Интеграл Дюамельса - Википедия - Duhamels integral

Теоретически вибрации, Интеграл Дюамеля это способ расчета отклика линейные системы и структуры к произвольному изменяющемуся во времени внешнему возмущению.

Вступление

Фон

Отклик линейного, вязкозатухающего одинарная степень свободы (SDOF) к изменяющемуся во времени механическому возбуждению п(т) задается следующим вторым порядком обыкновенное дифференциальное уравнение

${ displaystyle m { frac {d ^ {2} x (t)} {dt ^ {2}}} + c { frac {dx (t)} {dt}} + kx (t) = p (t )}$

куда м - (эквивалентная) масса, Икс обозначает амплитуду вибрации, т На время, c для коэффициента вязкого демпфирования, а k для жесткость системы или структуры.

Если система изначально стоит на своем равновесие положение, откуда на него действует единичный импульс в конкретном случае т= 0, т.е. п(т) в приведенном выше уравнении является Дельта-функция Дирака δ(т), ${ displaystyle x (0) = left. { frac {dx} {dt}} right | _ {t = 0} = 0}$, то, решая дифференциальное уравнение, можно получить фундаментальное решение (известный как функция импульсного отклика)

${ displaystyle h (t) = { begin {case} { frac {1} {m omega _ {d}}} e ^ {- varsigma omega _ {n} t} sin omega _ { d} t, & t> 0 0, & t <0 end {case}}}$

куда ${ displaystyle varsigma = { frac {c} {2 { sqrt {km}}}}}$ называется коэффициент демпфирования системы, ${ displaystyle omega _ {n} = { sqrt { frac {k} {m}}}}$ это естественно угловая частота незатухающей системы (когда c= 0) и ${ displaystyle omega _ {d} = omega _ {n} { sqrt {1- varsigma ^ {2}}}}$ это круговая частота при учете демпфирующего эффекта (когда ${ displaystyle c neq 0}$). Если импульс случается при т=τ вместо т= 0, т.е. ${ Displaystyle р (т) = дельта (т- тау)}$, импульсная характеристика равна

${ displaystyle h (t- tau) = { frac {1} {m omega _ {d}}} e ^ {- varsigma omega _ {n} (t- tau)} sin [ омега _ {d} (t- tau)]}$，${ Displaystyle т geq тау}$

Вывод

Относительно произвольно меняющегося возбуждения п(т) как суперпозиция серии импульсов:

${ Displaystyle п (т) приблизительно сумма _ { тау <т} {п ( тау) CDOT Дельта тау CDOT дельта} (т- тау)}$

тогда из линейности системы известно, что общий отклик также можно разбить на суперпозицию серии импульсных откликов:

${ Displaystyle х (т) приблизительно сумма _ { тау <т} {п ( тау) CDOT Дельта тау CDOT ч} (т- тау)}$

Сдача ${ displaystyle Delta tau to 0}$, и заменив суммирование на интеграция, приведенное выше уравнение строго верно

${ Displaystyle х (т) = int _ {0} ^ {т} {п ( тау) ч (т- тау) д тау}}$

Подставляя выражение час(т-τ) в приведенное выше уравнение приводит к общему выражению интеграла Дюамеля

${ displaystyle x (t) = { frac {1} {m omega _ {d}}} int _ {0} ^ {t} {p ( tau) e ^ {- varsigma omega _ { n} (t- tau)} sin [ omega _ {d} (t- tau)] d tau}}$

Математическое доказательство

Приведенное выше уравнение динамического равновесия SDOF в случае p (t) = 0 это однородное уравнение:

${ displaystyle { frac {d ^ {2} x (t)} {dt ^ {2}}} + { bar {c}} { frac {dx (t)} {dt}} + { bar {k}} x (t) = 0}$, куда ${ displaystyle { bar {c}} = { frac {c} {m}}, { bar {k}} = { frac {k} {m}}}$

Решение этого уравнения:

${ displaystyle x_ {h} (t) = C_ {1} cdot e ^ {- { frac {1} {2}} ({ bar {c}} + { sqrt {{ bar {c}) } ^ {2} -4 cdot { bar {k}}}}) t} + C_ {2} cdot e ^ {{ frac {1} {2}} (- { bar {c}} + { sqrt {{ bar {c}} ^ {2} -4 cdot { bar {k}}}}) t}}$

Замена: ${ displaystyle A = { frac {1} {2}} ({ bar {c}} - { sqrt {{ bar {c}} ^ {2} -4 { bar {k}}}} ), ; B = { frac {1} {2}} ({ bar {c}} + { sqrt {{ bar {c}} ^ {2} -4 { bar {k}}} }), ; P = { sqrt {{ bar {c}} ^ {2} -4 { bar {k}}}}, ; P = BA}$ приводит к:

${ displaystyle x_ {h} (t) = C_ {1} e ^ {- B cdot t} ; + ; C_ {2} e ^ {- A cdot t}}$

Одно частное решение неоднородного уравнения: ${ displaystyle { frac {d ^ {2} x (t)} {dt ^ {2}}} + { bar {c}} { frac {dx (t)} {dt}} + { bar {k}} x (t) = { bar {p (t)}}}$, куда ${ displaystyle { bar {p (t)}} = { frac {p (t)} {m}}}$, может быть получена лагранжевым методом для получения частичного решения неоднородной обыкновенные дифференциальные уравнения.

Это решение имеет вид:

${ displaystyle x_ {p} (t) = { frac { int {{ bar {p (t)}} cdot e ^ {At} dt} cdot e ^ {- At} - int {{ bar {p (t)}} cdot e ^ {Bt} dt} cdot e ^ {- Bt}} {P}}}$

Теперь подставляем:${ displaystyle int {{ bar {p (t)}} cdot e ^ {At} dt} | _ {t = z} = Q_ {z}, int {{ bar {p (t)} } cdot e ^ {Bt} dt} | _ {t = z} = R_ {z}}$,куда ${ displaystyle int {x (t) dt} | _ {t = z}}$ это примитивный из х (т) вычислено в т = г, в случае г = т этот интеграл является самим примитивом, дает:

${ displaystyle x_ {p} (t) = { frac {Q_ {t} cdot e ^ {- At} -R_ {t} cdot e ^ {- Bt}} {P}}}$

Наконец, общее решение вышеупомянутого неоднородного уравнения представляется как:

${ displaystyle x (t) = x_ {h} (t) + x_ {p} (t) = C_ {1} cdot e ^ {- Bt} + C_ {2} cdot e ^ {- At} + { frac {Q_ {t} cdot e ^ {- At} -R_ {t} cdot e ^ {- Bt}} {P}}}$

с производной по времени:

${ displaystyle { frac {dx} {dt}} = - Ae ^ {- At} cdot C_ {2} -Be ^ {- Bt} cdot C_ {1} + { frac {1} {P} } [{ dot {Q_ {t}}} cdot e ^ {- At} -AQ_ {t} cdot e ^ {- At} - { dot {R_ {t}}} cdot e ^ {- Bt} + BR_ {t} cdot e ^ {- Bt}]}$, куда ${ displaystyle { dot {Q_ {t}}} = p (t) cdot e ^ {At}, { dot {R_ {t}}} = p (t) cdot e ^ {Bt}}$

Чтобы найти неизвестные константы ${ displaystyle C_ {1}, C_ {2}}$, будут применены нулевые начальные условия:

${ displaystyle x (t) | _ {t = 0} = 0: C_ {1} + C_ {2} + { frac {Q_ {0} cdot 1-R_ {0} cdot 1} {P} } = 0}$ ⇒ ${ displaystyle C_ {1} + C_ {2} = { frac {R_ {0} -Q_ {0}} {P}}}$

${ displaystyle left. { frac {dx} {dt}} right | _ {t = 0} = 0: -A cdot C_ {2} -B cdot C_ {1} + { frac {1 } {P}} cdot [-A cdot Q_ {0} + B cdot R_ {0}] = 0}$ ⇒ ${ Displaystyle A cdot C_ {2} + B cdot C_ {1} = { frac {1} {P}} cdot [B cdot R_ {0} -A cdot Q_ {0}]}$

Теперь, объединив оба начальных условия вместе, наблюдается следующая система уравнений:

${ displaystyle left. { begin {alignat} {5} C_ {1} && ; + && ; C_ {2} && ; = && ; { frac {R_ {0} -Q_ {0} } {P}} & B cdot C_ {1} && ; + && ; A cdot C_ {2} && ; = && ; { frac {1} {P}} cdot [B cdot R_ {0} -A cdot Q_ {0}] end {alignat}} right | { begin {alignat} {5} C_ {1} && ; = && ; { frac {R_ { 0}} {P}} & C_ {2} && ; = && ; - { frac {Q_ {0}} {P}} end {alignat}}}$

Обратная подстановка констант ${ displaystyle C_ {1}}$ и ${ displaystyle C_ {2}}$ в приведенное выше выражение для х (т) дает:

${ displaystyle x (t) = { frac {Q_ {t} -Q_ {0}} {P}} cdot e ^ {- A cdot t} - { frac {R_ {t} -R_ {0}) }} {P}} cdot e ^ {- B cdot t}}$

Замена ${ displaystyle Q_ {t} -Q_ {0}}$ и ${ displaystyle R_ {t} -R_ {0}}$ (разница между примитивами на т = т и t = 0) с определенные интегралы (по другой переменной τ) выявит общее решение с нулевыми начальными условиями, а именно:

${ displaystyle x (t) = { frac {1} {P}} cdot [ int _ {0} ^ {t} {{ bar {p ( tau)}} cdot e ^ {A tau} d tau} cdot e ^ {- At} - int _ {0} ^ {t} {{ bar {p ( tau)}} cdot e ^ {B tau} d tau} cdot e ^ {- Bt}]}$

Наконец, подставив ${ Displaystyle с = 2 хи омега м, ; к = омега ^ {2} м}$, соответственно ${ displaystyle { bar {c}} = 2 xi omega, { bar {k}} = omega ^ {2}}$, куда ξ <1 дает:

${ Displaystyle P = 2 omega _ {D} i, ; A = xi omega - omega _ {D} i, ; B = xi omega + omega _ {D} i}$, куда ${ displaystyle omega _ {D} = omega cdot { sqrt {1- xi ^ {2}}}}$ и я это мнимая единица.

Подставляя эти выражения в приведенное выше общее решение с нулевыми начальными условиями и используя Экспоненциальная формула Эйлера приведет к отмене мнимых терминов и обнаружит решение Дюамеля:

${ displaystyle x (t) = { frac {1} { omega _ {D}}} int _ {0} ^ {t} {{ bar {p ( tau)}} e ^ {- xi omega (t- tau)} sin ( omega _ {D} (t- tau)) d tau}}$

Смотрите также

• Принцип Дюамеля

Рекомендации

• Р. В. Клаф, Дж. Пензиен, Динамика конструкций, Mc-Graw Hill Inc., Нью-Йорк, 1975.
• Анил К. Чопра, Динамика конструкций - теория и приложения к сейсмологической инженерии, Pearson Education Asia Limited и Tsinghua University Press, Пекин, 2001 г.
• Леонард Мейрович, Элементы вибрационного анализа, Mc-Graw Hill Inc., Сингапур, 1986 г.

внешняя ссылка

• Формула Дюамеля в "Дисперсивной вики".