Однородное дифференциальное уравнение - Homogeneous differential equation

А дифференциальное уравнение возможно однородный в любом из двух аспектов.

А дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если можно записать

${displaystyle f (x, y) dy = g (x, y) dx,}$

куда ж и грамм находятся однородные функции такой же степени Икс и у.^[1] В этом случае замена переменной у = ux приводит к уравнению вида

${displaystyle {frac {dy} {x}} = h (u) du,}$

что легко решить интеграция двух членов.

В противном случае дифференциальное уравнение является однородным, если оно является однородной функцией неизвестной функции и ее производных. В случае линейные дифференциальные уравнения, это означает, что нет постоянных членов. Решения любых линейных обыкновенное дифференциальное уравнение любого порядка может быть выведено интегрированием из решения однородного уравнения, полученного удалением постоянного члена.

История

Период, термин однородный был впервые применен к дифференциальным уравнениям Иоганн Бернулли в разделе 9 его статьи 1726 г. De Integraionibus aequationum Differenceium (Об интегрировании дифференциальных уравнений).^[2]

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения Навье – Стокса. используется для имитации воздушного потока вокруг препятствия.
Объем Естественные науки Инженерное дело Астрономия Физика Химия Биология Геология Прикладная математика Механика сплошной среды Теория хаоса Динамические системы Социальные науки Экономика Динамика населения
Классификация
Типы Обычный Частичное Дифференциально-алгебраический Интегро-дифференциал Дробный Линейный Нелинейный По типу переменной Зависимые и независимые переменные Автономный Сложный Связанный / развязанный Точный Однородный  / Неоднородный Функции Заказ Оператор Обозначение
Отношение к процессам Разница (дискретный аналог) Стохастик Стохастический частичный Задерживать
Решение
Существование и уникальность Теорема Пикара – Линделёфа Теорема существования Пеано Теорема существования Каратеодори Теорема Коши – Ковалевского
Общие темы Вронскиан Фазовый портрет Фазовое пространство Ляпунов  / Асимптотический  / Экспоненциальная стабильность Скорость сходимости Серии / Комплексные решения Численное интегрирование Дельта-функция Дирака
Методы решения Осмотр Метод характеристик Эйлер Формула экспоненциального отклика Конечная разница  (Крэнк – Николсон ) Заключительный элемент Бесконечный элемент Конечный объем Галеркин Петров – Галеркин Интегрирующий фактор Интегральные преобразования Теория возмущений Рунге-Кутта Разделение переменных Неопределенные коэффициенты Вариация параметров
Люди Исаак Ньютон Готфрид Лейбниц Леонард Эйлер Эмиль Пикар Юзеф Мария Хене-Вроньски Эрнст Линделёф Рудольф Липшиц Огюстен-Луи Коши Джон Крэнк Филлис Николсон Карл Давид Толме Рунге Мартин Кутта

Первого порядка обыкновенное дифференциальное уравнение в виде:

${displaystyle M (x, y), dx + N (x, y), dy = 0}$

является однородным типом, если обе функции M(х, у) и N(х, у) находятся однородные функции такой же степени п.^[3] То есть умножение каждой переменной на параметр${displaystyle lambda}$, мы нашли

${displaystyle M (лямбда x, лямбда y) = лямбда ^ {n} M (x, y),}$ и ${displaystyle N (lambda x, lambda y) = lambda ^ {n} N (x, y) ,.}$

Таким образом,

${displaystyle {frac {M (lambda x, lambda y)} {N (lambda x, lambda y)}} = {frac {M (x, y)} {N (x, y)}} ,.}$

Метод решения

В частном ${displaystyle {frac {M (tx, ty)} {N (tx, ty)}} = {frac {M (x, y)} {N (x, y)}}}$, мы можем позволить ${displaystyle t = 1 / x}$ чтобы упростить это частное до функции ${displaystyle f}$ одной переменной ${displaystyle y / x}$:

${displaystyle {frac {M (x, y)} {N (x, y)}} = {frac {M (tx, ty)} {N (tx, ty)}} = {frac {M (1, y) / x)} {N (1, y / x)}} = f (y / x) ,.}$

То есть

${displaystyle {frac {dy} {dx}} = - f (y / x).}$

Представьте замена переменных ${displaystyle y = ux}$; дифференцировать с помощью правило продукта:

${displaystyle {frac {dy} {dx}} = {frac {d (ux)} {dx}} = x {frac {du} {dx}} + u {frac {dx} {dx}} = x {frac {du} {dx}} + u.}$

Это преобразует исходное дифференциальное уравнение в отделяемый форма

${displaystyle x {frac {du} {dx}} = - f (u) -u,}$

или же

${displaystyle {frac {1} {x}} {frac {dx} {du}} = {frac {-1} {f (u) + u}},}$

которые теперь можно интегрировать напрямую: бревно Икс равно первообразный правой части (см. обыкновенное дифференциальное уравнение ).

Особый случай

Дифференциальное уравнение первого порядка вида (а, б, c, е, ж, грамм все константы)

${displaystyle (ax + by + c) dx + (ex + fy + g) dy = 0,}$

куда аф ≠ бытьможно преобразовать в однородный тип линейным преобразованием обеих переменных (${displaystyle alpha}$ и ${displaystyle eta}$ являются константами):

${displaystyle t = x + alpha; ,,,, z = y + eta,.}$

Однородные линейные дифференциальные уравнения

Линейное дифференциальное уравнение однородный если это однородное линейное уравнение в неизвестной функции и ее производных. Отсюда следует, что если ${displaystyle phi (x)}$ это решение, так это ${displaystyle cphi (x)}$, для любой (ненулевой) постоянной c. Для того чтобы это условие выполнялось, каждый ненулевой член линейного дифференциального уравнения должен зависеть от неизвестной функции или любой ее производной. Линейное дифференциальное уравнение, не удовлетворяющее этому условию, называется неоднородный.

А линейное дифференциальное уравнение можно представить как линейный оператор действующий на у (х) куда Икс обычно независимая переменная и у зависимая переменная. Следовательно, общий вид линейное однородное дифференциальное уравнение является

${displaystyle L (y) = 0,}$

куда L это дифференциальный оператор, сумма производных (определяющих "0-ю производную" как исходную, недифференцированную функцию), каждая из которых умножена на функцию${displaystyle f_ {i}}$ из Икс:

${displaystyle L = sum _ {i = 0} ^ {n} f_ {i} (x) {frac {d ^ {i}} {dx ^ {i}}} ,,}$

куда${displaystyle f_ {i}}$ могут быть константами, но не все${displaystyle f_ {i}}$ может быть нулевым.

Например, следующее линейное дифференциальное уравнение является однородным:

${displaystyle sin (x) {frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + 4 {frac {dy} {dx}} + y = 0 ,,}$

в то время как следующие два неоднородны:

${displaystyle 2x ^ {2} {frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + 4x {frac {dy} {dx}} + y = cos (x) ,;}$

${displaystyle 2x ^ {2} {frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} - 3x {frac {dy} {dx}} + y = 2 ,.}$

Существование постоянного члена является достаточным условием для неоднородности уравнения, как в приведенном выше примере.

Смотрите также

• Разделение переменных

Примечания

Рекомендации

• Бойс, Уильям Э .; ДиПрима, Ричард К. (2012), Элементарные дифференциальные уравнения и краевые задачи (10-е изд.), Wiley, ISBN  978-0470458310. (Это хороший вводный справочник по дифференциальным уравнениям.)
• Инс, Э. Л. (1956), Обыкновенные дифференциальные уравнения, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN  0486603490. (Это классический справочник по ODE, впервые опубликованный в 1926 году.)
• Андрей Д. Полянин; Валентин Федорович Зайцев (15 ноября 2017 г.). Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям: точные решения, методы и задачи. CRC Press. ISBN  978-1-4665-6940-9.
• Мэтью Р. Булкинс; Джек Л. Голдберг; Мерл К. Поттер (5 ноября 2009 г.). Дифференциальные уравнения с линейной алгеброй.. Издательство Оксфордского университета. С. 274–. ISBN  978-0-19-973666-9.

внешняя ссылка

• Однородные дифференциальные уравнения в MathWorld
• Викиучебники: обыкновенные дифференциальные уравнения / Подстановка 1