Метод фиктивной силы единицы - Unit dummy force method

В Метод фиктивной силы единицы предоставляет удобные средства для вычисления перемещений в конструктивных системах. Он применим как для линейного, так и для нелинейного поведения материала, а также для систем, подверженных воздействию окружающей среды, и, следовательно, более общий, чем Вторая теорема Кастильяно.

Дискретные системы

Рассмотрим дискретную систему, такую как фермы, балки или рамы, элементы которых соединены между собой в узлах. Пусть согласованный набор деформаций стержней определяется выражением ${displaystyle mathbf {q} _ {M imes 1}}$ , который можно вычислить с помощью отношение гибкости члена. Эти деформации стержня вызывают узловые смещения ${displaystyle mathbf {r} _ {N imes 1}}$ , который мы хотим определить.

Начнем с применения N виртуальные узловые силы ${displaystyle mathbf {R} _ {N imes 1} ^ {*}}$ , по одному на каждого разыскиваемого р, и найдите силы виртуальных стержней ${displaystyle mathbf {Q} _ {M imes 1} ^ {*}}$ которые находятся в равновесии с ${displaystyle mathbf {R} _ {N imes 1} ^ {*}}$ :

{displaystyle mathbf {Q} _ {M imes 1} ^ {*} = mathbf {B} _ {M imes N} mathbf {R} _ {N imes 1} ^ {*} qquad qquad qquad mathrm {(1)} }

В случае статически неопределимой системы матрица B не уникален, потому что набор ${displaystyle mathbf {Q} _ {M imes 1} ^ {*}}$ который удовлетворяет узловому равновесию, бесконечно. Ее можно вычислить как обратную матрицу узлового равновесия любого первичная система получено из исходной системы.

Представьте себе, что внутренние и внешние виртуальные силы претерпевают, соответственно, реальные деформации и смещения; выполненная виртуальная работа может быть выражена как:

Внешняя виртуальная работа: ${displaystyle mathbf {R} ^ {* T} mathbf {r}}$
Внутренняя виртуальная работа: ${displaystyle mathbf {Q} ^ {* T} mathbf {q}}$

Согласно виртуальная работа В принципе, два рабочих выражения равны:

{displaystyle mathbf {R} ^ {* T} mathbf {r} = mathbf {Q} ^ {* T} mathbf {q}}

Подстановка (1) дает

{displaystyle mathbf {R} ^ {* T} mathbf {r} = mathbf {R} ^ {* T} mathbf {B} ^ {T} mathbf {q}}

С ${displaystyle mathbf {R} ^ {*}}$ содержит произвольные виртуальные силы, приведенное выше уравнение дает

{displaystyle mathbf {r} = mathbf {B} ^ {T} mathbf {q} qquad qquad qquad mathrm {(2)}}

Примечательно, что вычисление в (2) не включает никакого интегрирования независимо от сложности систем, и что результат уникален независимо от выбора первичной системы для B. Таким образом, он намного удобнее и универсальнее, чем классическая форма метода фиктивной единичной нагрузки, который зависит от типа системы, а также от внешних воздействий. С другой стороны, важно отметить, что уравнение (2) предназначено только для вычисления перемещений или поворотов узлов. Это не ограничение, потому что при желании мы можем превратить любую точку в узел.

Наконец, название удельная нагрузка возникает из интерпретации, что коэффициенты ${displaystyle B_ {i, j}}$ в матрице B силы стержня в равновесии с единичной узловой силой ${displaystyle R_ {j} ^ {*} = 1}$ , в силу уравнения (1).

Общие системы

Для общей системы метод фиктивной силы также исходит непосредственно из виртуальная работа принцип. На рис. (А) показана система с известными фактическими деформациями. ${displaystyle {oldsymbol {epsilon}}}$ . Эти деформации, предположительно последовательные, вызывают смещения по всей системе. Например, точка A переместилась в A ', и мы хотим вычислить смещение р A в указанном направлении. Для этой конкретной цели мы выбираем виртуальную силовую систему на рис. (B), которая показывает:

Единичная сила р* находится в точке А и в направлении р так что внешняя виртуальная работа выполняется р* есть, отмечая, что работа, совершаемая виртуальными реакциями в (b), равна нулю, потому что их смещения в (a) равны нулю:

{displaystyle R ^ {*} imes r = 1 imes r}

: Желаемое смещение

Внутренняя виртуальная работа, выполняемая виртуальными напряжениями, равна

{displaystyle int _ {V} {oldsymbol {epsilon}} ^ {T} {oldsymbol {sigma}} ^ {*} dV}

где виртуальные стрессы

{displaystyle {oldsymbol {sigma}} ^ {*}}

должен удовлетворять равновесию везде.

Приравнивание двух рабочих выражений дает желаемое смещение:

{displaystyle 1 imes r = int _ {V} {oldsymbol {epsilon}} ^ {T} {oldsymbol {sigma}} ^ {*} dV}