Метод конечных объемов для нестационарного потока - Википедия - Finite volume method for unsteady flow

Нестационарные потоки характеризуются как потоки, в которых свойства жидкости зависят от времени. Это отражается в определяющих уравнениях, поскольку производная от свойств по времени отсутствует. Метод конечных объемов для нестационарного потока есть несколько основных уравнений^[1]>

Управляющее уравнение

Уравнение сохранения для переноса скаляра в нестационарном потоке имеет общий вид: ^[2]

${ displaystyle { frac { partial rho phi} { partial t}} + operatorname {div} left ( rho phi upsilon right) = operatorname {div} left ( Gamma имя оператора {град} phi right) + S _ { phi}}$

${ displaystyle rho}$ является плотность и ${ displaystyle phi}$ консервативная форма всего потока жидкости,
${ displaystyle Gamma}$ - коэффициент диффузии и ${ displaystyle S}$ это исходный термин.${ displaystyle operatorname {div} left ( rho phi upsilon right)}$ чистая скорость потока ${ displaystyle phi}$ вне жидкого элемента (конвекция ),
${ displaystyle operatorname {div} left ( Gamma operatorname {grad} phi right)}$ скорость увеличения ${ displaystyle phi}$ из-за распространение,
${ displaystyle S _ { phi}}$ скорость увеличения ${ displaystyle phi}$ за счет источников.

${ Displaystyle { frac { partial rho phi} { partial t}}}$ скорость увеличения ${ displaystyle phi}$ элемента жидкости (переходный),

Первый член уравнения отражает нестационарность течения и отсутствует в случае стационарных течений. Интегрирование в конечном объеме основного уравнения выполняется по контрольному объему, а также с конечным шагом по времени ∆t.

${ displaystyle int limits _ {cv} ! ! ! int _ {t} ^ {t + Delta t} left ({ frac { partial rho phi} { partial t}} , mathrm {d} t right) , mathrm {d} V + int _ {t} ^ {t + Delta t} ! ! ! int limits _ {A} left (n . { rho phi u} , mathrm {d} A right) , mathrm {d} t = int _ {t} ^ {t + Delta t} ! ! ! int пределы _ {A} left (n cdot left ( Gamma operatorname {grad} phi right) , mathrm {d} A right) , mathrm {d} t + int _ {t } ^ {t + Delta t} ! ! ! int limits _ {cv} S _ { phi} , mathrm {d} V , mathrm {d} t}$

В контрольный объем интеграция устойчивый часть уравнения аналогична устойчивое состояние интегрирование управляющего уравнения. Нам нужно сосредоточиться на интегрировании нестационарной составляющей уравнения. Чтобы получить представление о технике интеграции, мы обращаемся к одномерному нестационарному теплопроводность уравнение.^[3]

${ displaystyle rho c { frac { partial T} { partial t}} = { frac { partial { frac {k partial T} { partial x}}} { partial x}} + S}$

${ displaystyle int _ {t} ^ {t + Delta t} ! ! ! int limits _ {cv} rho c { frac { partial T} { partial t}} , mathrm {d} V , mathrm {d} t = int _ {t} ^ {t + Delta t} ! ! ! int limits _ {cv} { frac { partial { frac {k partial T} { partial x}}} { partial x}} , mathrm {d} V , mathrm {d} t + int _ {t} ^ {t + Delta t} ! ! ! int limits _ {cv} S , mathrm {d} V , mathrm {d} t}$

${ displaystyle int _ {e} ^ {w} ! ! ! int _ {t} ^ {t + Delta t} left ( rho c { frac { partial T} { partial t }} , mathrm {d} t right) , mathrm {d} V = int _ {t} ^ {t + Delta t} left [ left (kA { frac { partial T} { partial x}} right) _ {e} - left (kA { frac { partial T} { partial x}} right) _ {w} right] , mathrm {d} t + int _ {t} ^ {t + Delta t} { bar {S}} Delta V , mathrm {d} t}$

Теперь, придерживаясь предположения температура при преобладании узла во всем контрольном объеме левую часть уравнения можно записать как ^[4]

${ displaystyle int limits _ {cv} ! ! ! int _ {t} ^ {t + Delta t} left ( rho c { frac { partial T} { partial t}} , mathrm {d} t right) , mathrm {d} V = rho c left (T_ {P} - {T_ {P}} ^ {O} right) Delta V}$

Используя первый заказ схема обратного дифференцирования, мы можем записать правую часть уравнения как

${ displaystyle rho c left (T_ {P} - {T_ {P}} ^ {0} right) Delta V = int _ {t} ^ {t + Delta t} left [ left ( K_ {e} A { frac {T_ {E} -T_ {P}} { delta x_ {PE}}} right) - left (K_ {w} A { frac {T_ {P} -T_ {W}} { delta x_ {WP}}} right) right] , mathrm {d} t + int _ {t} ^ {t + Delta t} { bar {S}} Delta V , mathrm {d} t}$

Теперь, чтобы оценить правую часть уравнения, мы используем весовой параметр ${ displaystyle theta}$ между 0 и 1, и мы запишем интеграцию ${ displaystyle T_ {P}}$

${ displaystyle I_ {T} = int _ {t} ^ {t + Delta t} T_ {P} , mathrm {d} t = left [ theta T_ {P} - left (1- theta right) {T_ {P}} ^ {0} right] Delta t}$

Теперь точная форма окончательного дискретизированного уравнения зависит от значения ${ displaystyle Theta}$. Поскольку дисперсия ${ displaystyle Theta}$ равно 0 < ${ displaystyle Theta}$ <1, схема для расчета ${ displaystyle T_ {P}}$ зависит от стоимости ${ displaystyle Theta}$

Различные схемы

1. Явная схема в явной схеме исходный член линеаризуется как ${ displaystyle b = S_ {u} + {S_ {P}} {T_ {P}} ^ {0}}$. Подменяем ${ displaystyle theta = 0}$ чтобы получить явную дискретизацию, т. е .:^[5]

${ displaystyle a_ {P} T_ {P} = a_ {w} {T_ {w}} ^ {0} + a_ {e} {T_ {e}} ^ {0} + left [{a_ {P} } ^ {0} - left (a_ {w} + a_ {e} -S_ {P} right) right] {T_ {P}} ^ {0} + S_ {u}}$

куда ${ displaystyle a_ {P} = {a_ {P}} ^ {0}}$. Следует отметить, что правая часть содержит значения на старом временном шаге, и, следовательно, левая часть может быть вычислена путем прямого сопоставления по времени. Схема основана на обратном дифференцировании, и ее ошибка усечения ряда Тейлора имеет первый порядок по времени. Все коэффициенты должны быть положительными. Для постоянного k и равномерного шага сетки ${ displaystyle delta x_ {PE} = delta x_ {WP} = Delta x}$ это условие можно записать как

${ displaystyle rho c { frac { Delta x} { Delta t}}> { frac {2K} { Delta x}}}$

Это неравенство устанавливает жесткое условие для максимального временного шага, который может быть использован, и представляет собой серьезное ограничение для схемы. Повышение пространственной точности становится очень дорогостоящим, поскольку необходимо уменьшить максимально возможный временной шаг как квадрат ${ displaystyle Delta x}$ ^[6]

2. Кривошипная схема Николсона : кривошипная схема Николсона является результатом установки ${ displaystyle theta = { frac {1} {2}}}$. Дискретизированное нестационарное уравнение теплопроводности принимает вид

${ displaystyle a_ {P} T_ {P} = a_ {E} left [{ frac {T_ {E} + {T_ {E}} ^ {0}} {2}} right] + a_ {W } left [{ frac {T_ {W} + {T_ {W}} ^ {0}} {2}} right] + left [{a_ {P}} ^ {0} - { frac { a_ {E}} {2}} - { frac {a_ {W}} {2}} right] {T_ {P}} ^ {0} + b}$

Где ${ displaystyle a_ {P} = { frac {a_ {W} + a_ {E}} {2}} + {a_ {P}} ^ {0} - { frac {S_ {P}} {2} }}$

Поскольку в уравнении присутствует более одного неизвестного значения T на новом временном уровне, метод является неявным, и одновременные уравнения для всех узловых точек необходимо решать на каждом временном шаге. Хотя схемы с ${ displaystyle { frac {1} {2}} < theta <1}$ включая схему Кранка-Николсона, безусловно устойчивы для всех значений временного шага, более важно обеспечить положительность всех коэффициентов для физически реалистичных и ограниченных результатов. Это так, если коэффициент при ${ displaystyle {T_ {P}} ^ {0}}$ удовлетворяет следующему условию

${ displaystyle {a_ {P}} ^ {0} = left [{ frac {a_ {E} + a_ {W}} {2}} right]}$

что приводит к

${ displaystyle Delta t < rho c { frac { Delta x ^ {2}} {K}}}$

Кривошип Николсона основан на центральной разности и, следовательно, имеет второй порядок точности по времени. Общая точность вычислений зависит также от практики пространственного дифференцирования, поэтому схема Кранка-Николсона обычно используется в сочетании с пространственным центральным дифференцированием.

3. Полностью неявная схема когда значение Ѳ установлено на 1, мы получаем полностью неявную схему. Дискретизированное уравнение:^[7]

${ displaystyle a_ {P} T_ {P} = a_ {W} T_ {W} + a_ {E} T_ {E} + {a_ {P}} ^ {0} {T_ {P}} ^ {0} + S_ {u}}$

${ displaystyle a_ {P} = {a_ {P}} ^ {0} + a_ {W} + a_ {E} -S_ {P}}$

Обе части уравнения содержат температуры на новом временном шаге, и система алгебраических уравнений должна решаться на каждом временном уровне. Процедура временного марша начинается с заданного начального поля температур. ${ displaystyle T ^ {0}}$. Система уравнений решается после выбора временного шага ${ displaystyle Delta t}$. Далее решение ${ displaystyle T}$ назначен на ${ displaystyle T ^ {0}}$ и процедура повторяется для продвижения решения на следующий временной шаг. Видно, что все коэффициенты положительны, что делает неявную схему безусловно устойчивой для любого размера временного шага. Поскольку точность схемы только первого порядка по времени, требуются небольшие временные шаги для обеспечения точности результатов. Неявный метод рекомендуется для расчетов переходных процессов общего назначения из-за его надежности и безусловной устойчивости.

Рекомендации