Виртуальная работа - Virtual work

Часть серии по
Классическая механика
${ displaystyle { textbf {F}} = { frac {d} {dt}} (m { textbf {v}})}$ Второй закон движения
История График Учебники
ветви Применяемый Небесный Continuum Динамика Кинематика Кинетика Статика Статистический
Основы Ускорение Угловой момент Пара Принцип Даламбера Энергия кинетический потенциал Сила Точка зрения Инерциальная система отсчета Импульс Инерция  / Момент инерции Масса Механическая мощность Механическая работа Момент Импульс Космос Скорость Время Крутящий момент Скорость Виртуальная работа
Составы Законы движения Ньютона Аналитическая механика Лагранжева механика Гамильтонова механика Рутианская механика Уравнение Гамильтона – Якоби Уравнение движения Аппеля Механика Купмана – фон Неймана
Основные темы Демпфирование  (соотношение ) Смещение Уравнения движения Законы движения Эйлера Фиктивная сила Трение Гармонический осциллятор Инерционный  / Неинерциальная система отсчета Механика движения плоских частиц Движение  (линейный ) Закон всемирного тяготения Ньютона Законы движения Ньютона Относительная скорость Жесткое тело динамика Уравнения Эйлера Простые гармонические колебания Вибрация
Вращение Круговое движение Вращающаяся опорная рамка Центростремительная сила Центробежная сила реактивный Сила Кориолиса Маятник Тангенциальная скорость Скорость вращения Угловое ускорение  / смещение  / частота  / скорость
Ученые Кеплер Галилео Гюйгенс Ньютон Хоррокс Галлей Даниэль Бернулли Иоганн Бернулли Эйлер д'Аламбер Clairaut Лагранж Лаплас Гамильтон Пуассон Коши Раут Liouville Appell Гиббс Купман фон Нейман
Категории ► Классическая механика

В механика, виртуальная работа возникает при применении принцип наименьшего действия к изучению сил и движения механическая система. В работай силы, действующей на частицу при ее движении по смещению, различны для разных смещений. Среди всех возможных перемещений, которые может следовать частица, называются виртуальные смещения, один минимизирует действие. Таким образом, это смещение представляет собой смещение, за которым следует частица в соответствии с принципом наименьшего действия. Работа силы, действующая на частицу при виртуальном перемещении, известна как виртуальная работа..

Исторически сложилось так, что виртуальная работа и связанные с ней вариационное исчисление были сформулированы для анализа систем твердых тел,^[1] но они также были разработаны для изучения механики деформируемых тел.^[2]

История

В принцип виртуальной работы с древних времен всегда использовались в той или иной форме при изучении статики. Он использовался греками, средневековыми арабами и латинянами и итальянцами эпохи Возрождения как «закон рычага».^[3] Идея виртуальной работы использовалась многими известными физиками 17 века, такими как Галилей, Декарт, Торричелли, Уоллис и Гюйгенс, в разной степени общности при решении задач статики.^[3] Работая с лейбницевскими концепциями, Иоганн Бернулли систематизировал принцип виртуальной работы и прояснил концепцию бесконечно малого смещения. Он смог решить проблемы как для твердых тел, так и для жидкостей. Версия закона о виртуальном труде Бернулли появилась в его письме к Пьер Вариньон в 1715 году, который позже был опубликован во втором томе Вариньона. Nouvelle mécanique ou Statique в 1725 г. Эта формулировка принципа сегодня известна как принцип виртуальных скоростей и обычно считается прототипом современных принципов виртуальной работы.^[3] В 1743 году Даламбер опубликовал Traité de Dynamique где он применил принцип виртуальной работы, основанный на работе Бернулли, для решения различных задач в динамике. Его идея заключалась в том, чтобы преобразовать динамическую задачу в статическую, введя инерционная сила.^[4] В 1768 г. Лагранж представил принцип виртуальной работы в более эффективной форме, введя обобщенные координаты, и представил его как альтернативный принцип механики, с помощью которого могут быть решены все проблемы равновесия. Систематическое изложение программы Лагранжа применения этого подхода ко всей механике, как статической, так и динамической, по существу Принцип Даламбера, был дан в его Mécanique Analytique 1788 г.^[3] Хотя Лагранж представил свою версию принцип наименьшего действия до этой работы он признавал принцип виртуальной работы более фундаментальным, главным образом потому, что он сам по себе мог считаться основой всей механики, в отличие от современного понимания того, что наименьшее действие не учитывает неконсервативные силы.^[3]

Обзор

Если на частицу действует сила, когда она движется из точки ${ displaystyle A}$ В точку ${ displaystyle B}$то для каждой возможной траектории, которую может принять частица, можно вычислить полную работу, совершаемую силой на этом пути. В принцип виртуальной работы, который является формой принципа наименьшего действия, применяемого к этим системам, утверждает, что путь, по которому на самом деле следует частица, - это тот, для которого разница между работой на этом пути и других близлежащих путях равна нулю (в первом порядке). Формальная процедура для вычисления разности функций, вычисленных на близлежащих путях, является обобщением производной, известной из дифференциального исчисления, и называется вариационное исчисление.

Рассмотрим точечную частицу, которая движется по пути, который описывается функцией ${ Displaystyle mathbf {г} (т)}$ с точки ${ displaystyle A}$, куда ${ Displaystyle mathbf {г} (т = т_ {0})}$, В точку ${ displaystyle B}$, куда ${ Displaystyle mathbf {г} (т = т_ {1})}$. Возможно, что частица движется из ${ displaystyle A}$ к ${ displaystyle B}$ по близлежащему пути, описанному ${ Displaystyle mathbf {г} (т) + дельта mathbf {г} (т)}$, куда ${ Displaystyle дельта mathbf {г} (т)}$ называется вариацией ${ Displaystyle mathbf {г} (т)}$. Вариация ${ Displaystyle дельта mathbf {г} (т)}$ удовлетворяет требованию ${ displaystyle delta mathbf {r} (t_ {0}) = delta mathbf {r} (t_ {1}) = 0}$. Скалярные компоненты вариации ${ Displaystyle дельта r_ {1} (т)}$, ${ displaystyle delta r_ {2} (t)}$ и ${ displaystyle delta r_ {3} (t)}$ называются виртуальными перемещениями. Это можно обобщить на произвольную механическую систему, определяемую обобщенные координаты ${ displaystyle q_ {i}}$, ${ Displaystyle я = 1,2, ..., п}$. В этом случае изменение траектории ${ Displaystyle q_ {я} (т)}$ определяется виртуальными перемещениями ${ displaystyle delta q_ {i}}$, ${ Displaystyle я = 1,2, ..., п}$.

Виртуальная работа - это полная работа, совершаемая приложенными силами и силами инерции механической системы, когда она движется через набор виртуальных перемещений. При рассмотрении сил, приложенных к телу в статическом равновесии, принцип наименьшего действия требует, чтобы виртуальная работа этих сил была равна нулю.

Вступление

Рассмотрим частицу п что движется из точки А в точку B по траектории р(т), а сила F(р(т)) применяется к нему. Работа, проделанная силой F дается интегралом

${ Displaystyle W = int _ { mathbf {r} (t_ {0}) = A} ^ { mathbf {r} (t_ {1}) = B} mathbf {F} cdot d mathbf { r} = int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} mathbf {F} cdot { frac {d mathbf {r}} {dt}} ~ dt = int _ {t_ { 0}} ^ {t_ {1}} mathbf {F} cdot mathbf {v} ~ dt,}$

куда dр - дифференциальный элемент вдоль кривой, являющейся траекторией п, и v это его скорость. Важно отметить, что ценность работы W зависит от траектории р(т).

Теперь рассмотрим частицу п что движется от точки А В точку B снова, но на этот раз он движется по ближайшей траектории, отличной от р(т) вариацией δр(т)=εчас(т), куда ε - постоянная масштабирования, которую можно сделать сколь угодно малой, и час(т) - произвольная функция, удовлетворяющая час(т₀) = час(т₁) = 0. Предположим, что сила F(р(т)+εчас(т)) такой же как F(р(т)). Работа, совершаемая силой, дается интегралом

${ displaystyle { bar {W}} = int _ { mathbf {r} (t_ {0}) = A} ^ { mathbf {r} (t_ {1}) = B} mathbf {F} cdot d ( mathbf {r} + epsilon mathbf {h}) = int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} mathbf {F} cdot { frac {d ( mathbf {r} (t) + epsilon mathbf {h} (t))} {dt}} ~ dt = int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} mathbf {F} cdot ( mathbf {v} + epsilon { dot { mathbf {h}}}) ~ dt.}$

Вариация произведения δW связанный с этим близлежащим путем, известным как виртуальная работа, можно вычислить как

${ displaystyle delta W = { bar {W}} - W = int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} ( mathbf {F} cdot epsilon { dot { mathbf { h}}}) ~ dt.}$

Если нет ограничений на движение п, то необходимо 6 параметров для полного описания П'позиция в любое время т. Если есть k (k ≤ 6) силы связи, то п = (6 - k) необходимы параметры. Следовательно, мы можем определить п обобщенные координаты q_я (т) (я = 1, 2, ..., п) и выразить р(т) и δр=εчас(т) в обобщенных координатах. То есть,

${ Displaystyle mathbf {r} (t) = mathbf {r} (q_ {1}, q_ {2}, ..., q_ {n}; t)}$,

${ displaystyle mathbf {h} (t) = mathbf {h} (q_ {1}, q_ {2}, ..., q_ {n}; t)}$.

Тогда производная вариации δр=εчас(т) дан кем-то

${ displaystyle { frac {d} {dt}} delta mathbf {r} = { frac {d} {dt}} epsilon mathbf {h} = sum _ {i = 1} ^ {n } { frac { partial mathbf {h}} { partial q_ {i}}} epsilon { dot {q}} _ {i},}$

тогда у нас есть

${ displaystyle delta W = int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} left ( sum _ {i = 1} ^ {n} mathbf {F} cdot { frac { partial mathbf {h}} { partial q_ {i}}} epsilon { dot {q}} _ {i} right) dt = sum _ {i = 1} ^ {n} left ( int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} mathbf {F} cdot { frac { partial mathbf {h}} { partial q_ {i}}} epsilon { dot {q }} _ {i} ~ dt right).}$

Требование, чтобы виртуальная работа была равна нулю для произвольной вариации δр(т) = εчас(т) эквивалентен набору требований

${ displaystyle Q_ {i} = mathbf {F} cdot { frac { partial mathbf {h}} { partial q_ {i}}} = 0, quad i = 1, ldots, n. }$

Условия Q_я называются обобщенные силы связанное с виртуальным перемещением δр.

Статическое равновесие

Статическое равновесие - состояние, в котором чистая сила и чистый крутящий момент, действующие на систему, равны нулю. Другими словами, оба линейный импульс и угловой момент системы сохраняются. Принцип виртуальной работы гласит, что виртуальная работа приложенных сил равна нулю для всех виртуальные движения системы из статическое равновесие. Этот принцип можно обобщить так, что трехмерное вращения включены: виртуальная работа приложенных сил и приложенных моментов равна нулю для всех виртуальные движения системы из статического равновесия. То есть

${ displaystyle delta W = sum _ {i = 1} ^ {m} mathbf {F} _ {i} cdot delta mathbf {r} _ {i} + sum _ {j = 1} ^ {n} mathbf {M} _ {j} cdot delta mathbf { phi} _ {j} = 0,}$

куда F_я , я = 1, 2, ..., м и M_j , j = 1, 2, ..., п - приложенные силы и приложенные моменты соответственно, и δр_я , я = 1, 2, ..., м и δφ_j , j = 1, 2, ..., п являются виртуальные смещения и виртуальные вращения, соответственно.

Предположим, что система состоит из N частицы, и он имеет ж (ж ≤ 6N) степени свободы. Достаточно использовать только ж координаты, чтобы дать полное описание движения системы, поэтому ж обобщенные координаты q_k , k = 1, 2, ..., ж определены так, что виртуальные движения можно выразить через эти обобщенные координаты. То есть,

${ displaystyle delta mathbf {r} _ {i} (q_ {1}, q_ {2}, ..., q_ {f}; t), quad i = 1,2, ..., m ;}$

${ displaystyle delta phi _ {j} (q_ {1}, q_ {2}, ..., q_ {f}; t), quad j = 1,2, ..., n.}$

Тогда виртуальная работа может быть перепараметризован посредством обобщенные координаты:

${ displaystyle delta W = sum _ {k = 1} ^ {f} left [ left ( sum _ {i = 1} ^ {m} mathbf {F} _ {i} cdot { frac { partial mathbf {r} _ {i}} { partial q_ {k}}} + sum _ {j = 1} ^ {n} mathbf {M} _ {j} cdot { frac { partial mathbf { phi} _ {j}} { partial q_ {k}}} right) delta q_ {k} right] = sum _ {k = 1} ^ {f} Q_ { k} delta q_ {k},}$

где обобщенные силы Q_k определены как

${ displaystyle Q_ {k} = sum _ {i = 1} ^ {m} mathbf {F} _ {i} cdot { frac { partial mathbf {r} _ {i}} { partial q_ {k}}} + sum _ {j = 1} ^ {n} mathbf {M} _ {j} cdot { frac { partial mathbf { phi} _ {j}} { partial q_ {k}}}, quad k = 1,2, ..., f.}$

Кейн^[5] показывает, что эти обобщенные силы также можно сформулировать в терминах отношения производных по времени. То есть,

${ displaystyle Q_ {k} = sum _ {i = 1} ^ {m} mathbf {F} _ {i} cdot { frac { partial mathbf {v} _ {i}} { partial { dot {q}} _ {k}}} + sum _ {j = 1} ^ {n} mathbf {M} _ {j} cdot { frac { partial mathbf { omega} _ {j}} { partial { dot {q}} _ {k}}}, quad k = 1,2, ..., f.}$

Принцип виртуальной работы требует, чтобы виртуальная работа над системой выполнялась силами F_я и моменты M_j исчезает, если он находится в равновесие. Следовательно, обобщенные силы Q_k равны нулю, то есть

${ displaystyle delta W = 0 quad Rightarrow quad Q_ {k} = 0 quad k = 1,2, ..., f.}$

Ограничивающие силы

Важным преимуществом принципа виртуальной работы является то, что только силы, которые действительно работают, когда система движется через виртуальное смещение необходимы для определения механики системы. В механической системе есть много сил, которые не работают во время виртуальное смещение, что означает, что их не нужно рассматривать в этом анализе. Двумя важными примерами являются (i) внутренние силы в жесткое тело, и (ii) силы связи в идеале соединение.

Ланцош^[1] представляет это как постулат: «Виртуальная работа сил реакции всегда равна нулю для любого виртуальное смещение который находится в гармонии с заданными кинематическими ограничениями ». Аргумент следующий. Принцип виртуальной работы гласит, что в равновесие виртуальная работа сил, приложенных к системе, равна нулю. Законы Ньютона заявить, что в равновесие приложенные силы равны и противоположны силам реакции или сдерживающим силам. Это означает, что виртуальная работа ограничивающих сил также должна быть равна нулю.

Закон рычага

А рычаг моделируются как жесткая шина, присоединенная к заземляющей раме с помощью шарнирного соединения называется точкой опоры. Рычаг приводится в действие приложением входной силы F_А в какой-то момент А расположен по координатному вектору р_А на баре. Затем рычаг создает выходную силу F_B в момент B расположен на р_B. Вращение рычага вокруг точки опоры п определяется углом поворота θ.

Это гравюра из Журнал Механика опубликовано в Лондоне в 1824 году.

Пусть вектор координат точки п что определяет точку опоры р_п, и введем длины

${ displaystyle a = | mathbf {r} _ {A} - mathbf {r} _ {P} |, quad b = | mathbf {r} _ {B} - mathbf {r} _ {P } |,}$

которые являются расстояниями от точки опоры до точки входа А и до точки вывода B, соответственно.

Теперь введем единичные векторы е_А и е_B от точки опоры до точки А и B, так

${ displaystyle mathbf {r} _ {A} - mathbf {r} _ {P} = a mathbf {e} _ {A}, quad mathbf {r} _ {B} - mathbf {r } _ {P} = b mathbf {e} _ {B}.}$

Это обозначение позволяет определить скорость точек А и B в качестве

${ displaystyle mathbf {v} _ {A} = { dot { theta}} a mathbf {e} _ {A} ^ { perp}, quad mathbf {v} _ {B} = { dot { theta}} b mathbf {e} _ {B} ^ { perp},}$

куда е_А^⊥ и е_B^⊥ - единичные векторы, перпендикулярные е_А и е_B, соответственно.

Угол θ - обобщенная координата, которая определяет конфигурацию рычага, поэтому, используя приведенную выше формулу для сил, приложенных к механизму с одной степенью свободы, обобщенная сила определяется как

${ displaystyle Q = mathbf {F} _ {A} cdot { frac { partial mathbf {v} _ {A}} { partial { dot { theta}}}} - mathbf {F } _ {B} cdot { frac { partial mathbf {v} _ {B}} { partial { dot { theta}}}} = a ( mathbf {F} _ {A} cdot mathbf {e} _ {A} ^ { perp}) - b ( mathbf {F} _ {B} cdot mathbf {e} _ {B} ^ { perp}).}$

Обозначим теперь как F_А и F_B компоненты сил, перпендикулярные радиальным сегментам PA и PB. Эти силы даны

${ Displaystyle F_ {A} = mathbf {F} _ {A} cdot mathbf {e} _ {A} ^ { perp}, quad F_ {B} = mathbf {F} _ {B} cdot mathbf {e} _ {B} ^ { perp}.}$

Эти обозначения и принцип виртуальной работы дают формулу для обобщенной силы как

${ displaystyle Q = aF_ {A} -bF_ {B} = 0.}$

Соотношение выходной силы F_B к входной силе F_А это механическое преимущество рычага, и получается из принципа виртуальной работы как

${ displaystyle MA = { frac {F_ {B}} {F_ {A}}} = { frac {a} {b}}.}$

Это уравнение показывает, что если расстояние а от точки опоры до точки А где прикладываемая сила больше, чем расстояние б от точки опоры до точки B где приложена выходная сила, рычаг усиливает входную силу. Если верно обратное, то расстояние от точки опоры до точки входа А меньше, чем от точки опоры до точки выхода B, то рычаг уменьшает величину входного усилия.

Это закон рычага, что было доказано Архимед используя геометрические рассуждения.^[6]

Зубчатая передача

Зубчатая передача образована установкой шестерен на раме так, что зубья шестерен входят в зацепление. Зубья шестерни спроектированы таким образом, чтобы продольные круги зацепляющих шестерен катились друг по другу без проскальзывания, что обеспечивает плавную передачу вращения от одной шестерни к другой. Для этого анализа мы рассматриваем зубчатую передачу, которая имеет одну степень свободы, что означает, что угловое вращение всех шестерен в зубчатой ​​передаче определяется углом входной шестерни.

Иллюстрация из Тренинга армейского корпуса по механическому транспорту, (1911), рис. 112. Передача движения и силы шестернями, составной поезд

Размер шестерен и последовательность их включения определяют соотношение угловой скорости. ω_А входной шестерни на угловую скорость ω_B выходной шестерни, известной как передаточное число, или передаточное число, зубчатой ​​передачи. Позволять р быть соотношением скоростей, тогда

${ displaystyle { frac { omega _ {A}} { omega _ {B}}} = R.}$

Входной крутящий момент Т_А действующий на входную шестерню грамм_А трансформируется зубчатой ​​передачей в выходной крутящий момент Т_B от выходной шестерни грамм_B. Если предположить, что шестерни жесткие и нет потерь при зацеплении зубьев шестерни, то принцип виртуальной работы может быть использован для анализа статического равновесия зубчатой ​​передачи.

Пусть угол θ входной шестерни - обобщенная координата зубчатой ​​передачи, тогда передаточное число р зубчатой ​​передачи определяет угловую скорость выходной шестерни по отношению к входной шестерне, то есть

${ displaystyle omega _ {A} = omega, quad omega _ {B} = omega / R.}$

Приведенная выше формула принципа виртуальной работы с приложенными моментами дает обобщенную силу

${ displaystyle Q = T_ {A} { frac { partial omega _ {A}} { partial omega}} - T_ {B} { frac { partial omega _ {B}} { partial omega}} = T_ {A} -T_ {B} / R = 0.}$

В механическое преимущество зубчатой ​​передачи - отношение выходного крутящего момента Т_B к входному крутящему моменту Т_А, и приведенное выше уравнение дает

${ displaystyle MA = { frac {T_ {B}} {T_ {A}}} = R.}$

Таким образом, передаточное число зубчатой ​​передачи также определяет ее механическое преимущество. Это показывает, что если входная шестерня вращается быстрее выходной шестерни, то зубчатая передача усиливает входной крутящий момент. И, если входная шестерня вращается медленнее, чем выходная шестерня, то зубчатая передача снижает входной крутящий момент.

Динамическое равновесие для твердых тел

Если использовать принцип виртуальной работы приложенных сил на отдельных частицах жесткое тело, принцип можно обобщить для твердого тела: Когда твердое тело, находящееся в равновесии, подвергается виртуально совместимым смещениям, полная виртуальная работа всех внешних сил равна нулю; и наоборот, если полная виртуальная работа всех внешних сил, действующих на твердое тело, равна нулю, то тело находится в равновесии..

Если система не находится в статическом равновесии, Даламбер показал, что, вводя ускоряющие условия из законов Ньютона как силы инерции, этот подход обобщается для определения динамического равновесия. Результатом является форма принципа виртуальной работы Даламбера, который используется для вывода уравнений движения механической системы твердых тел.

Выражение совместимые смещения означает, что частицы остаются в контакте и смещаются вместе, так что работа, выполняемая парами межчастичных сил действие / противодействие, сводится на нет. Различные формы этого принципа были приписаны Иоганн (Жан) Бернулли (1667–1748) и Даниэль Бернулли (1700–1782).

Обобщенные силы инерции

Пусть механическая система построена из n твердых тел, B_я, i = 1, ..., n, и пусть равнодействующая сил, приложенных к каждому телу, будет парами сила-момент, F_я и Т_я, я = 1, ..., п. Обратите внимание, что эти приложенные силы не включают силы реакции в местах соединения тел. Наконец, предположим, что скорость V_я и угловые скорости ω_я, i =, 1 ..., n, для каждого твердого тела задаются одной обобщенной координатой q. Говорят, что такая система твердых тел имеет один степень свободы.

Рассмотрим одиночное твердое тело, которое движется под действием равнодействующей силы F и крутящий момент Т, с одной степенью свободы, определяемой обобщенной координатой q. Предположим, что точкой отсчета для результирующей силы и крутящего момента является центр масс тела, тогда обобщенная сила инерции Q *, связанная с обобщенной координатой q, определяется выражением

${ displaystyle Q ^ {*} = - (M mathbf {A}) cdot { frac { partial mathbf {V}} { partial { dot {q}}}} - ([I_ {R }] alpha + omega times [I_ {R}] omega) cdot { frac { partial { vec { omega}}} { partial { dot {q}}}}.}.$

Эту силу инерции можно вычислить, исходя из кинетической энергии твердого тела,

${ displaystyle T = { frac {1} {2}} M mathbf {V} cdot mathbf {V} + { frac {1} {2}} { vec { omega}} cdot [ I_ {R}] { vec { omega}},}$

используя формулу

${ displaystyle Q ^ {*} = - left ({ frac {d} {dt}} { frac { partial T} { partial { dot {q}}}}) - { frac { partial T} { partial q}} right).}$

Система из n твердых тел с m обобщенными координатами имеет кинетическую энергию

${ displaystyle T = sum _ {i = 1} ^ {n} ({ frac {1} {2}} M mathbf {V} _ {i} cdot mathbf {V} _ {i} + { frac {1} {2}} { vec { omega}} _ {i} cdot [I_ {R}] { vec { omega}} _ {i}),}$

которые можно использовать для расчета m обобщенных сил инерции^[7]

${ displaystyle Q_ {j} ^ {*} = - left ({ frac {d} {dt}} { frac { partial T} { partial { dot {q}} _ {j}}} - { frac { partial T} { partial q_ {j}}} right), quad j = 1, ldots, m.}$

Форма принципа виртуальной работы Даламбера

Форма принципа виртуальной работы Даламбера утверждает, что система твердых тел находится в динамическом равновесии, когда виртуальная работа суммы приложенных сил и сил инерции равна нулю для любого виртуального перемещения системы. Таким образом, для динамического равновесия системы из n твердых тел с m обобщенными координатами требуется, чтобы

${ displaystyle delta W = (Q_ {1} + Q_ {1} ^ {*}) delta q_ {1} + ldots + (Q_ {m} + Q_ {m} ^ {*}) delta q_ {m} = 0,}$

для любого набора виртуальных перемещений δq_j. Это условие дает m уравнений:

${ Displaystyle Q_ {j} + Q_ {j} ^ {*} = 0, quad j = 1, ldots, m,}$

который также можно записать как

${ displaystyle { frac {d} {dt}} { frac { partial T} { partial { dot {q}} _ {j}}} - { frac { partial T} { partial q_ {j}}} = Q_ {j}, quad j = 1, ldots, m.}$

Результатом является система m уравнений движения, которые определяют динамику системы твердого тела.

Если обобщенные силы Q_j выводимы из потенциальной энергии V (q₁, ..., q_м), то эти уравнения движения принимают вид

${ displaystyle { frac {d} {dt}} { frac { partial T} { partial { dot {q}} _ {j}}} - { frac { partial T} { partial q_ {j}}} = - { frac { partial V} { partial q_ {j}}}, quad j = 1, ldots, m.}$

В этом случае введите Лагранжиан, L = T-V, поэтому эти уравнения движения становятся

${ displaystyle { frac {d} {dt}} { frac { partial L} { partial { dot {q}} _ {j}}} - { frac { partial L} { partial q_ {j}}} = 0 quad j = 1, ldots, m.}$

Они известны как Уравнения движения Лагранжа.

Принцип виртуальной работы деформируемого тела

Рассмотрим теперь диаграмма свободного тела из деформируемое тело, состоящий из бесконечного числа дифференциальных кубов. Определим два не связанных между собой состояния тела:

• В ${ displaystyle { boldsymbol { sigma}}}$-State: показывает внешние поверхностные силы Т, телесные силы ж, и внутренние напряжения ${ displaystyle { boldsymbol { sigma}}}$ в равновесии.
• В ${ displaystyle { boldsymbol { epsilon}}}$-State: показывает непрерывные смещения ${ displaystyle mathbf {u} ^ {*}}$ и постоянные штаммы ${ displaystyle { boldsymbol { epsilon}} ^ {*}}$.

Верхний индекс * подчеркивает, что эти два состояния не связаны. Помимо вышеуказанных условий, нет необходимости указывать, является ли какое-либо из состояний реальным или виртуальным.

Представьте себе, что силы и напряжения в ${ displaystyle { boldsymbol { sigma}}}$-Государство пройти смещения и деформации в ${ displaystyle { boldsymbol { epsilon}}}$-Состояние: мы можем вычислить общую виртуальную (воображаемую) работу, выполненную все силы, действующие на грани всех кубиков двумя разными способами:

• Во-первых, суммируя работу, проделанную такими силами, как ${ displaystyle F_ {A}}$ которые действуют на отдельные общие грани (рис. c): поскольку материал совместим смещения, такая работа аннулируется, оставляя только виртуальную работу, выполняемую поверхностными силами Т (которые равны напряжениям на гранях кубов по равновесию).
• Во-вторых, путем вычисления чистой работы, выполненной напряжениями или силами, такими как ${ displaystyle F_ {A}}$, ${ displaystyle F_ {B}}$ которые действуют на отдельный куб, например для одномерного случая на рис. (c):

${ displaystyle F_ {B} left (u ^ {*} + { frac { partial u ^ {*}} { partial x}} dx right) -F_ {A} u ^ {*} приблизительно { frac { partial u ^ {*}} { partial x}} sigma dV + u ^ {*} { frac { partial sigma} { partial x}} dV = epsilon ^ {*} sigma dV-u ^ {*} fdV}$

где соотношение равновесия ${ displaystyle { frac { partial sigma} { partial x}} + f = 0}$ был использован, а член второго порядка не учитывался.

Интеграция по всему телу дает:

${ displaystyle int _ {V} { boldsymbol { epsilon}} ^ {* T} { boldsymbol { sigma}} , dV}$ - Работа, выполняемая силами тела ж.

Приравнивание двух результатов приводит к принципу виртуальной работы для деформируемого тела:

${ displaystyle { mbox {Общая внешняя виртуальная работа}} = int _ {V} { boldsymbol { epsilon}} ^ {* T} { boldsymbol { sigma}} dV qquad mathrm {(d) }}$

где вся внешняя виртуальная работа выполняется Т и ж. Таким образом,

${ displaystyle int _ {S} mathbf {u} ^ {* T} mathbf {T} dS + int _ {V} mathbf {u} ^ {* T} mathbf {f} dV = int _ {V} { boldsymbol { epsilon}} ^ {* T} { boldsymbol { sigma}} dV qquad mathrm {(e)}}$

Правую часть (d, e) часто называют внутренней виртуальной работой. Тогда принцип виртуальной работы гласит: Внешняя виртуальная работа равна внутренней виртуальной работе, когда уравновешенные силы и напряжения претерпевают несвязанные, но последовательные смещения и деформации.. Он включает принцип виртуальной работы для твердых тел как частный случай, когда внутренняя виртуальная работа равна нулю.

Доказательство эквивалентности принципа виртуальной работы уравнению равновесия

Начнем с того, что посмотрим на общую работу, выполняемую поверхностным натяжением тела, проходящего через указанную деформацию:

${ displaystyle int _ {S} mathbf {u cdot T} dS = int _ {S} mathbf {u cdot { boldsymbol { sigma}} cdot n} dS}$

Применяя теорему о расходимости к правой части, получаем:

${ displaystyle int _ {S} mathbf {u cdot { boldsymbol { sigma}} cdot n} dS = int _ {V} nabla cdot left ( mathbf {u} cdot { boldsymbol { sigma}} right) dV}$

Теперь переключимся на условные обозначения для простоты вывода.

${ displaystyle { begin {align} int _ {V} nabla cdot left ( mathbf {u} cdot { boldsymbol { sigma}} right) dV & = int _ {V} { frac { partial} { partial x_ {j}}} left (u_ {i} sigma _ {ij} right) dV & = int _ {V} left ({ frac { partial u_ {i}} { partial x_ {j}}} sigma _ {ij} + u_ {i} { frac { partial sigma _ {ij}} { partial x_ {j}}} right) dV end {выровнено}}}$

Чтобы продолжить наш вывод, подставим в уравнение равновесия ${ displaystyle { frac { partial sigma _ {ij}} { partial x_ {j}}} + f_ {i} = 0}$. потом

${ displaystyle int _ {V} left ({ frac { partial u_ {i}} { partial x_ {j}}} sigma _ {ij} + u_ {i} { frac { partial sigma _ {ij}} { partial x_ {j}}} right) dV = int _ {V} left ({ frac { partial u_ {i}} { partial x_ {j}}} сигма _ {ij} -u_ {i} f_ {i} right) dV}$

Первый член в правой части нужно разбить на симметричную и косую части следующим образом:

${ displaystyle { begin {align} int _ {V} left ({ frac { partial u_ {i}} { partial x_ {j}}} sigma _ {ij} -u_ {i} f_ {i} right) dV & = int _ {V} left ({ frac {1} {2}} left [ left ({ frac { partial u_ {i}}} { partial x_ {j }}} + { frac { partial u_ {j}} { partial x_ {i}}} right) + left ({ frac { partial u_ {i}} { partial x_ {j}} } - { frac { partial u_ {j}} { partial x_ {i}}} right) right] sigma _ {ij} -u_ {i} f_ {i} right) dV & = int _ {V} left ( left [ epsilon _ {ij} + { frac {1} {2}} left ({ frac { partial u_ {i}} { partial x_ {j }}} - { frac { partial u_ {j}} { partial x_ {i}}} right) right] sigma _ {ij} -u_ {i} f_ {i} right) dV & = int _ {V} left ( epsilon _ {ij} sigma _ {ij} -u_ {i} f_ {i} right) dV & = int _ {V} left ( { boldsymbol { epsilon}}: { boldsymbol { sigma}} - mathbf {u} cdot mathbf {f} right) dV end {align}}}$

куда ${ displaystyle { boldsymbol { epsilon}}}$ - деформация, соответствующая указанному полю смещения. Второе и последнее равенство вытекает из того факта, что матрица напряжений является симметричной и что произведение матрицы перекоса и симметричной матрицы равно нулю.

А теперь резюмируем. С помощью вышеприведенного вывода мы показали, что

${ displaystyle int _ {S} mathbf {u cdot T} dS = int _ {V} { boldsymbol { epsilon}}: { boldsymbol { sigma}} dV- int _ {V} mathbf {u} cdot mathbf {f} dV}$

Переместите 2-й член в правой части уравнения влево:

${ displaystyle int _ {S} mathbf {u cdot T} dS + int _ {V} mathbf {u} cdot mathbf {f} dV = int _ {V} { boldsymbol { epsilon }}: { boldsymbol { sigma}} dV}$

Физическая интерпретация приведенного выше уравнения такова: Внешняя виртуальная работа равна внутренней виртуальной работе, когда уравновешенные силы и напряжения претерпевают несвязанные, но последовательные перемещения и деформации..

Для практического применения:

• Чтобы уравновесить реальные напряжения и силы, мы используем согласованные виртуальные перемещения и деформации в уравнении виртуальной работы.
• Чтобы наложить согласованные перемещения и деформации, мы используем уравновешенные виртуальные напряжения и силы в уравнении виртуальной работы.

Эти два общих сценария приводят к двум часто заявляемым вариационным принципам. Они действительны независимо от поведения материала.

Принцип виртуальных перемещений

В зависимости от цели мы можем специализировать уравнение виртуальной работы. Например, чтобы вывести принцип виртуальных перемещений в вариационных обозначениях опорных тел, мы указываем:

• Виртуальные смещения и деформации как вариации реальных смещений и деформаций с использованием вариационных обозначений, таких как ${ Displaystyle дельта mathbf {и} эквив mathbf {и} ^ {*}}$ и ${ displaystyle delta { boldsymbol { epsilon}} Equiv { boldsymbol { epsilon}} ^ {*}}$
• Виртуальные смещения равны нулю на той части поверхности, которая имеет заданные смещения, и, следовательно, работа, совершаемая реакциями, равна нулю. На детали остаются только внешние поверхностные силы. ${ displaystyle S_ {t}}$ которые работают.

Уравнение виртуальной работы затем становится принципом виртуальных перемещений:

${ displaystyle int _ {S_ {t}} delta mathbf {u} ^ {T} mathbf {T} dS + int _ {V} delta mathbf {u} ^ {T} mathbf {f} dV = int _ {V} delta { boldsymbol { epsilon}} ^ {T} { boldsymbol { sigma}} dV qquad mathrm {(f)}}$

Это соотношение эквивалентно системе уравнений равновесия, записанной для дифференциального элемента в деформируемом теле, а также граничным условиям напряжений на детали ${ displaystyle S_ {t}}$ поверхности. И наоборот, (f) может быть достигнуто, хотя и нетривиальным образом, если начать с дифференциальных уравнений равновесия и граничных условий напряжений на ${ displaystyle S_ {t}}$, и действуя аналогично пунктам (a) и (b).

Поскольку виртуальные смещения автоматически совместимы, когда они выражаются в терминах непрерывный, однозначные функции, мы часто упоминаем только о необходимости согласованности между деформациями и перемещениями. Принцип виртуальной работы также применим для больших реальных перемещений; однако уравнение (f) тогда будет записано с использованием более сложных мер напряжений и деформаций.

Принцип виртуальных сил

Здесь мы указываем:

• Виртуальные силы и напряжения как вариации реальных сил и напряжений.
• Виртуальные силы будут нулевыми со стороны ${ displaystyle S_ {t}}$ поверхности, на которую заданы силы, и, следовательно, только поверхностные силы (реакции) на ${ displaystyle S_ {u}}$ (где предписаны смещения) подойдет.

Уравнение виртуальной работы становится принципом виртуальных сил:

${ displaystyle int _ {S_ {u}} mathbf {u} ^ {T} delta mathbf {T} dS + int _ {V} mathbf {u} ^ {T} delta mathbf {f} dV = int _ {V} { boldsymbol { epsilon}} ^ {T} delta { boldsymbol { sigma}} dV qquad mathrm {(g)}}$

Это соотношение эквивалентно системе уравнений совместимости деформаций, а также граничным условиям перемещения на детали ${ displaystyle S_ {u}}$. У него есть другое название: принцип дополнительной виртуальной работы.

Альтернативные формы

Специализация принципа виртуальных сил - это метод фиктивной силы единицы, что очень полезно для вычисления перемещений в конструктивных системах. В соответствии с Принцип Даламбера, включение инерционных сил в качестве дополнительных объемных сил даст уравнение виртуальной работы, применимое к динамическим системам. Более общие принципы могут быть получены следующим образом:

• допускающие вариации всех количеств.
• с помощью Множители Лагранжа для наложения граничных условий и / или ослабления условий, указанных в двух состояниях.

Они описаны в некоторых ссылках.

Среди множества энергетические принципы в строительной механике, принцип виртуальной работы заслуживает особого места из-за его общности, которая приводит к мощным приложениям в структурный анализ, механика твердого тела, и метод конечных элементов в строительной механике.

Смотрите также

• Метод гибкости
• Метод фиктивной силы единицы
• Метод конечных элементов в строительной механике
• Вариационное исчисление
• Лагранжева механика
• Принцип Мюллера-Бреслау

внешняя ссылка

• Примеры применения принципа виртуальной работы

Рекомендации

Библиография

• Купайся, К.Дж. "Процедуры конечных элементов", Prentice Hall, 1996. ISBN  0-13-301458-4
• Чарльтон, Т. Энергетические принципы в теории структур, Издательство Оксфордского университета, 1973. ISBN  0-19-714102-1
• Дым, К. Л. и И. Х. Шеймс, Механика твердого тела: вариационный подход, Макгроу-Хилл, 1973.
• Гринвуд, Дональд Т. Классическая динамика, Dover Publications Inc., 1977 г., ISBN  0-486-69690-1
• Хм. Вариационные принципы теории упругости с приложениями, Тейлор и Фрэнсис, 1984. ISBN  0-677-31330-6
• Лангхаар, Х. Энергетические методы в прикладной механике, Кригер, 1989.
• Редди, Дж. Энергетические принципы и вариационные методы в прикладной механике, Джон Вили, 2002. ISBN  0-471-17985-X
• Шеймс, И.Х. и Дим, К.Л. Энергетические и конечно-элементные методы в строительной механике, Тейлор и Фрэнсис, 1995, ISBN  0-89116-942-3
• Таухерт, Т. Принципы энергии в структурной механике, Макгроу-Хилл, 1974. ISBN  0-07-062925-0
• Васизу, К. Вариационные методы упругости и пластичности, Пергамский пр., 1982. ISBN  0-08-026723-8
• Вундерлих, В. Механика конструкций: вариационные и вычислительные методы, CRC, 2002. ISBN  0-8493-0700-7