Динамика жесткого тела - Rigid body dynamics

Часть серии по
Классическая механика
${ displaystyle { textbf {F}} = { frac {d} {dt}} (m { textbf {v}})}$ Второй закон движения
История График Учебники
ветви Применяемый Небесный Continuum Динамика Кинематика Кинетика Статика Статистический
Основы Ускорение Угловой момент Пара Принцип Даламбера Энергия кинетический потенциал Сила Точка зрения Инерциальная система отсчета Импульс Инерция  / Момент инерции Масса Механическая мощность Механическая работа Момент Импульс Космос Скорость Время Крутящий момент Скорость Виртуальная работа
Составы Законы движения Ньютона Аналитическая механика Лагранжева механика Гамильтонова механика Рутианская механика Уравнение Гамильтона – Якоби Уравнение движения Аппеля Механика Купмана – фон Неймана
Основные темы Демпфирование  (соотношение ) Смещение Уравнения движения Законы движения Эйлера Фиктивная сила Трение Гармонический осциллятор Инерционный  / Неинерциальная система отсчета Механика движения плоских частиц Движение  (линейный ) Закон всемирного тяготения Ньютона Законы движения Ньютона Относительная скорость Жесткое тело динамика Уравнения Эйлера Простые гармонические колебания Вибрация
Вращение Круговое движение Вращающаяся опорная рамка Центростремительная сила Центробежная сила реактивный Сила Кориолиса Маятник Тангенциальная скорость Скорость вращения Угловое ускорение  / смещение  / частота  / скорость
Ученые Кеплер Галилео Гюйгенс Ньютон Хоррокс Галлей Даниэль Бернулли Иоганн Бернулли Эйлер д'Аламбер Clairaut Лагранж Лаплас Гамильтон Пуассон Коши Раут Liouville Appell Гиббс Купман фон Нейман
Категории ► Классическая механика

Движение каждого из компонентов парового двигателя Boulton & Watt (1784 г.) может быть описано системой уравнений кинематики и кинетики.

в физический наука о динамика, динамика твердого тела изучает движение системы взаимосвязанных тела под действием внешних силы. Предположение, что тела жесткий (т.е. они не деформировать под действием приложенных сил) упрощает анализ, сводя параметры, описывающие конфигурацию системы, к перемещению и вращению системы отсчета прикреплен к каждому телу.^[1][2] Это исключает тела, отображающие жидкость, высоко эластичный, и пластик поведение.

Динамика системы твердого тела описывается законами кинематика и применением второго закона Ньютона (кинетика ) или их производная форма, Лагранжева механика. Решение этих уравнений движения обеспечивает описание положения, движения и ускорения отдельных компонентов системы и самой системы в целом как функция времени. Формулировка и решение динамики твердого тела - важный инструмент компьютерного моделирования механические системы.

Плоская динамика твердого тела

Если система частиц движется параллельно фиксированной плоскости, говорят, что система ограничена планарным движением. В этом случае законы (кинетика) Ньютона для жесткой системы из N частиц P_я, i = 1, ..., N, упростить, потому что нет движения в k направление. Определить Равнодействующая сила и крутящий момент в контрольной точке р, чтобы получить

${ displaystyle mathbf {F} = sum _ {i = 1} ^ {N} m_ {i} mathbf {A} _ {i}, quad mathbf {T} = sum _ {i = 1 } ^ {N} ( mathbf {r} _ {i} - mathbf {R}) times (m_ {i} mathbf {A} _ {i}),}$

куда р_я обозначает плоскую траекторию каждой частицы.

В кинематика твердого тела дает формулу для ускорения частицы P_я с точки зрения должности р и ускорение А опорной частицы, а также вектор угловой скорости со и угловым ускорением вектора а жесткой системы частиц, как,

${ displaystyle mathbf {A} _ {i} = alpha times ( mathbf {r} _ {i} - mathbf {R}) + omega times ( omega times ( mathbf {r}) _ {i} - mathbf {R})) + mathbf {A}.}$

Для систем, которые ограничены плоским движением, векторы угловой скорости и углового ускорения направлены вдоль k перпендикулярно плоскости движения, что упрощает это уравнение ускорения. В этом случае векторы ускорения можно упростить, введя единичные векторы е_я с точки отсчета р в точку р_я и единичные векторы ${ textstyle mathbf {т} _ {я} = к раз mathbf {е} _ {я}}$, так

${ displaystyle mathbf {A} _ {i} = alpha ( Delta r_ {i} mathbf {t} _ {i}) - omega ^ {2} ( Delta r_ {i} mathbf {e } _ {i}) + mathbf {A}.}$

Это дает результирующую силу, действующую на систему, как

${ Displaystyle mathbf {F} = альфа сумма _ {я = 1} ^ {N} m_ {i} ( Delta r_ {i} mathbf {t} _ {i}) - omega ^ {2 } sum _ {i = 1} ^ {N} m_ {i} ( Delta r_ {i} mathbf {e} _ {i}) + ( sum _ {i = 1} ^ {N} m_ { i}) mathbf {A},}$

и крутящий момент как

${ displaystyle mathbf {T} = sum _ {i = 1} ^ {N} (m_ {i} Delta r_ {i} mathbf {e} _ {i}) times ( alpha ( Delta r_ {i} mathbf {t} _ {i}) - omega ^ {2} ( Delta r_ {i} mathbf {e} _ {i}) + mathbf {A}) = ( sum _ {i = 1} ^ {N} m_ {i} Delta r_ {i} ^ {2}) alpha { vec {k}} + ( sum _ {i = 1} ^ {N} m_ {i } Delta r_ {i} mathbf {e} _ {i}) times mathbf {A},}$

куда ${ textstyle mathbf {е} _ {я} раз mathbf {е} _ {я} = 0}$ и ${ textstyle mathbf {e} _ {i} times mathbf {t} _ {i} = k}$ - единичный вектор, перпендикулярный плоскости для всех частиц P_я.

Использовать центр массы C в качестве ориентира, поэтому эти уравнения для законов Ньютона упрощаются и становятся

${ Displaystyle mathbf {F} = M mathbf {A}, quad mathbf {T} = I_ {C} alpha { vec {k}},}$

где M - полная масса, а I_C это момент инерции вокруг оси, перпендикулярной движению жесткой системы и проходящей через центр масс.

Жесткий корпус в трех измерениях

Описание ориентации или отношения

Было разработано несколько методов описания ориентации твердого тела в трех измерениях. Они кратко изложены в следующих разделах.

Углы Эйлера

Первую попытку изобразить ориентацию приписывают Леонард Эйлер. Он представил три системы отсчета, которые могут вращаться одна вокруг другой, и понял, что, начав с фиксированной системы отсчета и выполнив три вращения, он может получить любую другую систему отсчета в пространстве (используя два вращения для фиксации вертикальной оси и еще одну для зафиксируйте две другие оси). Значения этих трех оборотов называются Углы Эйлера. Обычно ${ displaystyle psi}$ используется для обозначения прецессии, ${ displaystyle theta}$ нутация и ${ displaystyle phi}$ собственное вращение.

• 

  Схема углов Эйлера

• 

  Собственное вращение шара вокруг фиксированной оси.

• 

  Движение волчка в углах Эйлера.

Углы Тейта – Брайана

Углы Тейта – Брайана, еще один способ описания ориентации.

Это три угла, также известные как рыскание, тангаж и крен, углы навигации и углы кардана. Математически они представляют собой набор из шести возможных внутри двенадцати возможных наборов углов Эйлера, причем порядок является наиболее подходящим для описания ориентации транспортного средства, такого как самолет. В аэрокосмической технике их обычно называют углами Эйлера.

Вектор ориентации

Эйлер также понял, что композиция двух вращений эквивалентна одному вращению вокруг другой фиксированной оси (Теорема Эйлера вращения ). Следовательно, композиция первых трех углов должна быть равна только одному вращению, ось которого было сложно вычислить до тех пор, пока не были разработаны матрицы.

Основываясь на этом факте, он ввел векторный способ описания любого вращения с вектором на оси вращения и модулем, равным значению угла. Следовательно, любая ориентация может быть представлена ​​вектором вращения (также называемым вектором Эйлера), который ведет к нему из системы отсчета. При использовании для представления ориентации вектор вращения обычно называют вектором ориентации или вектором ориентации.

Похожий метод, называемый ось-угол представление, описывает поворот или ориентацию с помощью единичный вектор выровнен с осью вращения, и отдельное значение для указания угла (см. рисунок).

Матрица ориентации

С введением матриц теоремы Эйлера были переписаны. Повороты описывались ортогональные матрицы называемые матрицами вращения или матрицами направляющих косинусов. При использовании для представления ориентации матрицу поворота обычно называют матрицей ориентации или матрицей ориентации.

Упомянутый выше вектор Эйлера - это собственный вектор матрицы вращения (матрица вращения имеет единственный действительный собственное значение ). Произведение двух матриц вращения - это композиция вращений. Следовательно, как и раньше, ориентация может быть задана как поворот от исходного кадра для достижения кадра, который мы хотим описать.

В конфигурационное пространство не-симметричный объект в п-мерное пространство ТАК(п) × р^п. Ориентацию можно визуализировать, прикрепив основу из касательные векторы к объекту. Направление, в котором указывает каждый вектор, определяет его ориентацию.

Кватернион ориентации

Другой способ описать вращения - использовать кватернионы вращения, также называемые версорами. Они эквивалентны матрицам вращения и векторам вращения. Что касается векторов вращения, их легче преобразовать в матрицы и из них. При использовании для представления ориентации кватернионы вращения обычно называют кватернионами ориентации или кватернионами ориентации.

Второй закон Ньютона в трех измерениях

Чтобы рассмотреть динамику твердого тела в трехмерном пространстве, второй закон Ньютона необходимо расширить, чтобы определить взаимосвязь между движением твердого тела и системой сил и моментов, которые действуют на него.

Ньютон сформулировал свой второй закон для частицы следующим образом: «Изменение движения объекта пропорционально приложенной силе и происходит в направлении прямой линии, по которой действует сила».^[3] Поскольку Ньютон обычно называл массу, умноженную на скорость, «движением» частицы, фраза «изменение движения» относится к умножению массы на ускорение частицы, и поэтому этот закон обычно записывается как

${ displaystyle mathbf {F} = m mathbf {a},}$

куда F понимается как единственная внешняя сила, действующая на частицу, м - масса частицы, а а - его вектор ускорения. Распространение второго закона Ньютона на твердые тела достигается рассмотрением жесткой системы частиц.

Жесткая система частиц

Если система N частицы, P_я, i = 1, ...,N, собраны в твердое тело, то второй закон Ньютона может быть применен к каждой из частиц в теле. Если F_я - внешняя сила, приложенная к частице P_я с массой м_я, тогда

${ displaystyle mathbf {F} _ {i} + sum _ {j = 1} ^ {N} mathbf {F} _ {ij} = m_ {i} mathbf {a} _ {i}, quad i = 1, ldots, N,}$

куда F_ij - внутренняя сила частицы P_j действуя на частицу P_я который поддерживает постоянное расстояние между этими частицами.

Человеческое тело моделируется как система твердых тел геометрических тел. Были добавлены репрезентативные кости для лучшей визуализации идущего человека.

Важное упрощение этих уравнений силы получается путем введения Равнодействующая сила и крутящий момент, действующий на жесткую систему. Эти результирующие сила и крутящий момент получаются путем выбора одной из частиц в системе в качестве контрольной точки, р, где каждая из внешних сил прилагается с добавлением соответствующего крутящего момента. Результирующая сила F и крутящий момент Т даются формулами,

${ displaystyle mathbf {F} = sum _ {i = 1} ^ {N} mathbf {F} _ {i}, quad mathbf {T} = sum _ {i = 1} ^ {N } ( mathbf {R} _ {i} - mathbf {R}) times mathbf {F} _ {i},}$

куда р_я - вектор, определяющий положение частицы P_я.

Второй закон Ньютона для частицы сочетается с этими формулами для получения результирующей силы и крутящего момента,

${ displaystyle mathbf {F} = sum _ {i = 1} ^ {N} m_ {i} mathbf {a} _ {i}, quad mathbf {T} = sum _ {i = 1 } ^ {N} ( mathbf {R} _ {i} - mathbf {R}) times (m_ {i} mathbf {a} _ {i}),}$

где внутренние силы F_ij отменить попарно. В кинематика твердого тела дает формулу для ускорения частицы P_я с точки зрения должности р и ускорение а опорной частицы, а также вектор угловой скорости со и угловым ускорением вектора а жесткой системы частиц, как,

${ displaystyle mathbf {a} _ {i} = alpha times ( mathbf {R} _ {i} - mathbf {R}) + omega times ( omega times ( mathbf {R}) _ {i} - mathbf {R})) + mathbf {a}.}$

Массовые свойства

Массовые свойства твердого тела представлены его центр массы и матрица инерции. Выберите точку отсчета р так что он удовлетворяет условию

${ displaystyle sum _ {я = 1} ^ {N} m_ {i} ( mathbf {R} _ {i} - mathbf {R}) = 0,}$

тогда он известен как центр масс системы. Матрица инерции [I_р] системы относительно реперной точки р определяется

${ displaystyle [I_ {R}] = sum _ {i = 1} ^ {N} m_ {i} ( mathbf {I} ( mathbf {S} _ {i} ^ {T} mathbf {S } _ {i}) - mathbf {S} _ {i} mathbf {S} _ {i} ^ {T}),}$

куда ${ Displaystyle mathbf {S} _ {я}}$ вектор-столбец р_я–р; и ${ Displaystyle mathbf {S} _ {я} ^ {T}}$ это его транспонирование.

${ Displaystyle mathbf {S} _ {я} ^ {T} mathbf {S} _ {я}}$ скалярное произведение ${ Displaystyle mathbf {S} _ {я}}$ с собой, в то время как ${ Displaystyle mathbf {S} _ {я} mathbf {S} _ {я} ^ {T}}$ тензорное произведение ${ Displaystyle mathbf {S} _ {я}}$ с собой.

${ displaystyle mathbf {I}}$ представляет собой единичную матрицу 3 на 3.

Уравнения сила-момент

Используя матрицу центра масс и инерции, уравнения силы и момента для одного твердого тела принимают вид

${ displaystyle mathbf {F} = m mathbf {a}, quad mathbf {T} = [I_ {R}] alpha + omega times [I_ {R}] omega,}$

и известны как второй закон движения Ньютона для твердого тела.

Динамика взаимосвязанной системы твердых тел, B_я, j = 1, ..., M, формулируется путем изоляции каждого твердого тела и введения сил взаимодействия. Равнодействующая внешних сил и сил взаимодействия на каждом теле дает уравнения силы-момента

${ displaystyle mathbf {F} _ {j} = m_ {j} mathbf {a} _ {j}, quad mathbf {T} _ {j} = [I_ {R}] _ {j} альфа _ {j} + omega _ {j} times [I_ {R}] _ {j} omega _ {j}, quad j = 1, ldots, M.}$

Формулировка Ньютона дает 6M уравнения, определяющие динамику системы M твердые тела.^[4]

Вращение в трех измерениях

Вращающийся объект, независимо от того, находится ли он под действием крутящего момента или нет, может демонстрировать поведение прецессия и нутация Основное уравнение, описывающее поведение вращающегося твердого тела, имеет вид Уравнение движения Эйлера:

${ displaystyle { boldsymbol { tau}} = {{D mathbf {L}} over {Dt}} = {{d mathbf {L}} over {dt}} + { boldsymbol { omega }} times mathbf {L} = {{d (I { boldsymbol { omega}})} over {dt}} + { boldsymbol { omega}} times {I { boldsymbol { omega }}} = I { boldsymbol { alpha}} + { boldsymbol { omega}} times {I { boldsymbol { omega}}}}$

где псевдовекторы τ и L являются, соответственно, крутящие моменты на теле и его угловой момент, скаляр я это его момент инерции, вектор ω - его угловая скорость, вектор α - его угловое ускорение, D - дифференциал в инерциальной системе отсчета, а d - дифференциал в относительной системе отсчета, закрепленной на теле.

Решение этого уравнения при отсутствии крутящего момента обсуждается в статьях. Уравнение движения Эйлера и Пуансо-эллипсоид.

Из уравнения Эйлера следует, что крутящий момент τ применяется перпендикулярно оси вращения и, следовательно, перпендикулярно к L, приводит к вращению вокруг оси, перпендикулярной обоим τ и L. Это движение называется прецессия. Угловая скорость прецессии Ω_п дается перекрестное произведение:^{[нужна цитата ]}

${ displaystyle { boldsymbol { tau}} = { boldsymbol { Omega}} _ { mathrm {P}} times mathbf {L}.}$

Прецессия гироскоп

Прецессию можно продемонстрировать, поместив волчок так, чтобы его ось была горизонтальна и свободно поддерживалась (без трения в сторону прецессии) на одном конце. Вместо того, чтобы падать, как можно было ожидать, вершина, кажется, бросает вызов гравитации, оставаясь с горизонтальной осью, когда другой конец оси остается без поддержки, а свободный конец оси медленно описывает круг в горизонтальной плоскости, в результате прецессия токарная. Этот эффект объясняется приведенными выше уравнениями. Крутящий момент на верхней части создается парой сил: силой тяжести, действующей вниз на центр масс устройства, и равной силой, действующей вверх, чтобы поддерживать один конец устройства. Вращение, возникающее в результате этого крутящего момента, происходит не вниз, как можно было бы интуитивно ожидать, вызывая падение устройства, а перпендикулярно как гравитационному моменту (горизонтальному и перпендикулярному оси вращения), так и оси вращения (горизонтальному и наружу от оси вращения). точка опоры), т.е. вокруг вертикальной оси, заставляя устройство медленно вращаться вокруг точки опоры.

При постоянном крутящем моменте величины τ, скорость прецессии Ω_п обратно пропорционально L, величина его углового момента:

${ displaystyle tau = { mathit { Omega}} _ { mathrm {P}} L sin theta, !}$

куда θ угол между векторами Ω_п и L. Таким образом, если вращение волчка замедляется (например, из-за трения), его угловой момент уменьшается, и, следовательно, скорость прецессии увеличивается. Это продолжается до тех пор, пока устройство не сможет вращаться достаточно быстро, чтобы выдержать собственный вес, когда оно прекратит прецессию и не упадет со своей опоры, в основном потому, что трение против прецессии вызывает другую прецессию, которая вызывает падение.

По соглашению, эти три вектора - крутящий момент, вращение и прецессия - все ориентированы относительно друг друга в соответствии с правило правой руки.

Виртуальная работа сил, действующих на твердое тело

Альтернативная формулировка динамики твердого тела, имеющая ряд удобных особенностей, получается при рассмотрении виртуальная работа сил, действующих на твердое тело.

Виртуальная работа сил, действующих в различных точках на одно твердое тело, может быть рассчитана с использованием скоростей точки их приложения и результирующая сила и крутящий момент. Чтобы в этом убедиться, пусть силы F₁, F₂ ... F_п действовать по пунктам р₁, р₂ ... р_п в твердом теле.

Траектории р_я, я = 1, ..., п определяются движением твердого тела. Скорость точек р_я по их траекториям

${ displaystyle mathbf {V} _ {i} = { vec { omega}} times ( mathbf {R} _ {i} - mathbf {R}) + mathbf {V},}$

куда ω - вектор угловой скорости тела.

Виртуальная работа

Работа рассчитывается как скалярное произведение каждой силы на смещение точки контакта.

${ displaystyle delta W = sum _ {i = 1} ^ {n} mathbf {F} _ {i} cdot delta mathbf {r} _ {i}.}$

Если траектория твердого тела определяется набором обобщенные координаты q_j, j = 1, ..., м, то виртуальные перемещения δр_я даны

${ displaystyle delta mathbf {r} _ {i} = sum _ {j = 1} ^ {m} { frac { partial mathbf {r} _ {i}} { partial q_ {j} }} delta q_ {j} = sum _ {j = 1} ^ {m} { frac { partial mathbf {V} _ {i}} { partial { dot {q}} _ {j }}} delta q_ {j}.}$

Виртуальная работа этой системы сил, действующих на тело, в терминах обобщенных координат принимает вид

${ displaystyle delta W = mathbf {F} _ {1} cdot left ( sum _ {j = 1} ^ {m} { frac { partial mathbf {V} _ {1}} { partial { dot {q}} _ {j}}} delta q_ {j} right) + ldots + mathbf {F} _ {n} cdot left ( sum _ {j = 1} ^ {m} { frac { partial mathbf {V} _ {n}} { partial { dot {q}} _ {j}}} delta q_ {j} right)}$

или собирая коэффициенты при δq_j

${ displaystyle delta W = left ( sum _ {я = 1} ^ {n} mathbf {F} _ {i} cdot { frac { partial mathbf {V} _ {i}} { partial { dot {q}} _ {1}}} right) delta q_ {1} + ldots + left ( sum _ {1 = 1} ^ {n} mathbf {F} _ { i} cdot { frac { partial mathbf {V} _ {i}} { partial { dot {q}} _ {m}}} right) delta q_ {m}.}$

Обобщенные силы

Для простоты рассмотрим траекторию твердого тела, которая задается одной обобщенной координатой q, такой как угол поворота, тогда формула принимает вид

${ displaystyle delta W = left ( sum _ {i = 1} ^ {n} mathbf {F} _ {i} cdot { frac { partial mathbf {V} _ {i}} { partial { dot {q}}}} right) delta q = left ( sum _ {i = 1} ^ {n} mathbf {F} _ {i} cdot { frac { partial ({ vec { omega}} times ( mathbf {R} _ {i} - mathbf {R}) + mathbf {V})} { partial { dot {q}}}} right ) delta q.}$

Введите результирующую силу F и крутящий момент Т поэтому это уравнение принимает вид

${ displaystyle delta W = left ( mathbf {F} cdot { frac { partial mathbf {V}} { partial { dot {q}}}} + mathbf {T} cdot { frac { partial { vec { omega}}} { partial { dot {q}}}} right) delta q.}$

Количество Q определяется

${ Displaystyle Q = mathbf {F} cdot { frac { partial mathbf {V}} { partial { dot {q}}}} + mathbf {T} cdot { frac { partial { vec { omega}}} { partial { dot {q}}}},}$

известен как обобщенная сила связанное с виртуальным перемещением δq. Эта формула обобщается на движение твердого тела, определяемого более чем одной обобщенной координатой, т. Е.

${ displaystyle delta W = sum _ {j = 1} ^ {m} Q_ {j} delta q_ {j},}$

куда

${ displaystyle Q_ {j} = mathbf {F} cdot { frac { partial mathbf {V}} { partial { dot {q}} _ {j}}} + mathbf {T} cdot { frac { partial { vec { omega}}} { partial { dot {q}} _ {j}}}, quad j = 1, ldots, m.}$

Полезно отметить, что консервативные силы, такие как сила тяжести и силы пружины, выводятся из потенциальной функции V(q₁, ..., q_п), известный как потенциальная энергия. В этом случае обобщенные силы определяются выражением

${ displaystyle Q_ {j} = - { frac { partial V} { partial q_ {j}}}, quad j = 1, ldots, m.}$

Форма принципа виртуальной работы Даламбера

Уравнения движения механической системы твердых тел могут быть определены с использованием формы принципа виртуальной работы Даламбера. Принцип виртуальной работы используется для изучения статического равновесия системы твердых тел, однако, вводя термины ускорения в законы Ньютона, этот подход обобщается для определения динамического равновесия.

Статическое равновесие

Статическое равновесие твердых тел механической системы определяется условием, что виртуальная работа приложенных сил равна нулю для любого виртуального смещения системы. Это известно как принцип виртуальной работы.^[5] Это эквивалентно требованию, чтобы обобщенные силы для любого виртуального смещения равнялись нулю, то есть Q_я=0.

Пусть механическая система построена из n твердых тел, B_я, i = 1, ..., n, и пусть равнодействующая сил, приложенных к каждому телу, будет парами сила-момент, F_я и Т_я, i = 1, ..., n. Обратите внимание, что эти приложенные силы не включают силы реакции в местах соединения тел. Наконец, предположим, что скорость V_я и угловые скорости ω_я, i =, 1 ..., n, для каждого твердого тела задаются одной обобщенной координатой q. Говорят, что такая система твердых тел имеет один степень свободы.

Виртуальная работа сил и моментов, F_я и Т_я, применительно к этой системе с одной степенью свободы определяется выражением

${ displaystyle delta W = sum _ {i = 1} ^ {n} ( mathbf {F} _ {i} cdot { frac { partial mathbf {V} _ {i}} { partial { dot {q}}}} + mathbf {T} _ {i} cdot { frac { partial { vec { omega}} _ {i}} { partial { dot {q}} }}) delta q = Q delta q,}$

куда

${ displaystyle Q = sum _ {i = 1} ^ {n} ( mathbf {F} _ {i} cdot { frac { partial mathbf {V} _ {i}} { partial { точка {q}}}} + mathbf {T} _ {i} cdot { frac { partial { vec { omega}} _ {i}} { partial { dot {q}}}} ),}$

- обобщенная сила, действующая на эту систему с одной степенью свободы.

Если механическая система определяется m обобщенными координатами, q_j, j = 1, ..., m, то система имеет m степеней свободы, а виртуальная работа определяется выражением

${ displaystyle delta W = sum _ {j = 1} ^ {m} Q_ {j} delta q_ {j},}$

куда

${ displaystyle Q_ {j} = sum _ {i = 1} ^ {n} ( mathbf {F} _ {i} cdot { frac { partial mathbf {V} _ {i}} { partial { dot {q}} _ {j}}} + mathbf {T} _ {i} cdot { frac { partial { vec { omega}} _ {i}} { partial { точка {q}} _ {j}}}), quad j = 1, ldots, m.}$

- обобщенная сила, связанная с обобщенной координатой q_j. Принцип виртуальной работы утверждает, что статическое равновесие возникает, когда эти обобщенные силы, действующие на систему, равны нулю, то есть

${ Displaystyle Q_ {j} = 0, quad j = 1, ldots, м.}$

Эти m уравнений определяют статическое равновесие системы твердых тел.

Обобщенные силы инерции

Рассмотрим одиночное твердое тело, которое движется под действием равнодействующей силы F и крутящий момент Т, с одной степенью свободы, определяемой обобщенной координатой q. Предположим, что точкой отсчета для результирующей силы и крутящего момента является центр масс тела, тогда обобщенная сила инерции Q *, связанная с обобщенной координатой q, определяется выражением

${ displaystyle Q ^ {*} = - (M mathbf {A}) cdot { frac { partial mathbf {V}} { partial { dot {q}}}} - ([I_ {R }] alpha + omega times [I_ {R}] omega) cdot { frac { partial { vec { omega}}} { partial { dot {q}}}}.}.$

Эту силу инерции можно вычислить, исходя из кинетической энергии твердого тела,

${ displaystyle T = { frac {1} {2}} M mathbf {V} cdot mathbf {V} + { frac {1} {2}} { vec { omega}} cdot [ I_ {R}] { vec { omega}},}$

используя формулу

${ displaystyle Q ^ {*} = - left ({ frac {d} {dt}} { frac { partial T} { partial { dot {q}}}}) - { frac { partial T} { partial q}} right).}$

Система из n твердых тел с m обобщенными координатами имеет кинетическую энергию

${ displaystyle T = sum _ {i = 1} ^ {n} ({ frac {1} {2}} M mathbf {V} _ {i} cdot mathbf {V} _ {i} + { frac {1} {2}} { vec { omega}} _ {i} cdot [I_ {R}] { vec { omega}} _ {i}),}$

которые можно использовать для расчета m обобщенных сил инерции^[6]

${ displaystyle Q_ {j} ^ {*} = - left ({ frac {d} {dt}} { frac { partial T} { partial { dot {q}} _ {j}}} - { frac { partial T} { partial q_ {j}}} right), quad j = 1, ldots, m.}$

Динамическое равновесие

Форма принципа виртуальной работы Даламбера утверждает, что система твердых тел находится в динамическом равновесии, когда виртуальная работа суммы приложенных сил и сил инерции равна нулю для любого виртуального перемещения системы. Таким образом, для динамического равновесия системы из n твердых тел с m обобщенными координатами требуется, чтобы

${ displaystyle delta W = (Q_ {1} + Q_ {1} ^ {*}) delta q_ {1} + ldots + (Q_ {m} + Q_ {m} ^ {*}) delta q_ {m} = 0,}$

для любого набора виртуальных перемещений δq_j. Это условие дает m уравнений:

${ displaystyle Q_ {j} + Q_ {j} ^ {*} = 0, quad j = 1, ldots, m,}$

который также можно записать как

${ displaystyle { frac {d} {dt}} { frac { partial T} { partial { dot {q}} _ {j}}} - { frac { partial T} { partial q_ {j}}} = Q_ {j}, quad j = 1, ldots, m.}$

Результатом является система m уравнений движения, которые определяют динамику системы твердого тела.

Уравнения Лагранжа

Если обобщенные силы Q_j выводимы из потенциальной энергии V (q₁, ..., q_м), то эти уравнения движения принимают вид

${ displaystyle { frac {d} {dt}} { frac { partial T} { partial { dot {q}} _ {j}}} - { frac { partial T} { partial q_ {j}}} = - { frac { partial V} { partial q_ {j}}}, quad j = 1, ldots, m.}$

В этом случае введите Лагранжиан, L = T-V, поэтому эти уравнения движения становятся

${ displaystyle { frac {d} {dt}} { frac { partial L} { partial { dot {q}} _ {j}}} - { frac { partial L} { partial q_ {j}}} = 0 quad j = 1, ldots, m.}$

Они известны как Уравнения движения Лагранжа.

Линейный и угловой момент

Система частиц

Линейный и угловой момент жесткой системы частиц определяется путем измерения положения и скорости частиц относительно центра масс. Пусть система частиц P_я, i = 1, ..., n располагаются в координатах р_я и скорости v_я. Выберите точку отсчета р и вычислить относительные векторы положения и скорости,

${ displaystyle mathbf {r} _ {i} = ( mathbf {r} _ {i} - mathbf {R}) + mathbf {R}, quad mathbf {v} _ {i} = { frac {d} {dt}} ( mathbf {r} _ {i} - mathbf {R}) + mathbf {V}.}$

Полные векторы линейного движения и момента количества движения относительно реперной точки р находятся

${ displaystyle mathbf {p} = { frac {d} {dt}} ( sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} ( mathbf {r} _ {i} - mathbf { R})) + ( sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i}) mathbf {V},}$

и

${ displaystyle mathbf {L} = sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} ( mathbf {r} _ {i} - mathbf {R}) times { frac {d} {dt}} ( mathbf {r} _ {i} - mathbf {R}) + ( sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} ( mathbf {r} _ {i} - mathbf {R})) times mathbf {V}.}$

Если р выбран в качестве центра масс, эти уравнения упрощаются до

${ Displaystyle mathbf {p} = M mathbf {V}, quad mathbf {L} = sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} ( mathbf {r} _ {i} - mathbf {R}) times { frac {d} {dt}} ( mathbf {r} _ {i} - mathbf {R}).}$

Жесткая система частиц

Чтобы применить эти формулы к твердому телу, предположим, что частицы жестко связаны друг с другом, поэтому P_я, i = 1, ..., n расположены по координатам р_я и скорости v_я. Выберите точку отсчета р и вычислить относительные векторы положения и скорости,

${ displaystyle mathbf {r} _ {i} = ( mathbf {r} _ {i} - mathbf {R}) + mathbf {R}, quad mathbf {v} _ {i} = омега раз ( mathbf {r} _ {i} - mathbf {R}) + mathbf {V},}$

где ω - угловая скорость системы.^[7][8][9]

В линейный импульс и угловой момент этой жесткой системы, измеренной относительно центра масс р является

${ displaystyle mathbf {p} = ( sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i}) mathbf {V}, quad mathbf {L} = sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} ( mathbf {r} _ {i} - mathbf {R}) times mathbf {v} _ {i} = sum _ {i = 1} ^ {n} m_ { i} ( mathbf {r} _ {i} - mathbf {R}) times ( omega times ( mathbf {r} _ {i} - mathbf {R})).}$

Эти уравнения упрощаются и становятся,

${ Displaystyle mathbf {p} = M mathbf {V}, quad mathbf {L} = [I_ {R}] omega,}$

где M - полная масса системы, а [I_р] это момент инерции матрица определяется

${ displaystyle [I_ {R}] = - sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [r_ {i} -R] [r_ {i} -R],}$

где [r_я-R] - кососимметричная матрица, построенная из вектора р_я-р.

Приложения

• Для анализа робототехнических систем
• Для биомеханического анализа животных, людей или гуманоидных систем.
• Для анализа космических объектов
• Для понимания странных движений твердых тел.^[10]
• Для проектирования и разработки датчиков на основе динамики, таких как гироскопические датчики.
• Для проектирования и разработки различных приложений повышения устойчивости автомобилей.
• Для улучшения графики видеоигр с твердыми телами.

Смотрите также

• Аналитическая механика
• Аналитическая динамика
• Вариационное исчисление
• Классическая механика
• Динамика (физика)
• История классической механики
• Лагранжева механика
• Лагранжиан
• Гамильтонова механика
• Жесткое тело
• Жесткий ротор
• Динамика мягкого тела
• Многотельная динамика
• Polhode
• Herpolhode
• Прецессия
• Конструкция Пуансо
• Гироскоп
• Физический движок
• Блок обработки физики
• Слой абстракции физики - Единый многотельный симулятор
• Dynamechs - Тренажер с жестким кузовом
• RigidChips - Японский симулятор твердого тела
• Уравнение Эйлера

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Э. Лейманис (1965). Общая задача о движении связанных твердых тел вокруг неподвижной точки. (Спрингер, Нью-Йорк).
• У. Б. Херд (2006). Механика твердого тела: математика, физика и приложения. (Вайли-ВЧ).

внешняя ссылка

• Информация о динамике твердого тела Криса Хеккера
• Физическое моделирование: принципы и практика
• Лекции по вычислительной динамике твердого тела в Университете Висконсин-Мэдисон
• База знаний DigitalRune содержит магистерскую диссертацию и сборник ресурсов по динамике твердого тела.
• Ф. Клейн, "Замечание о связи между линейной геометрией и механикой твердого тела" (Английский перевод)
• Ф. Кляйн, "О теории винтов сэра Роберта Болла" (Английский перевод)
• Э. Коттон, "Применение геометрии Кэли к геометрическому изучению смещения твердого тела вокруг фиксированной точки" (Английский перевод)