Метод конечных объемов - Finite volume method

В метод конечных объемов (FVM) - это метод представления и оценки уравнения в частных производных в виде алгебраических уравнений.^[1]В методе конечных объемов объемные интегралы в уравнении в частных производных, содержащие расхождение срок конвертируются в поверхностные интегралы, с использованием теорема расходимости. Затем эти члены оцениваются как потоки на поверхностях каждого конечного объема. Поскольку поток, входящий в данный объем, идентичен потоку, выходящему из соседнего объема, эти методы являются консервативный. Еще одно преимущество метода конечных объемов состоит в том, что он легко формулируется для учета неструктурированных сеток. Метод используется во многих вычислительная гидродинамика Пакеты. «Конечный объем» относится к небольшому объему, окружающему каждую узловую точку на сетке.

Методы конечных объемов можно сравнить и противопоставить методы конечных разностей, которые аппроксимируют производные с использованием узловых значений, или методы конечных элементов, которые создают локальные приближения решения, используя локальные данные, и создают глобальное приближение, сшивая их вместе. Напротив, метод конечных объемов вычисляет точные выражения для средний значение решения в некотором объеме и использует эти данные для построения приближений решения в ячейках.^[2]^[3]

Пример

Рассмотрим простой одномерный адвекция проблема:

{ displaystyle quad (1) qquad qquad { frac { partial rho} { partial t}} + { frac { partial f} { partial x}} = 0, quad t geq 0.}

Здесь, ${ Displaystyle Rho = Rho влево (х, т вправо) }$ представляет переменную состояния и ${ Displaystyle е = е влево ( ро влево (х, т вправо) вправо) }$ представляет поток или поток ${ displaystyle rho }$ . Условно положительный ${ displaystyle f }$ представляет поток вправо, а отрицательное ${ displaystyle f }$ представляет поток слева. Если мы предположим, что уравнение (1) представляет текущую среду постоянной площади, мы можем подразделить пространственную область, ${ Displaystyle х }$ , в конечные объемы или же клетки с центрами ячеек, индексированными как ${ Displaystyle я }$ . Для конкретной ячейки ${ Displaystyle я }$ , мы можем определить средний объем значение ${ Displaystyle { rho} _ {я} влево (т вправо) = ро влево (х, т вправо) }$ вовремя ${ Displaystyle {т = т_ {1}} }$ и ${ displaystyle {x in left [x_ {i - { frac {1} {2}}}, x_ {i + { frac {1} {2}}} right]} }$ , в качестве

{ displaystyle quad (2) qquad qquad { bar { rho}} _ {i} left (t_ {1} right) = { frac {1} {x_ {i + { frac {1) } {2}}} - x_ {i - { frac {1} {2}}}}} int _ {x_ {i - { frac {1} {2}}}} ^ {x_ {i + { frac {1} {2}}}} rho left (x, t_ {1} right) , dx,}

и в свое время ${ Displaystyle {т = т_ {2}} }$ в качестве,

{ displaystyle quad (3) qquad qquad { bar { rho}} _ {i} left (t_ {2} right) = { frac {1} {x_ {i + { frac {1) } {2}}} - x_ {i - { frac {1} {2}}}}} int _ {x_ {i - { frac {1} {2}}}} ^ {x_ {i + { frac {1} {2}}}} rho left (x, t_ {2} right) , dx,}

куда ${ Displaystyle х_ {я - { гидроразрыва {1} {2}}} }$ и ${ displaystyle x_ {я + { frac {1} {2}}} }$ представляют собой расположение сторон или кромок перед и после потока соответственно ${ displaystyle i ^ {th} }$ клетка.

Интегрируя уравнение (1) по времени, имеем:

{ Displaystyle quad (4) qquad qquad rho left (x, t_ {2} right) = rho left (x, t_ {1} right) - int _ {t_ {1} } ^ {t_ {2}} f_ {x} left (x, t right) , dt,}

куда ${ displaystyle f_ {x} = { frac { partial f} { partial x}}}$ .

Чтобы получить средний объем ${ Displaystyle rho влево (х, т вправо)}$ вовремя ${ Displaystyle т = т_ {2} }$ , мы интегрируем ${ displaystyle rho left (x, t_ {2} right)}$ по объему ячейки, ${ displaystyle left [x_ {i - { frac {1} {2}}}, x_ {i + { frac {1} {2}}} right]}$ и разделите результат на ${ displaystyle Delta x_ {i} = x_ {i + { frac {1} {2}}} - x_ {i - { frac {1} {2}}}}$ , т.е.

{ displaystyle quad (5) qquad qquad { bar { rho}} _ {i} left (t_ {2} right) = { frac {1} { Delta x_ {i}}} int _ {x_ {i - { frac {1} {2}}}} ^ {x_ {i + { frac {1} {2}}}} left { rho left (x, t_ { 1} right) - int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} f_ {x} left (x, t right) dt right } dx.}

Мы предполагаем, что ${ displaystyle f }$ ведет себя хорошо, и мы можем изменить порядок интеграции. Также помните, что поток нормален к единице площади ячейки. Теперь, поскольку в одном измерении ${ Displaystyle е_ {х} треугольник набла cdot f}$ , мы можем применить теорема расходимости, т.е. ${ Displaystyle oint _ {v} nabla cdot fdv = oint _ {S} f , dS}$ , и заменим интеграл объема от расхождение со значениями ${ Displaystyle е (х) }$ оценивается на поверхности ячейки (края ${ Displaystyle х_ {я - { гидроразрыва {1} {2}}} }$ и ${ displaystyle x_ {я + { frac {1} {2}}} }$ ) конечного объема следующим образом:

{ displaystyle quad (6) qquad qquad { bar { rho}} _ {i} left (t_ {2} right) = { bar { rho}} _ {i} left ( t_ {1} right) - { frac {1} { Delta x_ {i}}} left ( int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} f_ {i + { frac {1 } {2}}} dt- int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} f_ {i - { frac {1} {2}}} dt right).}

куда ${ displaystyle f_ {я pm { frac {1} {2}}} = f left (x_ {i pm { frac {1} {2}}}, t right)}$ .

Следовательно, мы можем вывести полудискретный численная схема для указанной выше задачи с центрами ячеек, индексированными как ${ Displaystyle я }$ , а потоки на краях ячеек индексируются как ${ displaystyle i pm { frac {1} {2}}}$ , дифференцируя (6) по времени, получим:

{ displaystyle quad (7) qquad qquad { frac {d { bar { rho}} _ {i}} {dt}} + { frac {1} { Delta x_ {i}}} left [f_ {i + { frac {1} {2}}} - f_ {i - { frac {1} {2}}} right] = 0,}

где значения для краевых потоков, ${ displaystyle f_ {я pm { frac {1} {2}}}}$ , может быть реконструирован интерполяция или же экстраполяция средних значений ячейки. Уравнение (7) имеет вид точный для средних объемов; т.е. при его выводе никаких приближений не делалось.

Этот метод также можно применить к 2D ситуации, рассматривая северную и южную грани вместе с восточной и западной сторонами вокруг узла.

Общий закон сохранения

Можно также рассмотреть общие закон сохранения проблема, представленная следующим PDE,

{ displaystyle quad (8) qquad qquad {{ partial { mathbf {u}}} over { partial t}} + nabla cdot { mathbf {f}} left ({ mathbf {u}} right) = { mathbf {0}}.}

Здесь, ${ Displaystyle { mathbf {u}} }$ представляет собой вектор состояний и ${ displaystyle mathbf {f} }$ представляет собой соответствующий поток тензор. Мы снова можем подразделить пространственную область на конечные объемы или ячейки. Для конкретной ячейки ${ Displaystyle я }$ , возьмем объемный интеграл по общему объему ячейки, ${ displaystyle v_ {i} }$ , который дает,

{ displaystyle quad (9) qquad qquad int _ {v_ {i}} {{ partial { mathbf {u}}} over { partial t}} , dv + int _ {v_ { i}} nabla cdot { mathbf {f}} left ({ mathbf {u}} right) , dv = { mathbf {0}}.}

При интегрировании первого члена, чтобы получить средний объем и применяя теорема расходимости ко второму, это дает

{ displaystyle quad (10) qquad qquad v_ {i} {{d { mathbf { bar {u}}} _ {i}} over {dt}} + oint _ {S_ {i} } { mathbf {f}} left ({ mathbf {u}} right) cdot { mathbf {n}} dS = { mathbf {0}},}

куда ${ Displaystyle S_ {я} }$ представляет собой общую площадь поверхности ячейки и ${ displaystyle { mathbf {n}}}$ - единичный вектор, нормальный к поверхности и направленный наружу. Итак, наконец, мы можем представить общий результат, эквивалентный (8), т.е.

{ displaystyle quad (11) qquad qquad {{d { mathbf { bar {u}}} _ {i}} over {dt}} + {{1} over {v_ {i}} } oint _ {S_ {i}} { mathbf {f}} left ({ mathbf {u}} right) cdot { mathbf {n}} dS = { mathbf {0}}. }

Опять же, значения для граничных потоков могут быть восстановлены путем интерполяции или экстраполяции средних значений ячеек. Фактическая численная схема будет зависеть от геометрии задачи и построения сетки. MUSCL реконструкция часто используется в схемы высокого разрешения где в растворе присутствуют толчки или разрывы.

Схемы конечного объема консервативны, поскольку средние значения ячеек меняются из-за краевых потоков. Другими словами, потеря одной клетки - выигрыш другой клетки!

Смотрите также

дальнейшее чтение

Эймар, Р. Галлуэ, Т. Р., Хербин, Р. (2000) Метод конечных объемов Справочник по численному анализу, Vol. VII, 2000, с. 713–1020. Редакторы: П.Г. Ciarlet и J.L. Lions.
Хирш, К. (1990), Численный расчет внутренних и внешних потоков, том 2: Методы расчета невязких и вязких потоков, Wiley.
Лэйни, Калберт Б. (1998), Вычислительная газовая динамика, Издательство Кембриджского университета.
Левек, Рэндалл (1990), Численные методы для законов сохранения, Серия лекций по математике для ETH, Birkhauser-Verlag.
Левек, Рэндалл (2002), Методы конечных объемов для гиперболических задач, Издательство Кембриджского университета.
Патанкар, Сухас В. (1980), Числовая передача тепла и поток жидкости, Полушарие.
Таннехилл, Джон С.и др. (1997), Вычислительная механика жидкости и теплопередача, 2-е изд., Тейлор и Фрэнсис.
Торо, Э.Ф. (1999), Решатели Римана и численные методы гидродинамики, Springer-Verlag.
Весселинг, Питер (2001), Принципы вычислительной гидродинамики, Springer-Verlag.

внешняя ссылка

Методы конечного объема Р. Эймар, Т. Галлуэ и Р. Хербин, обновление статьи, опубликованной в Handbook of Numerical Analysis, 2000 г.
Рюбенкёниг, Оливер. «Метод конечных объемов (FVM) - Введение». Архивировано из оригинал на 2009-10-02. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь), доступный под GFDL.
FiPy: решатель PDE конечного объема с использованием Python от NIST.
КОЛОКОЛЬЧИК: программный пакет, предназначенный для вычисления численных решений гиперболических уравнений в частных производных с использованием подхода распространения волн.

[1] Левек, Рэндалл (2002). Методы конечных объемов для гиперболических задач. ISBN 9780511791253.

[2] Fallah, N.A .; Bailey, C .; Крест, М .; Тейлор, Г. А. (2000-06-01). «Сравнение применения методов конечных элементов и конечных объемов в геометрически нелинейном анализе напряжений». Прикладное математическое моделирование. 24 (7): 439–455. Дои:10.1016 / S0307-904X (99) 00047-5. ISSN 0307-904X.

[3] Ранганаякулу, Ч. (Ченну). «Глава 3, раздел 3.1». Компактные теплообменники: анализ, проектирование и оптимизация с использованием методов FEM и CFD. Ситхараму, К. Н. Хобокен, штат Нью-Джерси. ISBN 978-1-119-42435-2. OCLC 1006524487.

[1]

[2]

[3]