Метод гибкости - Flexibility method

эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью от добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: «Метод гибкости»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Сентябрь 2014 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В Строительная инженерия, то метод гибкости, также называемый метод последовательного деформации, это традиционный метод расчета стержневых сил и смещения в конструкционных системах. Его современная версия сформулирована с точки зрения гибкости участников. матрицы также имеет название матричный силовой метод из-за использования сил стержней в качестве основных неизвестных.^[1]

Гибкость участников

Гибкость противоположна жесткость. Например, рассмотрим пружину, имеющую Q и q как, соответственно, его сила и деформация:

• Отношение жесткости пружины Q = k q где k жесткость пружины.
• Его отношение гибкости q = f Q, где ж гибкость пружины.
• Следовательно, ж = 1/k.

Типичное отношение гибкости члена имеет следующую общую форму:

${ displaystyle mathbf {q} ^ {m} = mathbf {f} ^ {m} mathbf {Q} ^ {m} + mathbf {q} ^ {om} qquad qquad qquad mathrm { (1)}}$

где

м = номер участника м.

${ displaystyle mathbf {q} ^ {m}}$ = вектор характеристических деформаций стержня.

${ displaystyle mathbf {f} ^ {m}}$ = матрица гибкости стержня, которая характеризует восприимчивость стержня к деформации под действием сил.

${ displaystyle mathbf {Q} ^ {m}}$ = вектор независимых характеристических сил стержня, которые являются неизвестными внутренними силами. Эти независимые силы вызывают все силы на концах стержня за счет равновесия стержня.

${ Displaystyle mathbf {д} ^ {ом}}$ = вектор характеристических деформаций стержня, вызванных внешними воздействиями (такими как известные силы и изменения температуры), приложенными к изолированному, отсоединенному стержню (т.е. ${ Displaystyle mathbf {Q} ^ {m} = 0}$).

Для системы, состоящей из многих элементов, соединенных между собой в точках, называемых узлами, отношения гибкости элементов можно объединить в одно матричное уравнение, опустив верхний индекс m:

${ displaystyle mathbf {q} _ {M times 1} = mathbf {f} _ {M times M} mathbf {Q} _ {M times 1} + mathbf {q} _ {M раз 1} ^ {o} qquad qquad qquad mathrm {(2)}}$

где M - общее количество характерных деформаций или сил стержней в системе.

в отличие от метод жесткости матрицы, где отношения жесткости элементов могут быть легко интегрированы с помощью узловых условий равновесия и совместимости, существующая гибкая форма уравнения (2) представляет серьезные трудности. С членами сил ${ displaystyle mathbf {Q} _ {M times 1}}$ как первичные неизвестные, количество узловых уравнений равновесия недостаточно для решения, в общем случае - если система не статически определен.

Уравнения узлового равновесия

Чтобы решить эту проблему, сначала мы используем уравнения узлового равновесия, чтобы уменьшить количество независимых неизвестных сил стержня. Уравнение узлового равновесия системы имеет вид:

${ displaystyle mathbf {R} _ {N times 1} = mathbf {b} _ {N times M} mathbf {Q} _ {M times 1} + mathbf {W} _ {N раз 1} qquad qquad qquad mathrm {(3)}}$

где

${ displaystyle mathbf {R} _ {N times 1}}$: Вектор узловых сил на всех N степени свободы системы.

${ displaystyle mathbf {b} _ {N times M}}$: Полученная узловая матрица равновесия

${ displaystyle mathbf {W} _ {N times 1}}$: Вектор сил, возникающих от нагрузки на стержни.

В случае детерминированных систем матрица б квадрат и решение для Q можно найти сразу из (3) при условии устойчивости системы.

Первичная система

Для статически неопределенный системы, M> N, а значит, можно дополнить (3) I = M-N уравнения вида:

${ displaystyle X_ {i} = alpha Q_ {j} + beta Q_ {k} + ... qquad i = 1,2, ... I qquad qquad mathrm {(4)}}$

Вектор Икс это так называемый вектор избыточный силы и я - степень статической неопределенности системы. Мы обычно выбираем j, k, ..., ${ displaystyle alpha}$, и ${ displaystyle beta}$ такой, что ${ displaystyle X_ {i}}$ это опорная реакция или внутренняя сила со стороны стержня. При соответствующем выборе избыточных сил система уравнений (3), дополненная (4), теперь может быть решена для получения:

${ displaystyle mathbf {Q} _ {M times 1} = mathbf {B} _ {R} mathbf {R} _ {N times 1} + mathbf {B} _ {X} mathbf { X} _ {I times 1} + mathbf {Q} _ {v cdot M times 1} qquad qquad qquad mathrm {(5)}}$

Подстановка в (2) дает:

${ displaystyle mathbf {q} _ {M times 1} = mathbf {f} _ {M times M} { Big (} mathbf {B} _ {R} mathbf {R} _ {N times 1} + mathbf {B} _ {X} mathbf {X} _ {I times 1} + mathbf {Q} _ {v cdot M times 1} { Big)} + mathbf {q} _ {M times 1} ^ {o} qquad qquad qquad mathrm {(6)}}$

Уравнения (5) и (6) являются решением первичная система которая является исходной системой, которая была статически определена с помощью разрезов, обнажающих избыточные силы ${ displaystyle mathbf {X}}$. Уравнение (5) эффективно сокращает набор неизвестных сил до ${ displaystyle mathbf {X}}$.

Уравнение совместимости и решение

Далее нам нужно настроить ${ displaystyle I}$ уравнения совместимости для нахождения ${ displaystyle mathbf {X}}$. Уравнения совместимости восстанавливают требуемую непрерывность на участках разреза путем задания относительных перемещений ${ displaystyle mathbf {r} _ {X}}$ у уволенных Икс к нулю. То есть, используя метод фиктивной силы единицы:

${ displaystyle mathbf {r} _ {X} = mathbf {B} _ {X} ^ {T} mathbf {q} = mathbf {B} _ {X} ^ {T} { Big [} mathbf {f} { Big (} mathbf {B} _ {R} mathbf {R} + mathbf {B} _ {X} mathbf {X} + mathbf {Q} _ {v} { Big)} + mathbf {q} ^ {o} { Big]} = 0 qquad qquad qquad mathrm {(7a)}}$

или ${ displaystyle mathbf {r} _ {X} = mathbf {F} _ {XX} mathbf {X} + mathbf {r} _ {X} ^ {o} = 0 qquad qquad qquad mathrm {(7b)}}$

где

${ displaystyle mathbf {F} _ {XX} = mathbf {B} _ {X} ^ {T} mathbf {f} mathbf {B} _ {X}}$

${ displaystyle mathbf {r} _ {X} ^ {o} = mathbf {B} _ {X} ^ {T} { Big [} mathbf {f} { Big (} mathbf {B} _ {R} mathbf {R} + mathbf {Q} _ {v} { Big)} + mathbf {q} ^ {o} { Big]}}$

Уравнение (7b) можно решить относительно Икс, а силы стержня затем находятся из (5), в то время как узловые смещения могут быть найдены как

${ displaystyle mathbf {r} _ {R} = mathbf {B} _ {R} ^ {T} mathbf {q} = mathbf {F} _ {RR} mathbf {R} + mathbf { г} _ {R} ^ {o}}$

где

${ Displaystyle mathbf {F} _ {RR} = mathbf {B} _ {R} ^ {T} mathbf {f} mathbf {B} _ {R}}$ это матрица гибкости системы.

${ Displaystyle mathbf {r} _ {R} ^ {o} = mathbf {B} _ {R} ^ {T} { Big [} mathbf {f} { Big (} mathbf {B} _ {X} mathbf {X} + mathbf {Q} _ {v} { Big)} + mathbf {q} ^ {o} { Big]}}$

Движения опор, происходящие в дублирующих элементах, могут быть включены в правую часть уравнения (7), а движения опор в других местах должны быть включены в ${ displaystyle mathbf {r} _ {X} ^ {o}}$ и ${ displaystyle mathbf {r} _ {R} ^ {o}}$ также.

Преимущества и недостатки

Хотя выбор избыточных сил в (4) кажется произвольным и проблематичным для автоматического вычисления, это возражение можно преодолеть, перейдя от (3) непосредственно к (5) с использованием модифицированного Исключение Гаусса-Джордана обработать. Это надежная процедура, которая автоматически выбирает хороший набор избыточных сил для обеспечения числовой стабильности.

Из описанного выше процесса очевидно, что метод жесткости матрицы легче понять и реализовать для автоматического вычисления. Его также легче расширить для расширенных приложений, таких как нелинейный анализ, устойчивость, вибрации и т. Д. По этим причинам метод жесткости матрицы является методом выбора для использования в пакетах программного обеспечения для структурного анализа общего назначения. С другой стороны, для линейных систем с низкой степенью статической неопределенности метод гибкости имеет то преимущество, что он менее требователен к вычислениям. Однако это преимущество является спорным вопросом, поскольку персональные компьютеры широко доступны и более мощные. В настоящее время главным искупительным фактором в изучении этого метода является его образовательная ценность, заключающаяся в передаче концепций равновесия и совместимости в дополнение к его исторической ценности. Напротив, процедура метода прямой жесткости настолько механична, что рискует быть использованной без особого понимания структурного поведения.

Верхние аргументы действовали до конца 1990-х годов. Однако недавние достижения в области численных вычислений показали возвращение силового метода, особенно в случае нелинейных систем. Были разработаны новые структуры, которые позволяют «точные» формулировки независимо от типа или природы нелинейностей системы. Основное преимущество метода гибкости заключается в том, что ошибка результата не зависит от дискретизации модели и что это действительно очень быстрый метод. Например, упруго-пластическое решение неразрезной балки с использованием силового метода требует всего 4 балочных элемента, тогда как коммерческое «основанное на жесткости» МКЭ код требует 500 элементов, чтобы давать результаты с той же точностью. В заключение можно сказать, что в случае, когда решение задачи требует рекурсивных оценок силового поля, как в случае структурной оптимизации или идентификация системы, эффективность метода гибкости неоспорима.

Смотрите также

• Метод конечных элементов в строительной механике
• Структурный анализ
• Метод жесткости

использованная литература

внешние ссылки

• Последовательные деформации - метод силы