». Physica D. 240 (21): 1685–1700. CiteSeerX 10.1.1.156.5891. Дои:10.1016 / j.physd.2011.06.005.
Эдвард Н. Лоренц (1996) Сущность Хаоса ISBN 0-295-97514-8
Джеймс Глейк (1988) Хаос: создание новой науки ISBN 0-14-009250-1

внешняя ссылка

[1] На рисунке показан аттрактор трехмерного полинома типа Спротта второго порядка, первоначально вычисленный Николасом Деспре с помощью бесплатного программного обеспечения Chaoscope (см. http://www.chaoscope.org/gallery.htm и связанные файлы проекта для параметров).

[2] Carvalho, A .; Langa, J.A .; Робинсон, Дж. (2012). Аттракторы для бесконечномерных неавтономных динамических систем. 182. Springer. п. 109.

[3] Kantz, H .; Шрайбер, Т. (2004). Нелинейный анализ временных рядов. Пресса Кембриджского университета.

[4] Джон Милнор (1985). «О понятии аттрактора». Коммуникации по математической физике. 99 (2): 177–195. Дои:10.1007 / BF01212280. S2CID 120688149.

[Contact_of_Nominally_Flat_Surfaces-5] Greenwood, J. A .; Дж. Б. П. Уильямсон (6 декабря 1966 г.). «Контакт условно плоских поверхностей». Труды Королевского общества. 295 (1442): 300–319. Дои:10.1098 / rspa.1966.0242. S2CID 137430238.

[NISTIR_89-4088-6] Ворбергер, Т. В. (1990). Учебное пособие по метрологии обработки поверхности (PDF). Министерство торговли США, Национальный институт стандартов (NIST). п. 5.

[7] Гребоги Селсо, Отт Эдвард, Йорк Джеймс А (1987). «Хаос, странные аттракторы и границы фрактальных бассейнов в нелинейной динамике». Наука. 238 (4827): 632–638. Bibcode:1987Научный ... 238..632Г. Дои:10.1126 / science.238.4827.632. PMID 17816542. S2CID 1586349.CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка на сайт)

[8] Руэлль, Дэвид; Такенс, Флорис (1971). «О природе турбулентности». Коммуникации по математической физике. 20 (3): 167–192. Дои:10.1007 / bf01646553. S2CID 17074317.

[Stochastic_climate_dynamics:_Random_attractors_and_time-dependent_invariant_measures-9] Chekroun M. D .; Симоннет Э. и Гил М. (2011). «Стохастическая динамика климата: случайные аттракторы и инвариантные меры, зависящие от времени». Physica D. 240 (21): 1685–1700. CiteSeerX 10.1.1.156.5891. Дои:10.1016 / j.physd.2011.06.005.

[10] Strelioff, C .; Хюблер А. (2006). «Среднесрочное предсказание хаоса». Phys. Rev. Lett. 96 (4): 044101. Дои:10.1103 / PhysRevLett.96.044101. PMID 16486826.

[11] Денс, Томас, «Кубики, хаос и метод Ньютона», Математический вестник 81, ноябрь 1997 г., стр. 403–408.

[12] Женевьева Раугель, Глобальные аттракторы в уравнениях с частными производными,Справочник динамических систем, Elsevier, 2002, стр. 885–982.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]