Кинетическая энергия - Википедия - Kinetic energy

Кинетическая энергия
Автомобили а американские горки достигают максимальной кинетической энергии, когда находятся внизу пути. Когда они начинают подниматься, кинетическая энергия начинает преобразовываться в гравитационную. потенциальная энергия. Сумма кинетической и потенциальной энергии в системе остается постоянной, без учета потерь на трение.
Общие символы	KE, Ek, или T
Единица СИ	джоуль (J)
Производные от другие количества	Ek = ½мv2 Ek = Eт + Eр

Часть серии по
Классическая механика
${ displaystyle { textbf {F}} = { frac {d} {dt}} (m { textbf {v}})}$ Второй закон движения
История График Учебники
ветви Применяемый Небесный Continuum Динамика Кинематика Кинетика Статика Статистический
Основы Ускорение Угловой момент Пара Принцип Даламбера Энергия кинетический потенциал Сила Точка зрения Инерциальная система отсчета Импульс Инерция  / Момент инерции Масса Механическая мощность Механическая работа Момент Импульс Космос Скорость Время Крутящий момент Скорость Виртуальная работа
Составы Законы движения Ньютона Аналитическая механика Лагранжева механика Гамильтонова механика Рутианская механика Уравнение Гамильтона – Якоби Уравнение движения Аппеля Механика Купмана – фон Неймана
Основные темы Демпфирование  (соотношение ) Смещение Уравнения движения Законы движения Эйлера Фиктивная сила Трение Гармонический осциллятор Инерционный  / Неинерциальная система отсчета Механика движения плоских частиц Движение  (линейный ) Закон всемирного тяготения Ньютона Законы движения Ньютона Относительная скорость Жесткое тело динамика Уравнения Эйлера Простые гармонические колебания Вибрация
Вращение Круговое движение Вращающаяся опорная рамка Центростремительная сила Центробежная сила реактивный Сила Кориолиса Маятник Тангенциальная скорость Скорость вращения Угловое ускорение  / смещение  / частота  / скорость
Ученые Кеплер Галилео Гюйгенс Ньютон Хоррокс Галлей Даниэль Бернулли Иоганн Бернулли Эйлер д'Аламбер Clairaut Лагранж Лаплас Гамильтон Пуассон Коши Раут Liouville Appell Гиббс Купман фон Нейман
Категории ► Классическая механика

В физика, то кинетическая энергия (KE) объекта является энергия что он обладает благодаря своему движение.^[1]Он определяется как работай необходимо для ускорения тела заданной массы от состояния покоя до заявленной скорость. Получив эту энергию во время своего ускорение, тело поддерживает эту кинетическую энергию, пока его скорость не изменится. Такой же объем работы совершается телом при замедлении от текущей скорости до состояния покоя.

В классическая механика, кинетическая энергия невращающегося объекта масса м путешествуя в скорость v является ${ displaystyle { begin {smallmatrix} { frac {1} {2}} mv ^ {2} end {smallmatrix}}}$. В релятивистская механика, это хорошее приближение, только когда v намного меньше, чем скорость света.

Стандартной единицей кинетической энергии является джоуль, а имперской единицей кинетической энергии является фут-фунт.

История и этимология

Прилагательное кинетический уходит корнями в Греческий слово κίνησις кинезис, что означает «движение». Дихотомия между кинетической энергией и потенциальная энергия можно проследить до Аристотель концепции актуальность и потенциальность.^[2]

Принцип в классическая механика который E ∝ мв² был впервые разработан Готфрид Лейбниц и Иоганн Бернулли, который описал кинетическую энергию как живая сила, vis viva. Виллема Gravesande Нидерландов предоставили экспериментальные доказательства этой связи. Сбрасывая гири с разной высоты в глиняный блок, Виллема Gravesande определили, что их глубина проникновения пропорциональна квадрату их скорости удара. Эмили дю Шатле признал значение эксперимента и опубликовал объяснение.^[3]

Условия кинетическая энергия и работай в их нынешнем научном понимании восходят к середине 19 века. Раннее понимание этих идей можно отнести к Гаспар-Гюстав Кориолис, который в 1829 г. опубликовал статью под названием Du Calcul de l'Effet des Machines очерчивание математики кинетической энергии. Уильям Томсон, позже лорд Кельвин, получил признание за создание термина «кинетическая энергия» c. 1849–51.^[4][5]

Обзор

Энергия встречается во многих формах, в том числе химическая энергия, тепловая энергия, электромагнитное излучение, гравитационная энергия, электроэнергия, упругая энергия, ядерная энергия, и энергия отдыха. Их можно разделить на два основных класса: потенциальная энергия и кинетическая энергия. Кинетическая энергия - это энергия движения объекта. Кинетическая энергия может передаваться между объектами и преобразовываться в другие виды энергии.^[6]

Кинетическую энергию можно лучше всего понять на примерах, демонстрирующих, как она преобразуется в другие формы энергии и из них. Например, велосипедист использует химическая энергия, обеспечиваемая продуктами питания ускорить велосипед до выбранной скорости. На ровной поверхности эту скорость можно поддерживать без дополнительных работ, за исключением преодоления сопротивление воздуха и трение. Химическая энергия была преобразована в кинетическую энергию, энергию движения, но этот процесс не является полностью эффективным и вызывает тепло внутри велосипедиста.

Кинетическая энергия движущегося велосипедиста и велосипеда может быть преобразована в другие формы. Например, велосипедист может натолкнуться на холм, достаточно высокий, чтобы двигаться по инерции, так что велосипед полностью останавливается на вершине. Кинетическая энергия теперь в значительной степени преобразована в гравитационную потенциальную энергию, которую можно высвободить, если спуститься с другой стороны холма. Поскольку велосипед потерял часть своей энергии из-за трения, он никогда не наберет полную скорость без дополнительных педалей. Энергия не разрушается; он был преобразован в другую форму только трением. В качестве альтернативы велосипедист может подключить динамо к одному из колес и выработать немного электроэнергии при спуске. Велосипед по подножию холма двигался бы медленнее, чем без генератора, потому что часть энергии была преобразована в электрическую. Другой вариант - задействовать велосипедистом тормоза, и в этом случае кинетическая энергия будет рассеиваться за счет трения в виде высокая температура.

Как и любая физическая величина, которая является функцией скорости, кинетическая энергия объекта зависит от отношения между объектом и наблюдателем. точка зрения. Таким образом, кинетическая энергия объекта не инвариантный.

Космический корабль использовать химическую энергию для запуска и получить значительную кинетическую энергию для достижения орбитальная скорость. На полностью круговой орбите эта кинетическая энергия остается постоянной, поскольку в околоземном пространстве практически отсутствует трение. Однако это становится очевидным при повторном входе, когда часть кинетической энергии преобразуется в тепло. Если орбита эллиптический или же гиперболический, то на всем протяжении орбиты кинетическая и потенциальная энергия обмениваются; кинетическая энергия наибольшая, а потенциальная энергия наименьшая при ближайшем приближении к Земле или другому массивному телу, в то время как потенциальная энергия наибольшая, а кинетическая энергия наименьшая при максимальном расстоянии. Однако без потерь или выигрышей сумма кинетической и потенциальной энергии остается постоянной.

Кинетическая энергия может передаваться от одного объекта к другому. В игре бильярд, игрок накладывает на биток кинетическую энергию, ударяя по нему битком. Если биток сталкивается с другим шаром, он резко замедляется, а мяч, в который он попадает, ускоряет свою скорость по мере передачи ему кинетической энергии. Столкновения в бильярд эффективно упругие столкновения, в котором кинетическая энергия сохраняется. В неупругие столкновения, кинетическая энергия рассеивается в различных формах энергии, таких как тепло, звук, энергия связи (разрушение связанных структур).

Маховики были разработаны как метод хранилище энергии. Это показывает, что кинетическая энергия также сохраняется во вращательном движении.

Существует несколько математических описаний кинетической энергии, которые описывают ее в соответствующей физической ситуации. Для объектов и процессов в обычном человеческом опыте формула ½mv² задается следующим образом: Ньютоновская (классическая) механика подходящий. Однако если скорость объекта сопоставима со скоростью света, релятивистские эффекты становятся значимыми, и используется релятивистская формула. Если объект находится на атомарном или субатомный масштаб, квантово-механический эффекты значительны, и необходимо использовать квантово-механическую модель.

Ньютоновская кинетическая энергия

Кинетическая энергия твердых тел

В классическая механика, кинетическая энергия точечный объект (объект настолько мал, что можно предположить, что его масса существует в одной точке), или невращающийся жесткое тело зависит от масса тела, а также его скорость. Кинетическая энергия равна 1/2 от товар массы и квадрата скорости. В форме формулы:

${ displaystyle E _ { text {k}} = { frac {1} {2}} mv ^ {2}}$

куда ${ displaystyle m}$ масса и ${ displaystyle v}$ это скорость (или скорость) тела. В SI единиц, масса измеряется в килограммы, скорость в метров в секунду, а результирующая кинетическая энергия выражается в джоули.

Например, можно рассчитать кинетическую энергию массы 80 кг (около 180 фунтов), движущейся со скоростью 18 метров в секунду (около 40 миль в час, или 65 км / ч), как

${ displaystyle E _ { text {k}} = { frac {1} {2}} cdot 80 , { text {kg}} cdot left (18 , { text {m / s}) } right) ^ {2} = 12 960 , { text {J}} = 12.96 , { text {кДж}}}$

Когда человек бросает мяч, он работай на нем, чтобы дать ему скорость при выходе из руки. Затем движущийся мяч может удариться во что-нибудь и толкнуть его, работая над тем, во что он попадает. Кинетическая энергия движущегося объекта равна работе, необходимой для того, чтобы привести его из состояния покоя к этой скорости, или работе, которую объект может выполнять, когда он находится в состоянии покоя: чистая сила × смещение = кинетическая энергия, т.е.

${ displaystyle Fs = { frac {1} {2}} мв ^ {2}}$

Поскольку кинетическая энергия увеличивается пропорционально квадрату скорости, объект, удваивающий свою скорость, имеет в четыре раза больше кинетической энергии. Например, автомобилю, движущемуся в два раза быстрее, чем другому, требуется в четыре раза большее расстояние для остановки, при условии постоянного тормозного усилия. Как следствие этого четырехкратного увеличения, для удвоения скорости требуется в четыре раза больше работы.

Кинетическая энергия объекта связана с его импульс уравнением:

${ displaystyle E _ { text {k}} = { frac {p ^ {2}} {2m}}}$

куда:

${ displaystyle p ;}$ импульс

${ Displaystyle м ;}$ это масса тела

Для поступательная кинетическая энергия, это кинетическая энергия, связанная с прямолинейное движение, из жесткое тело с постоянным масса ${ Displaystyle м ;}$, чей центр массы движется по прямой со скоростью ${ Displaystyle v ;}$, как видно выше, равно

${ displaystyle E _ { text {t}} = { frac {1} {2}} mv ^ {2}}$

куда:

${ Displaystyle м ;}$ это масса тела

${ Displaystyle v ;}$ это скорость центр массы тела.

Кинетическая энергия любого объекта зависит от системы отсчета, в которой она измеряется. Однако полная энергия изолированной системы, то есть такой, в которую энергия не может ни входить, ни выходить, не изменяется со временем в системе отсчета, в которой она измеряется. Таким образом, химическая энергия, преобразованная в кинетическую энергию ракетным двигателем, по-разному распределяется между ракетным кораблем и его выхлопным потоком в зависимости от выбранной системы отсчета. Это называется Эффект Оберта. Но полная энергия системы, включая кинетическую энергию, химическую энергию топлива, тепло и т. Д., Сохраняется с течением времени, независимо от выбора системы отсчета. Однако разные наблюдатели, движущиеся в разных системах отсчета, не пришли бы к согласию относительно значения этой сохраненной энергии.

Кинетическая энергия таких систем зависит от выбора системы отсчета: система отсчета, которая дает минимальное значение этой энергии, является центр импульса система отсчета, в которой полный импульс системы равен нулю. Эта минимальная кинетическая энергия способствует инвариантная масса системы в целом.

Вывод

Работа, совершенная при ускорении частицы с массой м в бесконечно малом интервале времени dt дается скалярным произведением сила F и бесконечно малый смещение dx

${ Displaystyle mathbf {F} cdot d mathbf {x} = mathbf {F} cdot mathbf {v} dt = { frac {d mathbf {p}} {dt}} cdot mathbf {v} dt = mathbf {v} cdot d mathbf {p} = mathbf {v} cdot d (m mathbf {v}) ,,}$

где мы предположили соотношение п = м v и действительность Второй закон Ньютона. (Однако см. Также специальный релятивистский вывод ниже.)

Применяя правило продукта Мы видим, что:

${ Displaystyle д ( mathbf {v} cdot mathbf {v}) = (d mathbf {v}) cdot mathbf {v} + mathbf {v} cdot (d mathbf {v}) = 2 ( mathbf {v} cdot d mathbf {v}).}$

Следовательно, (предполагая постоянную массу, так что дм = 0) имеем,

${ displaystyle mathbf {v} cdot d (m mathbf {v}) = { frac {m} {2}} d ( mathbf {v} cdot mathbf {v}) = { frac { m} {2}} dv ^ {2} = d left ({ frac {mv ^ {2}} {2}} right).}$

Поскольку это полный дифференциал (то есть это зависит только от конечного состояния, а не от того, как частица туда попала), мы можем интегрировать его и назвать результат кинетической энергией. Предполагая, что объект находился в состоянии покоя в момент времени 0, мы интегрируем от момента времени 0 до момента времени t, потому что работа, выполняемая силой, чтобы привести объект из состояния покоя в состояние скорости v равна работе, необходимой для выполнения обратного:

${ displaystyle E _ { text {k}} = int _ {0} ^ {t} mathbf {F} cdot d mathbf {x} = int _ {0} ^ {t} mathbf {v } cdot d (m mathbf {v}) = int _ {0} ^ {t} d left ({ frac {mv ^ {2}} {2}} right) = { frac {mv ^ {2}} {2}}.}$

Это уравнение утверждает, что кинетическая энергия (E_k) равно интеграл из скалярное произведение из скорость (v) тела и бесконечно малый изменение тела импульс (п). Предполагается, что тело в состоянии покоя (неподвижности) начинает движение без кинетической энергии.

Вращающиеся тела

Если твердое тело Q вращается вокруг любой линии, проходящей через центр масс, то оно имеет кинетическая энергия вращения (${ displaystyle E _ { text {r}} ,}$), которая представляет собой просто сумму кинетических энергий движущихся частей и, таким образом, определяется выражением:

${ displaystyle E _ { text {r}} = int _ {Q} { frac {v ^ {2} dm} {2}} = int _ {Q} { frac {(r omega) ^ {2} dm} {2}} = { frac { omega ^ {2}} {2}} int _ {Q} {r ^ {2}} dm = { frac { omega ^ {2} } {2}} I = { frac {1} {2}} I omega ^ {2}}$

куда:

• ω - тело угловая скорость
• р это расстояние любой массы дм с этой линии
• ${ Displaystyle I ,}$ это тело момент инерции, равно ${ Displaystyle int _ {Q} {г ^ {2}} дм}$.

(В этом уравнении момент инерция должно производиться вокруг оси, проходящей через центр масс, и вращение, измеряемое с помощью ω, должно происходить вокруг этой оси; существуют более общие уравнения для систем, в которых объект подвержен колебаниям из-за своей эксцентричной формы).

Кинетическая энергия систем

Система тел может обладать внутренней кинетической энергией из-за относительного движения тел в системе. Например, в Солнечная система планеты и планетоиды вращаются вокруг Солнца. В резервуаре с газом молекулы движутся во всех направлениях. Кинетическая энергия системы - это сумма кинетических энергий содержащихся в ней тел.

Макроскопическое тело, которое неподвижно (т. Е. Выбрана система отсчета, соответствующая телу центр импульса ) могут иметь различные виды внутренняя энергия на молекулярном или атомном уровне, который можно рассматривать как кинетическую энергию, из-за молекулярного переноса, вращения и колебания, переноса и спина электрона, а также ядерного спина. Все они вносят вклад в массу тела, как это предусмотрено специальной теорией относительности. При обсуждении движений макроскопического тела обычно упоминается кинетическая энергия только макроскопического движения. Однако все внутренние энергии всех типов вносят вклад в массу тела, инерцию и общую энергию.

Динамика жидкостей

В динамика жидкостей кинетическая энергия на единицу объема в каждой точке поля течения несжимаемой жидкости называется динамическое давление в таком случае.^[7]

${ displaystyle E _ { text {k}} = { frac {1} {2}} mv ^ {2}}$

Разделив на V, единица объема:

${ displaystyle { begin {align} { frac {E _ { text {k}}} {V}} & = { frac {1} {2}} { frac {m} {V}} v ^ {2} q & = { frac {1} {2}} rho v ^ {2} end {align}}}$

куда ${ displaystyle q}$ - динамическое давление, а ρ - плотность несжимаемой жидкости.

Точка зрения

Скорость и, следовательно, кинетическая энергия отдельного объекта зависит от кадра (относительна): она может принимать любое неотрицательное значение, выбирая подходящую инерциальная система отсчета. Например, пуля, проходящая мимо наблюдателя, имеет кинетическую энергию в системе отсчета этого наблюдателя. Эта же пуля неподвижна для наблюдателя, движущегося с той же скоростью, что и пуля, и поэтому имеет нулевую кинетическую энергию.^[8] Напротив, полная кинетическая энергия системы объектов не может быть уменьшена до нуля подходящим выбором инерциальной системы отсчета, если все объекты не имеют одинаковой скорости. В любом другом случае полная кинетическая энергия имеет ненулевой минимум, так как нельзя выбрать инерциальную систему отсчета, в которой все объекты неподвижны. Эта минимальная кинетическая энергия вносит вклад в инвариантная масса, который не зависит от системы отсчета.

Полная кинетическая энергия системы зависит от инерциальная система отсчета: это сумма полной кинетической энергии в центр импульса кадра и кинетическая энергия общей массы, если бы она была сосредоточена в центр массы.

Это можно просто показать: пусть ${ displaystyle textstyle mathbf {V}}$ - относительная скорость центра масс системы отсчета я в рамке k. С

${ Displaystyle v ^ {2} = left (v_ {i} + V right) ^ {2} = left ( mathbf {v} _ {i} + mathbf {V} right) cdot left ( mathbf {v} _ {i} + mathbf {V} right) = mathbf {v} _ {i} cdot mathbf {v} _ {i} +2 mathbf {v} _ { i} cdot mathbf {V} + mathbf {V} cdot mathbf {V} = v_ {i} ^ {2} +2 mathbf {v} _ {i} cdot mathbf {V} + V ^ {2},}$

Потом,

${ displaystyle E _ { text {k}} = int { frac {v ^ {2}} {2}} dm = int { frac {v_ {i} ^ {2}} {2}} dm + mathbf {V} cdot int mathbf {v} _ {i} dm + { frac {V ^ {2}} {2}} int dm.}$

Однако пусть ${ displaystyle int { frac {v_ {i} ^ {2}} {2}} dm = E_ {i}}$ кинетическая энергия в системе координат центра масс, ${ displaystyle int mathbf {v} _ {i} dm}$ будет просто полным импульсом, который по определению равен нулю в системе отсчета центра масс, и пусть общая масса: ${ displaystyle int dm = M}$. Подставляя, получаем:^[9]

${ displaystyle E _ { text {k}} = E_ {i} + { frac {MV ^ {2}} {2}}.}$

Таким образом, кинетическая энергия системы является наименьшей по отношению к системам отсчета центра импульса, то есть системам отсчета, в которых центр масс неподвижен (либо центр масс кадра или любой другой центр импульса кадра ). В любой другой системе отсчета существует дополнительная кинетическая энергия, соответствующая общей массе, движущейся со скоростью центра масс. Кинетическая энергия системы в центр импульса кадра - величина, которая инвариантна (все наблюдатели видят ее одинаковую).

Вращение в системах

Иногда бывает удобно разделить общую кинетическую энергию тела на сумму поступательной кинетической энергии центра масс тела и энергии вращения вокруг центра масс (вращательная энергия ):

${ displaystyle E _ { text {k}} = E _ { text {t}} + E _ { text {r}} ,}$

куда:

E_k это полная кинетическая энергия

E_т поступательная кинетическая энергия

E_р это вращательная энергия или же угловая кинетическая энергия в остальном

Таким образом, кинетическая энергия теннисного мяча в полете - это кинетическая энергия, обусловленная его вращением, плюс кинетическая энергия, обусловленная его перемещением.

Релятивистская кинетическая энергия твердых тел.

Если скорость тела составляет значительную долю от скорость света, необходимо использовать релятивистскую механику для расчета его кинетической энергии. В специальная теория относительности В теории выражение для количества движения модифицировано.

С м быть объектом масса покоя, v и v его скорость и скорость, и c скорость света в вакууме, воспользуемся выражением для количества движения ${ Displaystyle mathbf {p} = м гамма mathbf {v}}$, куда ${ displaystyle gamma = 1 / { sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}}$.

Интеграция по частям дает

${ displaystyle E _ { text {k}} = int mathbf {v} cdot d mathbf {p} = int mathbf {v} cdot d (m gamma mathbf {v}) = m gamma mathbf {v} cdot mathbf {v} - int m gamma mathbf {v} cdot d mathbf {v} = m gamma v ^ {2} - { frac {m} { 2}} int gamma d left (v ^ {2} right)}$

С ${ displaystyle gamma = left (1-v ^ {2} / c ^ {2} right) ^ {- { frac {1} {2}}}}$,

${ displaystyle { begin {align} E _ { text {k}} & = m gamma v ^ {2} - { frac {-mc ^ {2}} {2}} int gamma d left (1 - { frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} right) & = m gamma v ^ {2} + mc ^ {2} left (1 - { frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} right) ^ { frac {1} {2}} - E_ {0} end {align}}}$

${ displaystyle E_ {0}}$ это постоянная интеграции для неопределенный интеграл.

Упрощая выражение, получаем

${ displaystyle { begin {align} E _ { text {k}} & = m gamma left (v ^ {2} + c ^ {2} left (1 - { frac {v ^ {2}) } {c ^ {2}}} right) right) -E_ {0} & = m gamma left (v ^ {2} + c ^ {2} -v ^ {2} right) -E_ {0} & = m gamma c ^ {2} -E_ {0} end {align}}}$

${ displaystyle E_ {0}}$ находится, наблюдая, что когда ${ Displaystyle mathbf {v} = 0, gamma = 1}$ и ${ displaystyle E _ { text {k}} = 0}$, давая

${ Displaystyle E_ {0} = mc ^ {2} ,}$

приводя к формуле

${ displaystyle E _ { text {k}} = m gamma c ^ {2} -mc ^ {2} = { frac {mc ^ {2}} { sqrt {1 - { frac {v ^ { 2}} {c ^ {2}}}}}} - mc ^ {2}}$

Эта формула показывает, что работа, затрачиваемая на ускорение объекта из состояния покоя, приближается к бесконечности, когда скорость приближается к скорости света. Таким образом, невозможно ускорить объект через эту границу.

Математическим побочным продуктом этого расчета является эквивалентность массы и энергии формула - тело в состоянии покоя должно иметь энергоемкость

${ displaystyle E _ { text {rest}} = E_ {0} = mc ^ {2} !}$

На малой скорости (v ≪ c) релятивистская кинетическая энергия хорошо аппроксимируется классической кинетической энергией. Это делается биномиальное приближение или взяв первые два члена Расширение Тейлора для обратного квадратного корня:

${ displaystyle E _ { text {k}} приблизительно mc ^ {2} left (1 + { frac {1} {2}} { frac {v ^ {2}} {c ^ {2}} } right) -mc ^ {2} = { frac {1} {2}} mv ^ {2}}$

Итак, общая энергия ${ displaystyle E_ {k}}$ можно разделить на энергию массы покоя плюс ньютоновскую кинетическую энергию на малых скоростях.

Когда объекты движутся со скоростью, намного меньшей, чем скорость света (например, в повседневных явлениях на Земле), первые два члена ряда преобладают. Следующий член в приближении ряда Тейлора

${ displaystyle E _ { text {k}} приблизительно mc ^ {2} left (1 + { frac {1} {2}} { frac {v ^ {2}} {c ^ {2}} } + { frac {3} {8}} { frac {v ^ {4}} {c ^ {4}}} right) -mc ^ {2} = { frac {1} {2}} mv ^ {2} + { frac {3} {8}} m { frac {v ^ {4}} {c ^ {2}}}}$

мала для низких скоростей. Например, для скорости 10 км / с (22000 миль / ч) поправка к ньютоновской кинетической энергии составляет 0,0417 Дж / кг (при ньютоновской кинетической энергии 50 МДж / кг), а для скорости 100 км / с - 417 Дж / кг (при ньютоновской кинетической энергии 5 ГДж / кг).

Релятивистская связь между кинетической энергией и импульсом дается выражением

${ displaystyle E _ { text {k}} = { sqrt {p ^ {2} c ^ {2} + m ^ {2} c ^ {4}}} - mc ^ {2}}$

Это также может быть расширено как Серия Тейлор, первый член которого представляет собой простое выражение из механики Ньютона:^[10]

${ displaystyle E _ { text {k}} приблизительно { frac {p ^ {2}} {2m}} - { frac {p ^ {4}} {8m ^ {3} c ^ {2}} }.}$

Это говорит о том, что формулы для энергии и импульса не являются специальными и аксиоматическими, а являются концепциями, вытекающими из эквивалентности массы и энергии и принципов относительности.

Общая теория относительности

Используя соглашение, что

${ displaystyle g _ { alpha beta} , u ^ { alpha} , u ^ { beta} , = , - c ^ {2}}$

где четырехскоростной частицы

${ Displaystyle и ^ { альфа} , = , { гидроразрыва {dx ^ { alpha}} {д тау}}}$

и ${ Displaystyle тау ,}$ это подходящее время частицы, есть также выражение для кинетической энергии частицы в общая теория относительности.

Если частица имеет импульс

${ Displaystyle p _ { beta} , = , m , g _ { beta alpha} , u ^ { alpha}}$

как он проходит мимо наблюдателя с четырехскоростной ты_{Наблюдения}, то выражение для полной энергии частицы, наблюдаемой (измеренной в локальной инерциальной системе отсчета), имеет вид

${ Displaystyle E , = , - , p _ { beta} , u _ { text {obs}} ^ { beta}}$

а кинетическая энергия может быть выражена как полная энергия минус энергия покоя:

${ displaystyle E_ {k} , = , - , p _ { beta} , u _ { text {obs}} ^ { beta} , - , m , c ^ {2} , .}$

Рассмотрим случай диагональной и пространственно изотропной метрики (грамм_тт, грамм_SS, грамм_SS, грамм_SS). С

${ displaystyle u ^ { alpha} = { frac {dx ^ { alpha}} {dt}} { frac {dt} {d tau}} = v ^ { alpha} u ^ {t} ,}$

куда v^α - обычная скорость, измеренная относительно систему координат, получаем

${ displaystyle -c ^ {2} = g _ { alpha beta} u ^ { alpha} u ^ { beta} = g_ {tt} left (u ^ {t} right) ^ {2} + g_ {ss} v ^ {2} left (u ^ {t} right) ^ {2} ,.}$

Решение для ты^т дает

${ displaystyle u ^ {t} = c { sqrt { frac {-1} {g_ {tt} + g_ {ss} v ^ {2}}}} ,.}$

Таким образом, для неподвижного наблюдателя (v = 0)

${ displaystyle u _ { text {obs}} ^ {t} = c { sqrt { frac {-1} {g_ {tt}}}} ,}$

и, таким образом, кинетическая энергия принимает вид

${ displaystyle E _ { text {k}} = - mg_ {tt} u ^ {t} u _ { text {obs}} ^ {t} -mc ^ {2} = mc ^ {2} { sqrt { frac {g_ {tt}} {g_ {tt} + g_ {ss} v ^ {2}}}} - mc ^ {2} ,.}$

Выравнивание остальной энергии дает:

${ displaystyle E _ { text {k}} = mc ^ {2} left ({ sqrt { frac {g_ {tt}} {g_ {tt} + g_ {ss} v ^ {2}}}}) -1 вправо) ,.}$

Это выражение сводится к частному релятивистскому случаю для метрики плоского пространства, где

${ displaystyle { begin {align} g_ {tt} & = - c ^ {2} , g_ {ss} & = 1 ,. end {align}}}$

В ньютоновском приближении общей теории относительности

${ displaystyle { begin {align} g_ {tt} & = - left (c ^ {2} +2 Phi right) , g_ {ss} & = 1 - { frac {2 Phi } {c ^ {2}}} , end {выровнено}}}$

где Φ - ньютоновский гравитационный потенциал. Это означает, что часы идут медленнее, а измерительные стержни короче возле массивных тел.

Кинетическая энергия в квантовой механике

В квантовая механика, наблюдаемые, такие как кинетическая энергия, представлены как операторы. За одну частицу массы моператор кинетической энергии появляется как член в Гамильтониан и определяется в терминах более фундаментального оператора импульса ${ displaystyle { hat {p}}}$. Оператор кинетической энергии в нерелятивистский case можно записать как

${ displaystyle { hat {T}} = { frac {{ hat {p}} ^ {2}} {2m}}.}$

Обратите внимание, что это можно получить, заменив ${ displaystyle p}$ к ${ displaystyle { hat {p}}}$ в классическом выражении для кинетической энергии через импульс,

${ displaystyle E _ { text {k}} = { frac {p ^ {2}} {2m}}.}$

в Картина Шредингера, ${ displaystyle { hat {p}}}$ принимает форму ${ displaystyle -i hbar nabla}$ где производная берется по координатам положения и, следовательно,

${ displaystyle { hat {T}} = - { frac { hbar ^ {2}} {2m}} nabla ^ {2}.}$

Среднее значение кинетической энергии электрона, ${ displaystyle left langle { hat {T}} right rangle}$, для системы N электронов, описываемых волновая функция ${ displaystyle vert psi rangle}$ представляет собой сумму математических ожиданий одноэлектронного оператора:

${ displaystyle left langle { hat {T}} right rangle = left langle psi left vert sum _ {i = 1} ^ {N} { frac {- hbar ^ { 2}} {2m _ { text {e}}}} nabla _ {i} ^ {2} right vert psi right rangle = - { frac { hbar ^ {2}} {2m_ { text {e}}}} sum _ {i = 1} ^ {N} left langle psi left vert nabla _ {i} ^ {2} right vert psi right rangle }$

куда ${ displaystyle m _ { text {e}}}$ - масса электрона и ${ Displaystyle набла _ {я} ^ {2}}$ это Лапласиан оператор, действующий на координаты я^th электрон, и суммирование проводится по всем электронам.

В функционал плотности формализм квантовой механики требует знания электронной плотности Только, т.е. формально не требует знания волновой функции. Учитывая электронную плотность ${ displaystyle rho ( mathbf {r})}$, точный функционал кинетической энергии N-электронов неизвестен; однако для конкретного случая одноэлектронной системы кинетическая энергия может быть записана как

${ displaystyle T [ rho] = { frac {1} {8}} int { frac { nabla rho ( mathbf {r}) cdot nabla rho ( mathbf {r})} { rho ( mathbf {r})}} d ^ {3} r}$

куда ${ Displaystyle Т [ rho]}$ известен как фон Вайцзеккер кинетическая энергия функционала.

Смотрите также

• Скорость убегания
• Фут-фунт
• Джоуль
• Пенетратор кинетической энергии
• Кинетическая энергия на единицу массы снаряда
• Кинетический снаряд
• Теорема о параллельной оси
• Потенциальная энергия
• Отдача

Примечания

Рекомендации

• Кабинет физики (2000). "Кинетическая энергия". Получено 2015-07-19.
• Оксфордский словарь 1998^{[требуется разъяснение ]}
• Школа математики и статистики Сент-Эндрюсского университета (2000 г.). "Биография Гаспара-Гюстава де Кориолиса (1792-1843)". Получено 2006-03-03.
• Serway, Raymond A .; Джуэтт, Джон В. (2004). Физика для ученых и инженеров (6-е изд.). Брукс / Коул. ISBN  0-534-40842-7.
• Типлер, Пол (2004). Физика для ученых и инженеров: механика, колебания и волны, термодинамика (5-е изд.). В. Х. Фриман. ISBN  0-7167-0809-4.
• Типлер, Пол; Ллевеллин, Ральф (2002). Современная физика (4-е изд.). В. Х. Фриман. ISBN  0-7167-4345-0.

внешняя ссылка

• СМИ, связанные с Кинетическая энергия в Wikimedia Commons