Двойной маятник - Double pendulum

Двойной маятник состоит из двух маятники прикреплен конец в конец.

В физика и математика, в районе динамические системы, а двойной маятник это маятник с другим маятником, прикрепленным к его концу, и представляет собой простой физическая система это показывает богатые динамическое поведение с сильная чувствительность к начальным условиям.^[1] Движение двойного маятника регулируется набором связанных обыкновенные дифференциальные уравнения и является хаотичный.

Анализ и интерпретация

Можно рассмотреть несколько вариантов двойного маятника; две конечности могут быть равной или неравной длины и массы, они могут быть простые маятники или составные маятники (также называемые сложными маятниками), а движение может быть трехмерным или ограничиваться вертикальной плоскостью. В следующем анализе конечности приняты как идентичные составные маятники длиной $л$ и масса $м$ , и движение ограничено двумя измерениями.

Двойной составной маятник

Движение двойного составного маятника (от численное интегрирование уравнений движения)

Траектории двойного маятника

В составном маятнике масса распределена по его длине. Если масса распределена равномерно, то центр массы каждой конечности находится в средней точке, и конечность имеет момент инерции из $я = 1 / 12 мл 2$ об этом.

Углы между каждой конечностью и вертикалью удобно использовать в качестве обобщенные координаты определение конфигурация системы. Эти углы обозначаются $θ 1$ и $θ 2$ . Положение центра масс каждого стержня можно записать в терминах этих двух координат. Если происхождение Декартова система координат считается находящимся в точке подвеса первого маятника, тогда центр масс этого маятника находится в точке:

{ displaystyle { begin {align} x_ {1} & = { frac {l} {2}} sin theta _ {1} y_ {1} & = - { frac {l} {2 }} cos theta _ {1} конец {выровнено}}}

а центр масс второго маятника находится в

{ displaystyle { begin {align} x_ {2} & = l left ( sin theta _ {1} + { tfrac {1} {2}} sin theta _ {2} right) y_ {2} & = - l left ( cos theta _ {1} + { tfrac {1} {2}} cos theta _ {2} right) end {align}}}

Этой информации достаточно, чтобы написать лагранжиан.

Лагранжиан

В Лагранжиан является

{ displaystyle { begin {align} L & = { text {кинетическая энергия}} - { text {потенциальная энергия}} & = { tfrac {1} {2}} m left (v_ {1} ^ {2} + v_ {2} ^ {2} right) + { tfrac {1} {2}} I left ({{ dot { theta}} _ {1}} ^ {2} + {{ dot { theta}} _ {2}} ^ {2} right) -mg left (y_ {1} + y_ {2} right) & = { tfrac {1} {2 }} m left ({{ dot {x}} _ {1}} ^ {2} + {{ dot {y}} _ {1}} ^ {2} + {{ dot {x}} _ {2}} ^ {2} + {{ dot {y}} _ {2}} ^ {2} right) + { tfrac {1} {2}} I left ({{ dot { theta}} _ {1}} ^ {2} + {{ dot { theta}} _ {2}} ^ {2} right) -mg left (y_ {1} + y_ {2} справа) end {выровнен}}}

Первый член - это линейный кинетическая энергия из центр массы тел, а второй член - это вращающийся кинетическая энергия вокруг центра масс каждого стержня. Последний член - это потенциальная энергия тел в однородном гравитационном поле. В точечная запись указывает на производная по времени рассматриваемой переменной.

Подставляя координаты выше и переставляя уравнение, получаем

{ displaystyle L = { tfrac {1} {6}} ml ^ {2} left ({{ dot { theta}} _ {2}} ^ {2} +4 {{ dot { theta) }} _ {1}} ^ {2} +3 {{ dot { theta}} _ {1}} {{ dot { theta}} _ {2}} cos ( theta _ {1} - theta _ {2}) right) + { tfrac {1} {2}} mgl left (3 cos theta _ {1} + cos theta _ {2} right).}

Есть только одна сохраняющаяся величина (энергия) и нет сохраняющихся импульсов. Два обобщенных импульса можно записать как

{ displaystyle { begin {align} p _ { theta _ {1}} & = { frac { partial L} { partial {{ dot { theta}} _ {1}}}} = { tfrac {1} {6}} ml ^ {2} left (8 {{ dot { theta}} _ {1}} + 3 {{ dot { theta}} _ {2}} cos ( theta _ {1} - theta _ {2}) right) p _ { theta _ {2}} & = { frac { partial L} { partial {{ dot { theta}} _ {2}}}} = { tfrac {1} {6}} ml ^ {2} left (2 {{ dot { theta}} _ {2}} + 3 {{ dot { theta }} _ {1}} cos ( theta _ {1} - theta _ {2}) right). End {align}}}

Эти выражения могут быть перевернутый получить

{ displaystyle { begin {align} {{ dot { theta}} _ {1}} & = { frac {6} {ml ^ {2}}} { frac {2p _ { theta _ {1 }} - 3 cos ( theta _ {1} - theta _ {2}) p _ { theta _ {2}}} {16-9 cos ^ {2} ( theta _ {1} - theta _ {2})}} {{ dot { theta}} _ {2}} & = { frac {6} {ml ^ {2}}} { frac {8p _ { theta _ { 2}} - 3 cos ( theta _ {1} - theta _ {2}) p _ { theta _ {1}}} {16-9 cos ^ {2} ( theta _ {1} - theta _ {2})}}. end {align}}}

Остальные уравнения движения записываются как

{ displaystyle { begin {align} {{ dot {p}} _ { theta _ {1}}} & = { frac { partial L} { partial theta _ {1}}} = - { tfrac {1} {2}} ml ^ {2} left ({{ dot { theta}} _ {1}} {{ dot { theta}} _ {2}} sin ( theta _ {1} - theta _ {2}) + 3 { frac {g} {l}} sin theta _ {1} right) {{ dot {p}} _ { theta _ {2}}} & = { frac { partial L} { partial theta _ {2}}} = - { tfrac {1} {2}} ml ^ {2} left (- {{ dot { theta}} _ {1}} {{ dot { theta}} _ {2}} sin ( theta _ {1} - theta _ {2}) + { frac {g} {l}} sin theta _ {2} right). end {align}}}

Эти последние четыре уравнения представляют собой явные формулы для временной эволюции системы с учетом ее текущего состояния. Это невозможно^{[нужна цитата ]} пойти дальше и проинтегрировать эти уравнения аналитически, чтобы получить формулы для $θ 1$ и $θ 2$ как функции времени. Однако можно выполнить это интегрирование численно, используя Рунге Кутта метод или аналогичные методы.

Хаотическое движение

График времени переворота маятника в зависимости от начальных условий

Длительная выдержка двойного маятника, демонстрирующего хаотическое движение (отслеживается с помощью СВЕТОДИОД )

Двойной маятник претерпевает хаотическое движение, и показывает чувствительную зависимость от первоначальные условия. Изображение справа показывает количество времени, прошедшее до того, как маятник перевернется, в зависимости от исходного положения при отпускании в состоянии покоя. Здесь начальное значение $θ 1$ колеблется вдоль $Икс$ -направление от −3 до 3. Начальное значение $θ 2$ колеблется вдоль $у$ -направление, от -3 до 3. Цвет каждого пикселя указывает, переворачивается ли маятник в пределах:

$10 \sqrt л ⁄ г$ (зеленый)
$100 \sqrt л ⁄ г$ (красный)
$1000 \sqrt л ⁄ г$ (фиолетовый) или
$10000 \sqrt л ⁄ г$ (синий).

Три двойных маятника с почти одинаковыми начальными условиями со временем расходятся, показывая хаотический характер системы.

Начальные условия, не ведущие к перевороту внутри $10000 \sqrt л ⁄ г$ нанесены белым цветом.

Граница центральной белой области частично определяется законом сохранения энергии следующей кривой:

{ displaystyle 3 cos theta _ {1} + cos theta _ {2} = 2.}

В пределах области, определенной этой кривой, то есть если

{ displaystyle 3 cos theta _ {1} + cos theta _ {2}> 2,}

тогда ни один из маятников энергетически невозможно перевернуть. За пределами этой области маятник может перевернуться, но определить, когда он перевернется, - сложный вопрос. Аналогичное поведение наблюдается для двойного маятника, состоящего из двух точечные массы а не два стержня с распределенной массой.^[2]

Отсутствие собственной частоты возбуждения привело к использованию системы двойного маятника в сейсмостойких конструкциях в зданиях, где само здание является первичным перевернутым маятником, а вторичная масса соединена, чтобы завершить двойной маятник.

Смотрите также

Двойной перевернутый маятник
Маятник (математика)
В учебниках физики середины 20-го века термин «двойной маятник» обозначает одиночный боб, подвешенный на струне, которая, в свою очередь, подвешена на V-образной струне. Этот тип маятник, который производит Кривые Лиссажу, теперь называется Маятник Блэкберна.

Заметки

^ Levien, R. B .; Тан, С. М. (1993). «Двойной маятник: эксперимент в хаосе». Американский журнал физики. 61 (11): 1038. Bibcode:1993AmJPh..61.1038L. Дои:10.1119/1.17335.
^ Алекс Смолл, Образец финального проекта: одна сигнатура хаоса в двойном маятнике, (2013). Отчет, созданный в качестве примера для студентов. Включает вывод уравнений движения и сравнение двойного маятника с двумя точечными массами и двойного маятника с двумя стержнями.

использованная литература

Мейрович, Леонард (1986). Элементы вибрационного анализа (2-е изд.). McGraw-Hill Наука / Инженерия / Математика. ISBN 0-07-041342-8.
Эрик В. Вайсштейн, Двойной маятник (2005), ScienceWorld (содержит подробную информацию о сложных уравнениях) и "Двойной маятник "Роб Моррис, Вольфрам Демонстрационный проект, 2007 (анимация этих уравнений).
Питер Линч, Двойной маятник, (2001). (Моделирование Java-апплета.)
Северо-Западный университет, Двойной маятник, (Моделирование Java-апплета.)
Группа теоретической астрофизики высоких энергий в UBC, Двойной маятник, (2005).

внешние ссылки

Анимации и объяснения двойной маятник и физический двойной маятник (две квадратные пластины) Майк Уитленд (Сиднейский университет)

Интерактивное моделирование JavaScript физики с открытым исходным кодом с подробными уравнениями двойной маятник
Интерактивное моделирование Javascript двойной маятник
Моделирование физики двойного маятника от www.myphysicslab.com с помощью код JavaScript с открытым исходным кодом
Моделирование, уравнения и объяснение Маятник Ротта
Видео сравнения двойного маятника с одинаковыми начальными условиями запуска на YouTube
Симулятор двойного маятника - Симулятор с открытым исходным кодом, написанный на C ++ с использованием Набор инструментов Qt.
Онлайн-симулятор Java из Воображаемая выставка.

[1] Levien, R. B .; Тан, С. М. (1993). «Двойной маятник: эксперимент в хаосе». Американский журнал физики. 61 (11): 1038. Bibcode:1993AmJPh..61.1038L. Дои:10.1119/1.17335.

[2] Алекс Смолл, Образец финального проекта: одна сигнатура хаоса в двойном маятнике, (2013). Отчет, созданный в качестве примера для студентов. Включает вывод уравнений движения и сравнение двойного маятника с двумя точечными массами и двойного маятника с двумя стержнями.

[1]

[2]