Решение Michell - Michell solution

В Решение Michell является общим решением эластичность уравнения в полярные координаты ( ${displaystyle r, heta,}$ ) разработан Дж. Х. Мичелл. Решение таково, что компоненты напряжения имеют форму Ряд Фурье в ${displaystyle heta,}$ .

Мичелл^[1] показал, что общее решение может быть выражено через Функция воздушного стресса формы

{displaystyle {egin {align} varphi (r, heta) & = A_ {0} ~ r ^ {2} + B_ {0} ~ r ^ {2} ~ ln (r) + C_ {0} ~ ln (r ) & + влево (I_ {0} ~ r ^ {2} + I_ {1} ~ r ^ {2} ~ ln (r) + I_ {2} ~ ln (r) + I_ {3} ~ ight) heta & + left (A_ {1} ~ r + B_ {1} ~ r ^ {- 1} + B_ {1} ^ {'} ~ r ~ heta + C_ {1} ~ r ^ {3} + D_ {1} ~ r ~ ln (r) ight) cos heta & + left (E_ {1} ~ r + F_ {1} ~ r ^ {- 1} + F_ {1} ^ {'} ~ r ~ heta + G_ {1} ~ r ^ {3} + H_ {1} ~ r ~ ln (r) ight) sin heta & + sum _ {n = 2} ^ {infty} left (A_ {n} ~ r ^ {n} + B_ {n} ~ r ^ {- n} + C_ {n} ~ r ^ {n + 2} + D_ {n} ~ r ^ {- n + 2} ight) cos (n heta) & + sum _ {n = 2} ^ {infty} left (E_ {n} ~ r ^ {n} + F_ {n} ~ r ^ {- n} + G_ {n} ~ r ^ {n + 2} + H_ {n} ~ r ^ {- n + 2} ight) sin (n heta) конец {выровнено}}}

Условия ${displaystyle A_ {1} ~ r ~ cos heta,}$ и ${displaystyle E_ {1} ~ r ~ sin heta,}$ определяют тривиальное нулевое стрессовое состояние и игнорируются.

Компоненты стресса

В стресс компоненты могут быть получены путем подстановки решения Мичелла в уравнения для напряжения через Функция воздушного стресса (в цилиндрические координаты ). Таблица компонентов напряжения приведена ниже.^[2]

${displaystyle varphi}$	${displaystyle sigma _ {rr},}$	${displaystyle sigma _ {r heta},}$	${displaystyle sigma _ {heta heta},}$
${displaystyle r ^ {2},}$	${displaystyle 2}$	${displaystyle 0}$	${displaystyle 2}$
${displaystyle r ^ {2} ~ ln r}$	${displaystyle 2 ~ ln r + 1}$	${displaystyle 0}$	${displaystyle 2 ~ ln r + 3}$
${displaystyle ln r,}$	${displaystyle r ^ {- 2},}$	${displaystyle 0}$	${displaystyle -r ^ {- 2},}$
${displaystyle heta,}$	${displaystyle 0}$	${displaystyle r ^ {- 2},}$	${displaystyle 0}$
${displaystyle r ^ {3} ~ cos heta,}$	${displaystyle 2 ~ r ~ cos heta,}$	${displaystyle 2 ~ r ~ sin heta,}$	${displaystyle 6 ~ r ~ cos heta,}$
${displaystyle r heta ~ cos heta,}$	${displaystyle -2 ~ r ^ {- 1} ~ sin heta,}$	${displaystyle 0}$	${displaystyle 0}$
${displaystyle r ~ ln r ~ cos heta,}$	${displaystyle r ^ {- 1} ~ cos heta,}$	${displaystyle r ^ {- 1} ~ sin heta,}$	${displaystyle r ^ {- 1} ~ cos heta,}$
${displaystyle r ^ {- 1} ~ cos heta,}$	${displaystyle -2 ~ r ^ {- 3} ~ cos heta,}$	${displaystyle -2 ~ r ^ {- 3} ~ sin heta,}$	${displaystyle 2 ~ r ^ {- 3} ~ cos heta,}$
${displaystyle r ^ {3} ~ sin heta,}$	${displaystyle 2 ~ r ~ sin heta,}$	${displaystyle -2 ~ r ~ cos heta,}$	${displaystyle 6 ~ r ~ sin heta,}$
${displaystyle r heta ~ sin heta,}$	${displaystyle 2 ~ r ^ {- 1} ~ cos heta,}$	${displaystyle 0}$	${displaystyle 0}$
${displaystyle r ~ ln r ~ sin heta,}$	${displaystyle r ^ {- 1} ~ sin heta,}$	${displaystyle -r ^ {- 1} ~ cos heta,}$	${displaystyle r ^ {- 1} ~ sin heta,}$
${displaystyle r ^ {- 1} ~ sin heta,}$	${displaystyle -2 ~ r ^ {- 3} ~ sin heta,}$	${displaystyle 2 ~ r ^ {- 3} ~ cos heta,}$	${displaystyle 2 ~ r ^ {- 3} ~ sin heta,}$
${displaystyle r ^ {n + 2} ~ cos (n heta),}$	${displaystyle - (n + 1) (n-2) ~ r ^ {n} ~ cos (n heta),}$	${displaystyle n (n + 1) ~ r ^ {n} ~ sin (n heta),}$	${displaystyle (n + 1) (n + 2) ~ r ^ {n} ~ cos (n heta),}$
${displaystyle r ^ {- n + 2} ~ cos (n heta),}$	${displaystyle - (n + 2) (n-1) ~ r ^ {- n} ~ cos (n heta),}$	${displaystyle -n (n-1) ~ r ^ {- n} ~ sin (n heta),}$	${displaystyle (n-1) (n-2) ~ r ^ {- n} ~ cos (n heta)}$
${displaystyle r ^ {n} ~ cos (n heta),}$	${displaystyle -n (n-1) ~ r ^ {n-2} ~ cos (n heta),}$	${displaystyle n (n-1) ~ r ^ {n-2} ~ sin (n heta),}$	${displaystyle n (n-1) ~ r ^ {n-2} ~ cos (n heta),}$
${displaystyle r ^ {- n} ~ cos (n heta),}$	${displaystyle -n (n + 1) ~ r ^ {- n-2} ~ cos (n heta),}$	${displaystyle -n (n + 1) ~ r ^ {- n-2} ~ sin (n heta),}$	${displaystyle n (n + 1) ~ r ^ {- n-2} ~ cos (n heta),}$
${displaystyle r ^ {n + 2} ~ sin (n heta),}$	${displaystyle - (n + 1) (n-2) ~ r ^ {n} ~ sin (n heta),}$	${displaystyle -n (n + 1) ~ r ^ {n} ~ cos (n heta),}$	${displaystyle (n + 1) (n + 2) ~ r ^ {n} ~ sin (n heta),}$
${displaystyle r ^ {- n + 2} ~ sin (n heta),}$	${displaystyle - (n + 2) (n-1) ~ r ^ {- n} ~ sin (n heta),}$	${displaystyle n (n-1) ~ r ^ {- n} ~ cos (n heta),}$	${displaystyle (n-1) (n-2) ~ r ^ {- n} ~ sin (n heta),}$
${displaystyle r ^ {n} ~ sin (n heta),}$	${displaystyle -n (n-1) ~ r ^ {n-2} ~ sin (n heta),}$	${displaystyle -n (n-1) ~ r ^ {n-2} ~ cos (n heta),}$	${displaystyle n (n-1) ~ r ^ {n-2} ~ sin (n heta),}$
${displaystyle r ^ {- n} ~ sin (n heta),}$	${displaystyle -n (n + 1) ~ r ^ {- n-2} ~ sin (n heta),}$	${displaystyle n (n + 1) ~ r ^ {- n-2} ~ cos (n heta),}$	${displaystyle n (n + 1) ~ r ^ {- n-2} ~ sin (n heta),}$

Компоненты смещения

Смещения ${displaystyle (u_ {r}, u_ {heta})}$ можно получить из решения Michell, используя напряжение-деформация и деформация-смещение связи. Таблица компонентов смещения, соответствующих членам функции напряжения Эйри для решения Michell, приведена ниже. В этой таблице

{displaystyle kappa = {egin {case} 3-4 ~ u & {m {для ~ плоскости ~ деформации}} {cfrac {3-u} {1 + u}} & {m {для ~ ~ плоскости ~ напряжения}} end {case}}}

где ${displaystyle u}$ это Коэффициент Пуассона, и ${displaystyle mu}$ это модуль сдвига.

${displaystyle varphi}$	${displaystyle 2 ~ mu ~ u_ {r},}$	${displaystyle 2 ~ mu ~ u_ {heta},}$
${displaystyle r ^ {2},}$	${displaystyle (каппа -1) ~ r}$	${displaystyle 0}$
${displaystyle r ^ {2} ~ ln r}$	${displaystyle (kappa -1) ~ r ~ ln r-r}$	${displaystyle (kappa +1) ~ r ~ heta}$
${displaystyle ln r,}$	${displaystyle -r ^ {- 1},}$	${displaystyle 0}$
${displaystyle heta,}$	${displaystyle 0}$	${displaystyle -r ^ {- 1},}$
${displaystyle r ^ {3} ~ cos heta,}$	${displaystyle (kappa -2) ~ r ^ {2} ~ cos heta,}$	${displaystyle (kappa +2) ~ r ^ {2} ~ sin heta,}$
${displaystyle r heta ~ cos heta,}$	${displaystyle {frac {1} {2}} [(kappa -1) heta ~ cos heta + {1- (kappa +1) ln r} ~ sin heta],}$	${displaystyle - {frac {1} {2}} [(kappa -1) heta ~ sin heta + {1+ (kappa +1) ln r} ~ cos heta],}$
${displaystyle r ~ ln r ~ cos heta,}$	${displaystyle {frac {1} {2}} [(kappa +1) heta ~ sin heta - {1- (kappa -1) ln r} ~ cos heta],}$	${displaystyle {frac {1} {2}} [(kappa +1) heta ~ cos heta - {1+ (kappa -1) ln r} ~ sin heta],}$
${displaystyle r ^ {- 1} ~ cos heta,}$	${displaystyle r ^ {- 2} ~ cos heta,}$	${displaystyle r ^ {- 2} ~ sin heta,}$
${displaystyle r ^ {3} ~ sin heta,}$	${displaystyle (kappa -2) ~ r ^ {2} ~ sin heta,}$	${displaystyle - (kappa +2) ~ r ^ {2} ~ cos heta,}$
${displaystyle r heta ~ sin heta,}$	${displaystyle {frac {1} {2}} [(kappa -1) heta ~ sin heta - {1- (kappa +1) ln r} ~ cos heta],}$	${displaystyle {frac {1} {2}} [(kappa -1) heta ~ cos heta - {1+ (kappa +1) ln r} ~ sin heta],}$
${displaystyle r ~ ln r ~ sin heta,}$	${displaystyle - {frac {1} {2}} [(kappa +1) heta ~ cos heta + {1- (kappa -1) ln r} ~ sin heta],}$	${displaystyle {frac {1} {2}} [(kappa +1) heta ~ sin heta + {1+ (kappa -1) ln r} ~ cos heta],}$
${displaystyle r ^ {- 1} ~ sin heta,}$	${displaystyle r ^ {- 2} ~ sin heta,}$	${displaystyle -r ^ {- 2} ~ cos heta,}$
${displaystyle r ^ {n + 2} ~ cos (n heta),}$	${displaystyle (kappa -n-1) ~ r ^ {n + 1} ~ cos (n heta),}$	${displaystyle (kappa + n + 1) ~ r ^ {n + 1} ~ sin (n heta),}$
${displaystyle r ^ {- n + 2} ~ cos (n heta),}$	${displaystyle (kappa + n-1) ~ r ^ {- n + 1} ~ cos (n heta),}$	${displaystyle - (kappa -n + 1) ~ r ^ {- n + 1} ~ sin (n heta),}$
${displaystyle r ^ {n} ~ cos (n heta),}$	${displaystyle -n ~ r ^ {n-1} ~ cos (n heta),}$	${displaystyle n ~ r ^ {n-1} ~ sin (n heta),}$
${displaystyle r ^ {- n} ~ cos (n heta),}$	${displaystyle n ~ r ^ {- n-1} ~ cos (n heta),}$	${displaystyle n (~ r ^ {- n-1} ~ sin (n heta),}$
${displaystyle r ^ {n + 2} ~ sin (n heta),}$	${displaystyle (kappa -n-1) ~ r ^ {n + 1} ~ sin (n heta),}$	${displaystyle - (kappa + n + 1) ~ r ^ {n + 1} ~ cos (n heta),}$
${displaystyle r ^ {- n + 2} ~ sin (n heta),}$	${displaystyle (kappa + n-1) ~ r ^ {- n + 1} ~ sin (n heta),}$	${displaystyle (kappa -n + 1) ~ r ^ {- n + 1} ~ cos (n heta),}$
${displaystyle r ^ {n} ~ sin (n heta),}$	${displaystyle -n ~ r ^ {n-1} ~ sin (n heta),}$	${displaystyle -n ~ r ^ {n-1} ~ cos (n heta),}$
${displaystyle r ^ {- n} ~ sin (n heta),}$	${displaystyle n ~ r ^ {- n-1} ~ sin (n heta),}$	${displaystyle -n ~ r ^ {- n-1} ~ cos (n heta),}$