Метод фундаментальных решений - Method of fundamental solutions

В научные вычисления и симуляция, то метод фундаментальных решений (MFS) - это метод решения уравнения в частных производных на основе использования фундаментальное решение в качестве базовой функции. MFS был разработан для устранения основных недостатков метод граничных элементов (BEM), который также использует фундаментальное решение для удовлетворения основного уравнения. Следовательно, как MFS, так и BEM представляют собой численный метод граничной дискретизации и уменьшают вычислительную сложность на одну размерность и имеют особое преимущество перед численными методами доменного типа, такими как заключительный элемент методы конечных объемов для решения бесконечной области, тонкостенных конструкций и обратные задачи.

В отличие от BEM, MFS избегает численного интегрирования сингулярного фундаментального решения и является неотъемлемой частью метод без сетки. Однако этот метод скомпрометирован тем, что требует наличия сомнительной фиктивной границы за пределами физической области, чтобы обойти сингулярность фундаментального решения, что серьезно ограничивает его применимость к проблемам реального мира. Но, тем не менее, было обнаружено, что MFS очень конкурентоспособна в некоторых областях приложений, таких как проблемы с бесконечной областью.

MFS также известен под разными названиями в литературе, включая метод моделирования заряда, метод суперпозиции, метод десингуляризации, метод косвенных граничных элементов и метод виртуальных граничных элементов.

Состав MFS

Рассмотрим уравнение в частных производных, описывающее определенный тип задач.

${ Displaystyle Лу = е влево (х, у вправо), влево (х, у вправо) в Омега,}$

${ Displaystyle и = г влево (х, у вправо), влево (х, у вправо) в partial Omega _ {D},}$

${ Displaystyle { frac { partial u} { partial n}} = час влево (х, у вправо), влево (х, у вправо) в частичном Omega _ {N} ,}$

куда ${ displaystyle L}$ - дифференциальный частный оператор, ${ displaystyle Omega}$ представляет вычислительную область, ${ displaystyle partial Omega _ {D}}$ и ${ displaystyle partial Omega _ {N}}$ обозначим границу Дирихле и Неймана соответственно, ${ Displaystyle partial Omega _ {D} cup partial Omega _ {N} = partial Omega}$ и ${ Displaystyle partial Omega _ {D} cap partial Omega _ {N} = varnothing}$.

MFS использует фундаментальное решение оператора в качестве своей базовой функции для представления приближения неизвестной функции u следующим образом

${ displaystyle {{u} ^ {*}} left (x, y right) = sum limits _ {i = 1} ^ {N} alpha _ {i} phi left (r_ {i }верно)}$

куда ${ displaystyle r_ {i} = left | left (x, y right) - left (sx_ {i}, sy_ {i} right) right |}$ обозначает евклидово расстояние между точками коллокации ${ Displaystyle влево (х, у вправо)}$ и исходные точки ${ displaystyle left (sx_ {i}, sy_ {i} right)}$, ${ Displaystyle фи влево ( CDOT вправо)}$ фундаментальное решение, удовлетворяющее

${ Displaystyle L phi = дельта ,}$

куда ${ displaystyle delta}$ обозначает дельта-функцию Дирака, а ${ displaystyle {{ alpha} _ {i}}}$ - неизвестные коэффициенты.

Поскольку точки источника расположены вне физической области, MFS избегает фундаментальной сингулярности решения. Подстановка аппроксимации в граничное условие дает следующее матричное уравнение

${ displaystyle left [{ begin {matrix} phi left ( left.r_ {j} right | _ {x_ {i}, y_ {i}} right) { frac { partial phi left ( left.r_ {j} right | _ {x_ {k}, y_ {k}} right)} { partial n}} end {matrix}} right] cdot alpha = left ({ begin {matrix} g left (x_ {i}, y_ {i} right) h left (x_ {k}, y_ {k} right) end {matrix}} right),}$

куда ${ displaystyle left (x_ {i}, y_ {i} right)}$ и ${ displaystyle left (x_ {k}, y_ {k} right)}$ обозначим точки коллокации соответственно на границах Дирихле и Неймана. Неизвестные коэффициенты ${ displaystyle alpha _ {я}}$ может быть однозначно определена указанным выше алгебраическим уравнением. И тогда мы можем оценить численное решение в любом месте физической области.

История и недавние события

Идеи, лежащие в основе MFS, были развиты в основном В. Д. Купрадзе и М. А. Алексидзе в конце 1950-х - начале 1960-х годов.^[1] Однако этот метод был впервые предложен в качестве вычислительной техники намного позже Р. Матоном и Р. Л. Джонстоном в конце 1970-х гг.^[2] за ним последовал ряд статей Матона, Джонстона и Грэма Фэйрвезера с приложениями. Затем MFS постепенно превратился в полезный инструмент для решения большого количества физических и инженерных проблем.^[3][4][5][6]

В 1990-х годах М. А. Гольберг и К. С. Чен расширили MFS, чтобы иметь дело с неоднородными уравнениями и задачами, зависящими от времени, что значительно расширило его применимость.^[7][8] Более поздние разработки показали, что MFS можно использовать для решения уравнений в частных производных с переменными коэффициентами.^[9] MFS оказалась особенно эффективной для некоторых классов задач, таких как обратные,^[10] неограниченная область и задачи со свободной границей.^[11]

Некоторые методы были разработаны для решения фиктивной граничной проблемы в MFS, например метод граничного узла, особый граничный метод, и регуляризованный бессеточный метод.

Смотрите также

• Радиальная базисная функция
• Метод граничных элементов
• Метод граничного узла
• Метод граничных частиц
• Метод сингулярной границы
• Регуляризованный бессеточный метод

Рекомендации

внешняя ссылка

• Международный центр программного обеспечения численного моделирования в инженерии и науке