Бигармоническое уравнение - Википедия - Biharmonic equation

В математика, то бигармоническое уравнение четвертого порядка уравнение в частных производных который возникает в областях механика сплошной среды, включая линейная эластичность теория и решение Стокса потоки. В частности, он используется при моделировании тонких структур, которые реагируют эластично внешним силам.

Обозначение

Написано как

{ displaystyle nabla ^ {4} varphi = 0}

или же

{ displaystyle nabla ^ {2} nabla ^ {2} varphi = 0}

или же

{ Displaystyle Delta ^ {2} varphi = 0}

куда ${ displaystyle nabla ^ {4}}$ , что является четвертой степенью дель оператор и квадрат Лапласиан оператор ${ displaystyle nabla ^ {2}}$ (или же ${ displaystyle Delta}$ ), известна как бигармонический оператор или билаплацианский оператор. В Декартовы координаты, это можно записать в ${ displaystyle n}$ размеры как:

{ displaystyle nabla ^ {4} varphi = sum _ {i = 1} ^ {n} sum _ {j = 1} ^ {n} partial _ {i} partial _ {i} partial _ {j} partial _ {j} varphi = left ( sum _ {i = 1} ^ {n} partial _ {i} partial _ {i} right) left ( sum _ { j = 1} ^ {n} partial _ {j} partial _ {j} right) varphi.}

Поскольку формула здесь содержит сумму индексов, многие математики предпочитают обозначение ${ displaystyle Delta ^ {2}}$ над ${ displaystyle nabla ^ {4}}$ потому что первый проясняет, какой из индексов четырех операторов набла сокращается.

Например, в трехмерном Декартовы координаты бигармоническое уравнение имеет вид

{ displaystyle { partial ^ {4} varphi over partial x ^ {4}} + { partial ^ {4} varphi over partial y ^ {4}} + { partial ^ {4} varphi over partial z ^ {4}} + 2 { partial ^ {4} varphi over partial x ^ {2} partial y ^ {2}} + 2 { partial ^ {4} varphi over partial y ^ {2} partial z ^ {2}} + 2 { partial ^ {4} varphi over partial x ^ {2} partial z ^ {2}} = 0.}

Другой пример: в п-размерный Реальное координатное пространство без происхождения ${ displaystyle left ( mathbb {R} ^ {n} setminus mathbf {0} right)}$ ,

{ displaystyle nabla ^ {4} left ({1 over r} right) = {3 (15-8n + n ^ {2}) over r ^ {5}}}

куда

{ displaystyle r = { sqrt {x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + cdots + x_ {n} ^ {2}}}.}

что показывает, что для п = 3 и п = 5 Только, ${ displaystyle { frac {1} {r}}}$ является решением бигармонического уравнения.

Решение бигармонического уравнения называется бигармоническая функция. Любой гармоническая функция является бигармоническим, но обратное не всегда верно.

В двухмерном полярные координаты, бигармоническое уравнение имеет вид

{ displaystyle { frac {1} {r}} { frac { partial} { partial r}} left (r { frac { partial} { partial r}} left ({ frac { 1} {r}} { frac { partial} { partial r}} left (r { frac { partial varphi} { partial r}} right) right) right) + { frac {2} {r ^ {2}}} { frac { partial ^ {4} varphi} { partial theta ^ {2} partial r ^ {2}}} + { frac {1} {r ^ {4}}} { frac { partial ^ {4} varphi} { partial theta ^ {4}}} - { frac {2} {r ^ {3}}} { frac { partial ^ {3} varphi} { partial theta ^ {2} partial r}} + { frac {4} {r ^ {4}}} { frac { partial ^ {2} varphi} { partial theta ^ {2}}} = 0}

которое может быть решено разделением переменных. В результате Решение Michell.

2-мерное пространство

Общее решение двумерного случая:

{ Displaystyle xv (x, y) -yu (x, y) + w (x, y)}

куда ${ Displaystyle и (х, у)}$ , ${ Displaystyle v (х, у)}$ и ${ Displaystyle ш (х, у)}$ находятся гармонические функции и ${ Displaystyle v (х, у)}$ это гармоническое сопряжение из ${ Displaystyle и (х, у)}$ .

Как только гармонические функции в 2-х переменных тесно связаны со сложными аналитические функции, то есть бигармонические функции от 2 переменных. Общий вид бигармонической функции от двух переменных также можно записать как