Фундаментальное решение - Fundamental solution

В математика, а фундаментальное решение для линейного оператор в частных производных $L$ это формулировка на языке теория распределения старой идеи Функция Грина (хотя, в отличие от функций Грина, фундаментальные решения не учитывают граничные условия).

Что касается Дельта Дирака «функция» $δ (Икс)$ , фундаментальное решение $F$ это решение неоднородное уравнение

LF = δ (Икс) .

Здесь $F$ является априори только предполагается, что это распределение.

Эта концепция уже давно используется для Лапласиан в двух и трех измерениях. Он был исследован для всех размерностей лапласиана Марсель Рис.

Существование фундаментального решения для любого оператора с постоянные коэффициенты - самый важный случай, напрямую связанный с возможностью использования свертка решить произвольный Правая сторона - показал Бернар Мальгранж и Леон Эренпрейс. В контексте функциональный анализ, фундаментальные решения обычно разрабатываются через Альтернатива Фредгольма и исследовали в Теория Фредгольма.

Пример

Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение $Lf = грех (Икс)$ с

{ displaystyle L = { frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}}}

.

Фундаментальные решения могут быть получены путем решения $LF = δ (Икс)$ , явно

{ displaystyle { frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} F (x) = delta (x) ~.}

Поскольку для Функция Хевисайда $ЧАС$ у нас есть

{ displaystyle { frac {d} {dx}} H (x) = delta (x) ~,}

есть решение

{ displaystyle { frac {d} {dx}} F (x) = H (x) + C ~.}

Здесь $C$ - произвольная постоянная, введенная интегрированием. Для удобства установите $C$ = − 1/2.

После интеграции ${ displaystyle { frac {dF} {dx}}}$ и выбирая новую постоянную интегрирования равной нулю, имеем

{ Displaystyle F (x) = xH (x) - { frac {1} {2}} x = { frac {1} {2}} | x | ~.}

Мотивация

Как только фундаментальное решение найдено, легко найти решение исходного уравнения с помощью свертка фундаментального решения и искомой правой части.

Фундаментальные решения также играют важную роль при численном решении уравнений в частных производных с помощью метод граничных элементов.

Приложение к примеру

Рассмотрим оператора $L$ и дифференциальное уравнение, упомянутое в примере,

{ displaystyle { frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} f (x) = sin (x) ~.}

Мы можем найти решение ${ displaystyle f (x)}$ исходного уравнения свертка (обозначена звездочкой) правой части ${ Displaystyle грех (х)}$ с фундаментальным решением ${ displaystyle F (x) = { frac {| x |} {2}}}$ :

{ displaystyle f (x) = (F * sin) (x): = int _ {- infty} ^ { infty} { frac {1} {2}} | xy | sin (y) dy ~.}

Это показывает, что нужно проявлять осторожность при работе с функциями, которые не имеют достаточной регулярности (например, компактная поддержка, L¹ интегрируемость), поскольку мы знаем, что искомое решение $f (x) = -sin Икс$ , а указанный интеграл расходится при всех $Икс$ . Два выражения для $ж$ однако равны как распределения.

Пример, который работает более четко

{ displaystyle { frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} f (x) = I (x) ~,}

куда $я$ это характеристическая (индикаторная) функция единичного интервала [0,1]. В этом случае легко проверить, что свертка $I * F$ с F (х)=|Икс| / 2 является решением, т.е. имеет вторую производную, равную $я$ .

Доказательство того, что свертка является решением

Обозначим свертка функций $F$ и $грамм$ в качестве $F * g$ . Скажем, мы пытаемся найти решение $Lf = г (х)$ . Мы хотим доказать, что $F * g$ является решением предыдущего уравнения, т.е. мы хотим доказать, что $L (F * g) = грамм$ . При применении дифференциального оператора $L$ , до свертки известно, что

{ Displaystyle L (F * g) = (LF) * g ~,}

при условии $L$ имеет постоянные коэффициенты.

Если $F$ - фундаментальное решение, правая часть уравнения сводится к

{ displaystyle delta * g ~.}

Но поскольку дельта-функция элемент идентичности для свертки это просто $грамм (Икс)$ . Подводя итоги,

{ Displaystyle L (F * g) = (LF) * g = delta (x) * g (x) = int _ {- infty} ^ { infty} delta (xy) g (y) dy = g (x) ~.}

Следовательно, если $F$ - фундаментальное решение, свертка $F * грамм$ это одно из решений $Lf = грамм (Икс)$ . Это не значит, что это единственное решение. Можно найти несколько решений для разных начальных условий.