Центробежная сила - Википедия - Centrifugal force

В Ньютоновская механика, то центробежная сила является инерционная сила (также называемая «фиктивной» или «псевдо» силой), которая действует на все объекты при просмотре в вращающаяся система отсчета. Он направлен от оси, параллельной оси ось вращения и проходя через начало системы координат. Если ось вращения проходит через начало системы координат, центробежная сила направлена радиально наружу от этой оси. Величина центробежной силы F по объекту масса м на расстоянии р от начала отсчета, вращающегося с угловая скорость ω является:

{ Displaystyle F = м омега ^ {2} г}

Концепция центробежной силы может применяться во вращающихся устройствах, таких как центрифуги, центробежные насосы, центробежные регуляторы, и центробежные муфты, И в центробежные железные дороги, планетные орбиты и наклонные кривые, когда они анализируются в вращающаяся система координат. Этот термин иногда также использовался для обозначения реактивная центробежная сила это можно рассматривать как реакцию на центростремительная сила при некоторых обстоятельствах.

В инерциальной системе отсчета (верхняя часть рисунка) черный шар движется по прямой. Однако наблюдатель (коричневая точка), который находится во вращающейся / неинерциальной системе отсчета (нижняя часть изображения), видит, что объект движется по кривой траектории из-за кориолисовых и центробежных сил, присутствующих в этом кадре.

Вступление

Центробежная сила - это внешняя сила, проявляющаяся в вращающаяся система отсчета.^[1]^[2]^[3] Его не существует, когда система описывается относительно инерциальная система отсчета.

Все измерения положения и скорости должны производиться относительно некоторой системы отсчета. Например, анализ движения объекта в авиалайнере в полете может быть выполнен относительно авиалайнера, поверхности Земли или даже Солнца.^[4] Система отсчета, которая находится в покое (или движется без вращения и с постоянной скоростью) относительно "фиксированные звезды "обычно считается инерциальной системой отсчета. Любая система может быть проанализирована в инерциальной системе отсчета (и, следовательно, без центробежной силы). Однако часто удобнее описывать вращающуюся систему, используя вращающуюся рамку - вычисления проще , а описания более интуитивно понятны.Когда этот выбор сделан, возникают фиктивные силы, в том числе центробежная сила.

В системе отсчета, вращающейся вокруг оси через ее начало координат, все объекты, независимо от их состояния движения, по-видимому, находятся под воздействием радиально (от оси вращения) внешней силы, которая пропорциональна их массе и расстоянию от оси вращения рамы, и до квадрата угловая скорость кадра.^[5]^[6] Это центробежная сила. Поскольку люди обычно испытывают центробежную силу изнутри вращающейся системы отсчета, например на карусели или транспортном средстве это гораздо более известно, чем центростремительная сила.

Движение относительно вращающейся рамки приводит к другой фиктивной силе: Сила Кориолиса. Если скорость вращения кадра изменяется, третья фиктивная сила ( Сила Эйлера ) необходимо. Эти фиктивные силы необходимы для формулировки правильных уравнений движения во вращающейся системе отсчета.^[7]^[8] и позволяют в такой системе использовать законы Ньютона в их нормальной форме (за одним исключением: фиктивные силы не подчиняются третьему закону Ньютона: у них нет равных и противоположных аналогов).^[7]

Примеры

Автомобиль едет по кривой

Обычный опыт, который дает начало представлению о центробежной силе, встречается с пассажирами, едущими в транспортном средстве, таком как автомобиль, которое меняет направление. Если автомобиль движется с постоянной скоростью по прямой дороге, то находящийся внутри пассажир не ускоряется и, согласно Второй закон движения Ньютона, чистая сила, действующая на него, поэтому равна нулю (все силы, действующие на него, нейтрализуют друг друга). Если автомобиль выезжает на поворот, изгибающийся влево, пассажир испытывает кажущуюся силу, которая, кажется, тянет его вправо. Это фиктивная центробежная сила. Это необходимо в рамках локальной системы координат пассажира, чтобы объяснить его внезапную тенденцию к ускорению вправо относительно автомобиля - тенденцию, которой он должен противодействовать, применяя к автомобилю направленную вправо силу (например, силу трения о сиденье). ), чтобы оставаться в фиксированном положении внутри. Поскольку он толкает сиденье вправо, третий закон Ньютона гласит, что сиденье толкает его влево. Центробежная сила должна быть включена в систему отсчета пассажира (в которой пассажир остается в состоянии покоя): она противодействует силе влево, приложенной к пассажиру сиденьем, и объясняет, почему эта в противном случае неуравновешенная сила не заставляет его ускоряться.^[9] Однако для неподвижного наблюдателя, наблюдающего с эстакады выше, было бы очевидно, что сила трения, действующая на пассажира сиденьем, не уравновешивается; он представляет собой результирующую силу слева, заставляющую пассажира ускоряться по направлению к внутренней части поворота, что он и должен делать, чтобы продолжать движение с автомобилем, а не двигаться по прямой, как в противном случае. Таким образом, «центробежная сила», которую он ощущает, является результатом «центробежной тенденции», вызванной инерцией.^[10] Подобные эффекты встречаются в самолетах и американские горки где величина кажущейся силы часто указывается в "G ".

Камень на веревочке

Если камень вращается на веревке в горизонтальной плоскости, единственная реальная сила, действующая на камень в горизонтальной плоскости, прикладывается струной (гравитация действует вертикально). В горизонтальной плоскости на камень действует чистая сила, действующая по направлению к центру.

В инерциальная система отсчета, если бы не эта результирующая сила, действующая на камень, камень двигался бы по прямой линии, согласно Первый закон движения Ньютона. Чтобы камень двигался по круговой траектории, центростремительная сила, в данном случае предусмотренная веревкой, должна непрерывно прикладываться к камню. Как только он будет удален (например, если веревка рвется), камень движется по прямой. В этой инерциальной системе отсчета концепция центробежной силы не требуется, поскольку все движение может быть правильно описано с использованием только реальных сил и законов движения Ньютона.

В системе отсчета, вращающейся с камнем вокруг той же оси, что и камень, камень неподвижен. Однако сила, приложенная веревкой, все еще действует на камень. Если бы кто-то применил законы Ньютона в их обычной (инерциальной) форме, можно было бы заключить, что камень должен ускоряться в направлении суммарной приложенной силы - к оси вращения - чего он не делает. Центробежная сила и другие фиктивные силы должны быть включены вместе с реальными силами, чтобы применить законы движения Ньютона во вращающейся системе отсчета.

земной шар

Земля представляет собой вращающуюся систему отсчета, поскольку она вращается вокруг своей оси каждые 23 часа 56 минут. Поскольку вращение происходит медленно, создаваемые им фиктивные силы часто невелики, и в повседневных ситуациях ими можно пренебречь. Даже в расчетах, требующих высокой точности, центробежная сила, как правило, явно не включается, а скорее объединяется с сила гравитации: сила и направленность местных »сила тяжести "в любой точке поверхности Земли на самом деле представляет собой комбинацию гравитационных и центробежных сил. Однако фиктивные силы могут иметь произвольный размер. Например, в системе отсчета, связанной с Землей, фиктивная сила (сеть Кориолиса и центробежная сила) сил) огромен и отвечает за вращение Солнца вокруг Земли (в привязанной к Земле системе отсчета). Это связано с большой массой и скоростью Солнца (относительно Земли).

Вес объекта на полюсах и на экваторе

Если объект взвешивается простым пружинный баланс на одном из полюсов Земли на объект действуют две силы: гравитация Земли, действующая в нисходящем направлении, и равная и противоположная восстанавливающая сила весной, выступая вверх. Поскольку объект неподвижен и не ускоряется, на него не действует результирующая сила, а сила пружины равна по величине силе тяжести, действующей на объект. В этом случае весы показывают значение силы тяжести на объекте.

Когда один и тот же объект взвешивается на экватор, на объект действуют те же две реальные силы. Однако объект движется по круговой траектории по мере вращения Земли и, следовательно, испытывает центростремительное ускорение. Если рассматривать инерциальную систему отсчета (то есть систему, которая не вращается вместе с Землей), ненулевое ускорение означает, что сила тяжести не будет уравновешиваться с силой пружины. Чтобы получить чистую центростремительную силу, величина возвращающей силы пружины должна быть меньше, чем величина силы тяжести. Меньшая восстанавливающая сила пружины отражается на шкале как меньший вес - примерно на 0,3% меньше на экваторе, чем на полюсах.^[11] В системе отсчета Земли (в которой взвешиваемый объект находится в состоянии покоя) объект не кажется ускоряющимся, однако две реальные силы, сила тяжести и сила пружины, имеют одинаковую величину и не уравновешиваются. Центробежная сила должна быть включена, чтобы сумма сил была равна нулю, чтобы соответствовать очевидному отсутствию ускорения.

Примечание: На самом деле наблюдаемая разница в весе больше - около 0,53%. Сила притяжения Земли на полюсах немного сильнее, чем на экваторе, потому что Земля не идеальная сфера, поэтому объект на полюсах немного ближе к центру Земли, чем объект на экваторе; этот эффект в сочетании с центробежной силой создает наблюдаемую разницу в весе.^[12]

Вывод

Для следующего формализма вращающаяся система отсчета рассматривается как частный случай неинерциальная система отсчета который вращается относительно инерциальная система отсчета обозначается неподвижной рамой.

Производные по времени во вращающейся системе отсчета

Во вращающейся системе отсчета производные по времени любой вектор-функции $п$ времени - например, векторы скорости и ускорения объекта - будут отличаться от его производных по времени в стационарной системе отсчета. Если $п 1 п 2, п 3$ компоненты $п$ относительно единичных векторов $я, j, k$ направлена по осям вращающейся рамы (т.е. $п = п 1 я + п 2 j + п 3 k$ ), то первая производная по времени $[д п / д т]$ из $п$ относительно вращающейся системы отсчета по определению $d п 1 / д т я + d п 2 / д т j + d п 3 / д т k$ . Если абсолютное угловая скорость вращающейся рамы $ω$ тогда производная $d п / д т$ из $п$ относительно неподвижной системы отсчета связана с $[д п / д т]$ уравнением:^[13]

{ displaystyle { frac { operatorname {d} { boldsymbol {P}}} { operatorname {d} t}} = left [{ frac { operatorname {d} { boldsymbol {P}}} { operatorname {d} t}} right] + { boldsymbol { omega}} times { boldsymbol {P}} ,}

куда ${ displaystyle times}$ обозначает векторное произведение. Другими словами, скорость изменения $п$ в неподвижной системе отсчета - это сумма кажущейся скорости ее изменения во вращающейся рамке и скорости вращения. ${ displaystyle { boldsymbol { omega}} times { boldsymbol {P}}}$ связано с движением вращающейся рамы. Вектор $ω$ имеет величину $ω$ равна скорости вращения и направлена вдоль оси вращения согласно правило правой руки.

Ускорение

Закон движения Ньютона для частицы массы м записано в векторной форме:

{ displaystyle { boldsymbol {F}} = m { boldsymbol {a}} ,}

куда $F$ - векторная сумма физических сил, приложенных к частице, и $а$ абсолютный ускорение (то есть ускорение в инерциальная система отсчета ) частицы, определяемой как:

{ displaystyle { boldsymbol {a}} = { frac { operatorname {d} ^ {2} { boldsymbol {r}}} { operatorname {d} t ^ {2}}} ,}

куда $р$ - вектор положения частицы.

Применяя вышеупомянутое преобразование от неподвижной к вращающейся раме три раза (дважды, чтобы ${ displaystyle { frac { operatorname {d} { boldsymbol {r}}} { operatorname {d} t}}}$ и однажды ${ displaystyle { frac { operatorname {d}} { operatorname {d} t}} left [{ frac { operatorname {d} { boldsymbol {r}}} { operatorname {d} t} }верно]}$ ), абсолютное ускорение частицы можно записать как:

{ displaystyle { begin {align} { boldsymbol {a}} & = { frac { operatorname {d} ^ {2} { boldsymbol {r}}} { operatorname {d} t ^ {2} }} = { frac { operatorname {d}} { operatorname {d} t}} { frac { operatorname {d} { boldsymbol {r}}} { operatorname {d} t}} = { frac { operatorname {d}} { operatorname {d} t}} left ( left [{ frac { operatorname {d} { boldsymbol {r}}} { operatorname {d} t}} right] + { boldsymbol { omega}} times { boldsymbol {r}} right) & = left [{ frac { operatorname {d} ^ {2} { boldsymbol {r }}} { operatorname {d} t ^ {2}}} right] + { boldsymbol { omega}} times left [{ frac { operatorname {d} { boldsymbol {r}}} { operatorname {d} t}} right] + { frac { operatorname {d} { boldsymbol { omega}}} { operatorname {d} t}} times { boldsymbol {r}} + { boldsymbol { omega}} times { frac { operatorname {d} { boldsymbol {r}}} { operatorname {d} t}} & = left [{ frac { operatorname { d} ^ {2} { boldsymbol {r}}} { operatorname {d} t ^ {2}}} right] + { boldsymbol { omega}} times left [{ frac { operatorname {d} { boldsymbol {r}}} { operatorname {d} t}} right] + { frac { operatorname {d} { boldsymbol { omega}}} { operatorname {d} t}} times { boldsymbol {r}} + { boldsymbol { omega}} times left ( left [{ frac { operatorname {d} { boldsymbol {r}}} { operatorname {d} t}} right] + { boldsymbol { omega}} times { boldsymbol {r}} right) & = left [{ frac { operatorname {d} ^ {2} { boldsymbol {r}}} { operatorname {d} t ^ {2}}} right] + { frac { operatorname {d} { boldsymbol { omega}}} { operatorname {d} t}} times { boldsymbol {r}} + 2 { boldsymbol { omega}} times left [{ frac { operatorname {d} { boldsymbol {r}}} { operatorname {d} t}} right] + { boldsymbol { omega}} times ({ boldsymbol { omega}} times { boldsymbol {r}}) . end {align}}}

Сила

Кажущееся ускорение во вращающейся раме равно ${ displaystyle left [{ frac {d ^ {2} { boldsymbol {r}}} {dt ^ {2}}} right]}$ . Наблюдатель, не знающий о вращении, ожидал бы, что оно будет равно нулю в отсутствие внешних сил. Однако законы движения Ньютона применяются только в инерциальной системе отсчета и описывают динамику в терминах абсолютного ускорения. ${ displaystyle { frac {d ^ {2} { boldsymbol {r}}} {dt ^ {2}}}}$ . Таким образом, наблюдатель воспринимает дополнительные члены как вклад фиктивных сил. Эти составляющие кажущегося ускорения не зависят от массы; Таким образом, кажется, что каждая из этих фиктивных сил, подобно гравитации, притягивает объект пропорционально его массе. Когда эти силы складываются, уравнение движения имеет вид:^[14]^[15]^[16]

{ displaystyle { boldsymbol {F}} - m { frac { operatorname {d} { boldsymbol { omega}}} { operatorname {d} t}} times { boldsymbol {r}} - 2 мин. { boldsymbol { omega}} times left [{ frac { operatorname {d} { boldsymbol {r}}} { operatorname {d} t}} right] -m { boldsymbol { omega }} times ({ boldsymbol { omega}} times { boldsymbol {r}})}

{ displaystyle = m left [{ frac { operatorname {d} ^ {2} { boldsymbol {r}}} { operatorname {d} t ^ {2}}} right] .}

С точки зрения вращающейся рамы, дополнительные силы действуют так же, как и реальные внешние силы, и вносят вклад в кажущееся ускорение.^[17]^[18] Дополнительные члены в силовой части уравнения можно распознать как, читая слева направо, Сила Эйлера ${ displaystyle -m operatorname {d} { boldsymbol { omega}} / operatorname {d} t times { boldsymbol {r}}}$ , то Сила Кориолиса ${ displaystyle -2m { boldsymbol { omega}} times left [ operatorname {d} { boldsymbol {r}} / operatorname {d} t right]}$ , а центробежная сила ${ displaystyle -m { boldsymbol { omega}} times ({ boldsymbol { omega}} times { boldsymbol {r}})}$ , соответственно.^[19] В отличие от двух других фиктивных сил, центробежная сила всегда направлена радиально наружу от оси вращения вращающейся рамы с величиной $м ω 2 р$ , и в отличие от силы Кориолиса, в частности, она не зависит от движения частицы во вращающейся системе отсчета. Как и ожидалось, для невращающегося инерциальная система отсчета ${ displaystyle ({ boldsymbol { omega}} = 0)}$ центробежная сила и все другие фиктивные силы исчезают.^[20] Точно так же, поскольку центробежная сила пропорциональна расстоянию от объекта до оси вращения рамы, центробежная сила исчезает для объектов, лежащих на оси.

Абсолютное вращение

Интерфейс двух несмешиваемый жидкости, вращающиеся вокруг вертикальной оси, представляют собой открывающийся вверх круговой параболоид.

При анализе во вращающейся системе отсчета планеты центробежная сила заставляет вращающиеся планеты принимать форму сплющенного сфероида.

Ньютон предложил три сценария, чтобы ответить на вопрос: абсолютное вращение локального кадра может быть обнаружен; то есть, если наблюдатель может решить, вращается ли наблюдаемый объект или он вращается.^[21]^[22]

Форма поверхности воды вращающийся в ведре. Форма поверхности становится вогнутой, чтобы уравновесить центробежную силу с другими силами, действующими на жидкость.
Натяжение струны, соединяющей два сферы вращаются об их центре масс. Натяжение струны будет пропорционально центробежной силе на каждой сфере, когда она вращается вокруг общего центра масс.

В этих сценариях эффекты, приписываемые центробежной силе, наблюдаются только в локальной системе координат (кадре, в которой объект неподвижен), если объект совершает абсолютное вращение относительно инерциальной системы отсчета. Напротив, в инерциальной системе отсчета наблюдаемые эффекты возникают как следствие инерции и известных сил без необходимости введения центробежной силы. Основываясь на этом аргументе, привилегированная система отсчета, в которой законы физики принимают простейшую форму, представляет собой стационарную систему отсчета, в которой не требуется задействовать фиктивные силы.

С этой точки зрения физики любое другое явление, которое обычно приписывают центробежной силе, можно использовать для определения абсолютного вращения. Например, сжатие сферы из свободно текущего материала часто объясняется центробежной силой. В сплюснутый сфероид форма отражает, следуя Теорема Клеро, баланс между сдерживанием гравитационным притяжением и рассеянием центробежной силы. То, что Земля представляет собой сплюснутый сфероид, выпирающий на экваторе, где радиальное расстояние и, следовательно, центробежная сила больше, считается одним из свидетельств ее абсолютного вращения.^[23]

Приложения

Работа многочисленных обычных вращающихся механических систем легче всего описать с точки зрения центробежной силы. Например:

А центробежный регулятор регулирует скорость двигателя с помощью вращающихся масс, которые движутся радиально, регулируя дроссель, поскольку двигатель меняет скорость. В системе отсчета вращающихся масс центробежная сила вызывает радиальное движение.
А центробежная муфта используется в небольших устройствах с двигателем, таких как цепные пилы, картинги и модели вертолетов. Он позволяет двигателю запускаться и работать на холостом ходу, не приводя в движение устройство, но автоматически и плавно включает привод по мере увеличения частоты вращения двигателя. Подъемники с инерционным барабанным тормозом используется в альпинизм и инерционные катушки Используемые во многих автомобильных ремнях безопасности работают по тому же принципу.
Центробежные силы могут использоваться для создания искусственная гравитация, как в предлагаемых конструкциях вращающихся космических станций. В Марсианский гравитационный биоспутник изучили бы эффекты Марс -уровень гравитации на мышах с симулированной гравитацией.
Спин-кастинг и центробежное литье - это методы производства, которые используют центробежную силу для рассеивания жидкого металла или пластика в отрицательном пространстве формы.
Центрифуги используются в науке и промышленности для разделения веществ. В системе отсчета, вращающейся с центрифугой, центробежная сила вызывает градиент гидростатического давления в заполненных жидкостью трубках, ориентированных перпендикулярно оси вращения, вызывая большие плавучие силы которые толкают внутрь частицы с низкой плотностью. Элементы или частицы более плотные, чем жидкость, движутся наружу под действием центробежной силы. Это эффективно Принцип архимеда создается центробежной силой, а не силой тяжести.
Немного аттракционы использовать центробежные силы. Например, Гравитрон Вращение прижимает гонщиков к стене и позволяет им подниматься над полом машины, несмотря на земную гравитацию.^[24]

Тем не менее, все эти системы также могут быть описаны, не требуя концепции центробежной силы, в терминах движений и сил в неподвижной раме, за счет более внимательного рассмотрения сил и движений внутри системы.

История представлений о центробежных и центростремительных силах

Представление о центробежной силе развивалось со времен Гюйгенс, Ньютон, Лейбниц, и Гук кто выразил ранние концепции этого. Его современная концепция как фиктивной силы, возникающей во вращающейся системе отсчета, возникла в восемнадцатом и девятнадцатом веках.^{[нужна цитата ]}

Центробежная сила также сыграла роль в дебатах в классическая механика об обнаружении абсолютного движения. Ньютон предложил два аргумента, чтобы ответить на вопрос: абсолютное вращение можно обнаружить: вращающийся аргумент ведра, а вращающиеся сферы аргумент.^[25] Согласно Ньютону, в каждом сценарии центробежная сила будет наблюдаться в локальной системе отсчета объекта (кадре, в котором объект неподвижен), только если рамка вращается относительно абсолютного пространства. Почти два столетия спустя Принцип маха был предложен, где вместо абсолютного вращения движение далеких звезд относительно местной инерциальной системы отсчета порождает центробежную силу и другие эффекты инерции посредством некоторого (гипотетического) физического закона. Сегодняшний взгляд основан на идее инерциальная система отсчета, который дает преимущество наблюдателям, для которых законы физики принимают свою простейшую форму, и, в частности, системам, которые не используют центробежные силы в своих уравнениях движения для правильного описания движений.

Аналогия между центробежной силой (иногда используется для создания искусственная гравитация ) и гравитационные силы привели к принцип эквивалентности из общая теория относительности.^[26]^[27]

Другое использование термина

Хотя в большинстве научной литературы используется термин центробежная сила Для обозначения особой фиктивной силы, возникающей во вращающихся системах отсчета, в литературе есть несколько ограниченных примеров применения термина к другим отдельным физическим концепциям. Один из этих случаев встречается в Лагранжева механика. Лагранжева механика формулирует механику в терминах обобщенные координаты {q_k}, которые могут быть такими же простыми, как обычные полярные координаты ${ Displaystyle (г, тета)}$ или гораздо более обширный список переменных.^[28]^[29] В этой формулировке движение описывается в терминах обобщенные силы, используя вместо Законы Ньютона то Уравнения Эйлера – Лагранжа.. Среди обобщенных сил те, которые связаны с квадратом производных по времени {(dq_k ⁄ dt )²} иногда называют центробежными силами.^[30]^[31]^[32]^[33] В случае движения в центральном потенциале лагранжева центробежная сила имеет ту же форму, что и фиктивная центробежная сила, полученная в совместно вращающейся системе отсчета.^[34] Однако использование лагранжевой «центробежной силы» в других, более общих случаях имеет лишь ограниченную связь с ньютоновским определением.

В другом случае термин относится к реакция сила к центростремительная сила, или же реактивная центробежная сила. Тело, совершающее искривленное движение, например круговое движение, является ускорение к центру в любой конкретный момент времени. Этот центростремительное ускорение предоставляется центростремительная сила, которое действует на тело криволинейным движением каким-либо другим телом. В соответствии с Третий закон движения Ньютона, тело в изогнутом движении оказывает на другое тело равную и противоположную силу. Этот реактивный сила прилагается к тело в изогнутом движении на другое тело, которое обеспечивает центростремительную силу, и его направление - от этого другого тела к телу в изогнутом движении.^[35]^[36]^[37]^[38]

Эту силу реакции иногда называют центробежная инерционная реакция,^[39]^[40]то есть центробежно направленная сила, которая является реактивной силой, равной и противоположной центростремительной силе, изгибающей путь массы.

Понятие реактивной центробежной силы иногда используется в механике и машиностроении. Иногда это называют просто центробежная сила а не как реактивный центробежная сила^[41]^[42]хотя это использование не рекомендуется в элементарной механике.^[43]

Смотрите также

внешняя ссылка

СМИ, связанные с Центробежная сила в Wikimedia Commons

[1] Ричард Т. Вайднер и Роберт Л. Селлс (1973). Механика, механические волны, кинетическая теория, термодинамика (2-е изд.). Аллин и Бэкон. п. 123.

[Taylor1-2] Джон Роберт Тейлор (2004). Классическая механика. Саусалито, Калифорния: Университетские научные книги. Глава 9, стр. 344 и сл. ISBN 978-1-891389-22-1.

[3] Кобаяши, Юкио (2008). «Замечания по просмотру ситуации во вращающейся рамке». Европейский журнал физики. 29 (3): 599–606. Bibcode:2008EJPh ... 29..599K. Дои:10.1088/0143-0807/29/3/019.

[4] Дэвид П. Стерн (2006). "Справочная информация: основы". От звездочетов к звездолетам. Центр космических полетов Годдарда Центр данных космической физики. Получено 20 апреля 2017.

[5] «Центрифуга». Британская энциклопедия. 30 апреля 2015 года.

[6] Лекции Фейнмана по физике, Книга 1, 12-11.

[Fetter-7] а ^б Александр Л. Феттер; Джон Дирк Валека (2003). Теоретическая механика частиц и сплошных сред. Courier Dover Publications. С. 38–39. ISBN 978-0-486-43261-8.

[Marsden-8] Джеррольд Э. Марсден; Тюдор С. Ратиу (1999). Введение в механику и симметрию: базовое описание классических механических систем. Springer. п. 251. ISBN 978-0-387-98643-2.

[EB-9] "Центробежная сила". Encyclopdia Britannica. 17 августа 2016 г.. Получено 20 апреля 2017.

[Science_of_Everyday_Things-10] Найт, Джадсон (2016). Шлагер, Нил (ред.). Центростремительная сила. Наука о повседневных вещах, Том 2: Реальная физика. Томсон обучения. п. 47. Получено 19 апреля 2017.

[11] "Интересно насчет астрономии?" В архиве 17 января 2015 г. Wayback Machine, Корнельский университет, июнь 2007 г.

[Boynton-12] Бойнтон, Ричард (2001). "Точное измерение массы" (PDF). Бумага Sawe № 3147. Арлингтон, Техас: S.A.W.E., Inc.. Получено 2007-01-21.

[Synge-13] Джон Л. Синдж; Байрон А. Гриффит (2007). Принципы механики (Перепечатка второго издания изд. 1942 г.). Читать книги. п. 347. ISBN 978-1-4067-4670-9.

[14] Тейлор (2005). п. 342.

[L&L_A-15] Л. Д. Ландау; Л. М. Лифшиц (1976). Механика (Третье изд.). Оксфорд: Баттерворт-Хайнеманн. п. 128. ISBN 978-0-7506-2896-9.

[Hand_A-16] Луи Н. Хэнд; Джанет Д. Финч (1998). Аналитическая механика. Издательство Кембриджского университета. п. 267. ISBN 978-0-521-57572-0.

[Silverman-17] Марк П. Сильверман (2002). Вселенная атомов, атом во вселенной (2-е изд.). Springer. п. 249. ISBN 978-0-387-95437-0.

[18] Тейлор (2005). п. 329.

[Lanczos_A-19] Корнелиус Ланцош (1986). Вариационные принципы механики (Перепечатка четвертого издания 1970 г.). Dover Publications. Глава 4, §5. ISBN 978-0-486-65067-8.

[Tavel-20] Мортон Тавел (2002). Современная физика и пределы знаний. Издательство Рутгерского университета. п. 93. ISBN 978-0-8135-3077-2. Неинерционные силы, такие как центробежные силы и силы Кориолиса, можно устранить, перейдя в систему отсчета, которая движется с постоянной скоростью, систему, которую Ньютон назвал инерционной.

[21] Луи Н. Хэнд; Джанет Д. Финч (1998). Аналитическая механика. Издательство Кембриджского университета. п. 324. ISBN 978-0-521-57572-0.

[22] И. Бернард Коэн; Джордж Эдвин Смит (2002). Кембриджский компаньон Ньютона. Издательство Кембриджского университета. п. 43. ISBN 978-0-521-65696-2.

[23] Саймон Ньюкомб (1878). Популярная астрономия. Харпер и братья. стр.86 –88.

[24] Майерс, Расти Л. (2006). Основы физики. Издательская группа «Гринвуд». п.57. ISBN 978-0-313-32857-2.

[Newton-25] Английский перевод находится по адресу Исаак Ньютон (1934). Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Перевод Эндрю Мотта 1729 г., отредактированный под ред. Флориана Каджори). Калифорнийский университет Press. С. 10–12. ISBN 9780520009271.

[Barbour-26] Барбур, Джулиан Б. и Герберт Пфистер (1995). Принцип Маха: от ведра Ньютона к квантовой гравитации. Birkhäuser. ISBN 0-8176-3823-7, п. 69.

[Eriksson-27] Эрикссон, Ингрид В. (2008). Научное образование в 21 веке. Nova Books. ISBN 1-60021-951-9, п. 194.

[Lanczos-28] Для введения см., Например, Корнелиус Ланцош (1986). Вариационные принципы механики (Перепечатка изд. Университета Торонто 1970 г.). Дувр. п. 1. ISBN 978-0-486-65067-8.

[Shabana1-29] Описание обобщенных координат см. Ахмед А. Шабана (2003). «Обобщенные координаты и кинематические ограничения». Динамика многотельных систем (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 90 ff. ISBN 978-0-521-54411-5.

[Ott-30] Кристиан Отт (2008). Управление декартовым импедансом резервных и гибко соединенных роботов. Springer. п. 23. ISBN 978-3-540-69253-9.

[Ge-31] Шужи С. Ге; Тонг Хенг Ли; Кристофер Джон Харрис (1998). Адаптивное нейросетевое управление роботизированными манипуляторами. World Scientific. С. 47–48. ISBN 978-981-02-3452-2. В приведенном выше Уравнения Эйлера – Лагранжа., есть три типа терминов. Первая включает в себя вторую производную от обобщенных координат. Второй квадратичен по ${ displaystyle { boldsymbol { dot {q}}}}$ где коэффициенты могут зависеть от ${ displaystyle { boldsymbol {q}}}$ . Далее они делятся на два типа. Термины, связанные с продуктом типа ${ Displaystyle {{ точка {q}} _ {я}} ^ {2}}$ называются центробежные силы в то время как те, которые связаны с продуктом типа ${ displaystyle { dot {q}} _ {i} { dot {q}} _ {j}}$ за я ≠ j называются Силы Кориолиса. Третий тип - функции ${ displaystyle { boldsymbol {q}}}$ только и называются гравитационные силы.

[Nagrath-32] Р. К. Миттал; И. Дж. Награт (2003). Робототехника и управление. Тата МакГроу-Хилл. п. 202. ISBN 978-0-07-048293-7.

[Toda-33] Т Янао; К. Такацука (2005). «Эффекты внутренней метрики внутреннего пространства молекулы». В Микито Тода; Тамики Комацузаки; Стюарт А. Райс; Тетсуро Кониси; Р. Стивен Берри (ред.). Геометрические структуры фазового пространства в многомерном хаосе: приложения к динамике химических реакций в сложных системах. Вайли. п. 98. ISBN 978-0-471-71157-5. Как видно из первых членов ..., которые пропорциональны квадрату ${ displaystyle { dot { phi}}}$ возникает своего рода «центробежная сила» ... Мы называем эту силу «демократической центробежной силой». Конечно, DCF отличается от обычной центробежной силы и возникает даже в системе с нулевым угловым моментом.

[Bini1997-34] См. Стр. 5 дюйм Донато Бини; Паоло Карини; Роберт Т. Янцен (1997). «Внутренние производные и центробежные силы в общей теории относительности: I. Теоретические основы». Международный журнал современной физики D (Представлена рукопись). 6 (1): 143–198. arXiv:gr-qc / 0106014v1. Bibcode:1997IJMPD ... 6..143B. Дои:10.1142 / S021827189700011X. S2CID 10652293.. Сопутствующий документ Донато Бини; Паоло Карини; Роберт Т. Янцен (1997). "Внутренняя производная и центробежные силы в общей теории относительности: II. Приложения к круговым орбитам в некоторых стационарных осесимметричных пространствах-времени". Международный журнал современной физики D (Представлена рукопись). 6 (1): 143–198. arXiv:gr-qc / 0106014v1. Bibcode:1997IJMPD ... 6..143B. Дои:10.1142 / S021827189700011X. S2CID 10652293.

[Mook-35] Мук, Дело Э. и Томас Варгиш (1987). Внутри теории относительности. Принстон, штат Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-02520-7, п. 47.

[Scott-36] Г. Дэвид Скотт (1957). «Центробежные силы и законы движения Ньютона». 25. Американский журнал физики. п. 325.

[Signell-37] Сигнелл, Питер (2002). «Ускорение и сила при круговом движении» Физнет. Университет штата Мичиган, "Ускорение и сила при круговом движении", §5b, стр. 7.

[Mohanty-38] Моханти, А. К. (2004). Механика жидкости. PHI Learning Pvt. ООО ISBN 81-203-0894-8, п. 121.

[Roche-39] Рош, Джон (сентябрь 2001 г.). «Представляем движение по кругу» (PDF). Физическое образование. 43 (5): 399–405. Дои:10.1088/0031-9120/36/5/305.

[40] Ллойд Уильям Тейлор (1959). «Физика - пионер науки». Американский журнал физики. 1 (8): 173. Bibcode:1961AmJPh..29..563T. Дои:10.1119/1.1937847.

[Bowser-41] Эдвард Альберт Баузер (1920). Элементарный трактат по аналитической механике: с многочисленными примерами (25-е изд.). Компания Д. Ван Ностранд. п. 357.

[Angelo-42] Джозеф А. Анджело (2007). Робототехника: справочник по новой технологии. Гринвуд Пресс. п. 267. ISBN 978-1-57356-337-6.

[Rogers-43] Эрик М. Роджерс (1960). Физика для пытливого ума. Издательство Принстонского университета. п.302.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]